Xem mẫu
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
Bài 1 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :
x = 1
a. Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên đoạn [ − 4;3] . Đạo hàm : f ' ( x ) = 3 x 2 + 6 x − 9;
f ' ( x) = 0 ⇔ .
x = −3
Ta có : f ( −4) = 13; f (−3) = 20; f (1) = −12; f (3) = 20 .Vậy: xmax ] f ( x) = 20 ⇔ x = ±3 ; xmin3] f ( x) = −12 ⇔ x = 1 .
∈[ − 4;3 ∈[ − 4;
b.Bạn đọc tự làm .
3π
c. Xét h/s : f ( x) = 2 sin x + sin 2 x , trên đoạn 0; . Đạo hàm : f ' ( x) = 2 cos x + 2 cos 2 x . f ' ( x) = 0
2
3π
0 < x < 2
3π x = π + k 2π x = 0
0 < x < 2 π
3
⇔ 2 cos 2 x + cos x − 1 = 0 ⇔ ⇔ ; ( k ∈ Z ) ⇔ x = .
cos x = 0,5
x = − π + k 2π 3
cos x = −1 3 x = π
x = π + k 2π
π 3 3 3π 3
Lại có : f (0) = 0; f = ; f (π ) = 0 ; f = .
3 2 2 2
3 3 π min f ( x) = 0 x = 0
Như vậy : min f ( x) = ,đạt được khi x = ; x∈ 0; 3π ,đạt được khi .
3π
x∈ 0; 2 3 2
x = π
2
d. Xét hàm số : f ( x ) = ln 2 x − 2 ln x − 3 , trên đoạn 1; e 3 . [ ] TXĐ : D = (0;+∞) .
2 2 2. ln x 2
Đạo hàm : f ' ( x) = . ln x − = − ; f ' ( x) = 0 ⇔ x = e . Lại có : f(1) = -3 ; f(e) -4 ; f(e3) = 0 .
x. ln e x. ln e x x
Vậy : xmin ] f ( x) = −4 , đạt được khi x = e ; x∈[1;e3 ] f ( x) = 0 , đạt được khi x = e3 .
∈[1;e3
max
1
e. Xét hàm số : f ( x ) = e x + e − x , trên đoạn ln ; ln 2 . Đạo hàm : f ' ( x) = e x − e − x ; f ' ( x) = 0 ⇔ x = 0 .
2
1 min f ( x) = 1 1 max f ( x ) = 4
Ta lại có : f ln = 1; f ( 0 ) = 2; f ( ln 2 ) = 4 . Vậy: x∈ ln 1 ;ln 2 , đạt được khi x = ln ; 1 , khi x =
2
2
2 x∈ ln 2 ;ln 2
ln2 .
f. Xét hàm số : f ( x ) = x + 4 − x 2 . TXĐ : D = [-2;2] .
2x
Đạo hàm : f ' ( x) = 1 − ; f ' ( x) = 0 ⇔ x = 2 .
2 4 − x2
Lại có : f(-2) = -2 ; f ( )
2 = 2 2 ; f(2) = 2 .
Vậy : x∈[ − 2; 2 ] f ( x) = −2 , đạt được khi x = -2 ; xmax ] f ( x) = 2 2 , đạt được khi x =
min
∈[ − 2; 2 2 .
x +1
g. Xét hàm số : f ( x ) = , trên đoạn [-1;2] . TXĐ : D = [-1;2] .
x2 +1
x2 +1 −
2 x( x + 1) ( )
x 2 + 1 − x( x + 1)
Đạo hàm : 2 x2 +1 x2 +1 1− x ; f ' ( x) = 0 ⇔ x = 1 .
f ' ( x) = = =
x +1
2
x +1
2
( x + 1). x + 1
2 2
_______________________________________________________________________________________ 1
© Phan Sỹ Công - Nguyễn Văn Thức Lớp 12A.k32 - Trường THPT Đặng Thúc
Hứa
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
3 5
Lại có : f(-1) = 0 ; f(1) = 2 ; f ( x) = .Như vậy : xmin ] f ( x ) = 0 , đạt được khi x = -1 ; xmax ] f ( x ) = 2 , khi x = 1 .
∈[ −1; 2 ∈[ −1; 2
5
2 3
Bài 2: H/số : y = x − 4 x 2 + 6 x + m − 1 . (1)
3
2 3
1. Với m = 1, h/số (1) trở thành : y = f ( x) = x − 4 x + 6 x .
2
TXĐ : D = R
3
2 3
Giới hạn ,tiệm cận : lim f ( x) = lim = x − 4 x + 6 x = +∞ ; xlim f ( x) = − .Suy ra, ĐTHS kg có tiệm cận .
∞
2
→−∞
x → +∞ x → +∞
3
x=3
Đạo hàm : f ' ( x) = 2 x 2 − 8 x + 6 ; f ' ( x) = 0 ⇔ .
x = 1
Bảng biến thiên :
x -∞ 1 3 +∞
f'(x + 0 - 0 +
)
8
+∞
3
f(x)
-∞ 0
Vậy : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .
8
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = . H/số đạt cực tiểu tại x = 3 ; yCT = 0 .
3
Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số .
2 3
2. Xét hàm số : y = f ( x) = x − 4 x 2 + 6 x . Có đồ thị h/số (C) . TXĐ : D = R . Đạo hàm : f'(x) = 2x2 - 8x + 6 .
3
Hoành độ tiếp điểm của ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d1) : y = 6x - 6 là nghiệm của phương trình : 2x2 - 8x +6 = 6
x = 4
⇔ 2 x 2 − 8x = 0 ⇔ .Với x = 4, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(4) = 6(x - 4) y = 6x - 4 3 .
x = 0
Với x = 0, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) y = 6x .
2 3 2 3 8 5
3. ycbt ⇔ pt : x − 4 x + 6 x + m − 1 = 0 ⇔ x − 4 x + 6 x = m − 1 ,có 3 nghiệm p/biệt ⇔ 0 < 1 − m < ⇔ − < m < 1
2 2
3 3 3 3
.
2 3 2 2 8
4. PT : x − 6 x + 9 = k ⇔ x − 4 x 2 + 6 x = k .Như vậy : Với 0 < k < hay 0 < k < 4 thì pt x 3 − 6 x + 9 x = k có 3
3 2
3 3 3 3
2 8 2 8
3 k = 3 k = 4 3 k > 3 k > 4
nghiệm phân biệt . Với ⇔ thì pt x 3 − 6 x + 9 x = k có 2 nghiệm phân biệt . Với ⇔ thì pt
2 k = 0 k = 0 2 k < 0 k < 0
3
3
x − 6x + 9x = k
3
có 1 nghiệm duy nhất .
3 2 1
Bài 3 : 1. Khi m = 1, h/s trở thành : y = f ( x) = x − x +
3
(*). Bạn đọc tự khảo sát và vẽ ĐTHS (*) .
2 2
3 2 1 3
2. Xét h/số : y = x − mx + m . TXĐ : D = R .
3
Đạo hàm : y' = 3x2 - 3mx.
2 2
Để hàm số có cực trị thì pt : y' = 0 ⇔ 3 x 2 − 3mx = 0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó : ∆ = 9m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0 .
Giả sử A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị của h/số .
_______________________________________________________________________________________ 2
© Phan Sỹ Công - Nguyễn Văn Thức Lớp 12A.k32 - Trường THPT Đặng Thúc
Hứa
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
x = 0 1 3
Suy ra : x1 , x2 là hai nghiệm của pt : 3x2 - 3mx = 0 ⇔ . Suy ra A 0; m ; B ( m;0 ) .
x = m 2
− m3 m m3
Suy ra : AB m;
và M ;− là trung điểm của AB . Và n(1;1) là vtcp cuả đ/thẳng : y = x .
2
2
4
AB ⊥ n m − 1 m 3 = 0
2
Ycbt ⇔ ⇔ ⇔m=0 .
M ∈ đ / t : y = x m 2 = − m 4
3
3. Tương tự ý 4-Câu 2. Bạn đọc tự làm .
x +1
Bài 4 : 1. (ĐHKTQD-2001).. Xét h/s : y = f ( x) = . TXD : D = R\{3} .
x−3
x +1
Giới hạn, tiệm cận : lim f ( x) = lim = 1 . Suy ra, h/số có tiệm cận ngang là đ/thẳng : y =1 .
x →∞ x−3
lim f ( x) = +∞; lim f ( x) = −
+ −
∞ . Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng : x= 3 .
x →3 x →3
−4 x +1
Đạo hàm : f ' ( x) = =
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
1 1 4 1
Đáp số : Có hai pttt thoả mãn là ( ∆ 1 ) : y = − x + ; (∆2 ) : y = − x − .
4 4 9 3
x +1 a, ∀a > 0
6. Bạn đọc tự vẽ ĐTHS : y = (C) . Lưu ý : Ta có y = a = . Do đó ĐTHS (C) gồm :
x−3 − a, ∀a < 0
x +1 x +1
Phần từ trục Ox trở lên của ĐTHS y = , và phần đối xứng phần ĐTHS y = ở dưới trục Ox qua trục
x−3 x−3
Ox .
Bài 5 : H/số : y = x 4 − 2(m + 1) x 3 − 3m .
1. Do (Cm) cắt Oy tại điểm A(0;-3) nên toạ độ của A chính là nghiệm của pt: y = x 4 − 2(m + 1) x 2 − 3m .
Thay vào ta có : − 3 = 0 4 − 2(m + 1).0 2 − 3m ⇔ m = 1 ⇒ h / sô.( C ) : y = x 4 − 4 x 2 − 3 .
Bạn đọc khảo sát và vẽ ĐTHS (C) .
6 16 6 5
2. y'' = 12x2 - 8 ; y'' = 0 ⇔ 12 x0 − 8 = 0 ⇔ x 0 =
2
(vì x0 > 0) . Suy ra pttt cần tìm là : y = − x− .
3 9 3
3. ĐS:Với -4
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
1− 5 1+ 5
Giải tiếp hệ trên ta được kết quả. ĐS : 0 ) . Khi đó : ⇔ 9 ⇔ ⇔ 9 .
uv = 9 u = v 9 u = v
3 = v
u = v
3 > 1
1− x
log 3 3 > log 3 3
1− x
x < 0
Thay vào, ta được : 1− x ⇔ ⇔ ⇔ −2 < x < 0 .
3 < 9
log 3 31− x < log 3 9
x > −2
0 < x < 3
3 x − x 2 > 0 0 < x < 1
3± 5
f. log 3 x − x 2 (3 − x) > 1 ⇔ 3 x − x ≠ 1 ⇔ x ≠ ⇔
2
3− 5 .
3 − x > 3 x − x 2 2 x≠
x > 3 2
x < 1
2 3 3 2
Bài 8 : 1. ∫ (2 x − 3 x + 5).dx = x − x + 5x + C .
2
3 2
3
x 8 x3
2. ∫ .dx = ∫ (x 2 − 2 x + 4 − ).dx = − x 2 + 4 x − 8. ln x + 2 + C .
x+2 x+2 3
2 x 1 2 x 1 1
3. ∫ sin .dx = ∫ 2. sin .dx = ∫ (1 − cos x).dx = ( x − sin x) + C .
2 2 2 2 2
2 dx
4. ∫ 3 sin x − 2 .dx = 3∫ sin x.dx − 2 ∫ = −3 cos x − 2 tan x + C .
cos x cos 2 x
ex dt
5 . Đặt ex + 1 = t, dt = e x .dx . Suy ra : ∫ x .dx = ∫ = ln t + C .
e +1 t
2t dx 1 2t 2 2t 2
6. Đặt 3x + 1 = t ⇒ t = 3x + 1 ⇒ .dt = dx .Suy ra: ∫ = ∫ . .dt = ∫ .dt = + C = 3x + 1 + C .
2
3 3x + 1 t 3 3 3 3
dx dx 1 1 x−2
7. ∫ 2 =∫ = ∫ − .dx = ln x − 2 − ln x − 1 + C = ln +C .
x − 3x + 2 ( x − 2)( x − 1) x − 2 x −1 x −1
Bài 9 :
Gọi O là chân đường cao kẻ từ S tới mp(ABC). Do S.ABC là hình chóp đều nên O
Cũng là trọng tâm, trực tâm của ∆ABC đều .
Gọi H là trung điểm của AB. Dẽ dàng c/minh : SH ⊥ AB . S
2 AH a 2
Tam giác SAH : cos ∠SAH = cos 45 0 = = ⇒ SA = = SC .
2 SA 2
a 3
Do Tam giác ABC đều cạnh a nên độ dài trung tuyến CH là : CH = (đ.v.đ.d) .
2
2 2 a 3 a 3 a2 a2 a2 6
Và CO = CH = . = . Suy ra SO = SC 2 − CO 2 = − = . A C
3 3 2 3 2 3 6
a2 3
Diện tích tam giác đều ABC cạnh a là : S ∆ABC = (đ.v.d.t) . H O
4
1 1 a 6 a2 3 a3 2
Do đó : VS . ABC = SO.S ∆ABC = . . = (đ.v.t.t) . B
3 3 6 4 24
A C
Bài 10 : Ta thấy hình chiếu của A' trên mp(ABC) là điểm A.
_______________________________________________________________________________________ 5
© Phan Sỹ Công - Nguyễn Văn Thức Lớp 12A.k32 - Trường THPT Đặng Thúc
Hứa
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
Suy ra: hình chiếu của cạnh A'B trên mp(ABC) là AB ⇒ ( A' B; mp ( ABC ) ) = ∠A' BA = 60 0 .
Xét ∆A' BA vuông tại A và có ∠A' BA = 60 0 , nên : A'A = AB.tan ∠A' BA = a.tan 600
hay A'A = a 3 (đ.v.đ.d).
1
Mặt khác : ∆ABC là tam giác vuông cân tại B nên diện tích là : S ∆ABC = BA.BC
2
Do đó : Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là : A' C'
3
1 a 3
V ABC . A'B 'C ' = A' A.S ∆ABC = a 3. BA.BC = (đ.v.t.t) .
2 2
Bài 11:
a3 2
a. Bạn đọc tự làm . ĐS : VS . ABCD = (đ.v.t.t). S
3
b.Lấy O làm tâm của hình vuông ABCD hay O = AC ∩ BD .
SO cắt B'D' tại H. Kéo dài AH cắt SC tại C' .
Ta có : BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ mp ( SAB) ⇒ BC ⊥ AB ' . C' D'
Lại có SB ⊥ AB' nên suy ra AB' ⊥ mp ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC .
Tương tự, ta có : AD' ⊥ SC . Suy ra : SC ⊥ mp ( AB' D' ) (đ.p.c.m) .
c. Có AC = 2a 2 = a 2 = SA . Suy ra ∆SAC vuông cân tại A. B'
AC' ⊥ SC ⇒ C' là trung điểm của SC => SC' = 0,5.SC = 0,5 SA 2 + AC 2 = a . A D
VS . AB 'C ' SA SB ' SC ' SB ' VS . AD 'C ' SA SD' SC ' SD'
Ta có : = . . = , = . . = .
VS . ABC SA SB SC 2 SB VS . ADC SA SD SC 2 SD
SB ' SA SB ' SA 2 2a 2 2
Mặt khác : ∆SB' A ₪ ∆SAB ⇒ = ⇒ = = 2 = .
SA SB SB SB 2
2a + a 2
3
SD' 2
Tương tự, ta có: = . B D
SD 3
Do ∆ABC = ∆ADC ⇒ VS . ABC = VS . ADC = 0,5.VS . ABCD .
VS . AB 'C ' VS . AD 'C ' V 1 2 2 3 3
Suy ra : + = S . AB 'C 'D ' = . + ⇒ VS . AB 'C 'D ' = 2 . a 2 = a 2 (đ.v.t.t) .
VS . ABC VS . ADC 0,5.VS . ABCD 2 3 3 3 6 9
Bài 12 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BCD, O' là tâm đường tròn
ngoại tiếp ∆ ACD và I = AO ∩ BO' .Ta có: I ∈ AO cách đều 3 điểm B,C,D
và I ∈ BO' cách đều 3 điểm A,C,D. Suy ra I cách đều 4 điểm A,B,C,D.
Hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Độ dài BO là : B D
2 a 3 a 3 BO 3 6
BO = . = ⇒ sin ∠OAB = = ⇒ cos ∠OAB = 1 − 3 = .
3 2 3 AB 3 9 3
AB a 6 a 6
⇒ AI = = . Bán kính R = AI = (đ.v.đ.d).
2. cos ∠OAB 4 4
C
_______________________________________________________________________________________ 6
© Phan Sỹ Công - Nguyễn Văn Thức Lớp 12A.k32 - Trường THPT Đặng Thúc
Hứa
- BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
-------------------------------------------------------------------------------------------
___06-07/12/2010___
Cuéc ®êi mÊy ai tr¸nh khái sai lÇm !!!
.. .. ..!!!
Chóc mäi ngêi lµm bµi thi tèt !!!...
_______________________________________________________________________________________ 7
© Phan Sỹ Công - Nguyễn Văn Thức Lớp 12A.k32 - Trường THPT Đặng Thúc
Hứa
nguon tai.lieu . vn
