Xem mẫu
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
A. ®Æt vÊn ®Ò
M¸y tÝnh ®iÖn tö lµ mét trong nh÷ng c«ng cô tÝch cùc trong viÖc d¹y vµ
häc to¸n. Nhê cã m¸y tÝnh ®iÖn tö mµ nhiÒu vÊn ®Ò ® îc coi lµ khã trong d¹y häc
to¸n ( vÝ dô gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh ba, ph¬ng tr×nh v« tû, chuæi
sè, c¸c ®Þnh lý sè häc...) ta cã thÓ gi¶ng d¹y cho häc sinh THCS mét c¸ch dÔ
dµng. C¸c quy tr×nh thao t¸c trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói cã thÓ coi lµ b íc tËp dît
ban ®Çu ®Ó häc sinh dÇn dÇn lµm quen víi thuËt to¸n vµ lËp tr×nh trªn m¸y tÝnh
c¸ nh©n. Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o ®· tæ chøc cho THCS vµ THPH c¸c kú thi häc
sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”. Phßng Gi¸o Dôc vµ ®µo t¹o CÈm xuyªn ®·
tæ chøc c¸c kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp huyÖn vµ tham
gia kú thi häc sinh giái “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio” cÊp TÜnh song kÕt qu¶ cßn
khiªm tèn so víi c¸c huyÖn m¹nh nh Can Léc,Hång lÜnh, TP Hµ TÜnh... Mét sè
bµi dù thi cña häc sinh kÕt qu¶ cßn thÊp, hoÆc bµi lµm thiÕu tÝnh chÝnh x¸c,
c¸ch tr×nh bµy sêi s¹c, ngÉu høng, c¸c thuËt to¸n trªn m¸y tÝnh ch a ®îc vËn dông
vµo bµi lµm...
Víi lý do ®ã vµ niÒm ®am mª to¸n häc trªn m¸y tÝnh vµ thùc tr¹ng qua nhiÒu
n¨m gi¶ng d¹y vµ båi dìng häc sinh giái, t«i m¹nh d¹n biªn so¹n tËp tµi liÖu båi d -
ìng HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio nµy lu hµnh néi bé. Môc ®Ých cña tµi liÖu
ngoµi híng dÉn chi tiÕt c¸c thao t¸c tÝnh to¸n, C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y
tÝnh cÇm tay mµ cßn tr×nh bµy ý nghÜa to¸n häc cña c¸c bµi to¸n.V× vËy nhiÒu
kiÕn thøc to¸n häc ngoµi ch¬ng tr×nh vÉn ®îc ®a vµo.ViÖc tr×nh bµy c¸c kiÕn
thøc to¸n häc, tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ trong tõng phÐp tÝnh ® îc ®Æc biÖt chó
träng. Bëi ®ã lµ ®iÒu c¬ b¶n vµ cèt lái cña viÖc s÷ dông m¸y tÝnh. Ng êi viªt xin
®îc trao ®æi cïng b¹n ®äc qua ®Ò tµi: “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio”
§Ò tµi gåm ba phÇn:
PhÇn I: Híng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS
PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp: ”Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio”
PhÇn III: Mét sè ®Ò thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio ( hÖ THCS )
Trong khi biªn so¹n mÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng
thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña quý thÇy c« vµ b¹n ®äc.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n
CÈm xuyªn, ngµy 07/10/2010
1
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
Tr ¬ngNgäcB«n
B. néi dung
PhÇn I: Híng dÉn sö dông m¸y tÝnh casio Fx:500 MS vµ Fx:570 MS
A/.m¸y tÝnh casio Fx:500 MS
I/ C¸c phÝm vµ c¸ch bÊm m¸y sö dông chung cho c¶ m¸y Fx:500 MS vµ
Fx:570 MS :
C¸c lo¹i phÝm:
1)
+ PhÝm tr¾ng: BÊm trùc tiÕp ( vÝ dô: 5 ta Ên 5= 5 )
+ PhÝm vµng: BÊm SHIFT + PhÝm vµng (VÝ Dô: 81 , ta bÊm 4 SHIFT
4 x
81 = 4 81 )
+ PhÝm ®á: BÊm ALPHA + PhÝm ®á (vÝ dô: A, ta bÊm ALPHA A
2) Më t¾t m¸y:
+ Më m¸y: BÊm ON
+ T¾t m¸y: BÊm SHIFT + OFF
+ Xo¸ mµn h×nh khi lµm tÝnh : - BÊm AC
- BÊm SHIFT CLR 2 =
- BÊm SHIFT CLR 3 =
+ §Ó kiÓm tra lçi ta dïng c¸c phÝm
+ §Ó s÷a lçi: - Dïng phÝm >< di chuyÓn.
- BÊm phÝm DEL xo¸ ký tù ®ang nhÊp nh¸y
- BÊm phÝm SHIFT + IN S chÌn ký tù ®¸nh sãt
II/ .m¸y tÝnh casio Fx:500 MS:
*) ChÕ ®é Mode: Nh»m Ên ®Þnh ngay tõ ®Çu lo¹i h×nh tÝnh to¸n, lo¹i ®¬n vÞ
®o,d¹ng sè biÓu diÔn kÕt qu¶, ch÷ sè cã nghÜa,sai sè lµm trßn...phï hîp víi gi·
thiÕt cña bµi to¸n
2
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
COMP SD REG
a) BÊm Mode ( 1 lÇn) man−hinh →
1 23
→ Lµm c¸c phÐp tÝnh thêng
+ BÊm Mode 1
+ BÊm Mode 2 → Lµm thèng kª mét biÕn
→ Lµm thèng kª hai biÕn
+ BÊm Mode
EQR
b) BÊm Mode Mode( 2 lÇn) ( gi¶i ph¬ng tr×nh )
man −hinh →
1
+ BÊm Mode Mode 1 man−hinh → UNKNO S ( Èn )
- BÊm tiÕp 2 → Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
- BÊm tiÕp 3 → Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn
+ BÊm Mode Mode 1 man −hinh → Degree (bËc)
>
- BÊm tiÕp 2 → Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
- BÊm tiÕp 3 → Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba mét Èn
Deg Ded Gra
c) BÊm Mode Mode Mode ( 3 lÇn) man −hinh →
1 2 3
+ BÊm Mode Mode Mode 1 → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ®é
+ BÊm Mode Mode Mode 2 → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ ra®ian
+ BÊm Mode Mode Mode 1 → Chän ®¬n vÞ ®o gãc lµ grad
Fix Sci Norm
d) BÊm Mode Mode Mode Mode ( 4 lÇn) man −hinh →
12 3
BÊm Mode Mode Mode Mode 1 → Cã chän sè sè lÎ thËp ph©n
+
BÊm Mode Mode Mode Mode 2 → Cã chän hiÖn sè d¹ng : a.10 n
+
BÊm Mode Mode Mode Mode 3 → Cã chän sè d¹ng thêng
+
e) BÊm Mode Mode Mode Mode Mode ( 5 lÇn)
Disp
BÊm tiÕp 1 man−hinh →
man −hinh →
1
ab / c d / c
1 2
3
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 1 → kÕt qu¶ díi d¹ng hæn sè
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 2 → kÕt qu¶ díi d¹ng ph©n sè
Dot Comma
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 > man−hinh →
1 2
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 > 1
→ Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (.)
+ BÊm Mode Mode Mode Mode Mode 1 > 1
→ Chä dÊu c¸ch ph©n nguyªn vµ phÇn thËp ph©n lµ dÊu (,)
III/. C¸ch lµm mét bµi thi “ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio"
*Quy ®Þnh:
1. Yªu cÇu c¸c em dù thi chØ dïng m¸y Casio fx 500 MS, Casio fx 570 MS,
Casio fx 500 ES, Casio fx 570 ES ®Ó gi¶i.
2. NÕu kh«ng qui ®Þnh g× thªm th× c¸c kÕt qu¶ trong c¸c ®Ò thi ph¶iviÕt
®ñ 10 chö sè hiÖn trªn mµn h×nh m¸y tÝnh.
3. Tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸c bíc sau :
- S¬ lîc lêi gi¶i ( lêi gi¶i v¾n t¾t)
- Thay sè vµo c«ng thøc (nÕu cã)
- ViÕt quy tr×nh Ên phÝm
- KÕt qu¶
*NhËn xÐt : Qua c¸c ®Ò thi tØnh, khu vùc tæ chøc c¸c n¨m gÇn ®©y. Chóng ta
cã thÓ nh×n ®Ò thi ‘ Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio theo c¸c ®Þnh híng sau ®©y :
1. Bµi thi häc sinh giái" Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " ph¶i lµ mét bµi thi
Häc sinh giái to¸n cã sù trî gióp cña m¸y tÝnh ®Ó thö nghiÖm t×m ra c¸c quy luËt
to¸n häc hoÆc t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n.
2. §»ng sau c¸c bµi to¸n Gi¶i trªn m¸y tÝnh Casio Èn chøa nh÷ng ®Þnh lý,
thuËt to¸n, thËm chÝ c¶ mét lý thuyÕt to¸n häc ( sè häc, d·y tru håi...)
4
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
` 3. Ph¸t huy ®îc vai trß tÝch cùc cña to¸n häc vµ m¸y tÝnh trong gi¶i c¸c bµi
to¸n thùc tÕ
PhÇn II: C¸c d¹ng bµi tËp to¸n gi¶i b»ng m¸y tÝnh cÇm tay
I/. Mét sè d¹ng to¸n x¸c ®Þnh sè (sè häc):
1/ . Lo¹i 1. TÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ phÐp tÝnh :
.Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c tÝnh chÊt sau:
1) Sè a1 a 2 a3 a 4 ...a 7 a8 = a1 a 2 a3 a 4 . 10 4 + a5 a 6 a 7 a8
2) TÝnh chÊt cña phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD
+BC + BD
3) KÕt hîp tÝnh trªn m¸y vµ lµm trªn giÊy.
.Môc tiªu: Chia sè lín thµnh nh÷ngsè nhámµ kh«ng trµn mµn h×nh khi thùc
hiÖn trªn m¸y
vÝ dô1: tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375
b) TÝnh chÝnh x¸c A
c) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: B = 123456789 2
d) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: C = 1023456 3
Gi¶i: a) NÕu tÝnh trªn m¸y sÏ trµn mµn h×nh nªn ta lµm nh sau:
A = 12578963.14375 = (12578.10 3 + 963).14375
= 12578.10 3.14375 + 963.14375
* TÝnh trªn m¸y: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 =
180808750000
* TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125
Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000
+ 13843125
= 180822593125
VËy A = 12578963 x 14375 = 180822593125
b) B =1234567892=(123450000 + 6789) 2 = (1234.104)2 + 2.12345.10 4.6789 + 67892
5
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
TÝnh trªn m¸y:
123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 6789 2 = 46090521
VËy: B = 152399025.10 8 + 167620410.10 4 + 46090521
= 15239902500000000
+ 1676204100000
46090521
= 15241578750190521
d) C = 1023456 3 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
TÝnh trªn m¸y:
10233 3.1023 2.456 = 1431651672
= 1070599167;
3.1023.4562 = 638155584; 456 3 = 94818816
VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000
1431651672000000
+ 638155584000
94818816
= 1072031456922402816
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1 : TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: a) M = 2222255555 x
2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
§¸p sè: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012
Bµi 2: TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c phÐp tÝnh sau: a) A = 1,123456789 -
5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 ; c) C= 52906279178,48 : 565,432
Bµi 3: TÝnh chÝnh x¸c tæng: S =1.1! +2.2! +3.3! +4.4! +... + 16.16!
* Híng dÉn: Ta cã n.n! = ( n + 1 – 1).n! =(n + 1).n! – n! = (n+1)! –n!
* §¸p sè: S = 355687428095999
Bµi 4: a) TÝnh b»ng m¸y tÝnh: Q = 1 + 2 2 + 3 + . . . + 10 2 .
2
6
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
b) Cã thÓ dïng kÕt qu¶ ®ã ®Ó tÝnh tæng : K = 2 2 +.4 2 + 6 2 + ... + .20 2 mµ
kh«ng dïng m¸y tÝnh .h·y tr×nh bµy lêi gi¶i Êy. §¸p sè: a) Q = 385;
b) K = 1540
2
1012 + 2
Bµi 5: TÝnh chÝnh x¸c cña sè A =
3
10k + 2
NhËn xÐt: lµ sè nguyªn cã (k - 1) ch÷ sè 3, tËn cïng lµ sè 4
3
2
10k + 2
lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng
3
lµ 6
* Ta dÔ dµng CM ®îc vµ tÝnh ®îc kÕt qu¶ lµ: A = 111111111111555555555556
2/. lo¹i 2: T×m sè d cña phÐp chia cña sè a cho sè b
* Ph¬ng ph¸p:
1/. §èi víi sè bÞ chia tèi ®a cã 10 ch÷ sè:
A A
Th× sè d cña A: B = A - B. (trong ®ã lµ phÇn nguyªn cña A cho
B B
2/. Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè:
Khi sè bÞ chia A lín h¬n 10 ch÷ sè ta ng¾t ra thµnh hai nhãm. Nhãm
®Çu 9 ch÷ sè ®Çu( kÓ tõ bª tr¸i). t×m ® îc sè d nh phÇn 1). Råi viÕt tiÕp sau sè
d cßn l¹i tèi ®a 9 ch÷ sè råi t×m sè d lÇn hai. NÕu cßn n÷a th× lµm liªn tiÕp nh
vËy.
*§Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b ≠ 0, lu«n tån t¹i duy nhÊt mét
a = bq + r vµ 0 ≤ r < |b|
cÆp sè nguyªn q vµ r sao cho:
* Tõ ®Þnh lÝ trªn cho ta thuËt to¸n lËp quy tr×nh Ên phÝm t×m d trong phÐp chia a
cho b:
a SHIFT STO A
b SHIFT STO B
a a
ALPHA A ÷ ALPHA B = ( ) Χ ALPHA B - ALPHA B Χ =(Kqu¶: r =...)
b b
VÝ dô1: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d khi chia 18901969 cho
b) T×m sè d trong phÐp chia: 815 cho 2004
3041975 TÝnh sè d
7
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
Gi¶i:
a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B
÷ (6,213716089)
ANPHA A ANPHA B =
-6× (650119)
SHIFT A B =
VËy sè d lµ: r = 650119
b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87 Ta cã: 88 1732(mod2004)
87 968(mod2004)
⇒ 815 1732 x 968 (mod2004) 1232(mod2004)
VËy sè d lµ: r = 1232
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: a) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm ®Ó t×m sè d khi chia 3523127 cho 2047.
b) T×m sè d ®ã.T×m th¬ng vµ sè d trong phÐp chia: 123456789 cho 23456
Bµi 2: T×m sè d trong phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 r=9
§¸p sè:
3/. lo¹i 3: T×m UCLN – BCNN cña a vµ b:
*Ph¬ng ph¸p:
1.Víi c¸c sè a vµ b nhá h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng tÝnh chÊt rót gän ph©n sè
a a , .m a ,
= = Trong ®ã (a , ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m
b b , .m b ,
2. Víi c¸c sè a vµ b lín h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng thuËt to¸n ¥LE:
T×m UCLN(a;b) víi a 〉 b ta cã thuËt to¸n sau :
a = b.q 1 + r1
b = r1 .q 2 + r2
r1 = r2 q3 + r3
.
.rn − 2 = rn −1 q n + rn
rn −1 = rn q n +1 + 0
Sè d cuèi cïng kh¸c 0 lµ r n chÝnh lµ UCLN (a;b) hay : r n = UCLN (a;b)
8
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
a.b
* Chó ý: BCNN(a;b) = UCLN (a; b)
VÝ dô 1: T×m UCLN cña hai sè: a = 24614205, b = 10719433
Gi¶i:
a a , .m a ,
= =
*C 1: +) Ta cã: Trong ®ã (a , ; b ) = 1. Khi ®ã UCLN (a;b) = m
b b , .m b ,
+) Quy tr×nh Êm m¸y:
24614205 SHIFT STO A
ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)
VËy UCLN(a;b) = 21311
*C 2:
+)Theo thuËt to¸n ¥le t×m sè d trong phÐp chia sè a cho b ta ®îc:
+) quy tr×nh Êm m¸yliªn tôc: (B¹n ®äc cã thÓ dÓ dµng lµm ®îc vµ kÕt qu¶
UCLN(a, b) = 21311)
3. X¸c ®Þnh sè íc sè cña mét sè tù nhiªn n
*:§Þnh lÝ : Cho sè tù nhiªn n, n > 1, gi¶ sö khi ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè ta
®îc:
n = p1e1 p22 ... pk k ,
e e
víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n:
1 < p1 < p2
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
¸p dông ®Þnh lÝ trªn ta cã sè c¸c íc d¬ng cña A lµ:
τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584
VËy sè c¸c íc d¬ng cña sè A = 6227020800 lµ: 1584
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: T×m íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña:
a = 75125232 vµ b = 175429800
§¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) =
Bµi 2: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lµ íc cña:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
§¸p sè: 46080
∈
4/. lo¹i 4: T×m ch÷ sè x cña sè n = a n a n -1 ...xa 1 a 0 M m víi m N
* Ph¬ng ph¸p: 1) Dùa vµo c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cña 2,3,4,5,6,7,8,9,11...
2) Thay x lÇn lît tõ 0 ®Õn 9 sao cho n M m
VÝ dô 1: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x 2 y3z 4
chia hÕt cho 7
*S¬ lîc lêi gi¶i:
- Sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 sÏ lµ: 19293z 4 .
LÇn lît thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta ®îc sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 lµ:
1929354 ,th¬ng lµ 275622
- Sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 sÏ lµ: 10203z 4 .
LÇn lît thay z = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0} ta ®îc sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt cho 7 lµ:
1020334 , th¬ng lµ 145762
10
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
N = 1235679 x 4 y chia hÕt cho 24.
VÝ dô 2: T×m tÊt c¶ c¸c sè n d¹ng:
*S¬ lîc lêi gi¶i:
V× N M 24 ⇒ N M 3 ; N M 8 ⇒ (37 + x + y) M 3 ; x 4 y M 8.
⇒ y chØ cã thÓ lµ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ;
8.
Dïng m¸y tÝnh, thö c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: (x + y + 1) M 3 vµ x 4 y M 8, ta cã:
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng: 1x 2 y3z 4 chia hÕt
cho 13.
Sè 2: T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x 2 y3z 4 chia hÕt
cho 25
Sè 3: T×m ch÷ sè a biÕt r»ng 46928381a6506 chia hÕt cho 2009
Sè 4: T×m ch÷ sè x biÕt r»ng 469 x838196506 chia hÕt cho 2009
a n a n -1 ...xa 1 a 0 víi n ∈ N
* lo¹i 4: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè n =
. Ph¬ng ph¸p: (VËn dông c¸c tÝnh chÊt sau)
1) Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6 khi n©ng lªn bÊt kú luü thõa nµo
còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 0;1;5;6
2) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 2;4;6 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè
tËn cïng lµ: 6
3) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng lµ: 3;7;9 khi n©ng luü thõa bËc 4 dÒu cã ch÷ sè
tËn cïng lµ: 1
4) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ
nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn).
5) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 th× tÝch ®ã cã ch÷ sè tËn
cïng lµ: 0
11
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
6) Mét tÝch cã mét thõa sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 vµ nh©n víi sè lÎ th× tÝch
®ã cã ch÷ sè tËn cïng lµ: 5
7) Sè chÝnh ph¬ng chØ chøa c¸c sè tËn cïng lµ: 0;1;4;5;6;9
8) T×m 2 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d khi chia sè ®ã cho 10
(hoÆc béi cña 10 bÐ h¬n 100)
9) T×m 3 ch÷ sè tËn cña mét sè cïng th× ta t×m sè d khi chia sè ®ã cho 100
(hoÆc béi cña 100 bÐ h¬n 1000)
10) Thö trªn m¸y lÇn lît c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n th× ta chän
10 Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ
chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt
biÕn).
12) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (vµ
chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (cã ®u«i bÊt biÕn).
13) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625
(vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (cã ®u«i bÊt
biÕn).
VÝ dô 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè: a) 9 9 vµ b) 14 14
9 14
*S¬ lîc lêi gi¶i::
a) Ta thÊy 9 9 lµ sè lÎ nªn 9 9 = 2.k + 1 ⇒ 9 9 = 9 2.k +1 nªn tËn cïng lµ sè 9
9
b) ta thÊy 14 14 ch¼n nªn 14 14 =2.k ⇒ 14 14 =14 2.k =196 k nªn ch÷ sè tËn cïng lµ sè:
14
6
VÝ dô 2: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: 14 14
14
*S¬ lîc lêi gi¶i:
Ta cã: 7 4 - 1 = 2400 ⇒ 7 4.k - 1 M 100 ⇒ 7 14 - 1 M 100 ⇒ 7 14 cã 2 ch÷ sè lµ : 01
14 14
MÆt kh¸c : 14 14 = 2 14 .7 14
Nhng: 2 14 : 20 d 4 (v× : 2 12 - 1 = { (2 4 ) 3 - 1 } : (2 4 - 1) =15; ⇒ 4.(2 12 - 1 ): 20 )
Vµ : 7 14 : 20 d 9 ( v× :7 4.k - 1 : 100 ⇒ 7 12 -1 : 100 ⇒ 7 12 : 20 d 1 ⇒ 7 14 : 20 d 9 )
VËy : 14 14 : 20 d 4.9 = 36 ⇒ 14 14 : 20 d 10 ⇒ 14 14 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ:16
VÝ dô 3: T×m C¸c sè x ; y sao cho xxxxx : yyyy cã th¬ng lµ 16 d r.
Cßn xxxx : yyy cã th¬ng lµ 16 d r -2000
*S¬ lîc lêi gi¶i:
12
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
(1)
Theo bµi ra ta cã: xxxxx = 16. yyyy + r
( 2)
xxxx = 16 . yyy + r - 2000
LÊy (1) trõ ( 2) ta ®îc : x0000 = 16. y 000 + 2000
⇔ 10.x = 16.y + 2
5x − 1
⇔ 5.x = 8.y + 1 ⇒ y = ( v× x; y ∈ Z ; 0 x;y ≤ 9 )
8
⇒ x = 5: y = 3
VÝ dô 4: T×m c¸c sè khi b×nh ph ¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè 4. Cã hay kh«ng
c¸c sè khi b×nh ph¬ng cã tËn cïng lµ bèn ch÷ sè 4 ?
*S¬ lîc lêi gi¶i:
Ch÷ sè cuèi cïng cña x2 lµ 4 th× ch÷ sè cuèi cïng cña x lµ 2 hoÆc 8. TÝnh trªn
m¸y b×nh ph¬ng cña sè: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92,
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
ta chØ cã c¸c sè:12, 62, 38, 88.
khi b×nh ph¬ng lªn cã tËn cïng lµ hai ch÷ sè 4. TÝnh trªn m¸y b×nh ph¬ng cña c¸c
sè:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta ®îc: 462, 962, 38, 538 khi b×nh ph¬ng cã tËn cïng lµ 444.
* T¬ng tù c¸ch lµm trªn, ta cã kÕt luËn: kh«ng cã sè N nµo ®Ó N 2 kÕt thóc bëi
bèn ch÷ sè tËn cïng lµ : 4444.
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 5: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè tho· m·n:
1) Sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè cuèi lín h¬n sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ®Çu 1 ®¬n vÞ
2) Lµ sè chÝnh ph¬ng.
13
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
Bµi 6: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho
393 còng nh 655 ®Òu cã sè d lµ 210.
Bµi 7: T×m c¸c ch÷ sè x, y, z ®Ó 579 xyz chia hÕt cho 5, 7 vµ 9.
Bµi 8: T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau:
1) ViÕt díi d¹ng thËp ph©n a cã tËn cïng lµ sè 6.
2) NÕu bá ch÷ sè 6 cuèi cïng vµ ®Æt ch÷ sè 6 lªn tr íc c¸c ch÷ sè cßn l¹i sÏ ®îc
mét sè gÊp 4 lÇn ch÷ sè ban ®Çu.
Bµi 9: T×m sè tù nhiªn n sao cho:
a) 2n + 7 chia hÕt cho n + 1
b) n + 2 chia hÕt cho 7 - n
Bµi 10: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho n3 lµ mét sè cã 3 ch÷ sè ®Çu vµ 4 ch÷
sè cuèi ®Òu lµ sè 1.
Bµi 11: a) T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt mµ n 2 b¾t ®Çu bëi sè 19 vµ kÕt thóc b»ng
sè 89
b) T×m sè tù nhiªn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ®ã xxxxxx lµ 6 sè
cã thÓ kh¸c nhau).
Bµi 12: Víi gi¸ trÞ tù nhiªn nµo cña n th×:
1,01n - 1 < (n - 1) vµ 1,01n > n.
T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn: x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 Sao cho x1 x 2 ...x8 = ( x1 x2 )
Bµi 13: 4
§¸p sè – Híng dÉn lêi gi¶i:
Bµi 1: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 129304; - Sè nhá nhÊt lµ 1020344
Sè 2: §¸p sè: - Sè lín nhÊt lµ 2939475; - Sè nhá nhÊt lµ: 1030425
Sè 3: §¸p sè: a =
Sè 4: §¸p sè: x =
*S¬ lîc lêi gi¶i:: Gäi sè cÇn t×m lµ: n = a1a2 a3a4 a5a6 .
Bµi 5:
- §Æt x = a1a2 a3 . Khi Êy a4 a5 a6 = x + 1 vµ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
14
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
VËy hai trong ba sè nguyªn tè 7, 11, 13 ph¶i lµ íc cña mét trong hai thõa sè
cña vÕ tr¸i vµ sè cßn l¹i ph¶i lµ íc cña thõa sè cßn l¹i cña vÕ tr¸i.
Dïng m¸y tÝnh, xÐt c¸c kh¶ n¨ng ®i ®Õn ®¸p sè:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bµi 6: *S¬ lîc lêi gi¶i:
Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q 1 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 393
x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 655
⇒ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965
⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8.
TÝnh trªn m¸y:
Víi k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035
Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000
Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965
VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 10035, 12000, 13965
Bµi 7:
*S¬ lîc lêi gi¶i: V× c¸c sè 5, 7, 9 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta ph¶i t×m c¸c
ch÷ sè x, y, z sao cho 579 xyz chia hÕt cho 5.7.9 = 315.
Ta cã 579 xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
⇒ 30 + xyz chia hÕt cho 315. V× 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nªn (Dïng m¸y tÝnh
t×m c¸c béi cña 315 trong kho¶ng (30 ; 1029):
- NÕu 30 + xyz = 315 th× xyz = 315 - 30 = 285
- NÕu 30 + xyz = 630 th× xyz = 630 - 30 = 600
- NÕu 30 + xyz = 945 th× xyz = 945 - 30 = 915
VËy ta cã ®¸p sè sau:
15
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
x y z
2 8 5
6 0 0
9 1 5
Bµi 8: *S¬ lîc lêi gi¶i:
- Gi¶ sö sè cÇn t×m cã n + 1 ch÷ sè.
- Tõ ®iÒu kiÖn 1) sè ®ã d¹ng: a1a2 ...an 6
- Tõ ®iÒu kiÖn 2), ta cã: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6 (*)
- §Æt a = a1a2 ...an , th×: a1a2 ...an 6 = 10a + 6
6a1a2 ...an = 6.10n + a
- Khi ®ã (*) trë thµnh:
6.10 n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**)
§¼ng thøc (**) chøng tá vÕ tr¸i chia hÕt cho 13.
V× (2 ; 13) = 1 nªn: 10n - 4 chia hÕt cho 13.
Bµi to¸n quy vÒ: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó (10n - 4) chia hÕt cho 13, khi
®ã t×m ra sè a vµ sè cÇn t×m cã d¹ng: 10a + 6.
Thö lÇn lît trªn m¸y c¸c gi¸ trÞ n = 1; 2;... th× (10n - 4) lÇn lît lµ:
6, 96, 996, 9996, 99996,... vµ sè ®Çu tiªn chia hÕt cho 13 lµ: 99996.
Khi ®ã a = 15384 ⇒ Sè cÇn t×m lµ: 153846.
Bµi 9: *S¬ lîc lêi gi¶i::
a) LËp c«ng thøc (2n + 7) : (n + 1) trªn m¸y vµ thö lÇn l ît n = 0, 1, 2,... ta ® îc n
= 0 vµ n = 4 th× 2n + 7 chia hÕt cho n + 1.
Chøng minh víi mäi n ≥ 5, ta ®Òu cã 2n + 7 kh«ng chia hÕt cho n + 1, thËt vËy:
(2n + 7) M (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] M (n + 1) ⇒ 5 M (n + 1) ⇒ n ≤ 5.
VËy sè n cÇn t×m lµ 0 hoÆc 4.
b) T¬ng tù ta cã: n = 4 hoÆc n = 6.
Bµi 10: *S¬ lîc lêi gi¶i::
16
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
NhËn xÐt: 1) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 11 th× n cã tËn cïng lµ sè 1. Thö trªn m¸y c¸c
sè:11, 21, 31,...81, 91 ®îc duy nhÊt sè 71 khi luü thõa bËc ba cã tËn cïng lµ 11.
2) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 111 th× n cã ph¶i tËn cïng lµ sè 471.
(Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 171, 271, 371,...871, 971 )
3) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 1111 th× n ph¶i cã tËn cïng lµ sè 8471.
(Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Gi¶ sö m lµ sè ch÷ sè ®øng gi÷a c¸c sè 111 vµ 1111:
+ NÕu m = 3k, k ∈Z+, th×:
111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
( 111000...00 0000 < 111 m...k 1111 < 112 000...00 0000 )
1 24 {
43 1 24 {
43
{
=3
4 4
3k 3k
⇒ 3 1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10k +1
TÝnh trªn m¸y:
10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do ®ã, víi k ≥ 1. Cho k = 1 ta ®îc n b¾t ®Çu b»ng sè 103, nghÜa lµ:
n = 103...8471
⇒ Sè nhá nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ: n = 1038471
+ NÕu m = 3k + 1 vµ m = 3k + 2, ta ®îc c¸c sè nµy ®Òu vît qu¸ sè 1038471
KÕt luËn: Sè nhá nhÊt tho· m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: n = 1038471 khi ®ã:
(tÝnh kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy): n3 = 1119909991289361111
Bµi 11: *S¬ lîc lêi gi¶i::
a) Tríc hÕt ta t×m sè n2 cã tËn cïng lµ 89:
- V× n2 cã tËn cïng lµ 9 nªn n chØ cã thÓ cã tËn cïng lµ 3 hoÆc 7.
17
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
- Thö trªn m¸y c¸c sè: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta t×m ®îc:
®Ó n2 cã tËn cïng lµ 89 th× n ph¶i cã 2 sè tËn cïng lµ mét trong c¸c sè sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* B©y giê ta t×m sè n2 b¾t ®Çu bëi sè 19:
- §Ó n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 th× nã ph¶i cã d¹ng:
19 x 10k ≤ n2 < 20 x 10k ⇔ (1)
19.10k ≤ n < 20.10k
+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh:
19.10m ≤ n < 20.10m
⇔ 4,3588989.10 m ≤ n < 4,472135955.10 m (2)
Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y):
ta ®îc n cã thÓ lµ: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447
+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh:
190.10m ≤ n < 200.10m
⇔ 13,78404875.10 m ≤ n < 14,14213562.10 m (3)
Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y):
ta ®îc n cã thÓ lµ: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414
Tãm l¹i ®Ó n b¾t ®Çu bëi sè 19 th× n cã thÓ lµ:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Tõ (*) vµ (**) ta nhËn thÊy trong c¸c sè trªn chØ cã sè 1383 tho¶ m·n bµi
to¸n.
2525 x 108 ≤ x2 < 2526 x 108
b) Ta cã:
⇔ 50,24937811 x 104 ≤ x < 50,25932749 x 104
VËy : 502493 < x < 502593
Sè x tËn cïng ph¶i lµ: 17, 33, 67, 83 (theo c©u a), do ®ã c¸c sè tho¶ m·n lµ:
502517, 502533, 502567, 502583 .
Bµi 12:*S¬ lîc lêi gi¶i:
1,01512 ≈ 163,133... < 512
Ta cã:
18
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
≈ 26612,56.. > 1024
1024
1,01
VËy: 512 < n < 1024
Thu hÑp kho¶ng c¸ch chøa n b»ng ph¬ng ph¸p chia ®«i:
521+1024
- Chia ®«i ®o¹n [512 ; 1024], ta cã: 1, 01 = 1, 01768 = 2083, 603... > 768
2
VËy l¹i cã: 512 < n < 768
Sau mét sè bíc chia ®«i nh thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652
1,01 651 = 650,45... < 651
Cuèi cïng ta cã:
1,01652 = 656,95.. > 652
⇒ n = 652
* Quy tr×nh trªn MT Casio fx: 500 MS
(ThuËt to¸n: XÐt hiÖu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2,...
dõng l¹i khi hiÖu trªn chuyÓn tõ (-) sang (+))
- G¸n cho « nhí A gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn:
0 SHIFT STO A
- LËp c«ng thøc tÝnh hiÖu 1,01 A - A vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí bëi sè tù nhiªn kÕ
tiÕp:
1,01 ∧ ANPHA A - ANPHA A
: +1
ANPHA A ANPHA = ANPHA A
- LÆp l¹i c«ng thøc trªn:
= ... =
Bµi to¸n kÕt thóc khi chuyÓn tõ n = 651 sang n = 652.
Bµi 13:*S¬ lîc lêi gi¶i:
Ta cã: 10.000.000 ≤ x1 x 2 ...x8 = ( x1 x 2 ) 4 ≤ 99999999
⇔ 57 ≤ x6 x8 ≤ 99
Ta ghi lªn mµ h×nh ( 57 ) 4 = 10556001 kh«ng tho¶ m·n ë vÞ trÝ x 6 ; x 8
Dïng phÝm 〈 ®Ó söa vµ thö c¸c sè tõ 57; 58; ...;98; 99. ta ® îc 3 sè : 65; 86; 91
19
- Tµi liÖu båi dìng "Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio " biªn so¹n: Tr ¬ng Ngäc B«n
VËy ta cã 3 bé sè x 1 ; x 2 ; ... ; x 8 lµ : 65 = 17850625 ; 86 4 = 54700816 ; 91 4 =
4
68574961
II. ®a thøc:
* KiÕn thøc bæ rung:
1) Cho ®a thøc P (x) bËc n: P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + ... + a1. x +a0 (*)
Trong ®ã: an ; an-1 ; ...a1; a0 /R ; an 0
Khi đã: an; an-1; an-2; an-3;... ; a1; a0 gọi c¸c hệ số
N ếu x0 mµ P(x0) = 0 th× x0 lµ nghiệm của P(x)
2) Khi chia ®a thøc P (x) cho (x - α ) lu«n tån t¹i mét ®a thøc th ¬ng Q(x) vµ
sè d r. Hay ta lu«n cã: P(x) = Q(x). (x - α ) + r
* Chó ý: (§Þnh lý Bezout)
1) N ếu x = α lµ nghiệm của P(x) P(x) M (x - α )
2) Nếu x0 lµ nghiệm nguyªn của P(x) th× x0 ước của a0
3) N ếu tổng c¸c hệ số bằng 0 th× P(x) = 0 cã nghiệm lµ x = 1 ( Hay P(x) M( x - 1) )
4) NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch¼n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× P(x) = 0 cã
nghiÖm lµ x = -1 (Hay P(x) M( x + 1) )
* S¬ ®å Horner: (®èi víi ®a thøc mét biÕn)
Khi chia ®a thøc P(x) cho ( x - α ) th¬ng lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x + b1vµ cã
sè d lµ: r . Khi ®ã ta cã s¬ ®å nh sau:
an an-1 an-2 an-3 ...... a1 a0
α bn bn-1 bn-2 bn-3 ....... b1 r = b0
Trong đã: bn = an
bn-1 = α . bn + an-1
bn-2 = α . bn-1 + an-2
..........................
b1 = α . bn-1 + a1
b0 = α . b1 + a0.
Khi đã: 1). P ( α ) = b0
2). Nếu P ( α ) = 0 th× P(x) M (x - α )
3). Nếu P (x) 0 th× P (x) : (x - α ) cã sè dư lµ: r = P ( α )
Vµ cã thương lµ: bn. xn-1 + bn-1. xn-2 + ... + b2 . x +
b1
20
nguon tai.lieu . vn
