Xem mẫu
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
MÔN TOÁN
Đề thi số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x 2 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
m
b) Biện luận số nghiệm của phương trình x 2 2x 2 theo tham số m.
x 1
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình 3 4 sin 2 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x
b) Giải phương trình log x x 2 14 log16 x x3 40 log 4 x x 0.
2
Câu III ( 2 điểm)
3
x sin x
a) Tính tích phân I dx.
cos 2 x
3
x2
b) Cho hàm số f ( x) ex sin x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng minh rằng
2
f ( x) 0 có đúng hai nghiệm.
x 1 y z 2
Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng
2 1 3
( P) : 2 x y z 1 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ) . Viết phương trình của
đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P ) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I (1,0,0) tới (Q ) bằng
2
.
3
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A 0; 5 . Các đường phân giác và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d1 : x y 1 0,d 2 : x 2 y 0. Viết phương trình
ba cạnh của tam giác ABC.
60
3
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển 2 3 .
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Câu Vb (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
1 x 2 1 x1
a) Giải phương trình 3.4 x .9 6 .4 x .9 .
3 4
b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua
A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P )
và hình chóp.
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x3 3x 2 2.
Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R. 0,25
x 0
Sự biến thiên: y' 3x 2 6 x. Ta có y' 0
x 2
yCD y 0 2; yCT y 2 2. 0,25
Bảng biến thiên: 0,25
x 0 2
y' 0 0
2
y
2
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
b) m
Biện luận số nghiệm của phương trình x 2 2x 2 theo tham số m.
x 1
m 0,25
Ta có x 2 2 x 2 x2 2x 2 x 1 m,x 1. Do đó số nghiệm
x 1
của phương trình bằng số giao điểm của y x 2 2 x 2 x 1 , C' và đường
thẳng y m,x 1.
f x khi x 1 0,25
Vì y x2 2x 2 x 1 nên C' bao gồm:
f x khi x 1
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox.
Học sinh tự vẽ hình 0,25
Dựa vào đồ thị ta có: 0,25
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
+m 2 : Phương trình vô nghiệm;
+m 2 : Phương trình có 2 nghiệm kép;
+ 2 m 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu II 2 điểm
a) Giải phương trình 3 4 sin 2 2 x 2 cos 2 x 1 2 sin x
Biến đổi phương trình về dạng 2 sin 3 x 2 sin x 1 2 sin x 1 0 0,75
Do đó nghiệm của phương trình là 0,25
7 k2 5 k2
x k2 ; x k2 ; x ;x
6 6 18 3 18 3
b) Giải phương trình log x x 2 14 log16 x x3 40 log 4 x x 0.
2
1 1 0,25
Điều kiện: x 0; x;x .2; x
4 16
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
Với x 1 . Đặt t log x 2 và biến đổi phương trình về dạng 0,5
422 20
0
1 t 4t 1 2t 1
1 1 0,25
Giải ra ta được t ;t 2 x 4; x . Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
2 2
1
x 4; x .
2
Câu III
a) 3
x sin x
Tính tích phân I dx.
cos 2 x
3
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 0,25
3 3 3
1 x 3 dx 4 dx
I xd J , với J
cosx cosx cosx 3 cosx
3
3 3 3
Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó 0,5
3 3
3 2
dx dt 1 t 1 2 2 3
J ln ln .
cosx 3
1 t2 2 t 1 3 2 3
3 2
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
4 2 3 0,25
Vậy I ln .
3 2 3
b) x2
Cho hàm số f ( x) ex sin x 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng
2
minh rằng f ( x) 0 có đúng hai nghiệm.
Ta có f ( x ) e x x cos x. Do đó f ' x 0 ex x cos x. 0,25
Hàm số y e x là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến 0,25
vì y' 1 sin x 0 , x . Mặt khác x 0 là nghiệm của phương trình
ex x cos x nên nó là nghiệm duy nhất.
Lập bảng biến thiên của hàm số y f x (học sinh tự làm) ta đi đến kết 0,5
luận phương trình f ( x) 0 có đúng hai nghiệm.
Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x 0.
Câu IV
a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P ) . Viết phương
trình của đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P ) .
1 7 0,25
Tìm giao điểm của d và (P) ta được A 2; ;
2 2
Ta có ud 2;1; 3 ,nP 2;1;1 u ud ;n p 1; 2; 0 0,5
1 7 0,25
Vậy phương trình đường thẳng là :x 2 t; y 2t; z .
2 2
b) 2
Viết (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I (1,0,0) tới (Q ) bằng .
3
x 2y 1 0 0,25
Chuyển d về dạng tổng quát d :
3y z 2 0
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng 0,25
2 2
m x 2y 1 n 3y z 2 0,m n 0
mx 2m 3n y nz m 2n 0
2 0,5
d I; Q Q1 : x y z 1 0, Q2 : 7 x y 5 z 3 0.
3
Câu VIa
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A 0; 5 . Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là
d1 : x y 1 0,d 2 : x 2 y 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Ta có B d1 d2 B 2; 1 AB : 3x y 5 0. 0,25
Gọi A' đối xứng với A qua d1 H 2; 3 , A' 4;1 . 0,25
Ta có A' BC BC : x 3 y 1 0. 0,25
Tìm được C 28; 9 AC : x 7 y 35 0. 0,25
b) 3
60
Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển 2 3 .
3
60 60
k
60 k k
0,5
Ta có 2 3 C60 2 2
33 .
k 0
60 k 2 k 2 0,5
Để là số hữu tỷ thì k 6. Mặt khác 0 k 60 nên có 11
k 3
số như vậy.
Câu Vb
a) 1 x 1 x
Giải phương trình 3.4 x .9 2
6 .4 x .9 1
3 4
9 2x 0,5
Biến đổi phương trình đã cho về dạng 3.22 x 27.32 x 6.22 x .3
4
x
3 2 2 0,5
Từ đó ta thu được x log 3
2 39 2 39
b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam
giác đều. Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC .Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng (P ) và hình chóp.
Học sinh tự vẽ hình 0,25
Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO. 0,25
1 1 2 a 3 a2 3 0,5
Kẻ B' D' // BD. Ta có S AD' C' B' B' D' .AC' . BD. .
2 2 3 2 6
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5
nguon tai.lieu . vn
