Xem mẫu
- ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA HAØ NOÄI –KHOÁI B
CAÂU I:
x2 x 1
1. Khaûo saùt (xeùt söï bieán thieân ,veõ ñoà thò) haøm soá : y .
x 1
Goïi ñoà thò laø (C)
2. Chöùng minh raèng vôùi moïi gía trò cuûa m ,ñöôøng thaúng y=m caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät A ,B .Xaùc ñònh giaù trò cuûa
m ñeå ñoä daøi ñoaïn AB ngaén nhaát.
CAÂU II:
Giaûi caùc phöông trình sau ñaây:
1. 4 x 1 4x2 1 1
2
2. sin 3x cos x.cos 2 x.(tg x tg 2 x )
2 2
3. Px Ax 72 6( Ax 2 Px )
Trong ñoù Px laø soá hoaùn vò cuûa x phaàn töû.
Ax2 Laø soá chænh hôïp chaäp 2 cuûa x phaàn töû ( x laø soá nguyeân , döông)
CAÂU III:
1. Tìm taát caû giaù trò cuûa x ñeå bieåu thöùc sau ñaït giaù trò nhoû nhaát
P=x(1-x)(x-3)(4-x)
2. Tìm hoï nguyeân haøm : I tg x cot g x dx
3 6
CAÂU IV:
Cho hình choùp S.ABC ñænh S , ñaùy laø tam giaùc caân AB=AC=3a , BC=2a .Bieát raèng caùc maët beân (SAB) ,(SBC) ,(SCA)
ñeàu hôïp vôùi maët phaúng ñaùy (ABC) moät goùc 60 .
Keû ñöôøng cao SH cuûa hình choùp.
1. Chöùng toû raèng H laø taâm voøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC vaø SA BC
2. Tính theå tích hình choùp
CAÂU V:
a b c
Cho caùc soá a ,b ,c khaùckhoâng thoaû maõn 0
7 5 3
Chöùng minh raèng ñoà thò haøm soá y=ax4 +bx2 +c luoân caét truïc hoaønh Ox taïi ít nhaát moät ñieåm coù hoaønh ñoä thuoäc
khoaûng (0 ,1)
ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA HAØ NOÄI – Khoái B
Caâu I:
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá:
x 2 x 1
y (C)
x 1
TXD: D = R\{1}
x2 2 x 2
y' 0, x 1
(x 1)2
Haøm soá giaûm trong töøng khoaûng xaùc ñònh.
Tieäm caän ñöùng:
x = 1 vì lim y
x1
1
Chia töû cho maãu: y x
x 1
Tieäm caän xieân:
1
Ta coù: y = - x vì lim
x x 1
BBT:
- Ñoà thò:
2) Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng y = m caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. Xaùc ñònh m ñeå ñoä daøi ñoaïn
AB ngaén nhaát.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm:
x 2 x 1
m
x 1
x2 x 1 m x m
x 2 (m 1) x m 1 0
(m 1)2 4(m 1) m 2 2 m 5
(m 1) 2 4 0, m
Ñöôøng thaúng (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B, m.
Ta coù:
A B2 (x 2 x1 ) 2 (y 2 y 2 )2 (x 2 x1 )2 0
x 2 x1 2 x1 x 2
2
2
S2 -2P-2P=S2 -4P
Maø:
b
S m 1
a
c
P m 1
a
- A B2 ( m 1)2 4(m 1) m2 2 m 5
A B2 (m 1)2 4
A B (m 1) 2 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
Caâu II:
1) Giaûi phöông trình: 4x-1 4 x 2 1 1
Ñieàu kieän:
1
4 x 1 0
x 4
2
4 x 1 0
x 1 x 1
2 2
1
x
2
1
Xem haøm: f(x) 4 x 1 4 x2 1 (vôùi x )
2
2 4x 1
f'(x) 0 f(x) taêng khi x
4 x 1 4 x2 1 2
1
Maët khaùc: (Phöông trình) f(x)=1=f
2
1
Do ñoù phöông trình coù ñuùng moät nghieäm x .
2
2) Giaûi phöông trình: sin3x = cosxcos2x(tg2x + tg2x)
cos x 0 x 2 k
Ñieàu kieän
cos 2 x 0 x m
4 2
Khi ñoù:
sin 2 x sin 2 x
Phöông trình sin 3 x cos x cos 2 x
cos2 x cos 2 x
2
sin x
sin 3x cos 2 x
cos x cos x sin 2 x
sin 3x cos x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos2 x
2sin 3 x cos x (2 cos 2 x sin x) sin x (2sin 2 x cos x) cos x
2sin 3 x cos x (sin 3 x sin x) sin x (sin 3 x sin x) cos x
sin 3x cos x sin 3x sin x sin 2 x sin x cos x
sin 3x(cos x sin x) sin x(sin x cos x)
sin x cos x tg x 1
sin 3 x sin x sin 3x sin x
x k (loaïi)
4
x k (nhaän)
k
x (loaïi)
4 2
- Ñaùp soá: x k (k Z )
3) Giaûi: Px .A 2 72
x 6(A 2 2Px )
x
Ñieàu kieän: x 2, x Z
2 2
Khi ñoù: Phöông trình Px .A x 72 6 A x 12Px
Px .(A 2 12) 6(A 2 12)
x x
A 2 12
x
Px 6
(x 1) x 12
x!=6
x 4 x 3
x 3
x 4 x 3 (vì x 2)
Caâu III:
1) Tìm x ñeå P = x(1 – x)(x – 3)( 4 – x) nhoû nhaát
Ta coù: P = x(4 – x)(1 – x)(x – 3)
=(4x – x2)(4x – x2- 3)
Caùch 1:
Ñaët t = 4x – x2 = 4 – (x – 2)2 ≤ 4
Khi ñoù P = t(t – 3)= t2 – 3t
3
Ta coù: P' = 2t 3, P' = 0 t =
2
Baûng bieán thieân:
9 3
Vaäy: MinP t
4 2
3
4 x x 2
2
2 x2 8 x 3 0
4 6
x
2
Caùch 2:
P (4 x x 2 )2 3(4 x x 2 )
2
2 3 9 9
4 x x
2 4 4
9 3
Vaäy: MinP 4 x x 2 0
4 2
4 6
x
2
Caâu IV:
-
Tìm hoï nguyeân haøm: I tg x cotg x d x
3 6
Ta coù: I tg x cotg x d x
3 3
Maët khaùc:
tg a tg b
tg(a b)
1 tg a .tg b
tg a tg b
tg a .tg b 1
tg(a b)
tg x 3 tg 3 x
d x
Vaäy: I 1
2
tg
3
3
x ln cos x ln cos x c
3 3 3
cos x
3 3
x ln
3
cos x
3
Caâu V:
S
P
A C
H
N M
B
1) H laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ABC.
veõ HM B C
SM BC
ta coù SH BC
Goùc cuûa (SBC) vaø (ABC) laø SMH = 600
Töông töï veõ HNAB; HPAC thì goùc SNH=SPH=600
SHM = SHN = SHP HM = HN = HP
H laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ABC.
ABC caân HAM vôùi MI laø trung ñieåm BC.
Ta coù AM BC vaø SH BC BC(SAM) BC SA
1 1
2) VABC = SABC .SH= AM.BC.SH
3 6
Ta coù: AM = 9a 2 a 2 2 a 2
1 1
SABC = AM.BC= 2a 2.2a=2a 2 2
2 2
Maø: SABC = p.r r SABC
- 2a 2 2 a 2
HM r
4a 2
3 a 6
SHM coù SH (2HM).
2 2
1 a 6 3
Vaäy VS.ABC 2a 2.2 a . 2a 3 . ñvdt
6 2 3
Caâu VI:
a b c
Cho a, b, c ≠ 0 vaø 0
7 5 3
Chöùng minh (C): y=ax4 + bx2 + c luoân caét Ox taïi ít nhaát 1 ñieåm coù hoaønh ñoä (0, 1).
Xem haøm soá:
a x 7 b x5 c x 3
f(x)
7 5 3
f lieân tuïc treân [0, 1] vaø khaû vi treân (0, 1) neân theo ñònh lyù Lagrange ta coù:
x0 (0, 1) sao cho:
f(1)-f(0)
f''(x)=
1 0
a b c
a x 6 b x 4 c0 0
0 0
2
7 5 3
a x 4 b x 0 c 0 (x 0 0)
0
2
Phöông trình ax4 + bx2 + c = 0 coù ít nhaát 1 nghieäm (0, 1).
(C) caét (0x) taïi ít nhaát 1 ñieåm coù hoaønh ñoä (0, 1).
nguon tai.lieu . vn