Xem mẫu
- Đ THI CH N Đ I TUY N OLYMPIC
TOÁN H C SINH VIÊN NĂM 2010
M¤N: §¹I Sè
(Th i gian làm bài: 120 phút)
1 + x1 1
1 1
1 1
1 + x2 1
Câu 1. Tính đ nh th c c a ma tr n:
1 1
1 1 + x3
1 1 1 1 + x4
Trong đó x1 , x 2 , x 3 , x 4 là các nghi m c a đa th c f(x) = x 4 − 6x 2 + 1
5 11 x 14
Câu2. Cho 2 ma tr n A,B sao cho AB = , BA = 14 y .
11 25
Hãy tìm x,y và A,B.
Câu 3. Cho ma tr n
3 2 0
A = 2 4 −2
0 −2 5
Tim giá tr riêng c a ma tr n A 5 .
Câu 4. Cho a, b ∈ R .Tìm các đa th c P(x) tho mãn đi u ki n
xP(x − a) = (x − b)P(x) ∀x ∈ R
Câu 5. Cho B là ma tr n th c ,vuông c p n có h ng b ng 1 .Ch ng minh r ng t n t i duy
nh t s th c k sao cho B 2 = kB .
Câu 6. Cho A là ma tr n c p nx(n+1).A’ là ma tr n chuy n v c a A.B là ma tr n ph h p
c a ma tr n A’A và B ≠ 0 .Xác đ nh h ng c a ma tr n B.
Câu 7. Cho A là ma tr n vuông c p n có r(A) = k.Tìm r(A*).
Câu 8. Tìm ma tr n vuông X c p n sao cho AX = XA ∀A vuông c p n.
________________________________________
Chú ý: Sinh viên không đư c dùng tài li u
- Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
Tr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
========= ==========
§Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010
M«n : Gi¶i tÝch
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
n
Câu 1. Cho { a n } là dãy s xác đ nh b i a 1 > 0 và a n +1 = a n + , n ≥ 1.
an
a
Ch ng minh r ng dãy n h i t và tìm gi i h n c a nó.
n
Câu 2.Cho các hàm f,g không là hàm h ng trên kho ng (a,b), f(x) + g(x) ≠ 0
và f(x).g’(x) – f ’(x)g(x) = 0 ∀x ∈ (a, b) .Ch ng minh r ng g(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) và
f (x)
là h ng s trên (a,b).
g(x)
Câu 3. Cho hàm f(x) liên t c trên [0,a] ,kh vi trên (0,a) sao cho f(a) = 0.Ch ng minh r ng t n t i
c ∈ (0, a) đ cf '(c) = f(c)(c − 1) .
Câu 4. Gi s f(x) là hàm s có đ o hàm c p 2 liên t c trên R và tho mãn đi u ki n
f(0) = f(1) = a .Ch ng minh r ng
max{f''(x)} ≥ 8(a-b)
x∈[0,1]
v i b = min {f(x)}
x∈[0,1]
1
Câu 5. Cho f : R → R là hàm liên t c và ∫ tf(t)dt = 0 .Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0,1) sao cho
0
1
cf(c) = 2010∫ f(t)dt
0
Câu 6. Tìm t t c các hàm s f : R → R tho mãn
f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) – xy ∀x, y ∈ R
----------------------------------------------
Thí sinh không đư c s d ng tài li u
- Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
Tr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
========= ==========
§Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010
M«n : Gi¶i tÝch
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
k 3 + 6 k 2 + 11k + 5
n
lim ∑
Câu 1. Tính gi i h n
(k + 3)!
n →+∞
k =1
xn
+∞
∫
Câu 2. Tính gi i h n A = lim dx .
x n+2 + 1
n →+∞
0
Câu 3. Cho hàm s f(x) kh vi trên [a,b] và tho mãn đi u ki n
[f(x)]2 + [f'(x)]2 > 0, ∀x ∈ [a,b]
Ch ng minh r ng s các nghi m c a phương trình f(x) = 0 trên [a,b] là h u h n
1 1 1 1 1
+ ... + + ... + =0
+ +
Câu 4. Xét phương trình 2
x − n2
2x x − 1 x − 4 x−k
n nguyên dương.Ch ng minh r ng v i m i n thì phương trình có nghi m duy nh t trong (0,1) ;kí
hi u nghi m đó là x n .Ch ng minh dãy s ( x n ) có gi i h n h u h n .
Câu 5. Cho a,b là các s th c 0
- Đ THI CH N Đ I TUY N OLYMPIC
TOÁN H C SINH VIÊN NĂM 2010
M¤N: §¹I Sè
(Th i gian làm bài: 150 phút)
Câu 1. Cho ma tr n:
2 −2 4
A = −2 2 0
−1 0 2
E + A + A 2 + ⋯ + A 2009
Tính ma tr n:
Câu2. Cho A là ma tr n vuông c p n tho mãn A′ = − A . Ch ng minh r ng det ( E + xA 2 )
là m t s không âm v i m i s th c x.
Câu 3. Cho A, B là các ma tr n vuông c p n tho mãn:
V t ( AA′ + BB′ ) = V t ( AB + A′B′ )
Ch ng minh r ng A = B′ .
Câu 4. Cho x1 , x 2 ,… , x n là các s th c b t kỳ, tính đ nh th c c p n sau:
2 3 n
1 x 1 x1 ⋯ x 1
1 x 2 x3 ⋯ x n
2 2 2
⋯⋯⋯⋯⋯
x2 x3 ⋯ xn
1 n n n
Câu 5. Cho A là ma tr n vuông c p n sao cho t t c các ph n t đ u dương và t ng c a t t
c các ph n t trên m i dòng đ u không vư t quá s k dương cho trư c. Ch ng minh r ng
t t c các giá tr riêng th c c a ma tr n A (n u có) đ u nh hơn k.
Câu 6. Cho A, B là các ma tr n vuông cùng c p sao cho B′A = 0 , ch ng minh r ng:
r ( A + B) = r ( A ) + r ( B)
________________________________________
Chú ý: Sinh viên không đư c dùng tài li u
nguon tai.lieu . vn
