Xem mẫu
- ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 30
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
x 2 − 4x + 3 2x + 1 − 1
a) lim b) lim
x →1 2x 2 − 3x + 2 x 2 + 3x
x →0
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 2 :
1− 2x − 3
khi x ≠ 2
f (x ) = 2 − x
1 khi x = 2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2 − 2x + x 2
a) y = b) y = 1+ 2tan x
x2 −1
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch ữ nh ật, AB = a, AD = a 3 , SD=
a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1− m 2)x 5 − 3x − 1= 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Câu 6a: (2,0 điểm)
π
a) Cho hàm số y = x sin x . Tính y ′′ ÷.
2
b) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại đi ểm có
hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 2 cos x + x sin x + 1= 0 có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng (0; π).
Câu 6b: (2,0 điểm)
π
a) Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x . Tính y ′′ ÷.
2
b) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
- ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 30
NỘI DUNG ĐIỂM
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
x 2 − 4x + 3
=0
a) lim 1,0
x →1 2x 2 − 3x + 2
2x + 1 − 1 2x 2 2
= lim = lim =
b) lim 1,0
( 2x + 1 + 1)
2 3
x →0 (x + 3) 2x + 1
x + 3x
x →0 x →0 x (x + 3)
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 2 :
1− 2x − 3
khi x ≠ 2
f (x ) = 2 − x
1 khi x = 2
2(2 − x ) 2
lim f (x ) = lim = lim = 1= f(2) 0,50
( 1+ 2x − 3) 1+ 2x − 3
x →2 x →2 x →2
(2 − x )
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 0,50
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2 − 2x + x 2 −2x 2 − 6x + 2
⇒ y′ =
a) y = 0,50
x2 − 1 (x 2 − 1 2
)
1+ tan2 x
b) y = 1+ 2tan x ⇒ y′ = 0,50
1+ 2tan x
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3 , SD= a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
0,25
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
SA ⊥ AB
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ 0,25
⇒ các tam giác SAB, SAD vuông tại A
SA ⊥ AD
BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B
0,25
BC ⊥ SA
2
- CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông tại D
0,25
CD ⊥ SA
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
0,50
(SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD
AD ⊂ (ABCD ), AD ⊥ CD , SD ⊂ (SCD ), SD ⊥ CD
AD a 3 21
· ·
( (SCD ),(ABCD )) = SDA; cosSDA = = = 0,50
7
SD a 7
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
AB ⊥ SA 0,25
AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD ), MN P AB ⇒ MN ⊥ (SAD )
⇒ (MND ) ⊥ (SAD ), (MND ) ∩ (SAD ) = DM , SH ⊥ DM ⇒ SH ⊥ (MND )
0,25
⇒ d (S ,(MND )) = SH
AD a 3
SA ·
SA2 = SD 2 − AD 2 = 7a2 − 3a 2 = 4a2 ⇒ MA = = a ⇒ tanSMH = = =3
0,25
2 AM a
·
⇒ AMH = 600
a3
· ·
∆SHM : SHM = 900 ⇒ SH = SM .sinSMH = 0,25
2
II- Phần riêng (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1− m 2)x 5 − 3x − 1= 0 luôn có nghiệm với mọi
m.
Gọi f(x) = (1− m 2)x 5 − 3x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R 0,25
f(0) = –1, f(–1) = m 2 + 1⇒ f (−1). f (0) < 0 0,50
⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25
Câu 6a: (2,0 điểm)
π
a) Cho hàm số y = x sin x . Tính y ′′ ÷.
2 0,50
y ' = sin x + x cos x ⇒ y " = cos x + sin x − x sin x
π π
⇒ y " ÷ = 1− 0,50
2 2
b) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ bằng 1.
x0 = 1⇒ y0 = 3 0,25
y′ = 4x 3 − 2x ⇒ k = y′ (1) = 2 0,50
Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 2 cos x + x sin x + 1= 0 có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng (0; π).
Gọi f (x ) = x 2 cos x + x sin x + 1 ⇒ f (x ) liên tục trên R 0,25
f (0) = 1 f (π ) = −π 2 + 1< 0 ⇒ f (0). f (π ) < 0
, 0,50
⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc ( 0;π ) 0,25
Câu 6b: (2,0 điểm)
3
- π
a) Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x . Tính y ′′ ÷.
2
1 31 1 1
Viết lại y = 1− sin2 2x ⇒ y = − cos4x ⇒ y ' = sin4x ⇒ y " = cos4x 0,75
2 44 16 64
π 1 1
cos2π =
⇒ y " ÷ = 0,25
2 64 64
b) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0.
1 3
d : y = − x + ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 0,25
2 2
y′ = 4x − 2x
3
0,50
Gọi (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ 4x 0 − 2x0 = 2 ⇔ 2x 0 − x 0 − 1= 0 ⇒ x 0 = 1
3 3
⇒ y0 = 3⇒ phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25
4
nguon tai.lieu . vn
