Xem mẫu
- Đ ÔN THI Đ I H C 2009
Đ S 1
Môn : TOÁN Kh i : A
Th i gian làm bài : 180 phút không k th i gian phát đ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH
Câu I (2 đi m)
x 2 + 2x + 5
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s : y =
x +1
2. D a vào đ th (C), tìm m đ phương trình sau có 2 nghi m dương phân bi t:
x 2 + 2 x + 5 = (m 2 + 2m + 5)( x + 1)
Câu II (2 đi m)
2+3 2
1. Gi i phương trình: cos 3x cos 3 x − sin 3x sin 3 x =
8
2
x + 1 + y ( y + x) = 4 y
2. Gi i h phương trình: 2 (x, y ∈ )
( x + 1)( y + x − 2) = y
Câu III (2 đi m)
Trong không gian v i h to đ Oxyz,cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có
A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0),A’(0; 0; 2).
1. Ch ng minh A’C vuông góc v i BC’ .Vi t phương trình m t ph ng (ABC’).
2. Vi t phương trình hình chi u vuông góc c a đư ng th ng B’C’ trên m t ph ng (ABC’)
Câu IV (2 đi m)
5
dx
1. Tính tích phân: I = ∫
2x + 1 + 4x + 1
3
2. Cho x,y là các s th c th a mãn đi u ki n x2+xy+y2 ≤ 3 .Ch ng minh r ng
–4 3 –3 ≤ x2 – xy – 3y2 ≤ 4 3 +3
PH N T CH N: Thí sinh t ch n câu V.a ho c câu V.b
Câu V.a.(2 đi m)
x2 y2
1– Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho elip (E) + = 1 .Vi t phương trình
12 2
hypebol (H) có hai đư ng ti m c n là y = ±2x và có 2 tiêu đi m là 2 tiêu đi m c a elip (E) .
100
2– Áp d ng khai tri n nh th c Niuton c a (x 2 + x ) , Ch ng minh r ng
99 100 198 199
1 0 1 1 99 1 1001
100.C100 − 101.C100 + .............. − 199.C100 + 200.C100 =0
2 2 2 2
k
( C n
là s t h p ch p k c a n ph n t ).
Câu V.b.(2 đi m)
1. Gi i b t phương trình log x +1 (−2 x) > 2
a 3
2. Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có các c nh AB=AD=a , AA’ = và góc
2
BAD =600 . G i M và N l n lư t là trung đi m c a các c nh A’D’ và A’B’. Ch ng minh
r ng AC’ vuông góc v i m t ph ng (BDMN). Tính th tích kh i chóp A.BDMN.
–––––––––––––––––––––––––– H t ––––––––––––––––––––––––––––
- ĐÁP ÁN – THANG ĐI M
Đ ÔN THI Đ I H C NĂM 2009
Đ S 1
Môn : TOÁN Kh i : A
( Đáp án – Thang đi m g m 5 trang )
Câu Ý N i dung Đi m
I 2,00
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1,00 đi m)
x 2 + 2x + 5 4
y= = x +1+
x +1 x +1
• TXĐ : \{–1}
4 x 2 + 2x − 3 0,25
• S bi n thiên : y’ = 1 − = ; y’=0 ⇔ x =1; x = –3
(x + 1)2 (x + 1)2
B ng bi n thiên :
x –∞ –3 –1 1 +∞
y’ + 0 – – 0 +
–4 +∞ +∞
–∞ –∞ 4
C c tr : yCĐ = y(–3) = –4 , yCT = y(1) = 4 0,50
• Ti m c n:Ti m c n đ ng x = –1 , Ti m c n xiên y = x +1
• Đ th :
y
4
I
-3 -1
0 1 x
-4
- 2 Tìm m đ phương trình sau có 2 nghi m dương phân bi t(1,00 đi m).
x 2 + 2x + 5
Phương trình đã cho tương đương v i : = m 2 + 2m + 5 0,25
x +1
S nghi m c a phương trình đã cho b ng s giao đi m c a đ th hàm s
x 2 + 2x + 5
y= v i đư ng th ng y = m 2 + 2m + 5 0,25
x +1
Phương trình đã cho có 2 nghi m dương khi và ch khi :
m ≠ −1
4 < m 2 + 2m + 5 < 5 ⇔ 0,50
− 2 < m < 0
II 2,00
1 Gi i phương trình (1,00 đi m)
Phương trình đã cho tương đương v i :
2+3 2
cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2
2+3 2
⇔ cos23x + sin23x + 3(cos3xcosx – sin3xsinx) =
2
2
⇔ cos4x = 0,50
2
π π π 0,50
⇔ 4x = ± + k 2π ⇔ x = ± +k
4 16 2
2 Gi i h phương trình (1,00 đi m)
H đã cho tương đương v i :
x2 +1
+ y+ x−2 = 2 x2 +1
y =1
2 ⇔ y ⇔ 0,50
x + 1 ( y + x − 2) = 1 y + x − 2 = 1
y
x 2 + x − 2 = 0 x =1 x = −2
⇔ ⇔ ho c 0,50
y = 3− x y = 2 y=5
III 2,00
1 Ch ng minh AC’ ⊥ BC’ .Vi t phương trình mp(ABC’) (1,00 đi m)
→
→
• Ta có : C’(0;2;2) , A' C =(0;2;–2) , BC ' = (–2;2;2)
→
→
A' C . BC ' = 0.(–2)+2.2+(–2).2 = 0 ⇒ A’C ⊥ BC’ 0,50
• Vì A’C ⊥ BC’ , A’C ⊥ AB nên A’C ⊥ (ABC’)
→
→
Vectơ pháp tuy n c a m t ph ng (ABC’) là n = AC =(0;2;–2) 0,50
Phương trình m t ph ng (ABC’) là :
0.(x–0) + 2(y–0) –2(z–0) = 0 ⇔ y – z = 0.
2 (1,00 đi m)
→
→
Ta có B'C ' = BC =(–2;2;0). G i (α) là m t ph ng ch a B’C’ và vuông
góc v i m t ph ng (ABC’) thì hình chi u vuông góc c a B’C’ trên (ABC’) 0,25
là giao tuy n c a (α) và (ABC’)
→ →
→
Vectơ pháp tuy n c a (α) là nα =[ B'C ' ; n ] = (–4;–4;–4) 0,25
- Phương trình c a (α): 1(x–0)+1.(y–2)+1.(z–2) = 0 ⇔ x + y + z – 4 = 0 0,25
x + y + z − 4 = 0
Phương trình hình chi u c a B’C’ trên (ABC’) là : 0,25
y−z =0
IV 2,00
1 Tính tích phân (1,00 đi m)
t 2 −1 1 0,25
Đ t t = 4x + 1 ⇒ x = ⇒ dx = tdt
4 2
5 tdt 5 1 1
Ta có ∫ =∫
(t + 1) 3 t + 1 (t + 1)2
3 2
− dt 0,50
5
1 3 1
= ln(t + 1) + = ln 2 − 12 0,25
t + 1 3
2 Ch ng minh: – 4 3 –3 ≤ x2 – xy – 3y2 ≤ 4 3 –3 (1,00 đi m)
Đ t A = x 2 + xy + y 2 ,B == x 2 – xy –3 y 2 0,25
N u y = 0 thì B= x 2 ⇒ 0 ≤ B ≤ 3
x x 2 − xy − 3 y 2 t2 −t −3 0,25
N u y ≠0 thì đ t t = ta đư c B = A. 2 = A. 2
y x + xy + y 2 t + t +1
t2 −t −3
Xét phương trình 2
= m ⇔ (m–1)t2 + (m+1)t + m + 3 = 0 (1)
t + t +1
Phương trình (1) có nghi m khi và ch khi m = 1 ho c
0,50
− 3 − 48 − 3 + 48
∆ = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3) ≥ 0 ⇔ ≤m≤
3 3
Vì 0 ≤ A ≤ 3 nên –3– 4 3 ≤ B ≤ –3+ 4 3
V.a 2,00
1 (1,00 đi m)
x2 y2
(E): + = 1 có hai tiêu đi m là F1(– 10 ;0) , F2( 10 ;0)
12 2
Vì (H) có cùng tiêu đi m v i (E) nên phương trình c a (H) có d ng:
0,25
x2 y2
− =1
a2 b2
Vì (H) có cùng tiêu đi m v i (E) nên 0,25
a2 + b2 = c2 = 10 (1)
Vì (H) có hai đư ng ti m c n là y = ±2x nên b = 2a (2) 0,25
T (1) và (2) suy ra a2 = 2 , b2 = 8
x2 y2 0,25
Phương trình c a (H) là : − =1
2 8
2 Áp d ng khai tri n nh th c Niutơn , ch ng minh đ ng th c (1,00 đi m)
0 1 99 100
Ta có : x100 ( x + 1)100 = C100 x 100 + C100 x101 + ... + C100 x 199 + C100 x 200 0,25
L y đ o hàm 2 v ta suy ra :
100 0 1
100[x( x + 1)] (1 + 2 x) = 100 C100 x 99 + 101C100 x 100 + ... + 200 C100 x 199
100 0,50
1
Thay x= – ta suy ra B = 0 0,25
2
- V.b 2,00
1 Gi i b t phương trình (1,00 đi m)
Đi u ki n –1 < x < 0 0,25
B t phương trình đã cho tương đương v i :
–2x < ( x + 1) 2 ⇔ x 2 + 4 x + 2 > 0 0,25
⇔ x –2+ 3 . 0,25
K t h p v i đi u ki n ta đư c –2+ 3 < x < 0 0,25
2 Ch ng minh AC’ ⊥ (BDMN). Tính VA.BDMN (1,00 đi m )
S
D' M A'
N
C' B'
D A
O
C B
0,25
G i O là tâm c a đáy ABCD, S là đi m đ i x ng c a A qua A’ . Khi đó
S,M,D th ng hàng và M là trung đi m c a SD; S,N,B th ng hàng và N là
trung đi m c a SB.
T hai tam giác đ ng d ng SAO và ACC’ ta suy ra AC’ ⊥ SO (1)
Vì BD ⊥ AC , BD ⊥ AA’ ⇒ BD ⊥ (ACC’A’) ⇒ BD ⊥ AC’ (2)
T (1) và (2) suy ra AC’ ⊥ (BDMN) 0,25
2 3
3 3 1 1 a 3 3a
Ta có: VA.BDMN = VS.ABD = . SA.SABD = .a 3 . = 0,50
4 4 3 4 4 16
========== H t ============
nguon tai.lieu . vn
