Xem mẫu
- Đ IS TUY N TÍNH
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
PGS. TS M Vinh Quang
Ngày 28 tháng 10 năm 2004
Bài 2 : Các Phương Pháp Tính Đ nh
Th c C p n
.v n
Đ nh th c đư c đ nh nghĩa khá ph c t p, do đó khi tính các đ nh th c c p cao (c p l n
h
hơn 3) ngư i ta h u như không s d ng đ nh nghĩa đ nh th c mà s d ng các tính ch t c a
đ nh th c và thư ng dùng các phương pháp sau.
1
c
Phương pháp bi n đ i đ nh th c v d ng tam giác
24
ih o
S d ng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng (c t) c a ma tr n và các tính ch t c a đ nh
th c đ bi n đ i ma tr n c a đ nh th c v d ng tam giác. Đ nh th c sau cùng s b ng tích c a
u
các ph n t thu c đư ng chéo chính (theo tính ch t 3.3 ).
V
Ví d 1.1: Tính đ nh th c c p n (n
1
2
2) sau đây:
2
2
2
2
...
...
2
2
D= 2 2 3 ... 2
... ... ... ... ...
2 2 2 ... n
Bài gi i: Nhân dòng (2) v i (−1) r i c ng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta có
1 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2
2 2 2 ... 2 0 −2 −2 . . . −2
(1)
D= 0 0 1 ... 0 = 0 0 1 ... 0 = (−2)(n − 2)!
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... n−2 0 0 0 ... n−2
(1): nhân dòng (1) v i (−2) c ng vào dòng (2).
1
- Ví d 1.2: Tính đ nh th c c p n
a b b ... b
b a b ... b
D= b b a ... b
... ... ... ... ...
b b b ... a
Bài gi i: Đ u tiên công các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1). Sau đó nhân dòng (1) v i (−1)
c ng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có:
a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b
a + (n − 1)b a b ... b 0 a−b 0 ... 0
D= a + (n − 1)b b a ... b = 0 0 a−b ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... a − b
= a + (n − 1)b (a − b)n−1
2 Phương pháp qui n p
.v n
4 h
Áp d ng các tính ch t c a đ nh th c, bi n đ i, khai tri n đ nh th c theo dòng ho c theo
c t đ bi u di n đ nh th c c n tính qua các đ nh th c c p bé hơn nhưng có cùng d ng. T đó
2
ta s nh n đư c công th c truy h i.
c
S d ng công th c truy h i và tính tr c ti p các đ nh th c cùng d ng c p 1, c p 2, . . . , đ
suy ra đ nh th c c n tính.
Ví d 2.1: Tính đ nh th c
ih o
V u Dn =
1 + a1 b 1
a2 b 1
...
an b 1
a1 b 2
1 + a2 b 2
...
an b 2
...
...
...
...
a1 bn
a2 bn
...
1 + an b n
Bài gi i: S d ng tính ch t 2.4, tách đ nh th c theo c t n, ta có:
1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1 b n
a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2 b n
Dn = ... ... ... ... + ... ... ... ...
an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1 bn
an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an b n
1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 0 1 + a1 b 1 ... a1 bn−1 a1
a2 b 1 ... a2 bn−1 0 a2 b 1 ... a2 bn−1 a2
= ... ... ... . . . + bn ... ... ... ...
an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 0 an−1 b1 ... 1 + an−1 bn−1 an−1
an b 1 ... an bn−1 1 an b 1 ... an bn−1 an
Khai tri n đ nh th c đ u theo c t (n) ta s có đ nh th c đ u b ng Dn−1 .
Nhân c t (n) c a đ nh th c th hai l n lư t v i (−bi ) r i c ng vào c t i (i = 1, 2, . . . , n − 1).
2
- Ta đư c:
1 0 ... 0 a1
0 1 ... 0 a2
Dn = Dn−1 + bn ... ... ... ... ... = Dn−1 + an bn
0 0 ... 1 an−1
0 0 ... 0 an
V y ta có công th c truy h i Dn = Dn−1 + an bn . Vì công th c trên đúng v i m i n nên ta có
Dn = Dn−1 + an bn = Dn−2 + an−1 bn−1 + an bn = · · · = D1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn
Vì D1 = a1 b1 + 1 nên cu i cùng ta có
Dn = 1 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + · · · + an bn
Ví d 2.2: Cho a, b ∈ R, a = b. Tính đ nh th c c p n
a + b ab 0 ... 0 0
1 a + b ab ... 0 0
Dn = ... ... ... ... ... ...
0 0 0 . . . a + b ab
0 0 0 ... 0 a+b
Bài gi i: Khai tri n đ nh th c theo dòng đ u, ta đư c:
.v n
h
1 ab 0 ... 0 0
0 a + b ab ... 0 0
Dn = (a + b)Dn−1 − ab . . .
0
0
c 24 ... ...
0
0
0
0
... ... ...
. . . a + b ab
... 0 a+b
o
Ti p t c khai tri n đ nh th c sau theo c t (1) ta có công th c:
ih Dn = (a + b)Dn−1 − abDn−2 v i n 3 (∗)
Do đó:
V u
Công th c này đúng v i m i n
Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2 )
3 nên ta có
Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn−2 ) = b2 (Dn−2 − aDn−3 ) = · · · = bn−2 (D2 − aD1 )
Tính toán tr c ti p ta có D2 = a2 + b2 + ab và D1 = a + b do đó D2 − aD1 = b2 . B i v y
Dn − aDn−1 = bn (1)
Ti p t c, t công th c (∗) ta l i có Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2 ). Do công th c này đúng
v i m i n 3 nên tương t như trên ta l i có
Dn − bDn−1 = a(Dn−1 − bDn−2 ) = a2 (Dn−3 − bDn−4 )
= · · · = an−2 (D2 − bD1 ) = an vì D2 − bD1 = a2
V y ta có
Dn − bDn−1 = an (2)
Kh Dn−1 t trong (1) và (2) ta s đư c k t qu
an+1 − bn+1
Dn =
a−b
3
- 3 Phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh
th c
Nhi u đ nh th c c p n có th tính đư c d dàng b ng các tách đ nh th c (theo các dòng
ho c theo các c t) thành t ng c a các đ nh th c cùng c p. Các đ nh th c m i này thư ng b ng
0 ho c tính đư c d dàng.
Ví d 3.1: Ta s tính đ nh th c Dn trong Ví d 2.1 b ng phương pháp này.
Bài gi i: M i c t c a Dn đư c vi t thành t ng c a 2 c t mà ta ký hi u là c t lo i (1) và lo i
(2) như sau:
1 + a1 b 1 0 + a1 b 2 . . . 0 + a1 b n
0 + a2 b 1 1 + a2 b 2 . . . 0 + a2 b n
Dn = ... ... ... ...
... ... ... ...
0 + an b 1 0 + an b 2 . . . 1 + an b n
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
n
S d ng tính ch t 2.4 c a đ nh th c, ta l n lư t tách các c t c a đ nh th c. Sau n l n tách ta
có Dn là t ng c a 2n đ nh th c c p n. C t th i c a các đ nh th c này chính là c t lo i (1)
như sau:
h .v
ho c lo i (2) c a c t th i c a đ nh th c ban đ u Dn . Ta chia 2n đ nh th c này thành ba d ng
4
D ng 1: Bao g m các đ nh th c có t 2 c t lo i (2) tr lên. Vì các c t lo i (2) t l nên t t
c các đ nh th c lo i này có giá tr b ng 0.
s c t i là lo i (2) ta có đ nh th c đó là
o c 2
D ng 2: Bao g m các đ nh th c có đúng m t c t lo i (2), còn các c t khác là lo i (1). Gi
ih
1 0 . . . a1 b i ... 0
0 1 . . . a2 b i ... 0
Dn,i = = ai b i
V u ...
0
... ... ...
0 . . . an bi
↑
c ti
...
...
...
1
(khai tri n theo c t i). Có t t c n đ nh th c d ng 2 ( ng v i i = 1, 2, . . . , n) và t ng c a t t
c các đ nh th c d ng 2 là
n
ai b i
i=1
D ng 3: Bao g m các đ nh th c không có c t lo i (2), nên t t c các c t đ u là lo i (1) và
do đó có đúng m t đ nh th c d ng 3 là
1 0 ... 0
0 1 ... 0
=1
... ... ... ...
0 0 ... 1
V y Dn b ng t ng c a t t c các đ nh th c ba d ng trên và b ng
n
ai b i + 1
i=1
4
- Nh n xét: T t c các đ nh th c mà các c t (dòng) có th bi u di n dư i d ng t ng 2 c t (2
dòng) trong đó các c t lo i (2) (dòng lo i (2)) t l v i nhau đ u có th tính đư c d dàng b ng
phương pháp 3 v i cách trình bày gi ng h t như trên.
4 Phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh
th c
Gi s ta c n tính đ nh th c D c p n. Ta bi u di n ma tr n tương ng A c a D thành tích
các ma tr n vuông c p n đơn gi n hơn: A = B.C. Khi đó ta có
D = det A = det(B.C) = det B. det C
v i các đ nh th c det B, det C tính đư c d dàng nên D tính đư c.
Ví d 4.1: Tính đ nh th c c p n (n 2) sau
1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn
1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn
n
D=
... ... ... ...
.v
1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn
Bài gi i: V i n 2 ta có:
4 h
2
1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn
c
1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn
A=
... ... ... ...
o
1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn
ih
1 x1 0 ... 0 1 1 ... 1
u
1 x2 0 ... 0 y1 y2 ... yn
= 1 x3 0 ... 0 0 0 ... 0
V
... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 xn 0 ... 0 0 0 ... 0
B C
B i v y:
0 n un>2
D = det A = det B. det C =
(x2 − x1 )(y2 − y1 ) n u n = 2
Ví d 4.2: Tính đ nh th c c p n (n 2)
sin 2α1 sin(α1 + α2 ) ... sin(α1 + αn )
sin(α2 + α1 ) sin 2α2 ) ... sin(α2 + αn )
D=
... ... ... ...
sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) ... sin 2αn
5
- Bài gi i: V i n 2 ta có:
sin 2α1 sin(α1 + α2 ) . . . sin(α1 + αn )
sin(α2 + α1 ) sin 2α2 ... sin(α2 + αn )
A=
... ... ... ...
sin(αn + α1 ) sin(αn + α2 ) . . . sin 2αn
sin α1 cos α1 0 . . . 0 cos α1 cos α2 ... cos αn
sin α2 cos α2 0 . . . 0 sin α1 sin α2 ... sin αn
= sin α3 cos α3 0 . . . 0
0 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ...
sin αn cos αn 0 . . . 0 0 0 ... 0
B C
B i v y:
0n un>2
D = det A = det B. det C =
− sin2 (α1 − α2 ) n u n = 2
Bài T p
Tính các đ nh th c c p n sau:
.v n
h
1 + a1 a2 a3 ... an
4
a1 1 + a2 a3 ... an
6. a1 a2 1 + a3 ... an
...
a1
...
a2
...
a3
... ...
. . . 1 + an
o c 2
ih
0 1 1 ... 1
1 0 x ... x
7. 1
...
1
5
x
...
x
3
0
...
x
0 V u ... x
... ...
... 0
0 ... 0 0
2 5 3 0 ... 0 0
8. 0 2 5 3 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 2 5
a1 x ... x
x a2 . . . x
9.
... ... ... ...
x x . . . an
a1 + b 1 a1 + b 2 ... a1 + b n
a2 + b 1 a2 + b 2 ... a2 + b n
10.
... ... ... ...
an + b 1 an + b 2 ... an + bn
6
- cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn )
cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn )
11.
... ... ... ...
cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn )
Tính các đ nh th c c p 2n sau
a 0 ... 0 0 0 ... b
0 a ... 0 0 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... a b 0 ... 0
12.
0 0 ... b a 0 ... 0
0 0 ... 0 0 a ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
b 0 ... 0 0 0 ... a
(đư ng chéo chính là a, đư ng chéo ph là b, t t c các v trí còn l i là 0)
a1 0 ... 0 b1 0 ... 0
0 a2 ... 0 0 b2 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
13.
0
c1
0
0
0
c2
...
...
...
an 0
0 d1 0
0 0 d2
0 ...
...
...
bn
0
0
.v n
...
0
...
0
...
...
... ... ...
cn 0 0
...
...
4 h
...
dn
o c 2
uih
V
7
nguon tai.lieu . vn