Xem mẫu
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
MÔN TOÁN
Đề thi số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
x 1
Cho hàm số y .
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.
x 1
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m.
x 1
Câu II (2 điểm)
a) Tìm m để phương trình 2 sin 4 x cos 4 x cos 4 x 2sin 2 x m 0 có nghiệm trên 0; .
2
1 1 8
b) Giải phương trình log 2 x 3 log 4 x 1 log 2 4 x .
2 4
Câu III (2 điểm)
3
3x 2 1 2 x2 1
a) Tìm giới hạn L lim .
x 0 1 cos x
0 2 4 6 98 100
b) Chứng minh rằng C100 C100 C100 C100 ... C100 C100 250.
Câu IV (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c .
B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn
Câu Va (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x 2 y 2 4 y 5 0 và
C2 : x 2 y 2 6 x 8 y 16 0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của C1 và C2 .
b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’.
Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.
Câu VIa (1 điểm)
x 1 y z 2
Cho điểm A 2;5;3 và đường thẳng d : . Viết phương trình mặt phẳng chứa
2 1 2
d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao
Câu Vb (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp
xúc với đường thẳng d : x y 2 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4.
b) Cho tứ diện OABC có OA 4, OB 5, OC 6 và AOB BOC COA 600. Tính thể tích
tứ diện OABC.
Câu VIb (1 điểm)
x 1 y 3 z
Cho mặt phẳng P : x 2 y 2z 1 0 và các đường thẳng d1 : ,
2 3 2
x 5 y z 5
d2 : . Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường
6 4 5
thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
a) x 1 0,25
Tập xác định: Hàm số y có tập xác định D R \ 1 .
x 1
x 1 x 1 x 1
Giới hạn: lim 1; lim ; lim .
x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2 0,25
Đạo hàm: y ' 0, x 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng
2
x 1
;1 và 1; . Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1; tiệm cận ngang y 1. Giao của hai tiệm 0,25
cận I 1;1 là tâm đối xứng.
Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
b) x 1 0,5
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y C'
x 1
Học sinh tự vẽ hình
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
x 1 x 1 0,25
Số nghiệm của m bằng số giao điểm của đồ thị y và y m.
x 1 x 1
Suy ra đáp số 0,25
m 1; m 1: phương trình có 2 nghiệm
m 1: phương trình có 1 nghiệm
1 m 1: phương trình vô nghiệm
Câu II 2 điểm
a) 1 2 0,25
Ta có sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 x và cos4 x 1 2sin 2 2 x.
2
Do đó 1 3sin 2 2 x 2sin 2 x 3 m . 0,25
Đặt t sin 2 x . Ta có x 0; 2x 0; t 0;1 .
2
Suy ra f t 3t 2 2t 3 m, t 0;1
Ta có bảng biến thiên 0,25
10 0,25
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0; 2 m
2 3
b) 1 1 8
Giải phương trình log 2 x 3 log 4 x 1 log 2 4 x 2
2 4
Điều kiện: 0 x 1 0,25
2 x 3 x 1 4x 0,25
Trường hợp 1: x 1 0,25
2 x2 2 x 0 x 2
Trường hợp 1: 0 x 1 0,25
2 x2 6 x 3 0 x 2 3 3
Vậy tập nghiệm của (2) là T 2; 2 3 3
Câu III
a) 3
3x 2 1 2 x2 1
Tìm L lim .
x 0 1 cos x
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
3 0,25
3x 2 1 1 2 x2 1 1
Ta có L lim
x 0 1 cos x 1 cos x
0,25
2 x2 1 1 2 x2
Xét L1 lim lim 2
x 0 1 cos x x 0 2 x 2
2sin 2x 1 1
2
3 0,25
3x 2 1 1 3x 2
Xét L2 lim lim 2
x 0 1 cos x x 0 x 3 2 3
2sin 2 3x2 1 3x2 1 1
2
Vậy L L1 L2 2 2 4 0,25
b) 0 2 4 100
Chứng minh rằng C100 C100 C100 ... C100 250.
Ta có 0,5
100
1 i C100 C100i C100i 2 ... C100 i100
0 1 2 100
0 2 4 100 1 3 99
C100 C100 C100 ... C100 C100 C100 ... C100 i
Mặt khác 0,5
2 100 50
1 i 1 2i i 2 2i 1 i 2i 250
0 2 4 100
Vậy C100 C100 C100 ... C100 250.
Câu IV Cho a, b, c thoả a b c 3. Tìm GTNN của
M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c .
Đặt u 2a ;3b ; 4c , v 2c ;3a ; 4b , w 2b ;3c ; 4a M u v w 0,25
2 2 2
M u v w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c
3 0,5
Theo cô – si có 22 2b 2c 3 2a b c 6 . Tương tự …
Vậy M 3 29. Dấu bằng xảy ra khi a b c 1. 0,25
Câu Va Học sinh tự vẽ hình
a) C1 : I1 0; 2 , R1 3; C2 : I 2 3; 4 , R2 3. 0,25
Gọi tiếp tuyến chung của C1 , C2 là : Ax By C 0 A2 B2 0 0,25
là tiếp tuyến chung của C1 , C2
d I1; R1 2B C 3 A2 B2 1
d I2 ; R2
3 A 4B C 3 A2 B2 2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
3 A 2B
Từ (1) và (2) suy ra A 2 B hoặc C
2
Trường hợp 1: A 2 B . 0,5
Chọn B 1 A 2 C 2 3 5 : 2x y 2 3 5 0
3 A 2B
Trường hợp 2: C . Thay vào (1) được
2
4
A 2B 2 A2 B2 A 0; A B : y 2 0; : 4 x 3 y 9 0
3
b) a 3 0,25
Gọi H là trung điểm của BC d M ; BB ' C AH
2
1 a2 1 a3 3 0,25
S BB ' C BB '.BC VMBB ' C AH .S BB ' C
2 2 3 12
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) 0,5
Ta có B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB.
Câu VIa
(Học sinh tự vẽ hình) 0,25
Gọi K là hình chiếu của A trên d K cố định;
Gọi là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên .
Trong tam giác vuông AHK ta có AH AK . 0,25
Vậy AH max AK là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với d : 2x y 2 z 15 0 0,25
K 3;1; 4
là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK : x 4y z 3 0 0,25
Câu Vb
a) x2 y2 0,25
Gọi H : 1
a2 b2
(H) tiếp xúc với d : x y 2 0 a 2 b2 4 1
16 4 0,25
x 4 y 2 A 4; 2 H 1 2
a2 b2
x2 y2 0,5
Từ (1) và (2) suy ra a 2 8; b 2 4 H : 1
8 4
b)
(Học sinh tự vẽ hình) 0,25
Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA OB ' OC ' 4
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5
- Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Lấy M là trung điểm của B’C’ OAM OB ' C ' . 0,25
Kẻ AH OM AH OB ' C '
2 3 4 6 0,25
Ta có AM OM 2 3 MH AH
3 3
1 15 3 0,25
SOBC OB.OC.sin BOC
2 2
1
Vậy VOABC AH .SOBC 10 2
3
Câu VIb
Gọi M 1 2t ;3 3t ; 2t , N 5 6t '; 4t '; 5 5t ' 0,25
d M; P 2 2t 1 1 t 0; t 1.
Trường hợp 1: t 0 M 1;3;0 , MN 6t ' 4; 4t ' 3; 5t ' 5 0,25
MN nP MN .nP 0 t' 0 N 5;0; 5
Trường hợp 2: t 1 M 3;0; 2 , N 1; 4;0 0,25
Kết luận 0,25
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 6
nguon tai.lieu . vn
