Xem mẫu
- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT
( Làm tròn 4 chữ số thập phân )
Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009.
si
nx
Bài 2: Cho hàm số f(x)= .Tính f(f(…f(f(2))…)) (có 2009 chữ f).
x
x2 + 2x + 3
Bài 3: Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số y = cách đều hai trục toạ độ.
4x2 + 5
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có
dạng
2009...2009 .
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30).
Bµi 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
3
3s inx − cos x + 2 = .
3s inx − cos x
Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau:
u1 = 1
u2 = −1
u = 2u − 3u
n+ 2 n+1 n
Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
x2 y2
Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): + = 1 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường
16 9
thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng.
Mỗi
tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt.
a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu?
b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền
lớn hơn 90 triệu đồng?
Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và
2 1
∠BAC = ∠CAD = ∠BAD = 400 .
3 2
Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
- CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM
Bài Cách giải Đáp số Điểm
x = 2009 − 2y ≥ 0 ⇒ 0 < y ≤ 31
2 2
0→ Y
1 x = 21 2,0
Y = Y + 1: = (
X 2009 − 2Y 2 )
y = 28
Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian)
s n2
i
→X
2
2 sn X
i 0.8767 2,0
X=
X
Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số
không đổi 0.876726215
x2 + 2x + 3
Giả sử M(x:y) ∈ ĐTHS y = cách đều hai trục
4x2 + 5
x2 + 2x + 3 M1(0,7024;0,7024)
3 toạ độ, tức là = x 2,0
4x2 + 5 M2(-0,4127;0,4127)
Dùng lệnh SHIFT SOLVE (gán X=1 và gán X = 0.5)
Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho Có 6 số:
x2 = ..
.2009 . 3253,8253,1747,
4 Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi 2997,6747,7997. 2,0
các số 9(số các số 0 bằng số các số 9)
Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Kết quả: 448253
P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2,
5 P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 P(30) = 14252522 2,0
Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2
t= 1
Đặt t= 3si x − cosx thì t + 2t− 3 = 0 ⇔
2
n
t= −3 Vậy phương trình đã
x = 1800 + k3600 cho có các nghiệm là
Khi t = 1 thì 3si x − cosx = 1 ⇔
n x = 1800 + k3600,
6 x ; 36 52' + k360
0
12" 0
2,0
x ≈ 36 52' + k360
0
12" 0
x = −900 + k3600
Khi t = -3 thì 3si x − cosx = −3 ⇔
n x = − 900 + k3600,
x ; −53 7' + k360
0 0
48"
x ≈ − 5307' + k3600
48"
2 → D , → A, 1 → B, → X
1 − 0 S22 = 4092
7 2,0
D = D + 2:A = 2B − 3A :B = 2A − 3B :X = X + A + B
- Vì đường thẳng ∆:5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’
nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư.
3
Gỉa sử A( A ; A )∈ ( ) xA > 0, A = −
x y E, y 16 − xA 2
4
AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
nên
5xA − 7yA − 35 1,0
AB = d(A, )=
∆
52 + ( 7)
− 2
21
5xA + 16 − xA 2 − 35
4
=
74
21
Xét hàm số f( )= 5x +
x 16 − x2 − 35, < x ≤ 4
0
8 4
Ta có
21x 1,0
f'x)= 5−
( =0
4 16 − x2
(vì x >0)
80
⇔ x =
29 ABmin ≈ 0.6975
21x 80
SHIFT d/dx 5− , )≈ −3,4565 < 0
4 16 − x2 29
f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên
−15 ≤ f( )≤ −6, x∈ ( 4]
x ∀ 0;
6
Do đó AB nhỏ nhất bằng ≈ 0,6975
74
Sau n tháng ông A có số tiền là:
C n = A( + r) − ( + r) −1 − ( + r) −2 − .. ( + r) − ( + r)
1 n
1 n
1 n
.− 1 2
1
( + r) − 1
1 n
( ) −
=A 1+r n
+ ( + r)+ 1
1
( + r)− 1
1
a) Sau 1 năm số tiền của ông A là:
9 ( + r) − 1
1 n
98,2651 triệu 1,0
C12 =A ( ) −
1+r n
+ ( + r)+ 1 ≈ 98,
1 2651 đồng
( + r)− 1
1
b)
( + r) − 1
1 n 36 tháng
A( ) −
1+r n
+ ( + r)+ 1 = 90 ⇔ n ≈ 35,
1 4 1,0
( + r)− 1
1
- Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh
AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình
chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với
tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
^
BM = AB2 + AM 2 − 2AB. . BAM = 2s n200
AM cos i
BN = 2s n400,M N = 2s n300 = 1
i i
BM + BN + M N
p=
2
SBM N = p(p − BM ) p − BN ) p − M N )
( (
10 BM . . N
BN M
OB = ,
4. BM N
S 2,0
AK = d(A, BM N ) = AB2 − O B2
( )
1
Thể tích khối chóp A.BMN là V '= AK . BM N
S
3
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì
V ' AB AM AN 1 1 1 0,0086 cm3
= . . = 1. . =
V AB AC AD 2 5 10
V'
V= ≈ 0,0086
10
……………………………………………..Hết……………………………………………...
- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT
Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009.
si
nx
Bài 2: Cho hàm số f(x)= .Tính f(f(…f(f(2))…)) (có 2009 chữ f).
x
Bài 3: Tìm điểm M trên trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
x2 + 2x + 3
y= .
4x2 + 5
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có
dạng
2009...2009 .
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30).
Bài 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
3
3s inx − cos x + 2 = .
3s inx − cos x
Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau:
u1 = 1
u2 = −1
u = 2u − 3u
n+ 2 n+1 n
Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un).
x2 y2
Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): + = 1 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường
16 9
thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng.
Mỗi
tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt.
a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu?
b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền
lớn hơn 90 triệu đồng?
Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và
2 1
∠BAC = ∠CAD = ∠BAD = 400 .
3 2
Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
- ĐÁP ÁN
Bài Cách giải Đáp số Điểm
x = 2009 − 2y ≥ 0 ⇒ 0 < y ≤ 31
2 2
0→ Y
1 x = 21 2,0
Y = Y + 1: = (
X 2009 − 2Y 2 )
y = 28
Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian)
s n2
i
→X
2
2 sn X
i 0.8767 2,0
X=
X
Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số
không đổi 0.876726215
−7 − 129
−2( x + 7x − 5)
4 2 x =
y'= = 0⇔ 8
( x + 5)
4 2 2
−7 + 129
x =
8
−7 − 129 −7 + 129
A( ;yA ) B(
, ;yB )
3 8 8 2,0
x 2 + 2xA + 3 x 2 + 2x + 3
yA = A ,yB = B 2 B
4xA 2 + 5 4xB + 5
Giả sử điểm M(xM;0) ∈ Ox cách đều hai điểm A, B khi
xA 2 − xB 2 + yA 2 − yB 2 M( -1,58 ; 0 )
M A = M B ⇔ xM = = −1 58
,
xA − xB
Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho Có 6 số:
x2 = ..
.2009 . 3253,8253,1747,
4 Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi 2997,6747,7997. 2,0
các số 9(số các số 0 bằng số các số 9)
Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Kết quả: 448253
P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2,
5 P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 P(30) = 14252522 2,0
Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2
- t= 1
Đặt t= 3si x − cosx thì t + 2t− 3 = 0 ⇔
2
n
t= −3 Vậy phương trình đã
x = 1800 + k3600
cho có các nghiệm là
Khi t = 1 thì 3s n x − cosx = 1 ⇔
i x = 1800 + k3600,
6 x ; 36 52' + k360
0
12" 0
2,0
x ≈ 36 52' + k360
0
12" 0
x = −900 + k3600
Khi t = -3 thì 3s n x − cosx = −3 ⇔
i x = − 900 + k3600,
x ; −53 7' + k360
0 0
48"
x ≈ − 5307' ( k∈ ¢ )
48"
2 → D , → A, 1 → B, → X
1 − 0 S22 = 4092
7 2,0
D = D + 2:A = 2B − 3A :B = 2A − 3B :X = X + A + B
Vì đường thẳng ∆:5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’
nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư.
3
Gỉa sử A( A ; A )∈ ( ) xA > 0, A = −
x y E, y 16 − xA 2
4
AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
nên
5x − 7yA − 35 1,0
AB = d(A, )= A
∆
52 + ( 7)
− 2
21
5xA + 16 − xA 2 − 35
4
=
74
21
Xét hàm số f( )= 5x +
x 16 − x2 − 35, < x ≤ 4
0
8 4
Ta có 1,0
21x
f'x)= 5−
( =0
4 16 − x 2
(vì x >0)
80
⇔ x =
ABmin ≈ 0.6975
29
21x 80
SHIFT d/dx 5− , )≈ −3,4565 < 0
4 16 − x2 29
f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên
−15 ≤ f( )≤ −6, x∈ ( 4]
x ∀ 0;
6
Do đó AB nhỏ nhất bằng ≈ 0,6975
74
- Sau n tháng ông A có số tiền là:
C n = A( + r) − ( + r) −1 − ( + r) −2 − .. ( + r) − ( + r)
1 n
1 n
1 n
.− 1 2
1
( + r) − 1
1 n
( ) −
=A 1+r n
+ ( + r)+ 1
1
( + r)− 1
1
a) Sau 1 năm số tiền của ông A là: 98,2651 triệu
9 đồng
( + r) − 1
1 n
1,0
C12 =A ( ) −
1+r n
+ ( + r)+ 1 ≈ 98,
1 2651
( + r)− 1
1
( + r) − 1
1 n
b) A( ) −
1+r n
+ ( + r)+ 1 = 90 ⇔ n ≈ 35,
1 4 36 tháng
( + r)− 1
1 1,0
Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh
AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình
chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với
tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
^
BM = AB2 + AM 2 − 2AB. . BAM = 2s n200
AM cos i
BN = 2s n400,M N = 2s n300 = 1
i i
BM + BN + M N
p=
2
SBM N = p(p − BM ) p − BN ) p − M N )
( (
10 BM . . N
BN M
OB = ,
4. BM N
S 2,0
AK = d(A, BM N ) = AB2 − O B2
( )
1
Thể tích khối chóp A.BMN là V '= AK . BM N
S
3
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì
V ' AB AM AN 1 1 1 0,0086 cm3
= . . = 1. . =
V AB AC AD 2 5 10
V'
V= ≈ 0,0086
10
nguon tai.lieu . vn
