Xem mẫu
- Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA
(tham khảo thêm SBT và HDG bài tập Toán cao cấp HP2)
Dạng 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Ví dụ 1: Sử dụng điều kiện cần để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
+∞
n +1 +∞
3n + 5n +∞
n + ln ( 2n − 1)
1. ∑ ( −1) 2. ∑ 3. ∑
n
n
n =1 2n − 1 n =1 5 − 2 ( n + 1) n =2 n −1
Ví dụ 2: Sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
+∞
n2 + 1 +∞
n +1 − n −1 +∞
1 1+ n
1. ∑ 3
2. ∑ 3. ∑ ln
n =1 n − 100 n − 1 n =1
4
n3 n=2 n n −1
2
+∞
1+ n +∞
nn +∞
n + ln ( n + 1)
3. ∑ 2
5. ∑ n+2
6. ∑
n =1 3 − n n =1 ( n + 3) n 4 − 3n + 3
3
n =1
+∞ ln (1 + 2n ) +∞
ln n n +∞
1 n +1
7. ∑ 8. ∑ 9. ∑ − ln
n =1 n5 n= 2 n +1 n =1 n n
2
+∞ n
n −1 +∞
1 1 1
+∞
10. ∑ 11. ∑ 2 ln 12. ∑ n e n − 1
n= 2 n n =1 n n +1 n =1
+∞
ln 2 ( 2n + 1) +∞
n +1 +∞
n + cos n
13. ∑ 14. ∑ 15. ∑
n =1 n +1 n= 2 n ln n n =1 n3 + 1
+∞
n +1 +∞
3n + 1 +∞
16. ∑ arcsin 17. ∑ n 18. ∑ e− n
n =1 n n n =1 4 − 2 n + 1 n =1
+∞
nn n +1 +∞
π +∞
sin 2 n
19. ∑ 3 20. ∑ tan 21. ∑
n =1 n + 1 n =1 3n + n n3 + 1 n =1
Ví dụ 3: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, Dalambe để sự hội tụ của các chuỗi số sau:
2
+∞
( 3n + 1)! +∞
3n ( n!) +∞
2n − 5 π
1. ∑ 2
2. ∑ 3. ∑ 2
tan n+1
n =1 ( 2n )!
n
n =1 n .8 n =1 n 2
2
+∞
2n 2 − 1 +∞
2n − 7 +∞
5n ( n!)
4. ∑ 5. ∑ 6. ∑
n =1 2n n =1 n.3n n =1 n2 n
n2 n2 2
+∞
7. ∑ n
1 2n + 3 +∞
8. ∑
n
9. ∑
+∞
( n + 1)
n
n =1 2 2 n + 1 n =1 4n − 1 n =1 3n+1.n n
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 1
- Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau:
3 n −1
+∞
1. ∑ ( −1)
ln n n
2. ∑
+∞
( −1) +∞
3. ∑ ( −1)
n +1 n −1
n =1 n +1 n =1 n − ln n n =1 n +1
+∞
n2 +∞
n n +∞
1 1
4. ∑ ( −1) 5. ∑ ( −1) 6. ∑ ( −1)
n +1 n n
2
ln
n =1 ( 3n + 1) .3n n =1 ( n + 1) n n =1 ( n + 1) n
+∞
sin n +∞
nn +∞
n
7. ∑ 8. ∑ ( −1) 9. ∑ ( −1) sin
n −1 n
2 2
n =1 n 2n − 1 n =1 ( n!) n =1 2n − 1
Dạng 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
+∞ +∞ +∞
xn 3n 2n − 1
1. ∑ 2. ∑ 5n − 2n x 2n
3. ∑ ( x − 2 )n
n +1 3
n =1 n .3 n =1 n =1 n + 1
+∞ +∞ n +∞ n
n n +1 n −1 x + 2
∑ 5. ∑ 6. ∑
n
4.
n ( 2 x − 1) 2
n =1
n =1 ( n + 1) x
2n − 1 n =1 2n + 1
2x + 1
+∞ n +∞ +∞ n
ln n x + 3 xn
7. ∑ 8. ∑ ∑ ( −1)
n
9. nx 2
n 3x − 1 n +1
n = 2 n.2 n =1 4 .ln ( n + 1) n =1
+∞ +∞ n +∞
1 1 n n!
10. ∑ 11. ∑ . 12. ∑ ( 2 x − 3 )n
(
n n n
n =1 3 + 5 .x ) n x
n =1 (2n + 1) n =1
3n − 17
n
+∞
4 − n 2x
n +∞ x2 + 1
n +∞
13. ∑ 14. ∑ 15. ∑ n ( tan x )
n
n =1 3n 2 + 1 3 x + 1 n =1 n3 + 1 2 n x
( ) n =1
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tổng quát:
n
+∞ +∞ 2 n +1 +∞ n
x2 nn x + 1 2n x
1. ∑ 2. ∑ 3. ∑ .
n =1 n − 2n + 1 n =1 (
2n − 1)! 2 x − 1 n =1
3n − 8 1 − x
+∞ +∞ +∞
3n − 1 ln ( n + 2 ) ln n n + 1
4. ∑ 5. ∑ ∑
n +1
n
( x − 3) n −1
6.
3n +1
n =1 3 + 2 n =1 4 n7 . x 2 − 1 ( ) n =1 ( n + 1) .x
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 2
- Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
+∞ +∞ 2 x − 1 2n −1
x n +1 +∞
2 n −1 ( )
7. ∑ 2n.ln n 8. ∑ 2 n +1
9. ∑ 3n.5n
n=2 n =1 ( n + 5 )( ln x ) n =1
+∞ x + 1 4n +1 +∞ n2 n −1
( ) 11. ∑
n 1 +∞
12. ∑ n
2n
∑
2n
10.
2 n (1 − x )
n =1 n .4 n =1 2n + 1 x n =1 5 − 2 n
Ví dụ 3: Sử dụng định lý Abel và hệ quả:
+∞ +∞
1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ an xn biết rằng chuỗi số ∑ an là chuỗi đan
n =1 n =1
dấu và bán hội tụ.
+∞
∑ a ( x − 2)
n
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm n biết rằng an > 0 ∀n ≥ 1 và tại x = 0
n =1
chuỗi bán hội tụ.
+∞
3. Cho chuỗi lũy thừa ∑ a x (1) có
n =1
n
n
lim an = α . CMR
n →+∞
a) Nếu α ≠ 0 thì miền hội tụ của chuỗi (1) là T = ( −1;1)
b) Nếu α = 0 chuỗi (1) có bán kính hội tụ là R = 1
Dạng 3: Tính tổng (nếu có) của chuỗi số sau:
n
1. ∑
+∞
n+2
2. ∑
+∞
( −1) 3. ∑
+∞
1
n n +1
n =1 ( n + 1) 5
n
n =1 n.5 n =1 ( n + 2 ) .2
4. ∑
+∞
1
5. ∑
+∞
( −1)n 6. ∑
+∞
2n + 1
n n −1
n =1 (2n + 1)2 n =1 (2n − 1)2 n =1 3n
7. ∑
+∞
( 2n − 1).( −1)n +∞
2n −1
9. ∑
+∞
2n + 1
52 n − 2
8. ∑ ( n − 1) 3n n.4n
n =1 n=2 n =1
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 3
nguon tai.lieu . vn
