Xem mẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HCM
KHOA VẬT LÝ

BÁO CÁO TỔNG KẾT

Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp cơ sở

PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO
TRONG TỪ TRƢỜNG VỚI CƢỜNG ĐỘ BẤT KỲ

Mã số: CS.2004.23.59
Chủ nhiệm đề tài: TSKH. Lê Văn Hoàng
Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, ĐHSP tp.. HCM
Công tác viên: Lê Trần Thế Duy
Khoa Vật lý: ĐHSP tp. HCM
Thời gian thực hiện: tháng 5 năm 2003 đến tháng 5 năm 2004

1

Algebraic method for solving the Schrodinger equation of Hydrogen-like atom
in a magnetic field with arbitrary strength
Abstract: The connection between anharmonic oscillator and two dimensinal hydrogenic donor states in a magnetic field is established via
Levi-Civita transfor mation that permits us to use the operator method for
obtaining exact numerical solutions (energy levels and wave functions) for
the last s ystem. New anal ytical solution is obtained too for the ground stale
by using the asymptotic behaviour of wave functio ns. We also establish the
basis formulations to extend the obtained results both for the case of three
dimensional Hydrogen -like atom in a magnetic field and the case of presence
of screening potential.
Tóm tắt: Bằng phép biến đổi Levi -Civita mối liên hệ gi ữa bài toán
tƣơng tác điện tử l ỗ trống trong từ trƣờng với dao động tử điều hòa đƣợc xây
dựng. Trên cơ sở đó phƣơng pháp toán tử đƣợc áp dụng để nhận đƣợc lời giải
chính xác bằng số (năng lƣợng và hàm sóng) cho bài toán này. Nghiệm giải
tích cũng đƣợc xây dựng cho trạng thái cơ bản dựa vào biểu hiện tiệm cận c ủa
hàm sóng. Ngoài ra chúng tôi còn xây dựng các công thức cơ bản cho việc
phát triển các kết quả thu đƣợc cho trƣờng hợp có thể màn ch ắn và trong
trƣờng hợp nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trƣờng.

2

MỤC LỤC

I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ .................................................................................................... 4
II. TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO ............................ 6
III . PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER .................. 10
IV. NGHIỆM GIẢI TÍCH.................................................................................................... 18
V. TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN ..................................................... 21
VI . PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: ......................................... 22
VII. KẾT LUẬN .................................................................................................................. 23
VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 24

3

I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ
Nguyên tử Hydro trong từ trƣờng là vấn đề rất cơ bản trong vật l ý
nguyên tử nói riêng và trong cơ học lƣợng tử nói chung. Trong tất cả các sách
giáo khoa về cơ học lƣợng tử, hiệu ứng Zeeman bình thƣờng hay dị thƣờng đã
đƣợc nêu ra nhƣ một ví dụ kinh điển v ề bài toán chuyển động của điện tử
trong trƣờng Coulomb và từ trƣờng đều [I]. Tuy nhiên các công trình nghiên
cứu về vấn đề này vẫn xuất hiện đều đặn cho đến hiện nay trên các tạp chí vật
lý hàng đầu của thế giới (ví dụ [2-10]). Điều này liên quan đến các phát kiến
mới trong lĩnh vực vật l ý học thiên thể, kỹ thuật đo đạ c quang phổ, vật l ý các
hệ thấp chiều, công nghệ Nano, công nghệ vật liệu mới ... (xem bài tổng quan
[11]).
Các số liệu đo đạ c quang phổ từ các sao lùn trắng [12], nơi mà từ
trƣờng rất lớn, lên đến cờ 10 l0 testla, cần những nghiên cứu lý thuyết về
chuyển động nguyên tử trong từ trƣờng cực mạnh. Việc tạo ra các hệ thấp
chiều trong công nghệ vật liệu mới (khí điện từ hai chiều trong bán dẫn nhiều
lớp GaAs/AIGaAs, ống carbon kích cỡ nano [13 -14]) đòi hỏi giải quyết bài
toán trạng thái kích thích exiton trong trƣờng từ nhƣ một hệ hai chiểu. Đặt
biệt khi mà kích cỡ cấu trúc vật chất ở mức nano thì tƣơng tác Coulomb trở
nên có thể so sánh đƣợc với năng lƣợng từ trƣờng. Lúc này không thể sử dụng
lý thuyết nhiễu loạn truyền thống cho bài toán này đƣợc, mặt dù không ít
công trình vẫn sử dụng gần đúng trong đó trƣờng từ đƣợc xem là rất mạnh so
với tƣơng tác Coulomb (ví dụ[15]). Nhu c ầu về phƣơng pháp tính toán mới
đáp ứng cho bài toán này vì vậy rất lớn. Công trình này có mục đích là xây
dựng phƣơng pháp đ ại số cho các tính toán liên quan đến bài toán nguyên tử
hydro trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ.
Phƣơng pháp đại số đƣợc xây dựng còn liên quan đến sự phát triển của
các công cụ tính toán dựa trên biểu tƣợng trong thập niên gần đây. Khởi đầu
là ngôn ngữ Reduee đƣợc biên soạn cho các tính toán phức tạp và đồ sộ trong
vật l ý năng lƣợng cao , bƣớc phát triển tiếp theo là Mable và hiện nay, thế hệ
thứ ba là Matlav và đặc biệt là Mathematica [16]. Đây là một trong ngôn ngữ
lập trình bậc cao cho phép ta thiết lập các tính toán giữa các biểu thức, đặt
biệt là các tính toán đồ sộ và lập đi lập lại. Matheinatica cho phép ta đ ịnh
nghĩa các phép toán trên các đối tƣợng không có t ính giao hoán và vì vậy rất
thuận tiện cho việc lập các quy tắc tính toán đại số. Nhƣ vậy ta

4

có thể cho máy tính làm một phần các công việc của nhà nghiên cứu chứ
không đơn thuần là xử l ý các số liệu bằng số cuối cùng. Đề tài cấp cơ sở này
là một phần trong công trình nghiên cứu của tác giả: tự động hóa các tính
toán vật l ý nguyên tử (xem công trình tổng quan mới nhất của tác giả về đề
tài này [17]). Với phạm vi của một đề tài cấp cơ sở, bài toán vật l ý cụ thể
đƣa ra giải quyết là trạng thái Exiton của khí điện tử hai chiều tạo ra trong
hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs với sự có mặt của từ trƣờng đều.
Cơ sở quan trọng của phƣơng pháp đại số sử dụng trong công trình này
là mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử đồng dạng Hydrô hai chiều với bài
toán dao động tử điều hòa [18 -19]. Chính nhờ phép biến đổi Levi -Civita [18]
mà phƣơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa có thể chuyển về
phƣơng trình này cho nguyên tử đồng dạng Hydro hai chiều. Nhƣ vậy bài
toán nguyên tử Hydro hai chiều trong từ trƣờng có thể đƣa về bài toán dao
động từ phi đi ều hòa. Từ đây biểu diễn biến động lực qua các toán tử sinh
hủy Dirac có thể đƣợc áp dụng một cách thuận tiện cho bài toán đang xét.
Cân nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy
trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, trong đó có một phƣơng
pháp giải bằng cách đƣa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà
trạng thái cơ bản chính là trạng thái chân không, còn các trạng thái kích
thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên hàm chân không. Biểu diễn toán
tử sinh hủy của bài toán Hydro trong từ trƣờng cho phép ta ứng dụng phƣơng
pháp toán tử [20] để giải phƣơng trình Schrodinger. Phƣơng pháp toán tử nà y
đƣợc xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài
toán vật l ý nguyên tử (xem ví dụ [ 21]). Các nét cơ bản của phƣơng pháp sẽ
đƣợc trình bày thông qua bài toán cụ thể trong phần III của đề tài. Trong
phần IV sẽ phát triển phƣơng pháp toán tử để nhận đƣợc nghiệm giải tích cho
bài toán với độ chính xác ổn định trong toàn miền biến đồi từ trƣờ ng. Phần V
và phần VI dành để trình bày các bƣớc cơ bản để sử dụng kết quả thu đƣợc
cho trƣờng hợp có tính đến thế màn chắn và để phát triển cho trƣờng hợp ba
chiều. Phần kết luận dành để trình bày các kết quả thu đƣợc và nêu hƣớng
phát triển của đề tài.

5

nguon tai.lieu . vn