Đáp án đề thi thử vào lớp 10 môn Toán lần 1 năm 2017-2018 - THPT Chuyên Nguyễn Huệ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN 1 VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN
(Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)

BÀI
I

HƯỚNG DẪN CHẤM

Ý

ĐIỂM
2,0

1

Chứng minh rằng: n  8n  2017 không chia hết cho 9, n 
2

Nếu n  1 mod 9 

1,0
0,5

 n2  8n  2017  6  mod 9 
 n2  8n  2017 9
Nếu n  1 mod 9 

0,5

 n3  1 mod 9   n3  1  9

  n  1  n 2  n  1  9   n 2  n  1  9
 n 2  8n  2017  9
2

Tính giá trị biểu thức P 

a

 b  c

2



b

c  a

2



1,0

c

a  b

2

.
0,5

b
c  1
1
1 
 a
Ta có 





0
 b  c c  a a  b  b  c c  a a  b 



a

b  c 

2



P 



b

c  a

2



c

a  b

2



a
c b
b  c  c  a  a  b 

b
ac
c
ba

0
c  a  b  c  a  b  a  b  b  c  c  a 

ac  ab  ab  bc  bc  ca
0 P0
 b  c  c  a  a  b 

0,5

II

3,0
1

Giải phương trình sau: x  3x  2  x  3  x  2  x  2 x  3
2

2

1,5
0,5
1,0

Điều kiện: x  2
Bình phương 2 vế ta được:
x 2  2 x  5  x 2  3x  5


2

x 2

 TM 

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 7( x  y)  3( x 2  xy  y 2 ) .
1,5

x  y  0
x  y  3

Ta có: 7  x  y   3  x2  xy  y 2   0  

0,5

 x  y
3
2
Mặt khác: x  xy  y   x  y   3xy   x  y    x  y  
4
4
3
28
2
 7 x  y   x  y  x  y 
 x y 9
4
3
 x  y 0;3;6;9
2

TH1: x  y  0
TH2: x  y  3
TH3: x  y  6
TH4: x  y  9

2

2

2

2

x  0

y  0
 3x 2  9 x  2  0 (loại)
 3x 2  18x  22  0 (loại)
x  4 x  5


y  5 y  4

0,5
3,0

III
1

Chứng minh tứ giác MEKF là hình chữ nhật

AEM 
Ta có:   BFM  90 (góc chắn đường kính)
 
 KEM  KFM  90 (1)

 
 

Do O1 E // O2 F  EO1M  MO2 F  180  M1  M 2  90  EMF  90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra MEKF là hình chữ nhật

2

Chứng minh DM 2  DA.DB
DA DE

 DA.DB  DE.DF
DF DB
DE DM
DEM DMF 

 DM 2  DE.DF (4)
DM DF
Từ (3) và (4) suy ra DM 2  DA.DB (ĐPCM)
Ta có: DAE DFB 

0,5

(3)

3

Tìm vị trí của điểm M trên AB sao cho diện tích tam giác KAB lớn
nhất
1
1
1
KA.KB   KA2  KB 2   AB 2
2
4
4
  B  45  O E  AB  O E  O F
Dấu “=” xảy ra  KA  KB  A1 
1
1
1
2
S KAB 

 M là trung điểm của AB
IV

Tìm giá trị nhỏ nhất của: x2  3xy  4 y 2 .

1,0

3  7
7

Ta có: x 2  3xy  4 y 2   2 y  x 2   x 2 
4  16
16

x  1

Dấu “ = ” xảy ra  
3
y  8


V

Chứng minh trong 55 số bất kì chọn từ tập các số {1,2,…,100 } luôn tồn tại hai số
có hiệu bằng 9.
A là tập các số tự nhiên từ 1 đến 100.

1,0

Gọi Ai là tập các số  A chia 9 dư i. ( i  0;8 )
Theo nguyên lý Dirichlet trong 55 số bất kì được chọn từ A luôn tồn tại 7 số thuộc
cùng 1 tập Ai
Gọi 7 số đó là a1  a2  ...  a7  ai  a j 9
Giả sử trong 7 số đó không có số nào có hiệu bằng 9
 ai 1  ai  18  a7  a1  6.18  108 . (Mâu thuẫn)

Vậy trong 7 số đó luôn tồn tại 2 số có hiệu bằng 9 (ĐPCM).
Các chú ý khi chấm:
1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa.
2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn thì giám khảo vẫn chấm và cho điểm theo số điểm quy
định dành cho câu (hay ý) đó.
3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm nên không làm tròn điểm bài thi.