Xem mẫu

  1. Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS. TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 10 năm 2004 Bài 2 : Các Phương Pháp Tính Đ nh Th c C p n .v n Đ nh th c đư c đ nh nghĩa khá ph c t p, do đó khi tính các đ nh th c c p cao (c p l n h hơn 3) ngư i ta h u như không s d ng đ nh nghĩa đ nh th c mà s d ng các tính ch t c a đ nh th c và thư ng dùng các phương pháp sau. 1 c Phương pháp bi n đ i đ nh th c v d ng tam giác 24 ih o S d ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng (c t) c a ma tr n và các tính ch t c a đ nh th c đ bi n đ i ma tr n c a đ nh th c v d ng tam giác. Đ nh th c sau cùng s b ng tích c a u các ph n t thu c đư ng chéo chính (theo tính ch t 3.3 ). V Ví d 1.1: Tính đ nh th c c p n (n 1 2 2) sau đây: 2 2 2 2 ... ... 2 2 D= 2 2 3 ... 2 ... ... ... ... ... 2 2 2 ... n Bài gi i: Nhân dòng (2) v i (−1) r i c ng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta có 1 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 0 −2 −2 . . . −2 (1) D= 0 0 1 ... 0 = 0 0 1 ... 0 = (−2)(n − 2)! ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... n−2 0 0 0 ... n−2 (1): nhân dòng (1) v i (−2) c ng vào dòng (2). 1
  2. Ví d 1.2: Tính đ nh th c c p n a b b ... b b a b ... b D= b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a Bài gi i: Đ u tiên công các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1). Sau đó nhân dòng (1) v i (−1) c ng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có: a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b a b ... b 0 a−b 0 ... 0 D= a + (n − 1)b b a ... b = 0 0 a−b ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... a − b = a + (n − 1)b (a − b)n−1 2 Phương pháp qui n p .v n 4 h Áp d ng các tính ch t c a đ nh th c, bi n đ i, khai tri n đ nh th c theo dòng ho c theo c t đ bi u di n đ nh th c c n tính qua các đ nh th c c p bé hơn nhưng có cùng d ng. T đó 2 ta s nh n đư c công th c truy h i. c S d ng công th c truy h i và tính tr c ti p các đ nh th c cùng d ng c p 1, c p 2, . . . , đ suy ra đ nh th c c n tính. Ví d 2.1: Tính đ nh th c ih o V u Dn = 1 + a1 b 1 a2 b 1 ... an b 1 a1 b 2 1 + a2 b 2 ... an b 2 ... ... ... ... a1 bn a2 bn ... 1 + an b n Bài gi i: S d ng tính ch t 2.4, tách đ nh th c theo c t n, ta có: 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 b n a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 b n Dn = ... ... ... ... + ... ... ... ... an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 bn an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an b n 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 = ... ... ... . . . + bn ... ... ... ... an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an Khai tri n đ nh th c đ u theo c t (n) ta s có đ nh th c đ u b ng Dn−1 . Nhân c t (n) c a đ nh th c th hai l n lư t v i (−bi ) r i c ng vào c t i (i = 1, 2, . . . , n − 1). 2
  3. Ta đư c: 1 0 ... 0 a1 0 1 ... 0 a2 Dn = Dn−1 + bn ... ... ... ... ... = Dn−1 + an bn 0 0 ... 1 an−1 0 0 ... 0 an V y ta có công th c truy h i Dn = Dn−1 + an bn . Vì công th c trên đúng v i m i n nên ta có Dn = Dn−1 + an bn = Dn−2 + an−1 bn−1 + an bn = · · · = D1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn Vì D1 = a1 b1 + 1 nên cu i cùng ta có Dn = 1 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn Ví d 2.2: Cho a, b ∈ R, a = b. Tính đ nh th c c p n a + b ab 0 ... 0 0 1 a + b ab ... 0 0 Dn = ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . a + b ab 0 0 0 ... 0 a+b Bài gi i: Khai tri n đ nh th c theo dòng đ u, ta đư c: .v n h 1 ab 0 ... 0 0 0 a + b ab ... 0 0 Dn = (a + b)Dn−1 − ab . . . 0 0 c 24 ... ... 0 0 0 0 ... ... ... . . . a + b ab ... 0 a+b o Ti p t c khai tri n đ nh th c sau theo c t (1) ta có công th c: ih Dn = (a + b)Dn−1 − abDn−2 v i n 3 (∗) Do đó: V u Công th c này đúng v i m i n Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2 ) 3 nên ta có Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2 ) = b2 (Dn−2 − aDn−3 ) = · · · = bn−2 (D2 − aD1 ) Tính toán tr c ti p ta có D2 = a2 + b2 + ab và D1 = a + b do đó D2 − aD1 = b2 . B i v y Dn − aDn−1 = bn (1) Ti p t c, t công th c (∗) ta l i có Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2 ). Do công th c này đúng v i m i n 3 nên tương t như trên ta l i có Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2 ) = a2 (Dn−3 − bDn−4 ) = · · · = an−2 (D2 − bD1 ) = an vì D2 − bD1 = a2 V y ta có Dn − bDn−1 = an (2) Kh Dn−1 t trong (1) và (2) ta s đư c k t qu an+1 − bn+1 Dn = a−b 3
  4. 3 Phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh th c Nhi u đ nh th c c p n có th tính đư c d dàng b ng các tách đ nh th c (theo các dòng ho c theo các c t) thành t ng c a các đ nh th c cùng c p. Các đ nh th c m i này thư ng b ng 0 ho c tính đư c d dàng. Ví d 3.1: Ta s tính đ nh th c Dn trong Ví d 2.1 b ng phương pháp này. Bài gi i: M i c t c a Dn đư c vi t thành t ng c a 2 c t mà ta ký hi u là c t lo i (1) và lo i (2) như sau: 1 + a1 b 1 0 + a1 b 2 . . . 0 + a1 b n 0 + a2 b 1 1 + a2 b 2 . . . 0 + a2 b n Dn = ... ... ... ... ... ... ... ... 0 + an b 1 0 + an b 2 . . . 1 + an b n (1) (2) (1) (2) (1) (2) n S d ng tính ch t 2.4 c a đ nh th c, ta l n lư t tách các c t c a đ nh th c. Sau n l n tách ta có Dn là t ng c a 2n đ nh th c c p n. C t th i c a các đ nh th c này chính là c t lo i (1) như sau: h .v ho c lo i (2) c a c t th i c a đ nh th c ban đ u Dn . Ta chia 2n đ nh th c này thành ba d ng 4 D ng 1: Bao g m các đ nh th c có t 2 c t lo i (2) tr lên. Vì các c t lo i (2) t l nên t t c các đ nh th c lo i này có giá tr b ng 0. s c t i là lo i (2) ta có đ nh th c đó là o c 2 D ng 2: Bao g m các đ nh th c có đúng m t c t lo i (2), còn các c t khác là lo i (1). Gi ih 1 0 . . . a1 b i ... 0 0 1 . . . a2 b i ... 0 Dn,i = = ai b i V u ... 0 ... ... ... 0 . . . an bi ↑ c ti ... ... ... 1 (khai tri n theo c t i). Có t t c n đ nh th c d ng 2 ( ng v i i = 1, 2, . . . , n) và t ng c a t t c các đ nh th c d ng 2 là n ai b i i=1 D ng 3: Bao g m các đ nh th c không có c t lo i (2), nên t t c các c t đ u là lo i (1) và do đó có đúng m t đ nh th c d ng 3 là 1 0 ... 0 0 1 ... 0 =1 ... ... ... ... 0 0 ... 1 V y Dn b ng t ng c a t t c các đ nh th c ba d ng trên và b ng n ai b i + 1 i=1 4
  5. Nh n xét: T t c các đ nh th c mà các c t (dòng) có th bi u di n dư i d ng t ng 2 c t (2 dòng) trong đó các c t lo i (2) (dòng lo i (2)) t l v i nhau đ u có th tính đư c d dàng b ng phương pháp 3 v i cách trình bày gi ng h t như trên. 4 Phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c Gi s ta c n tính đ nh th c D c p n. Ta bi u di n ma tr n tương ng A c a D thành tích các ma tr n vuông c p n đơn gi n hơn: A = B.C. Khi đó ta có D = det A = det(B.C) = det B. det C v i các đ nh th c det B, det C tính đư c d dàng nên D tính đư c. Ví d 4.1: Tính đ nh th c c p n (n 2) sau 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn n D= ... ... ... ... .v 1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn Bài gi i: V i n 2 ta có:  4 h  2 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn c  1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn  A=  ... ... ... ... o   1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn ih    1 x1 0 ... 0 1 1 ... 1 u  1 x2 0 ... 0   y1 y2 ... yn     =  1 x3 0 ... 0  0 0 ... 0  V     ... ... ... ... ...  ... ... ... ...  1 xn 0 ... 0 0 0 ... 0 B C B i v y: 0 n un>2 D = det A = det B. det C = (x2 − x1 )(y2 − y1 ) n u n = 2 Ví d 4.2: Tính đ nh th c c p n (n 2) sin 2α1 sin(α1 + α2 ) ... sin(α1 + αn ) sin(α2 + α1 ) sin 2α2 ) ... sin(α2 + αn ) D= ... ... ... ... sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) ... sin 2αn 5
  6. Bài gi i: V i n 2 ta có:   sin 2α1 sin(α1 + α2 ) . . . sin(α1 + αn )  sin(α2 + α1 ) sin 2α2 ... sin(α2 + αn )  A=   ... ... ... ...  sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) . . . sin 2αn    sin α1 cos α1 0 . . . 0 cos α1 cos α2 ... cos αn  sin α2 cos α2 0 . . . 0   sin α1 sin α2 ... sin αn     =  sin α3 cos α3 0 . . . 0     0 0 ... 0    ... ... ... ... ...  ... ... ... ...  sin αn cos αn 0 . . . 0 0 0 ... 0 B C B i v y: 0n un>2 D = det A = det B. det C = − sin2 (α1 − α2 ) n u n = 2 Bài T p Tính các đ nh th c c p n sau: .v n h 1 + a1 a2 a3 ... an 4 a1 1 + a2 a3 ... an 6. a1 a2 1 + a3 ... an ... a1 ... a2 ... a3 ... ... . . . 1 + an o c 2 ih 0 1 1 ... 1 1 0 x ... x 7. 1 ... 1 5 x ... x 3 0 ... x 0 V u ... x ... ... ... 0 0 ... 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 8. 0 2 5 3 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 2 5 a1 x ... x x a2 . . . x 9. ... ... ... ... x x . . . an a1 + b 1 a1 + b 2 ... a1 + b n a2 + b 1 a2 + b 2 ... a2 + b n 10. ... ... ... ... an + b 1 an + b 2 ... an + bn 6
  7. cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn ) 11. ... ... ... ... cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn ) Tính các đ nh th c c p 2n sau a 0 ... 0 0 0 ... b 0 a ... 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... a b 0 ... 0 12. 0 0 ... b a 0 ... 0 0 0 ... 0 0 a ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... b 0 ... 0 0 0 ... a (đư ng chéo chính là a, đư ng chéo ph là b, t t c các v trí còn l i là 0) a1 0 ... 0 b1 0 ... 0 0 a2 ... 0 0 b2 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 13. 0 c1 0 0 0 c2 ... ... ... an 0 0 d1 0 0 0 d2 0 ... ... ... bn 0 0 .v n ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... cn 0 0 ... ... 4 h ... dn o c 2 uih V 7
nguon tai.lieu . vn