Xem mẫu
- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT
Câu I:
Cho hàm số f ( x ) = ( )
2 log x 2 + 1 + 3
.
log x
2 +1
Tính giá trị của tổng S = f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 100 ) .
Cách giải Kết quả
Câu II:
Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của các phương trình sau
a) 2sin x − 7 cos x + 4 = 0 , với 2700 < x < 4500 ;
b) 2 ( sin y + cos y ) + sin y.cos y + 1 = 0 , với 90o < y < 360o .
Cách giải Kết quả
- Câu III:
u1 = 2
Cho dãy số ( un ) xác định bởi : 1
un +1 = 2 ( 3 + un )
1. Tính 12 số hạng đầu của dãy đã cho.
2. Tính tổng 20 số hạng đầu của dãy số.
3. Viết quy trình bấm phím thực hiện việc tính liên tiếp 20 số hạng đầu và tổng của 20
số hạng đó.
Cách giải Kết quả
Câu IV:
Tính gần đúng tọa độ giao điểm của đường thẳng ( d) đi qua hai điểm A ( 1; 2 ) ,
x −1
B ( −3;5 ) và đồ thị ( C ) hàm số y = .
3x + 7
Cách giải Kết quả
- Câu V:
Chị Hoa vay ngân hàng 20.000.000 đồng để kinh doanh với lãi suất 1,5 % /tháng. Trong
2 năm đầu chị Hoa chỉ trả lãi hàng tháng theo lãi suất của ngân hàng, những năm còn
lại chị Hoa trả 500.000 đồng/tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng chị Hoa sẽ trả hết nợ.
Cách giải Kết quả
Câu VI:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung
tuyến AD = 5cm . Cạnh SB tạo với đáy một góc 450 và tạo với mặt phẳng ( SAD ) một
góc 150 . Tính cạnh SB .
Cách giải Kết quả
- Câu VII:
Biết P ( x ) đa thức bậc bốn, có hệ số của x 4 bằng 1 và P ( x ) chia cho các nhị thức
x + 1 , x + 2 , x − 1 , x − 2 lần lượt có dư là −2 , 4, −11 , 6.
1. Hãy tìm đa thức P ( x )
2. Tính P ( 500 ) + P ( 200 ) .
Cách giải Kết quả
Câu VIII:
1. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 x + 5cos 2 x trên đoạn
[ 0; π ] ?
30
5 10 2
2. Tìm tổng của các hệ số của các số hạng chứa x , x trong khai triển x + 3 .
x
Cách giải Kết quả
- Câu IX:
Tính gần đúng diện tích phần chung của hai hình tròn có bán kính 6cm và 7cm , biết
khoảng cách giữa hai tâm của chúng bằng 8cm .
Cách giải Kết quả
Câu X:
x3 + y 3 = 6 + xy
Tính gần đúng các nghiệm của hệ phương trình 2 2
x + y + x + y = 5
Cách giải Kết quả
- ĐÁP ÁN
Câu I:
Quy trình bấm phím: Trên máy (570 ES)
Alpha X + 1 Shift STO X : Alpha A + 2 √ ( log ( Alpha X ^ 2 + 1
) + 3 ) ÷ ( 2 ^ log ( X ) + 1 ) Shift STO A = CALC {Máy hỏi X
?} 0 = {Máy hỏi A ?} 0 = {Máy báo Syntax ERROR}
{Nhấn tiếp} = = = {Ghi kết quả}
Quy trình bấm phím: Trên máy (570 MS)
0 Shift STO X 0 Shift STO A Alpha X Alpha = Alpha X + 1 Alpha : Alpha A
Alpha = Alpha A + 2 √ ( log ( Alpha X ^ 2 + 1 ) + 3 ) ÷ ( 2 ^ l og ( X ) + 1 )
= = = ……
Học sinh nêu sơ lược cách giải, hoặc trình bày quy trình bấm phím đúng: 2 điểm
Kết quả đúng: 3 điểm
S ≈123, 946919486
Câu II:
Chọn Mode vào chế độ Deg.
7 2 4
1). 2sin x − 7 cos x + 4 = 0 ⇔ cos x − sin x =
22 + 7 2 7 2 + 22 53
7
Đặt sin α =
53
4 4 7
Ta có cos ( x + α ) = ⇔ x + α = ± arccos + k 360o , với α = arccos .
53 53 53
7 4
Nghiệm phương trình x = arccos ± arccos + k 360o
53 53
Nhập vào máy tính:
( o
Shift Cos ( 7 √ 53 ) + Shift Cos ( 4 √ 53 ) = ≈ 72 36′59′′ )
Nghiệm này nếu cộng thêm 360 sẽ vượt ra ngoài bài toán yêu cầu.
0
o
(
Nhấn sửa lại : Shift Cos ( 7 √ 53 ) – Shift Cos ( 4 √ 53 ) = {Kq: ≈ 40 43′33′′ } + )
{ o
3600 = 377 23′ . }
Kết quả: x ≈ 319o16′27′′
*** Bài này cũng có thể dùng hàm Solve để giải !
( 0
)
2). Đặt t = sin y + cos y = 2.cos y − 45 , t 2 − 1 = 2sin y.cos y
t2 −1
Ta có : 2t + + 1 = 0 ⇔ t 2 + 4t + 1 = 0 .
2
Giải được t = −2 + 3; t = −2 − 3 (loại)
(
Suy ra: cos y − 450 = ) 3−2
2
⇔ y − 450 = ± arccos
3−2
2
+ k 360o
- 3−2
⇔ y = 450 ± arccos + k 360o .
2
Tính được hai nghiệm thỏa yêu cầu: y1 ≈ 145o55′18′′ ; y2 ≈ 304o 4′42′′ .
Câu III:
5 11 23 47 95 191 383 767 1535
1) . u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = ; u6 = ; u7 = ; u8 = ; u9 = ; u10 = ;
2 4 6 16 32 64 126 256 512
u11 = 2, 9990234; u12 ≈ 2,999511719; u13 ≈ 2,999755859
2). • S 20 ≈ 58, 00000191
3). • Quy trình bấm phím:
Alpha X + 1 Shift STO X Alpha : Alpha ( 3 + Alpha A ) ÷ 2 Shift STO A =
Alpha : Alpha A + Alpha B Shift STO B = = CALC {Máy hỏi X?} 1 = {Máy
hỏi A?} 2 = {Máy hỏi B?} 2 = {Máy báo Syntax ERROR} = = = …
{Bấm cho đến khi X+1→X có giá trị bằng 20}
Ghi kết quả: S ≈ B+ →
A B
Câu IV:
a = − 3
a + b = 2 4
Đường thẳng ( d ) : y = ax + b với ⇔
−3a + b = 5 11
b = 4
x − 1 −3 x + 11
Giải phương trình = ⇒ 9 x 2 − 8 x − 81 = 0
3x + 7 4
x ≈ 3.4772 y ≈ 0.1421
⇒ 1 ⇒ 1
x2 ≈ −2.5883 y2 ≈ 4.6912
Kết luận: Có hai giao điểm M ( 3.4772;0.1421) , N ( −2.5883; 4.6912 )
Câu V:
Số nợ chị Hoa còn ở ngân hàng cần phải trả:
- Sau năm thứ hai (sau 24 tháng): = 2.107 ( 1 + 0, 015 ) − 2.107. ( 0, 015 )
24 24
= 2.107
- Tính từ năm thứ ba trở đi :
Gọi m là số tiền chị HOA trả thêm hàng tháng, sau n tháng số tiền chị HOA còn nợ ngân
hàng là
- Sau tháng thứ nhất: x1 = 2.10 . ( 1 + 0, 015 ) − m = 2.10 .q − m (Đặt q = 1, 015 )
7 7
- Sau tháng thứ hai: x2 = ( 2.10 .q − m ) .q − m = 2.10 .q − mq − m
7 7 2
- Sau tháng thứ ba: x3 = ( 2.10 .q − mq − m ) q − m = 2.10 .q − m ( q + q + 1)
7 2 7 3 2
------
qn −1
- Sau tháng thứ n: xn = 2.10 .q − m ( q + q + ... + q + 1) = 2.10 .q − m
7 n n −1 n−2 7 n
q −1
q −1
n
Chị HOA sẽ trả hết nợ nếu xn = 0 ⇔ 2.10 .q − m =0
7 n
q −1
- ⇔ 2.107 ( q − 1) − m .q n + m = 0 ⇔ m = ( m − 2.107 ( q − 1) ) .q n
m m
⇔ qn = ⇔ n = log q
m − 2.107 ( q − 1)
m − 2.10 ( q − 1)
7
• Nhập máy:
Ta tính được n = 61,5430573
Do n nguyên dương suy ra n ≈ 62 tháng.
Kết quả: 86 tháng
Câu VI:
Hai tam giác vuông SAB, SAC bằng nhau (vì có cạnh
SA chung và AB = AC ), suy ra SB = SC .
S
⇒ SD ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SAD ) 15 o
⇒ ( SB, ( SAD ) ) = BSD = 15o
·
( SB, ( ABC ) ) = SBA = 45
· o
C
Ta có SB 2 = SA2 + AB 2 = SA2 + AD 2 + BD 2 5cm
A
⇔ SB 2 = ( SB.sin 45o ) + 25 + ( SB.sin15o )
2 2 45 o
D
25
Suy ra SB =
2
≈ 57, 73503 B
1 − sin 45 − sin 2 15
2
• Kết quả: SB ≈ 7,59836 ( cm )
Câu VII:
1. Từ giả thiết có P ( 1) = −11, P ( 2 ) = 6, P ( −1) = −2, P ( −2 ) = 4 .
Xét đa thức bậc bốn Q ( x ) thỏa Q ( 1) = Q ( 2 ) = Q ( 3) = Q ( 4 ) = 0 .
Giả sử P ( x ) = Q ( x ) + a.x3 + bx 2 + cx + d , ta có hệ
−11 = a + b + c + d
6 = 8a + 4b + 2c + d 23
2b + 2d = −13 b = 6
⇒ ⇒
−2 = − a + b − c + d 8b + 2d = 10 d = − 31 3
4 = −8a + 4b − 2c + d
5 37
a = ;c = −
3 6
Kết quả:
( )( 5
) 23 37
P ( x ) = x 2 − 1 x 2 − 4 + x3 + x 2 − x −
3 6 6
31
3
2. Tính P ( 500 ) = 62708788574 , P ( 200 ) = 1613405424
Và P ( 500 ) − P ( 200 ) = 61095383150
Câu VIII:
- 1. Đạo hàm f ′ ( x ) = 3 − 10sin 2 x ;
3 3 3
f ′ ( x ) = 0 ⇔ sin 2 x = ⇒ 2 x = arcsin + k 2π hoặc 2 x = π − arcsin + k 2π
10 10 10
1 3 π 1 3
Hay x = arcsin + kπ ; x = − arcsin + kπ
2 10 2 2 10
Bấm máy tìm giá trị x thuộc [ 0; π ] : x1 ≈ 2,989246 , x2 ≈ 0,152346
• Nhập f ( x ) = 3x + 5cos 2 x .
Tính f ( 0 ) = 5; f ( π ) ≈ 14, 424778 ; f ( x1 ) ≈ 13, 73743; f ( x2 ) ≈ 5, 22673
• Kết luận: max f ( x ) = f ( π ) ≈ 14, 424778; [min] f ( x ) = f ( 0 ) = 5
[ 0;π ] 0;π
k 30− k k
( ) 2
30− k − 90−5 k
k
2. Số hạng tổng quát của khai triển: C30 x . 3 = 2k.C30 .x
k 2 3
= 2k C30 . x
k 6
x
90 − 5k
Với x 5 : = 5 ⇔ k = 12
6
90 − 5k
Với x10 : = 10 ⇔ k = 6
6
Vậy các hệ số cần tìm là: 2 .C30 = 354276249600 ; 2 .C30 = 38001600 .
12 12 6 6
Tổng của chúng bằng: 354314251200
Câu IX:
· ·
Đặt α = BIJ ; β = BJI . B
Theo định lý cosin:
IB 2 + JI 2 − BJ 2 17
cos α = = J
2 IB.JI 32 I
⇒ α ≈ 1,010721 (rad)
⇒ 2α ≈ 2, 021442 (rad) A
¼ 2α .IB 2
Diện tích quạt IAB bằng : Sq1 = ≈ 36,38596 ( cm 2 )
2
1
Diện tích tam giác IAB: S IAB = IA.IB.sin 2α ≈ 16, 202988cm
2
2
• Tương tự:
¼
Diện tích quạt JAB bằng: Sq 2 ≈ 39,82502 cm
2
Diện tích tam giác JAB: S JAB ≈ 24, 463336cm
2
• Diện tích cần tìm:
S = Sq1 + S q 2 − S IAB − S JAB ≈ 35,544656 ( cm 2 )
Câu X:
x3 + y 3 = 6 + xy ( x + y ) ( x + y ) 2 − 3 xy = 6 + xy
2 ⇔
2
x + y + x + y = 5 ( x + y ) − 2 xy + x + y = 5
2
- S 3 − 3PS = 6 + P
Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ 2
S + S − 2P = 5
S + S −5
2
S + S −5
2
⇒ S 3 − 3S = 6+ ⇔ S 3 + 4 S 2 − 14 S + 7 = 0
2 2
Giải được: S1 ≈ −6,37022; S 2 ≈ 1,73795; S3 ≈ 0, 632275
Ba nghiệm tương ứng của P là: P ≈ 14, 60474 , P2 ≈ −0,12079; P3 ≈ −1,983977
1
• Giải phương trình t 2 − St + P = 0 ứng với các cặp ( S j ; Pj ) trên ta được các nghiệm của
hệ
x ≈ 1,80487 x ≈ −0, 06692 x ≈ −1,12744 x ≈ 1, 75972
; ; ;
y ≈ −0, 06692 y ≈ 1,80487 y ≈ 1,75972 y ≈ −1,12744
nguon tai.lieu . vn
