Xem mẫu
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN LỚP 10
Năm học 2010- 2011
PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I. TẬP HỢP. MỆNH ĐỀ (Dành cho phần trắc nghiệm)
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai ? lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đó:
2/ " x Î Z , x2 ³ x .
1/ " n Î N*, n2 + n + 1 lµ sè nguyªn tè.
3/ $ k Î Z , k2 + k + 1 lµ mét sè ch½n. 4/ " n Î N , n3 - n chia hÕt cho 3.
2x
5/ " x Î R , x < 3 Þ x2 < 9. 6/ $ x Î R , >1.
x +1
2
3x + 2
7/ $ x Î Q, 8/ "x Î N , x2 chia hÕt cho 3 Þ x chia hÕt cho 3.
ÎZ .
x2 +1
Bµi 2. Cho A = {1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9} ; B = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9} ; C = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} .
1/ T×m A Ç B; B \ C ; A È B; A \ B .
2/ Chøng minh: A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B ) \ C .
Bài 3: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau.
a/ A = {3k -1| k Î Z , -5 £ k £ 3} b/ B = {x Î Z / x2 - 9 = 0}
c/ C = {x Î R / (x - 1)(x2 + 6x + 5) = 0} d/ D = {x Î Z / |x |£ 3}
e/ E = {x / x = 2k với k Î Z và -3 < x < 13}
Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp con của tập: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d}
Bài 5: Tìm A Ç B ; A È B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :
a/ A = (2, + ¥) ; B = [-1, 3]
b/ A = (-¥, 4] ; B = (1, +¥)
c/ A = {x Î R / -1 £ x £ 5}B = {x Î R / 2 < x £ 8}
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (Dành cho tự luận và trắc nghiệm)
VẤN ĐỀ 1. Tìm tập xác định
· Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa:
D = { x Î R f ( x) coù nghóa} .
· Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
P ( x)
1) Hàm số y = Q( x) : Điều kiện xác định: Q(x) ¹ 0.
2) Hàm số y = R( x) : Điều kiện xác định: R(x) ³ 0.
+ Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
Chú ý:
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A Ì D.
ìA¹ 0
+ A.B ¹ 0 Û í B ¹ 0 .
î
1
www.MATHVN.com
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
VẤN ĐỀ 2. Xét tính chẳn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
· Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
· Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), "x Î D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), "x Î D thì f là hàm số lẻ.
+ Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với "x Î D thì –x Î D.
Chú ý:
+ Nếu $x Î D mà f(–x) ¹ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
VẤN ĐỀ 3. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
· y = f(x) đồng biến trên K Û "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )
f ( x2 ) - f ( x1 )
Û "x1 , x2 Î K : x1 ¹ x2 Þ >0
x2 - x1
· y = f(x) nghịch biến trên K Û "x1 , x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 )
f ( x2 ) - f ( x1 )
Û "x1 , x2 Î K : x1 ¹ x2 Þ 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
· Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d¢): y = a¢x + b¢:
+ (d) song song với (d¢) Û a = a¢ và b ¹ b¢.
+ (d) trùng với (d¢) Û a = a¢ và b = b¢.
+ (d) cắt (d¢) Û a ¹ a¢.
2. Hàm số y = ax + b (a ¹ 0)
b
ì
ïax + b khi x ³ -
ï a
y = ax + b = í
b
ï-(ax + b) khi x < -
ï a
î
Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá
đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
2
VẤN ĐỀ 5. Hàm số bậc hai y = ax + bx + c (a ¹ 0)
· Tập xác định: D = R
· Sự biến thiên:
b
æb Dö
· Đồ thị là một parabol có đỉnh I ç - 2a ; - 4a ÷ , nhận đường thẳng x = - 2a làm trục đối xứng, hướng bề
è ø
lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
www.MATHVN.com 2
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
æb Dö
– Xác định toạ độ đỉnh I ç - 2a ; - 4a ÷ .
è ø
b
– Xác định trục đối xứng x = - 2a và hướng bề lõm của parabol.
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các
điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
3- x
- 3x
2) y = 12-3x 3) y =
1) y =
x+2 x-4
5- x
x
4) y = 5) y = x + 2 + 7 - x 6) y =
2 - 3 x - 10
( x - 1) 3 - x x
Bµi 2. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:
x-a
1) y = x - a + 2 x - a - 1 ; K = (0; +¥). 2) y = 2 x - 3a + 4 + ; K = (0; +¥).
x + a -1
x + 2a 1
3) y = 4) y = + - x + 2a + 6 ; K = (–1; 0).
; K = (–1; 0).
x - a +1 x-a
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
3) y = x 4 - 2 x + 5
2) y = x4 - 3x2 - 1
1) y = 4x3 + 3x
Bµi 4. XÐt tÝnh ®ång biÕn; nghÞch biÕn cña hµm sè:
4
; x Î (2;+¥ )
2) y = x x ; x Î (0;+¥ )
3
1) y = 3) y =
x +1 2- x
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
2x - 5
a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y =
3
Bài 6: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b để:
a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3)
2
b/ Đi qua C(4, -3) và song song với đt y = - x + 1
3
c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
1
d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đt y = - x + 5
2
Bài 7: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
c/ y = -x2 + 2x - 3
b/ y = -x2 – x + 2 d) y = x2 + 2x
a/ y = x 2 - 4x+3
e/ y = x2 + 3x + 4 f/ y = 2x2 – x – 1 g/ y = - x2 + 4x + 5 h/ y = -x2 + 4x
Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm các của các đồ thị hàm số sau:
vµ y = x 2 - 2 x - 1
1/ y = x - 1 (KQ: (3;2), (0;-1))
2/ y = - x + 3 vµ y = - x 2 - 4 x + 1 (KQ: (-1;4), (-2;5))
www.MATHVN.com 3
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
3/ y = 2 x - 5 và y = x 2 - 4 x + 4 (KQ: Tiếp xúc tại (3;1))
Bài 9: Xác định parabol y= ax2+ bx+1 biết parabol đó:
a) Qua A(1;2) và B(-2;11)
b) Có đỉnh I(1;0)
c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2
d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0.
Bài 10: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó:
a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)
b/ Có đỉnh I(-2; -2)
c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)
d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận)
VẤN ĐỀ 1. Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
· x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
1
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P ( x) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0.
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P ( x) thì cần điều kiện P(x) ³ 0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
· (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2.
3. Phép biến đổi tương đương
· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương
trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
x - 2 = 2 - x +1
x - 3 + x = 1+ x - 3
1/ 2/
4/ 3 x 2 + 5x - 7 = 3x + 14
3/ x x - 1 = 2 x - 1
x+4 =2 x - 1 (x2 - x - 6) = 0
5/ 6/
3x 2 + 1 x 2 + 3x + 4
4
= = x+4
7/ 8/
x-1 x-1 x+4
Bài 2: Giải các phương trình sau :
2x - 2 x -2 1
2 2
7 - 2x
1
1/ x - 1 + = -=
2/ 1 + = 3/
x-2 x -2 x + 2 x x ( x - 2)
x -3 x -3
www.MATHVN.com 4
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
x2 + x - 2
6/ x - 3 x + 2 = 0
4/ x 4 - 8x 2 - 9 = 0 = 10
5/
x+2
VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
é ì f ( x) ³ 0
C2 ì g( x) ³ 0
C1 ê í
î f ( x) = g( x) Û ï é f ( x) = g( x)
· Dạng 1: f ( x) = g( x) Û ê ì f ( x) < 0 í
êí ï ê f ( x) = - g( x)
îë
ê î- f ( x) = g( x)
ë
C1 C2
é f ( x) = g( x)
2 2
f ( x) = g( x) Û [ f ( x)] = [ g( x)] Ûê
· Dạng 2: ë f ( x) = - g( x)
· Dạng 3: a f ( x) + b g( x) = h( x)
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
VẤN ĐỀ 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
ì 2
f ( x) = g( x) Û í f ( x) = [ g( x)]
ï
Dạng 1:
ï g( x) ³ 0
î
ì f ( x) = g( x)
Dạng 2: f ( x) = g( x) Û í f ( x) ³ 0 (hay g( x) ³ 0)
î
ìt = f ( x), t ³ 0
ï
Dạng 3: af ( x) + b f ( x) + c = 0 Û í 2
ïat + bt + c = 0
î
Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/ 2 x + 1 = x - 3 2/ |2x - 2| = x2 - 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1
6/ 2 x - 4 = x - 1
4/ |x - 2| = 3x2 - x - 2 5/ x - 2x - 5 = 4
7/ 2 x + 5 = 3 x - 2 8/ x 2 - 7 x + 10 = 3 x - 1 9/ 3 x - 2 = x - 2 + 2
x 2 - 3x - 1 + 7 = 2 x 11/ x 2 + x 2 - x - 9 = x + 3 12/ 3x 2 - 9x + 1 = x - 2
10/
3x 2 - 9x + 1 = x - 2 14/ x - 2x - 5 = 4
13/
VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
b
(1) có nghiệm duy nhất x = -
a¹0
a
b¹0 (1) vô nghiệm
a=0
(1) nghiệm đúng với mọi x
b=0
www.MATHVN.com 5
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2 3/ (m2 + m)x = m2 - 1
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau :
ì7 4
ï 3 x + 3 y = 41
ì2 x + 3 y = 5 ì -2 x + y = 3 ì x + 2 y = -3 ï
a. í b. í c. í d. í
î3 x + y = -3 î4 x - 2 y = -6 î -2 x - 4 y = 1 ï 3 x - 5 y = -11
ï5
î 2
VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai
1. Cách giải
(a ¹ 0)
ax2 + bx + c = 0 (1)
2 Kết luận
D = b - 4ac
-b ± D
D>0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
2a
b
(1) có nghiệm kép x = -
D=0
2a
D
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận)
I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ .
1. Các định nghĩa uuu
r
AB .
· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
uuu
r
AB .
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
r
0.
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
rr
a , b ,... để biểu diễn vectơ.
+ Ta còn sử dụng kí hiệu
Chú ý:
r
0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
r
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ uuu uuu uuu
r r r
AB + BC = AC .
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: uuu uuu uuu
r r r
AB + AD = AC .
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
rrrr rrr
rr rr rr
(a + b ) + c = a + (b + c ) ;
a+b =b+a; a+0=a
· Tính chất:
b) Hiệu của hai vectơ
r rrr
r r r
a là vectơ b sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a .
· Vectơ đối của
rr
· Vectơ đối của 0 là 0 .
rrr r
a - b = a + ( -b ) .
· uuu uuu uuu
r r r
OB - OA = AB .
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
c) Tích của một vectơ với một số
r r
· Cho vectơ a và số k Î R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r r r r
+ ka cùng hướng với a nếu k ³ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
r r
ka = k . a .
+
rr rr r rr r r
k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a
· Tính chất:
rr rr
ka = 0 Û k = 0 hoặc a = 0 .
rr r r
r r
a vaø b ( a ¹ 0 ) cuøng phöông Û $k Î R : b = ka
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: uuur uuur
AB = kAC .
· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0:
rr r
a , b và x tuỳ ý.
· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương
r
r r
x = ma + nb .
Khi đó $! m, n Î R:
Chú ý:
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r uuu uuu
r r uuur
MA + MB = 0 Û OA + OB = 2OM (O tuỳ ý).
M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û
· Hệ thức trọng tâm tam giác: r uuu uuu
uuu r rr uuu uuu uuu
r r r uuu r
GA + GB + GC = 0 Û OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý).
G là trọng tâm DABC Û
www.MATHVN.com 7
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
II/ TỌA ĐỘ
1. Trục toạ độ
r
· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e . Kí hiệu
r
(O; e ) .
r r r
· Toạ độ của vectơ trên trục: u = (a ) Û u = a.e .
uuur r
M(k) Û OM = k.e .
· Toạ độ của điểm trên trục: uuu
r r
AB = a Û AB = a.e .
· Độ dài đại số của vectơ trên trục:
uuur r
AB cuøng höôùng vôùi e thì AB = AB .
+ Nếu uuur
Chú ý:
r
AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB = - AB .
Nếu
+ Nếu A(a), B(b) thì AB = b - a .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC .
2. Hệ trục toạ độ rr
i , j . O là gốc toạ độ,
· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là
Ox là trục hoành, Oy là trục tung. r r
r r
u = ( x; y) Û u = x.i + y. j .
· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: uuur r r
M( x; y) Û OM = x.i + y. j .
· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
r
r
a = ( x; y), b = ( x¢ ; y¢ ), k Î R , A( xA; yA), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :
· Tính chất: Cho
rr
rr ì x = x¢ r
ï
a ± b = ( x ± x¢ ; y ± y¢ ) + ka = (kx; ky)
a=bÛí
ï y = y¢
+ +
î
r rr ¢ ¢
b cùng phương với a ¹ 0 Û $k Î R: x = kx vaø y = ky .
+
x¢ y¢
Û x = y (nếu x ¹ 0, y ¹ 0).
uuu
r
AB = ( xB - xA; yB - yA ) .
+
xA + xB yA + yB
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI = ; yI =
2 2 .
xA + xB + xC yA + yB + yC
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG = ; yG =
3 3 .
xA - kxB yA - kyB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: xM = 1 - k ; yM =
1- k .
uuur uuur
MA = kMB ).
( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û
Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh :
uur uuu uuu uur
r r uur uur uuu uur
r
a ) AB + DC = AC + DB b) AB + ED = AD + EB
uur uur uuu uur
r uuu uur uuu uur uur
r r
c ) AB - CD = AC - BD d ) AD + CE + DC = AB - EB
uuu uuu uuu uur
r r r uuu
r uuu
r uuu uuu uuu
r r r uuu uuu uuu
r r r uuu uuu uuu
r r r
f ) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE
e) AC+ DE - DC - CE + CB = AB
Bài 2: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Cmr
uuu uuu uur r
r r uuu
r uuu uur
r uur
a ) 2 RM + RN + RP = 0 b) ON + 2OM + OP = 4OR, "O bÊt k×
c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng
www.MATHVN.com 8
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
uuu uuur uuur
r uuu
r
MS + MN - PM = 2 MP
uuur uuu uuuu uuu
r r r
d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng: ON + OS = OM + OP ;
uuur uuuu uuu uuu
r r r uur
ON + OM + OP + OS = 4OI
Bài 3:.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng:
uuu uuu uuu uuu
r r r r uuuu
r uuur uuu uuur uuu
r r uuuu
r
a) CA + DB = CB + DA = 2MN b) AD + BD + AC + BC = 4 MN
uur uu uur uur
r uur
c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng: 2( AB + AI + NA + DA) = 3DB
Bài 4:. Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng:
uuu uur uu r
r r
a ) MQ + NS + PI = 0
b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm .
c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm
đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:
uuu uuur uur uuur' uuuu' uuu'
r r
r
ON + OM + OP = ON + OM + OP
Bài 5: Gọi G và G ¢ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A¢B ¢C¢ .
uuur uuur uuuu r uuuu
r
Chứng minh rằng AA¢ + BB ¢ + CC¢ = 3GG ¢
Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC=2NA,
gọi K là trung điểm của MN
uuur 1 uuu r 1 uuu r
a ) CMR: AK= AB + AC
4 6
uuur 1 uuuu 1 uuu
r r
b) Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh : KD= AB + AC
uuu uur uuu
r r
4 3
Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP.Hãy phân tích các véctơ MN , NP , PM
uuuu r uuur
r r
theo hai véctơ u = MK , v = NQ
uuu
r uur
b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho SN = 3SP . Hãy phân
uuur r uuuu r uuur
r
tích véctơ MS theo hai véctơ u = MN , v = MP
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là
uur uuur uu uuu
rr
1
điểm trên cạnh MN sao cho MH = MN .Hãy phân tích các véctơ MI , MH , PI , PH theo hai véctơ
5
r uuuu r uuur
r
u = PM , v = PN
Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)
a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
d) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình Bình hành
e) Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN
f) Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của tam
giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK.
g) Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C.
uuur uuur uuur uuur
h) T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho AB = 3BU ; 2 AC = -5 BU
uuu
r uuur uuu r uuur uuu r
k) H·y ph©n tich AB, theo 2 vec t¬ AU vµ CB ; theo 2 vect¬ AC vµ CN
Bài 9: Cho tam giác ABC có M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của các cạnh: BC, CA,
AB. Tìm toạ độ A, B, C.
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng các điểm:
a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thẳng hàng.
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thẳng hàng.
c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) không thẳng hàng.
Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A(2; 1) và B(6; -1) Tìm tọa độ:
a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng.
b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng.
www.MATHVN.com 9
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O
1. Định nghĩa
·
Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn a = xOM . Giaû söû M(x; y).
sina = y (tung ñoä)
cosa = x (hoaønh ñoä) y
y æ tung ñoä ö
tana = ç ÷ (x ¹ 0) M
y
x è hoaønh ñoä ø
x1
x æ hoaønh ñoä ö -1 O x
cota = y ç tung ñoä ÷ (y ¹ 0)
è ø
– Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
Chú ý:
– tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800.
2. Tính chất
· Góc phụ nhau · Góc bù nhau
sin(900 - a ) = cos a sin(1800 - a ) = sin a
cos(900 - a ) = sin a cos(1800 - a ) = - cos a
tan(900 - a ) = cot a tan(1800 - a ) = - tan a
cot(900 - a ) = tan a cot(1800 - a ) = - cot a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00 300 450 600 900 1800
1 2 3
sina 0 1 0
2 2 2
1
3 2
cosa 1 0 –1
2
2 2
3
tana ||
3
0 1 0
3
3
cota || ||
3 1 0
3
II/ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
r
r
a
1. Góc giữa hai vectơ b
uuu r uuu r
r r
rr r rA
a
a , b ¹ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b .
Cho
rr
O
( a , b ) = · với 00 £ · £ 1800. r
AOB AOB b
Khi đó B
Chú ý:
rr
rr
( a , b ) = 900 Û a ^ b
+
rr
rr
( a , b ) = 00 Û a , b cùng hướng
+
rr
rr
+ ( a , b ) = 1800 Û a , b ngược hướng
rr rr
( a, b ) = ( b, a )
+
2. Tích vô hướng của hai vectơ
rr r r rr
a .b = a . b .cos ( a , b ) .
· Định nghĩa:
rr r r2
a .a = a 2 = a .
Đặc biệt:
www.MATHVN.com 10
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
rrr
a , b , c bất kì và "kÎR, ta có:
· Tính chất: Với
rr rr rr r rr rr
a ( b + c ) = a.b + a.c ;
+ a.b = b.a ;
rr
rr rr rr r r
( ka ) .b = k ( a.b ) = a. ( kb ) ; a 2 ³ 0; a 2 = 0 Û a = 0 .
r r2 r rr r rr rr r
r
( a - b )2 = a 2 - 2a.b + b 2 ;
+ ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
r rrrr
r
a2 - b2 = ( a - b ) ( a + b ) .
rr rr
rr rr
+ a .b > 0 Û ( a , b ) nhoïn + a .b < 0 Û ( a , b ) tuø
rr rr
a .b = 0 Û ( a , b ) vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
rr
r
r
a.b = a1b1 + a2 b2 .
a = (a , a ), b = (b , b ). Khi đó:
· Cho 1 2 1 2
rr rr
r a1b1 + a2 b2
2 2
· a = a1 + a2 ; cos(a , b ) = a ^ b Û a1b1 + a2 b2 = 0
;
2 2 2 2
a1 + a2 . b1 + b2
AB = ( xB - xA)2 + ( yB - yA)2 .
· Cho A( xA; yA), B( xB ; yB ) . Khi đó:
Bài tập
Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900 b) a cos 900 + b sin 900 + c sin180 0
c) a 2 sin 90 0 + b2 cos 90 0 + c2 cos1800 d) 3 - sin 2 90 0 + 2 cos2 600 - 3 tan2 450
e) 4a 2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600. b) 2 sin x + cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
uuu uuu
rr uuu uuu
rr uuu uuu
rr
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 4. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
uuu uuu
rr uuu uuu
rr uuu uuu
rr
a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC
Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
uuu uuu uuu uur uuur uuu
rr r r
a) Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC . AB = 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
uuu uuu uur uuu uuu uuu
rr r rr
BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạnguuur giácrABC. r
tam uuu uuu
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2 AB - 3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 8. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
uuu uuu
rr
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
www.MATHVN.com 11
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
Bổ sung bài tập nâng cao:
(Học sinh ban cơ bản có thể làm)
Bài1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 - 4x + 3.
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) của hàm số.
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d: y = x - 1.
Bài 2: Cho parabol (P):y = ax2 + 2x + c
a)Tìm parabol (P) biết rằng (P) cắt trục tung tại tung độ y = 2 và qua điểm A(-1;-1)
b)Vẽ parabol (P) vừa tìm được ở câu a).
Bài 3: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 + bx + c.
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi a = 4, b = 3
b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1.
Bài 4: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0 ).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.
Bài 5: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( a ¹ 0 ).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1; 2) và có đỉnh S(2; 3).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.
2mx - m + 4
=2
Bài 6: a) Giải và biện luận theo m phương trình:
x +1
4a - 2
= a+3
b) Giải và biện luận theo a phương trình:
x-5
( 2m - 1) x + 2 = m + 1
c)
x-2
d) Giải và biện luận các phương trình:
mx - 1 m m( x 2 + 1)
1) mx + 1 = 2 x - m - 3 2) + = 3)4) m 2 ( x - 1) + m = x(3m - 2)
x -1 x + 1 x2 - 1
Bài 7: Giải và biện luận phương trình: (m - 1) x 2 + 7 x - 12 = 0
Bài 8: Cho phương trình ( m + 1) x 2 + ( 3m - 1) x + 2m - 2 = 0 . Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa x1 + x2 = 3 . Tính các nghiệm tron trường hợp đó.
Bài 9: Cho phương trình kx 2 - 2 ( k + 1) x + k + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương
b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn một và một nghiệm nhỏ
hơn 1.
Bài 10: Cho phương trình bậc hai x 2 + ( 2m - 3) x + m 2 - 2m = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 3? Tìm các
nghiệm trong trường hợp đó.
12
c) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 + x2 =
5
ì(m - 1) x + (m + 1) y = m
Bài 10: a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm: í
î(3 - m) x + 3 y = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình:
ìmx + y = m + 1 ì x + my = 1 ì(m - 1) x + (m + 1) y = m
1) í 2) í 3) í
î x + my = 2 îmx - 3my = 2m + 3 î(3 - m) x + 3 y = 2
www.MATHVN.com 12
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
Bài 11: Giải phương trình:
4x + 1 = 1 b) x - 2 x - 5 = 4
a)
d) 3x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2
x+5 - x-3 = 2
c)
Bài 12: Giải phương trình:
a) 2 x + 6 = 2 - x b) 2 x + 5 = x 2 + 5 x + 1 c) 3x + 4 = 2 - x x2 - 2 x + 4 = x - 1 - 2
d)
Bài 13: Giải hệ phương trình:
ìx + 2 y = 5 ì x 2 + 2 y 2 - 2 xy = 5 ì xy + x + y = 5 ìx + y = 4
a) í 2 b) í c) í 2 d) í 2
î x + 2 y - 2 xy = 5 îx + 2 y = 7 îx + y + x + y = 8 î x + y + xy = 13
2 2 2
Bài 14: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 2 - 4 x + 3 = m
12
x + 2x - 6 = m -1
Bài 15: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
2
Bài 16: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: - x 2 + 4 x - 3 = m + 1
Bài 17: Biện luận số giao điểm của hai parapol y = - x 2 - 2 x + 3 và y = x 2 - m
Bài 18: Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu
nghiệm: x 4 + 8 x 2 + 12 = 0
Bài 19: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(3; -1); B( 2; 4 ); C( 5; 3).
a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của môt tam giác.
b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho tam giác ABN vuông cân ở N.
Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-3; 4); B(1; 2)
a) Tính cosin của góc OAB.
b) Tìm điểm M trên Ox sao cho AM = BM
uuur uuu r uuur r
c) Tìm điểm C sao cho O OA + 2OB + 3OC = 0 .
Bài 21: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8).
a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, tìm tọa độ tâm của hình bình hành ABCD.
b) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó.
d) Tìm tọa đô chân đường cao A1 kẻ từ A, chân đường phân giác trong của góc A.
Bài 22: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(- 4; 1), B(2; 4), C(2;- 2)
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, tính chu vi tam giác ABC.
b) Tính cos · ? ABC
uuur uuur uuuu r r
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: 2MA + 3MB - MC = 0 .
Bài 23: Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a
uuu
r uuu r
1. Dựng vectơ 3OA + 4OB .
2. Tính độ dài vetơ vừa mới dựng.
Bài 24:
a) Cho tanx = -2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x.
b) Cho sinx = 1/4 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x.
5 sin x - 3cos x
c) Cho tan x = 5 . Tính giá trị của biểu thức A =
sin x + cos x
Bài 25: Chứng minh các đẳng thức sau
sin 2 x cos 2 x
- = sin x - cos x
a)
cos x (1 + tan x ) sin x (1 + cot x )
æ cos x ö æ sin x ö 1
b) ç tan x + ÷ + ç cot x + ÷=
1 + sin x ø è 1 + cos x ø sin x cos x
è
Bài 26: Cho tam giác ABC ,các điểm M(1; 0); N(2; 2); P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của
www.MATHVN.com 13
- MATHVN.COM | www.mathvn.com
các cạnh BC, CA, AB.
a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.
r uuuu uuur
r
b) Phân tích véctơ x(4; -3) theo hai véctơ MN , MP .
c) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và kiểm chứng hai tam giác ABC và tam giác
MNPcó cùng trọng tâm.
µ
Bài 27: Cho tam giác ABC biết AB = 10, AC = 4 và A = 600
a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Kẻ đường cao AH. Tính độ dai AH và BH. Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính tanC
d) Lấy D trên tia đối của tia AB sao cho AD = 6 và điểm E trên AC sao cho AE = x. Tìm x để
BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Bài 28: Chứng minh
æ a öæ b ö æ c ö
a) a4 + b4 ³ a3 b + ab3 ví i mä i a, b Î R. b) ç1 + ÷ç1 + ÷ ç1 + ÷ ³ 8 với a, b, c > 0
è b øè c ø è a ø
( )
c) ( a + b + c ) £ 3 a2 + b2 + c2 ví i mä i a, b, c Î R.
2
1 1 1 a b
d) (a + )(b + )(c + ) ³ 8 "a, b, c > 0 . e) Cho a,b>0 chứng minh (1 + ) 2 + (1 + ) 2 ³ 8
a b c b a
uuur uuur r
Bài 29: Cho tam giác ABC, gọi P là điểm sao cho PA + PB = 0 , K là một điểm trên cạnh AC sao
uuur 5 uuur uuur
cho KA = 3KC và E là trung điểm của đoạn PK. Chứng minh đẳng thức 4 AE = AB + BC .
2
Bài 30:
1
a) Cho cos x = - . Tính sinx, tanx, cotx?
3
b) Cho cotx = 3, hãy tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc x?
www.MATHVN.com 14
nguon tai.lieu . vn
