Xem mẫu
- ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 11
II. Phần bắt buộc
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
c) xlim ( x 2 − x + 3 + x )
1− 2x x 3 + 3x 2 − 9x − 2
a) lim b) lim
x →+∞ x 2 + 2x − 3
x3 − x − 6 →−∞
x →2
2) Chứng minh phương trình x 3 − 3x + 1= 0 có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
a) y = + 3x ÷( x − 1)
x 2 − 2x
b) y = x + sin x c) y =
x x −1
2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = tan x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) và SA = a 6 .
1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần tự chọn
1. Theo chương trình chuẩn
1
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − tại giao điểm của nó với trục
x
hoành .
60 64
+ 5. Giải phương trình f ′(x ) = 0 .
Câu 5a: Cho hàm số f (x ) = 3x +
−
x x3 uuu uuu
rr
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin2x.cos2x .
x3 x2
− 2x . Với giá trị nào của x thì y′ (x ) = −2 .
Câu 5b: Cho y = +
32
Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và
tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′ C.
--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
- ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
WWW.VNMATH.COM
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 11
Câu 1:
1
2
−
1− 2x 2
x
= lim x =0
1) a) lim 2
23
x →+∞ x + 2x − 3 x →+∞
1+ −
x x2
x 3 + 3x 2 − 9x − 2 (x − 2)(x 2 + 5x + 1 x 2 + 5x + 1 15
)
= lim = lim =
b) lim
x3 − x − 6 x →2 (x − 2)(x 2 + 2x + 3) x →2 x 2 + 2x + 3 11
x →2
( ) 3− x 3− x
x 2 − x + 3 + x = lim = lim
lim
1 3
x →−∞ x →−∞ x →−∞
x2 − x + 3− x
c)
− x 1− + ÷− x
x x2 ÷
3
−1
1
x
= lim =
2
x →−∞ 13
− 1− + + 1÷
÷
x x2
2) Xét hàm số f (x ) = x 3 − 3x + 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.
• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( −2;0)
• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ ( 0;1)
• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3 ∈ ( 1 )
;2
• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1, c2,c3 phân biệt nên phương trình đã cho có
đúng ba nghiệm thực.
Câu 2:
( ) ( )
1
2 2 2
1) a) y = + 3x ÷ x − 1 ⇒ y ' = − + 3÷ x − 1 + + 3x ÷ ÷
x2
x x
2 x
2 2 1 3 9 1 2
=− + + 3 x − 3+ + x= x− + −3
2
x x x2
xx 2 2
xx x
b) y = x + sin x ⇒ y ' = 1+ cos x
x 2 − 2x x 2 − 2x + 2
y= ⇒ y'=
c)
( x − 1)
x −1 2
( )
2 2
2) y = tan x ⇒ y ' = 1+ tan x ⇒ y " = 2tan x 1+ tan x
1
3) y = sinx . cosx ⇒ y = sin2x ⇒ dy = cos2xdx
2
Câu 3:
a) Chứng minh : BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) .
• ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC
2
- • (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC)
b) Tính d(A,(SBD))
• Trong ∆ SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD)
, SA = a 6 ( gt ) và ∆ SAO vuông tại A
a2
• AO =
S 2
1 1 1 1 2 13
= + = + =
nên 2 2 2 2 2
6a2
6a
AH SA AO a
6a2 a 78
⇒ AH 2 = ⇒ AH =
13 13
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
H • Dế thấy do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của SC
B
A trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là
·SCA . Vậy ta có:
O SA a 6
tan·SCA = = 3 ⇒ ·SCA = 600
=
C
D AC a 2
1
1
⇒ y′ = 1+ 2
Câu 4a: y = x −
x x
• Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A ( −1 ) , B ( 1 )
;0 ;0
• Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1 = 2 nên PTTT: y = 2x +2
• Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2 = 2 nên PTTT: y = 2x – 2
60 64 60 128
+ 5 ⇒ f ′(x ) = 3−
Câu 5a: f (x ) = 3x + − +
3
x2 x4
xx
x2 = 8 43
60 128 x = ±
′(x ) = 0 ⇔ 3− 4 2
+ = 0 ⇔ 3x − 60x + 128 = 0 ⇔ 2 16 ⇔
PT f 3
x =
x2 x4
x = ± 8
3
Câu 6a: uuu u uuu uu uuu ur
rrrrru
Đặt AB = e1, AD = e2, AE = e3
F G
uuu uuu u uuu uuu
rrr r r u u uu u u u uu
rr r rr rr
( )( )
⇒ AB.EG = e1. EF + EH = e1 e1 + e2 = e1.e1 + e1.e2 = a2
E
H Cách khác:
uuu uuu uuu uuu uuu uuu
rr rr r r uuu uuu
rr
AB.EG = EF .EG = EF . EG .cos( EF , EG ) = a.a 2.cos450 = a 2
B
C
A D
Câu 4b: y = sin2x.cos2x
1
• y = sin4x ⇒ y ' = 2cos4x ⇒ y " = −8sin4x
2
x3 x2
− 2x ⇒ y ' = x 2 + x − 2
Câu 5b: y = +
32
3
- x = 0
• y′ = −2 ⇔ x + x − 2 = −2 ⇔ x (x + 1 = 0 ⇔
2
)
x = −1
Câu 6b:
Gọi M là trung điểm của B′ C, G là trọng tâm của ∆ AB′ C.
Vì D′ .AB′ C là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài
D’ C’
a 2 , nên BD’ là đường cao của chóp này ⇒ BD′ ⊥
(AB′ C)
A’ B’
⇒ BD′ ⊥ GM.
Mặt khác ∆ AB′ C đều nên GM ⊥ B′ C
M
⇒ GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C.
G 1 31 3 a6
•Tính độ dài GM = AC = a 2. =
D 3 23 2 6
C
O
A B
======================================
4
nguon tai.lieu . vn
