Xem mẫu
- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm)
Số N có dạng p x q y r z ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương )
NNN
và pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số p ; q ; r tương ứng có ít ước số hơn ước số của
N là 20;12 và 15. Tìm N ?
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải phương trình : 3 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 7 x 2 + 10 x + 3 = 0
Câu 3: ( 2.0 điểm)
a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau.
1 1 1
Chứng minh rằng: P = + + là số hữu tỷ.
(a − b) 2 (b − c) 2 (c − a ) 2
b) Tính giá trị của biểu thức : Q = x 3 + y 3 − 3( x + y ) + 2010 biết
x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 ; y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2
Câu 4. (2.0 điểm )
Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O. Đường thẳng
qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
1 1 2
+ =
a) Chứng minh rằng:
AB CD MN
b) Biết S AOB = a 2 ; SCOD = b 2 tính S ABCD ?
Câu 5 (2,0 điểm)
µ µ
Cho tam giác PAB có B =450; P =1200 .trên tia BP lấy điểm C sao cho
PC = 2PB. Tính góc ·
ACB
--------------Hết--------------
Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD:………………..
- PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đ ủ đi ểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo
đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng
chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
Điể
Câu Đáp án
m
Số N có dạng p x q y r z ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và
NNN
pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số p ; q ; r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là
20;12 và 15. Tìm N ?
pq − r = 3
⇒ ( p + 1) ( r − q ) = 6
Ta có 0.5
pr − q = 9
- Vì p + 1 ≥ 3 ⇒ p = 2, q = 5, r = 7 ⇒ N = 2 x3 y 7 z
0.5
Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1)
-
NNN
Số các ước tương ứng của tương ứng là :
,,
257
x ( y + 1) ( z + 1) ; ( x + 1) y ( z + 1) ; ( x + 1) ( y + 1) z
0.5
( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) − x ( y + 1) ( z + 1) = 20
⇒ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) − ( x + 1) y ( z + 1) = 12
( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) − ( x + 1) ( y + 1) z = 15
( y + 1) ( z + 1) = 20
- ⇔ ( x + 1) ( z + 1) = 12 ⇔ x = 2, y = 4, z = 3
0.5
( x + 1) ( y + 1) = 15
Vậy N= 22547 3 = 857500
Câu 2: (2.0 điểm) Giải phương trình : 3 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 7 x 2 + 10 x + 3 = 0 (1)
( )
(1) ⇔ ( x + 1) 3 x + 7 x + 7 x + 3 = 0
4 3
0.5
Ta có : 3 x 4 + 7 x3 + 7 x + 3 = 0 và x+ 1 = 0
Trường hợp : x+ 1 = 0 ⇒ x =- 1
Trường hợp : 3 x 4 + 7 x3 + 7 x + 3 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế phương trình
0.5
2 1 1 1
cho x ta được 3 x + 2 ÷+ 7 x + ÷=0. Đặt t = x + ta có : 3t2 +7t– 6 =0
2
x x x
−3 + 5 −3 − 5
Tìm được nghiệm x1= -1 ; x2= ; x3= 1.0
2 2
- Điể
Câu Đáp án
m
Câu 3: ( 2.0 điểm)
a) Cho a,b,c là các số hữu tỷ đôi một khác nhau.
1 1 1
Chứng minh rằng: P = + + là số hữu tỷ.
( a − b ) 2 (b − c ) 2 ( c − a ) 2
b) Tính giá trị của biểu thức : Q = x 3 + y 3 − 3( x + y ) + 2010 biết
x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 ; y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2
a) Với a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, ta được biểu thức P có nghĩa.
Biến đổi biểu thức P, ta được :
( b − c) ( c − a ) + ( a − b) ( c − a ) + ( a − b) ( b − c)
2 2 2 2 2 2
⇒P=
( a − b) ( b − c) ( c − a )
2 2 2
( a − b ) ( c − a ) + ( b − c ) ( a − b ) + ( c − a )
2 2 2 2 2
⇒P=
( a − b) ( b − c) ( c − a )
2 2 2
( a − b ) ( c − a ) + ( c − b ) ( a − b ) + ( c − a )
2 2 2 2 2
⇒P=
( a − b) ( b − c) ( c − a )
2 2 2
( a − b ) 2 ( c − a ) 2 + ( a − b ) + ( c − a ) ( a − b ) 2 + ( c − a ) 2
2
⇒P=
( a − b) ( b − c) ( c − a )
2 2 2
0.5
( a − b ) 2 ( c − a ) 2 + ( a − b ) 2 + ( c − a ) 2 + 2 ( a − b ) ( c − a ) . ( a − b ) 2 + ( c − a ) 2
⇒P=
( a − b) ( b − c) ( c − a )
2 2 2
2
( a − b ) ( c − a ) + 2 ( a − b ) ( c − a ) . ( a − b ) + ( c − a ) + ( a − b ) + ( c − a )
2 2 2 2 2
⇒P=
( a − b) 2 ( b − c) 2 ( c − a ) 2
{ }
2
( a − b ) ( c − a ) + ( a − b ) + ( c − a )
2 2
⇒P= 2
( a − b ) ( b − c ) ( c − a )
( a − b ) ( c − a ) + ( a − b ) + ( c − a )
2 2
⇒P=
( a − b) ( b − c) ( c − a )
Vì a, b, c là các số hữu tỉ, nên suy ra :
⇒ ( a − b ) ( c − a ) + ( a − b ) + ( c − a ) và ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )
2 2
0.5
cũng là các số hữu tỉ.
Do đó : ⇒ P là một số hữu tỉ (đpcm).
- Điể
Câu Đáp án
m
Đặt x = 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 = a + b suy ra: a3 + b3 = 6; a.b = 1
Ta có: x 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)= 6 + 3(a +b) = 6 + 3x
Hay x 3 - 3x = 6
0.5
Tương tự
Đặt y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2 = c + d, suy ra c3 + d3 = 34; c.d = 1
Ta có: y3 = c3 + d3 + 3cd(c + d)= 34 + 3(c +d) = 34 + 3y
Hay y3 - 3y = 34
Vậy Q = x 3 + y 3 − 3( x + y ) + 2010 = x 3 − 3x + y 3 − 3 y + 2010
0.5
= 6 + 34 + 2010 =2050
Câu 4. (2.0 điểm ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) giao điểm của hai đường chéo là O.
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
1 1 2
+ =
a) Chứng minh rằng:
AB CD MN
b) Biết S AOB = a 2 ; SCOD = b 2 tính S ABCD ?
B
A
M N
O
C
D
1 1 2
+ =
Chứng minh rằng:
AB CD MN
Theo định lý Talet do MN song song với AB và CD ta có :
MO AM MO DM MO MO AM MD AD 0.5
⇒
= = + = + = =1
;
CD AD AB AD CD AB AD AD AD
NO NO
a)
+ =1
Tương tự :
CD AB
NO + MO NO + MO MN MN
+ = 2 Hay + =2
Vậy :
CD AB CD AB
0.5
1 1 2
+ =
Do đó :
AB CD MN
b) 0.5
S AOB OB S AOD OA S AOB S AOD
OA OB
= = =
=
và nhưng
Ta có do đó
S AOD OD SCOD OC S AOD SCOD
OC OD
Hay S 2 AOD = S AOB .SCOD = a 2 .b 2
Suy ra : S AOD = a.b
- Điể
Câu Đáp án
m
Tương tự : S BOC = a.b
0.5
Vậy : S ABCD = a 2 + b 2 + 2a.b = ( a + b )
2
µ µ
Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác PAB có B =450; P =1200 trên tia BP lấy điểm C sao cho PC =
2PB. Tính góc ·
ACB
x
A
E
D
C
B
P
Dựng CD ⊥ AP trên tia CD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của CE, suy ra
0.5
PE = PC. Tam giác PCE cân tại đỉnh P
PA là đường cao nên cũng là phân giác của góc CPE,
·
·
do đó EPA = APC =600 nhưng PC = 2PB nên PE = 2PB. Từ đó trong tam giác 0.5
·
·
EBP có EPB = 600 suy ra EBP = 900
· ·
Vì A thuộc tia phân giác của các góc EBC và EPC nên A cách đều BE và EP,
0.5
·
suy ra A thuộc tia phân giác của góc PEx
· · · ·
Ta có : xEA + AEP + PEB = 1800 hay 2AEP + 300 =1800
0.5
Do đó AEP = 750 ⇒ ·
· ACB = 750
-----------------------Hết-----------------------
nguon tai.lieu . vn
