Xem mẫu
- ĐẶT ẨN PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Đặt ẩn phụ là một trong những kĩ thuật hay khi chứng minh bất đẳng thức, thể hiện
được tính sáng tạo của người làm toán.Việc đặt ẩn phụ một cách khéo léo sẽ giúp ta
đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành những bất đẳng thức quen thuộc và dễ
chứng minh hơn. Trong khuôn khổ nhất định của bài viết, chúng tôi xin đuợc trao đổi
cùng các bạn về một số cách đặt ẩn phụ khi gặp một số bất đẳng thức đại số gồm 3
biến với giả thiết
abc = 1; ab + bc + ca + abc = 4; ab + bc + ca = 1; a2 + b2 + c2 + 2abc = 1
và các giả thiết biến dạng.Cụ thể hơn, khi gặp giả thiết
abc = 1 hoặc ab + bc + ca + abc = 4,
ta sẽ sử dụng phép đặt ẩn phụ quy về các bất đẳng thức đại số. Còn khi gặp giả
thiết
ab + bc + ca = 1 hoặc a2 + b2 + c2 + 2abc = 1
, ta sử dụng phép đặt quy về các bất đẳng thức lượng giác.
1.abc=1
Các cách đặt ẩn phụ thường dùng cho giả thiết này là
a= ,b= ,
hoặc a=
….. Tùy thuộc vào đặc điểm của bất đẳng thức cần
hay a=
chứng minh mà ta chọn cách đặt cho phù hợp, dễ nhìn để thuận tiện cho việc chứng
minh bất đẳng thức mới. Ngoài những cách nêu ở trên ta có thể đặt ẩn phụ theo các
cách khác, sau đó sử dụng giả thiết abc=1 để tìm đẳng thức liên hệ giữa các ẩn mới và
chứng minh bất đẳng thức mới.
Lưu ý. Có thể một số bài không áp dụng trực tiếp được một trong các cách đặt ẩn
phụ kể trên. Ta cần biến đổi quy về giả thiết này. Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng
thức:
- (1)
Giải.
Cách 1. Vì a, b, c dương và abc=1 nên tồn tại x, y, z > 0 sao cho
a= ,b= (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:
VT= .
Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
a = b = c = 1.
Cách 2.(1) (2+a)(2+b)+(2+b)(2+c)+(2+c)(2+a) (2+a)(2+b)(2+c) ab+bc+ca
3 (do abc = 1)
Ta có VT
(theo bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ab,bc,ca)Suy ra đpcm.Dấu “=” xảy ra khi a
= b = c = 1.
Nhận xét. Rõ ràng, việc chứng minh bất đẳng thức trên bằng biến đổi tương đương
được thực hiện dễ dàng, ngắn gọn. Tuy nhiên, với bất đẳng thức sau thì việc biến đổi
tương đương là không khả thi vì đã quy về bất đẳng thức bậc cao và rất khó chứng
minh.
Bài 2. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức:
(2)
Giải.
Vì abc=1 (a,b,c>0) nên ta có thể đặt
(x,y,z>0)(2)
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
ta có:VT
Lại có 2(x2 + y2 + z2)2 - 6(x3y + y3z + z3x)= (x2 - 2xy + yz - z2)2 + (y2 - 2yz + zx - x2)2 +
(z2- 2zx + xy - y2 + yz)2 ≥ 0
Suy ra x3y + y3z + z3x (x2 + y2 + z2)2
Tương tự 2(xy3 + yz3 + zx3) (x2 + y2 + z2)2
Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta được 2(xy3 + yz3 + zx3) + x3y + y3z + z3x (x2 +
y2 + z2)2 A 1
đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán mở 1.Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Tìm tất cả các giá trị của k để bất đẳng
thức sau đúng
R thỏa mãn abc=1. Chứng minh bất đẳng thức: (3)
Bài 3. Cho a,b,c
Giải.
Cách 1.(3) a2(b-1)2(c-1)2+ b2(a-1)2(c-1)2+ c2(a-1)2(b-1)2 (a-1)2(b-1)2(c-1)2(a+1-ab-
ac)2+(b+1-ab-bc)2+(c+1-ca-bc)2 (ab+bc+ca-a-b-c)2 (do abc=1)
Khai triển, rút gọn và sử dụng abc=1 ta được: (ab+bc+ca-3)2 0 (đúng!)Suy ra đpcm
- Đẳng thức xảy ra
Cách 2. Đặt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz (do
abc=1)x+y+z-1=xy+yz+zxx +y +z =(x+y+z) -2(xy+yz+zx)=(x+y+z-1)2+1
2 2 2 2
1đpcm
Ở đây, ta thấy rất rõ ưu thế của kĩ thuật đặt ẩn phụ. Cách 1 thể hiện tính “thủ công
”, khai triển vất vả, cách 2 thể hiện tính “trí tuệ”, lời giải gọn gàng và dễ thực hiện.
Bài 4 Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh: (4)
Giải
Đặ t Từ giả thiết abc=1 (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)
(1-y)(1-z)x+y+z+xyz=0Lại có , tương
tự với .(4) 1-x2+1-y2+1-z2-2(1+x)(1+y)(1+z) 1(x+y+z)2
và
0 (đúng! do x+y+z+xyz=0)Suy ra đpcmĐẳng thức xảy ra a=b=c=1
Bài 5. Cho a,b,c>0. Chứng minh:
(5)
Giải.(5)
Đặt x= Lại đặt
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:
VT
Mà S 1 đpcm
Đẳng thức xảy ra a=b=c.
Hệ quả. Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.
Chứng minh:P=
Giải.
Theo bài 5, Q=
Lại có P+Q= =2 (do )P 3 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra x=y=z=1.
Bài 6. Cho a,b,c>0. Chứng minh:
(6)
Giải.
Đặt abc=k (k>0)
suy ra tồn tại x,y,z>0 thỏa mãn a=kx, b=ky, c=kz xyz=1(6)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwartz ta có:VT xy2+yz2+zx2)
(do 3=3xyz
Việc còn lại là chứng minh (x2+y2+z2)2 (xy2+yz2+zx2)
(x+y+z)x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2 xy3+yz3+zx3+xyz(x+y+z)
- Theo BĐT Cauchy cho các số thực dương ta cóx4+y4+y4+y4 4xy3y4+z4+z4+z4
xyz(x+y+z)Cộng
34 4 4 4 34 4 4 3 3 322 22 22
4yz z +x +x +x 4zx x +y +z xy +yz +zx z x +x y +y z
theo vế 2 BĐT trên suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra a=b=c.
Bài 7. Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh:
(7)
Giải.Đặt a=x3,b=y3,c=z3 (x,y,z>0)
Mà abc=1 xyz=1(7)
Ta có x3+y3 xy(x+y), y3+z3 yz(y+z), z3+x3 zx(z+x), x,y,z>0
VT
.
Bài toán mở 2.Với giả thiết tương tự như bài 7, tìm tất cả các giá trị của k để bất
đẳng thức sau đúng: .
nguon tai.lieu . vn
