Xem mẫu
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
THI TH I H C NĂM 2014
Môn thi: TOÁN; kh i A; A1; B
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát
ÁP ÁN - THANG I M
Câu áp án i m
Câu 1 a) (1,0 i m)
(2,0 ) V i m = −2 ⇒ y = x 3 + x 2 + 4
T p xác nh: D = » .
2
o hàm: y ' = 3 x 2 + 2 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 ho c x = −
3
0,25
2 2
Hàm s ng bi n trên các kho ng −∞; − và ( 0; +∞ ) ; ngh ch bi n trên − ;0 .
3 3
2
Hàm s t c c ti u t i x = 0 ; yCT = 4 , t c c i t i x = − ; yCD = 112
3 27
Gi i h n, i m u n:
lim y = −∞; lim y = +∞
x →−∞ x →+∞
0,25
1 1
Ta có y '' = 6 x + 2 ⇒ y '' = 0 ⇔ x = − U − ; .
→
3 3
B ng bi n thiên:
2
x −∞ − 0 +∞
3
y’ + 0 − 0 + 0,25
112
+∞
y 27
−∞ 4
th hàm s có d ng như hình v :
0,25
b) (1,0 i m)
Phương trình hoành giao i m c a ( C ) và Ox là:
0,25
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
x = −2 ⇒ A ( −2;0 )
( )
⇔ ( x + 2 ) x2 − x − m = 0 ⇔
g ( x) = x − x − m = 0 ⇒ x = x + m
2 2
∆ g ( x ) > 0
1 + 4m > 0
i u ki n ( C ) c t Ox t i 3 i m phân bi t: ⇔ ( *)
g ( −2 ) ≠ 0
m ≠ 6
Khi ó, gi s B ( x1;0 ) , C ( x2 ;0 ) v i x1 , x2 là 2 nghi m c a phương trình g ( x ) = 0 .
2 2
( ) (
2
)
Theo gi thi t ta có: 4 ( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) = 20 ⇔ 4 x12 + 4 x1 + x2 + 4 x2 = 0 0,25
⇔ 4 ( x1 + m + 4 x1 ) + ( x2 + m + 4 x2 ) = 0 ⇔ 4 x1 + x2 = −m
−m − 1
x1 = 3
x1 + x2 = 1
m+4
K t h p nh lý Vi-et gi i h ta có: x1 x2 = m ⇔ x2 = 0,25
4 x + x = −m 3
1 2 x1 x2 = m
⇒ ( m + 1)( m + 4 ) = 9m ⇔ m − 4m + 4 = 0 ⇔ m = 2 (tm)
2
K t lu n: V y m = 2 là giá tr c n tìm.
Bình lu n: Khi th y ch m thi, ây là câu mà th y th y nhi u h c sinh hay b sai nh t. ơn
gi n b i vì các b n không n m ư c tư tư ng chung c a các bài toán v Tương giao c a
hai th . Th y xin nh n m nh l i các em chú ý hơn trong lúc ôn t p. Bài toán tương
giao trong thi H ch t p trung vào hai bài toán chính là HOÀNH GIAO I M và 0,25
T A GIAO I M, tuy t nhiên không th khác nh ng gì th y nh c nh . Trư c khi x lý
m ra sao thì hãy tìm k trư c nhé, tránh m t 0,25 oan nhá! Hàm s năm 2013 r t là d ,
nhưng nhìn chung vì dính n tham s và nhi u bài còn òi h i kh năng bi n lu n nên
nhi u b n cũng v n lúng túng v i các bài hàm s .
Th y nh c l i l n n a, hãy ôn t p kĩ theo danh m c bài gi ng khóa T NG ÔN TOÁN 2014
c a th y t tr n v n 2 hàm s nhá!
Câu 2 π
(1,0 ) i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ, ( k ∈ Z ) .
2
Ta có PT ⇔
(1 + sin x )( 5 − 2sin x ) = 3 ⇔ 5 + 3sin x − 2sin 2 x = 3 sin 2 x + 3 3 cos x 0,25
( 2sin x + 3) cos x
( ) ( )
π
3
π
⇔ cos 2 x − 3 sin 2 x + 3 sin x − 3 cos x + 4 = 0 ⇔ cos 2 x + − 3cos x + + 2 = 0
6
0,25
π
π x = − 6 + k 2π
cos x + 6 = 1
2 π π
⇔ x = + k 2π , k ∈ »
π
⇔ 2cos x + − 3cos x + + 1 = 0 ⇔ 0,25
6 6 π 1 6
cos x + =
6 2 x = − π + k 2π
2
π
i chi u i u ki n ta có nghi m c a phương trình là x = ± + k 2π, ( k ∈ » ) .
6
Bình lu n: V i các phương trình lư ng giác khi mà có xu t hi n 3 thì có n 51% là lo i 0,25
phương trình thu n nh t v i sinx và cosx. M u s có k nên cũng lưu ý v cách lo i nghi m
Trong thi 2 năm g n ây thì lư ng giác là câu SIÊU D , vì v y th y ngh các em ph i
ăn ư c t i a 1 i m câu này, ít thì cũng ph i 0.75 nhá! Hí hí
Câu 3 i u ki n: y ≠ 0
(1,0 ) 0,25
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
4 x3 4 x 3
+ y 2 ( 2 x + y + 1) = 20 + y 2 ( 2 x + y + 1) = 20
y y
V i K trên ta có: ⇔ 2
1 4x 2
3
x y2 y2 3
y
y + 4 + 1 = x + xy + 4 4 y + y +1 = x + 2
2
u =
4 x3
+ y2 u ( v + 1) = 20
⇔
( )
v − 4 ( v + 1) = 20
2 v = 3
⇔
t y ta có: 0,25
u + 4 = v u = v 2 − 4 u = 5
2
v = 2 x + y
4 x3
u = 5 + y 2 = 5 4 x3 + y 3 − 5 y = 0
y 3 + 9 y 2 − 37 y + 27 = 0
V i ⇒ y ⇔ ⇔ 0,25
v = 3 2 x = ( 3 − y )
2 x = 3 − y
2 x + y = 3
x = y =1
⇔
( )
( y − 1) y 2 + 10 y − 27 = 0
⇔ y = −5 + 2 13 ⇒ x = 4 − 13
2 x = 3 − y
y = −5 − 2 13 ⇒ x = 4 + 13
{ ( )(
V y h phương trình có 3 nghi m ( x; y ) : (1;1) , 4 − 13; −5 + 2 13 , 4 + 13; −5 − 2 13 )}
x3
Cách 2: D th y y = 0 không th a mãn nên PT (1) ⇔ 4 + y 2 ( 2 x + y + 1) = 20
y
2
( 2
)
Thay (2) lên ta ư c PT (1) ⇔ 4 x + xy − 1 + y ( 2 x + y + 1) = 20 0,25
PT (1) ⇔ 4 x + 4 xy + y − 4 ( 2 x + y + 1) = 20 ⇔ (2 x + y ) 2 − 4 ( 2 x + y − 1) = 20
2 2
t t = 2 x + y ⇒ (t 2 − 4)(t + 1) = 20 ⇔ t = 3 ⇒ 2 x + y = 3 . Các em t gi i n t nhé!
Bình lu n: V m t pp thì cách 2 và cách 1 không khác nhau là m y, tuy nhiên cách 2 là m t
cách nhìn bài toán góc ơn gi n hơn v i a s h c sinh. V i v trí câu s 3 trong thi
tuy n sinh, th y khuyên các em khi ti p c n không nên ao to búa l n v i nó, vì trong các
năm ã thi i h c, th c s ph n PT và h PT chưa có câu nào th c s khoai c . V y nên,
nh hư ng ti p c n bài toán là r t quan tr ng. N u PT hay h PT n m câu 6 thì hãy c n
th n nhá các em!
Câu 4 1 x = 1 ⇒ t = 0
(1,0 ) t: ln x = t ↔ dx = dt . i c n: 0,25
x x = e ⇒ t = 1
⇒I =∫
t 2 − 3t + 3
1 1
dt = ∫
( t − 2 )( t − 1) + 1 dt
0,25
0
t−2 0
t−2
1 1
1 1
dt 1
= ∫ ( t − 1)dt + ∫ = t 2 − t + ln t − 2 0,25
0 0
t−2 2 0 0
1 1
= − ln 2 − . V y I = − ln 2 − .
2 2 0,25
Bình lu n: Câu này không có gì nói nhi u v nó các em !
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
Câu 5
(1,0 )
0,25
+) Tính th tích kh i chóp S.ABCD
G i H = MN ∩ BI ⇒ ( SMN ) ∩ ( SBI ) = SH
Do hai m t ph ng ( SMN ) và ( SBI ) cùng vuông góc v i ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
D th y, BH là hình chi u vuông góc c a SB trên m t ph ng áy, suy ra SBH = 600
G i M và N l n lư t là trung i m AB và BC, mà AB = 4CD nên suy ra MN ⊥ BD t i H.
1 1 1 5 a
Xét tam giác BMN ta có: 2
= 2
+ 2
= 2 ⇒ BH =
BH BM BN a 5
SH a 15
Xét tam giác SBH l i có: tan SBH = ⇒ SH = BH .tan 60o =
HB 5
1 1a 5a 2
Ta có S ABCD = ( CD + AB ) .BC = + 2a .a =
2 2 2 4
0,25
1 1 a 15 5a 2 a 3 15
⇒ VS . ABCD = .SH .S ABCD = . . =
3 3 5 4 12
+) Tính kho ng cách gi a SN và BD.
BB ⊥ SH
Do ⇒ BD ⊥ ( SMN )
BD ⊥ MN 0,25
D ng HK vuông góc SN suy ra HK là o n vuông góc chung c a SN và BD
⇒ d ( BD, SN ) = HK
a2 a2 a 5
Xét tam giác ∆BHN có: HN = BN − BH = − =2 2
4 5 10
1 1 1 20 5 65 3
Xét ∆SHN ta có 2
= 2
+ 2
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK = a 0,25
HK SH HN a 3a 3a 65
3
V y d ( BD, SN ) = a
65
x2 y 2 z 2 ( x + y + z )
Câu 6 2
(1,0 ) S d ng B T ph : + + ≥ , (B t ng Th c Cauchy – Schwarz)
y z x x+ y+z 0,25
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
Theo Bunhiacopxki ta có:
x2
y. y
+
z. z
y2
+
z2
x. x
( )
y. y + z. z + x. x ≥ ( x + y + z )
2
Suy ra i u ph i ch ng minh.
a b c a 2 b2 c2 ( a + b + c )
2
Áp d ng B T ph trên ta có:+ + = + + ≥ (1)
b c a ab bc ca ab + bc + ca
a b c a 2 c 2 b 2 a 2 c 2b 2 ( ab + bc + ca )
2
Và: + + = + + ≥ ( 2)
b c a abc 2 bca 2 cab 2 abc ( a + b + c )
a b c ( a + b + c )( ab + bc + ca )
2
Nhân (1) & ( 2 ) theo v ⇔ + + ≥
b c a abc
0,25
Suy ra: VT = P ≥
( a + b + c )( ab + bc + ca ) + 3 3abc
abc ( a + b + c )( ab + bc + ca )
t:
( a + b + c )( ab + bc + ca ) = t .
abc
AM-GM
Do ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 3 3 abc .3 3 a 2b 2 c 2 = 9abc ⇒ t ≥ 3
0,25
3 3 3 3
⇒ P ≥ f (t ) = t 2 + ( t ≥ 3) ⇒ f ' ( t ) = 2t − 2 > 0, ∀t ≥ 3 .
t t
Suy ra hàm f ( t ) ng bi n trên [3; +∞ ) .
V y VT = P ≥ f ( t ) ≥ f ( t )Min = f ( 3) = 9 + 3 .
0,25
V y phép ch ng minh hoàn t t. ng th c x y ra ⇔ a = b = c
Câu 7.a +) G i H là hình chi u vuông góc c a
(1,0 ) I lên d , IH c t AB t i K, IM c t AB
t i E.
Ta có IH = 2 2 .
IE IH
M t khác cos MIH = =
IK IM
⇒ IE.IM = IK .IH = IA2 = R 2 = 4 0,25
(ta cũng có th ch ng minh
IE.IM = IK .IH (phương tích) vì t
giác EMHK là t giác n i ti p)
4
+) Theo gi thi t IH = 2 2 ⇒ IK = = 2 ⇒ KH = 2 do ó K là trung i m c a IH.
2 2
2 − 2t t = 0 ⇒ K ( 0; 2 ) 0,25
G i K ( t ; 2 − 3t ) ⇒ d ( K ; d ) = 2 ⇔ = 2 ⇔ t −1 = 1 ⇒
2 t = 2 ⇒ K ( 2; −4 )
+) V i K ( 0; 2 ) ⇒ IH : x − y + 2 = 0 ⇒ H ( −1;1) ⇒ I (1;3) ⇒ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 3) = 4
2 2
0,25
+) V i K ( 2; −4 ) ⇒ IH : x − y + 6 = 0 ⇒ H ( −3;3) ⇒ I ( 7; −11)
⇒ ( C ) : ( x − 7 ) + ( y + 11) = 4
2 2
0,25
V y có hai ư ng tròn th a mãn là ( x − 1) + ( y − 3) = 4 và ( x − 7 ) + ( y + 11) = 4
2 2 2 2
Câu 8.a Do M ∈ d1 ⇒ M (a; 2 − 2a; a ) , N ∈ d 2 ⇒ N (1 + b;3 − 3b − 3 + 2b )
(1,0 ) 0,25
⇒ MN = (1 + b − a ;1 + 2a − 3b ; − 3 − a + 2b) .
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
Do ∆ / /( P) ⇒ MN . nP = 0 ⇔ 2(1 + s − t ) + 1 + 2a − 3b − 3 − a + 2b = 0 ⇔ a = b
Khi ó MN = (1;1 − a ; − 3 + a ) 0,25
⇒ MN = 1 + (1 − a )2 + ( − 3 + a )2 = 2a 2 − 8a + 11 = 2 ( a − 2 )2 + 3 ≥ 3
D u “ = ” x y ra khi a = 2 ⇒ M (2; −2; 2) ∉ ( P ) (th a mãn MN song song v i (P)).
0,25
o n MN ng n nh t khi và ch khi M (2; −2; 2) , MN = (1; − 1; − 1).
x−2 y + 2 z −2
V y PT ư ng th ng c n tìm là: = = . 0,25
1 −1 −1
Câu 9.a z −1 z −1
z −1
2
= −1 = i ⇔ = i (1) ho c = −i (2)
2
(1,0 ) T gi thi t: 0,25
2z − i 2z − i 2z − i
z −1 2 2(1 + 2i ) 2 4 2 4
+) V i = i ⇔ z − 1 = 2iz + 1 ⇒ z = = = + i , hay z1 = + i 0,25
2z − i 1 − 2i 5 5 5 5 5
z −1
+) V i = −i ⇔ z − 1 = −2iz − 1 ⇒ z = 0 , hay z2 = 0 0,25
2z − i
13 16
Suy ra: P = (1 + z12 )(1 + z2 ) =
2
+ i 0,25
25 25
Câu 7.b ư ng tròn (C) ã cho có tâm I ( −6; 6 ) , R = 5 2 .
(1,0 )
G i A ( a; 0 ) ∈ ( Ox ) , B ( 0; b ) ∈ ( Oy )
0,25
a b
D th y, OA + OB = 2OM suy ra M là trung i m c a AB: M ; .
2 2
x y
Phương trình ư ng th ng ∆ i qua hai i m A, B: + = 1 ⇔ bx + ay − ab = 0 .
a b
ti p xúc v i (C) t i M khi 0,25
2 2
a b
IM 2 = R 2 ⇔ + 6 + − 6 = 50 ⇔ a 2 + b 2 + 24a − 24b + 88 = 0 .
2 2
M t khác
a b a = −b
IM ⊥ AB ⇔ IM . AB = 0 ⇔ a + 6 − b − 6 = 0 ⇔ a 2 − b 2 + 12 ( a + b ) = 0 ⇔
0,25
2 2 b = a + 12
a = −2; b = 2 ⇒ ∆ : x − y + 2 = 0
• V i a = −b ⇒ a 2 + 24a + 44 = 0 ⇔
a = −22; b = 22 ⇒ ∆ : x − y + 22 = 0
0,25
a = −14; b = −2 ⇒ ∆ : x + 7 y + 14 = 0
• V i b = a + 12 ⇒ a 2 + 12a − 28 = 0 ⇔
a = 2; b = 14 ⇒ ∆ : 7 x + y − 14 = 0
Câu 8.b G i H là chân ư ng cao h t D xu ng (ABC), ta có
(1,0 ) 1 19 19
DH .S ABC = VD. ABC = ⇒ DH = (*) 0,25
3 6 2 S ABC
Gi s D(1 + 2t ; −1 + t ; 2 + 3t ) (Do D ∈ d )
1 1 29
S ABC = AB, AC =
2 2 9 + 4 + 16 = 2
Ta có phương trình (ABC): 3 x + 2 y − 4 z − 8 = 0
0,25
t = 1
3(1 + 2t ) + 2(−1 + t ) − 4(2 + 3t ) − 8 19
Thay vào (*) ta có: = ⇔
9 + 4 + 16 29 t = − 17
2
x−3 y z −5
+) Khi t = 1 ⇒ D(3; 0;5) , phương trình là: = = . 0,25
3 2 −4
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
- Khóa h c Luy n gi i môn Toán – Th y NG VI T HÙNG Website: www.moon.vn
19 47
y+ z+
17 19 45 x + 16 2 = 2
+) Khi t = − ⇒ D −16; − ; − , phương trình là: = 0,25
2 2 2 3 2 −4
V y có hai ư ng th ng th a mãn yêu c u bài toán.
Câu 9.b
z = x + yi ⇒ z + 1 = ( x + 1) + y 2 ; z + i = x 2 + ( y + 1)
2 2
(1,0 ) Gi s
0,25
Theo bài ta có z + 1 = z + i ⇔ ( x + 1) + y 2 = x 2 + ( y + 1) ⇔ x = y ⇒ z = x + x.i
2 2
1 1 x − x.i 1 1
M t khác, z + = x + x.i + = x + x.i + = x + + x − i , x ≠ 0. 0,25
z x + x.i 2x 2
2x 2x
1 1 1
Vì z + là s th c nên x − =0⇔ x=± 0,25
z 2x 2
1 1 1 1
V y có hai s ph c th a mãn yêu c u bài toán là z1 = + i ; z2 = − − i 0,25
2 2 2 2
Truy c p Moon.vn xem video gi i chi ti t thi th ih c
nguon tai.lieu . vn
