Xem mẫu
-
BI TẬP ẠI SỐ
CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI
V N THI VO LỚP 10
PHẦN I: Ề BI
1. Chứng minh 7 l số v tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tm gi trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
ab
4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất ẳng thức Cauchy : ab .
2
bc ca ab
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : a bc
a b c
c) Cho a, b > 0 v 3a + 5b = 12. Tm gi trị lớn nhất của = ab.
5. Cho a + b = 1. Tm gi trị nhỏ nhất của biểu thức : M
6. Cho a3 + b3 = 2. Tm gi trị lớn nhất của biểu thức : + b.
7. Cho a, b, c l cc số dng. Chứng minh : bc ab(a + b + c)
8. Tm lin hệ giữa cc số a v b biết rằng : b
9. a) Chứng minh bất ẳng thức (a + 1)2 4
b) Cho a, b, c > 0 v abc = 1. Chứn (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
10. Chứng minh cc bất ẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2) ( b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
11. Tm cc gi trị của x sao ch
a) | 2x 3 | = | 1 x |b) 2 5 c) 2x(2x 1) 2x 1.
12. Tm cc số a, b, c d a + b + c2 + d2 = a(b + c + d)
2 2
2
13. Cho biểu thức M 3a 3b + 2001. Với gi trị no của a v b
th M ạt gi trị nh m gi trị nhỏ nhất .
14. Cho b xy + y2 3(x + y) + 3. CMR gi trị nhỏ nhất của P
bằng 0.
15. Chứng ng khng c gi trị no của x, y, z thỏa mn ẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0
1
16. Tm gi trị lớn nhất của biểu thức : A 2
x 4x 9
17. So snh cc số thực sau (khng dng my tnh) :
a) 7 15 và 7 b) 17 5 1 và 45
23 2 19
c) và 27 d) 3 2 và 2 3
3
18. Hy viết một số hữu tỉ v một số v tỉ lớn hn 2 nhng nhỏ hn 3
19. Giải phng trnh : 3x2 6x 7 5x2 10x 21 5 2x x2 .
20. Tm gi trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với cc iều kiện x, y > 0 v 2x
+ xy = 4.
-
1 1 1 1
21. Cho S .... ... .
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
1998
Hãy so sánh S và 2. .
1999
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhin a khng phải l số chnh phng th
a l số v tỉ.
23. Cho cc số x v y cng dấu. Chứng minh rằng :
x y
a) 2
y x
x2 y2 x y
b) 2 2 0
y x y x
x4 y4 x2 y2 x y
c) 4 4 2 2 2 .
y x y x y x
24. Chứng minh rằng cc số sau l số v tỉ :
a) 1 2
3
b) m với m, n l cc số hữu tỉ
n
25. C hai số v tỉ dng no m tổng u tỉ khng ?
x2 y2 x y
26. Cho cc số x v y khc 0. Chứng h rằng : 2
2 4 3 .
y x y x
x2 y2 z2 x y z
27. Cho cc số x, y, z d g minh rằng : 2 2 2 .
y z x y z x
28. Chứng minh rằng t số hữu tỉ với một số v tỉ l một số v tỉ.
29. Chứng i h g thức :
2
a) b)
b) c) 3(a2 + b2 + c2)
2
c) ( 1 2 .. + an)2 n(a12 + a22 + .. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2.
31. Chứng minh rằng : x y x y .
1
32. Tm gi trị lớn nhất của biểu thức : A 2
.
x 6x 17
x y z
33. Tm gi trị nhỏ nhất của : A với x, y, z > 0.
y z x
34. Tm gi trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tm gi trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z 0 ; x +
y + z = 1.
36. Xt xem cc số a v b c thể l số v tỉ khng nếu :
a
a) ab và l số v tỉ.
b
-
a
b) a + b và l số hữu tỉ (a + b 0)
b
c) a + b, a2 và b2 l số hữu tỉ (a + b 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
a b c d
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 2
bc cd da a b
39. Chứng minh rằng 2x bằng 2 x hoặc 2 x 1
40. Cho số nguyn dng a. Xt cc số c dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a
+ 15n. Chứng minh rằng trong cc số , tồn tại hai số m hai chữ số ầu tin
là 96.
41. Tm cc gi trị của x ể cc biểu thức sau c ngha :
1 1 1 2
A= x2 3 B C D E x 2x
x2 4x 5 x 2x 1 1 x x
G 3x 1 5x 3 x2 x 1
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | | A | + | B | . Dấu ảy ra khi no ?
b) Tm gi trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 4x 4 x2 6x 9 .
c) Giải phng trnh : 4x2 20x 25 x2 18x 81
43. Giải phng trnh : 2x2 8x 3 x2 2.
44. Tìm cc gi trị của x ể cc biểu t ngha :
1 1
A x2 x 2 B 2 1 9x2 D
1 3x x2 5x 6
1
E x2 H x2 2x 3 3 1 x2
2x 1 x 4
45. Giải phng tr h 0
3
46. Tm g a biểu thức : A x x .
47. Tm g nhất của biểu thức : B 3 x x
3 1
48. So sánh : a) a 2 3 và b= ; b) 5 13 4 3 và 3 1
2
c) n 2 n 1 và n+1 n (n l số nguyn dng)
49. Với gi trị no của x, biểu thức sau ạt gi trị nhỏ nhất :
A 1 1 6x 9x2 (3x 1)2 .
50. Tính :
a) 42 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2
d) A m2 8m 16 m2 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1
(n > 1)
8 41
51. Rt gọn biểu thức : M .
45 4 41 45 4 41
-
52. Tm cc số x, y, z thỏa mn ẳng thức :
(2x y)2 (y 2)2 (x y z)2 0
53. Tm gi trị nhỏ nhất của biểu thức : P 25x2 20x 4 25x2 30x 9 .
54. Giải cc phng trnh sau :
a) x2 x 2 x 2 0 b) x2 1 1 x2 c) x2 x x2 x 2 0
d) x x4 2x2 1 1 e) x2 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5
h) x2 2x 1 x2 6x 9 1 i) x 5 2 x x2 25
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2
55. Cho hai số thực x v y thỏa mn cc iều kiện : xy = 1 v x > y. CMR:
x2 y2
2 2.
x y
56. Rt gọn cc biểu thức :
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 3 d) 227 30 2 123 22
6 2
57. Chứng minh rằng 2 3
2
58. Rt gọn cc biểu thức :
a) C
6 2
6 3 2 62 3 2 b) D
96 2 6
2 3
.59. So sánh :
a) 6 20 và 1+ 7 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2
60. Cho b x x2 4x 4
a) Tm ịnh của biểu thức A.
b) Rt gọ thức A.
61. Rt gọn cc biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14
3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Chứng minh ẳng thức :
1 1 1 1 1 1
2
2 2
a b c a b c
63. Giải bất phng trnh : x2 16x 60 x 6 .
64. Tìm x sao cho : x2 3 3 x2 .
65. Tm gi trị nhỏ nhất, gi trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1)
-
66. Tm x ể biểu thức c ngha:
1 16 x2
a) A b) B x2 8x 8 .
x 2x 1 2x 1
x x2 2x x x2 2x
67. Cho biểu thức : A .
x x2 2x x x2 2x
a) Tm gi trị của x ể biểu thức A c ngha.
b) Rt gọn biểu thức A. c) Tm gi trị của x ể A < 2.
68. Tm 20 chữ số thập phn ầu tin của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9)
69. Tm gi trị nhỏ nhất, gi trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y 1 | với | x | +
| y|= 5
70. Tm gi trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1 (n l số nguyn dng), số no lớn
hn ?
72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3 . Tnh gi t hai cch.
73. Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 3 5)
74. Chứng minh cc số sau l số v tỉ : 3 2 ; 2 2 3
5 1
75. Hy so snh hai số : a 3 3 3 và b=2 5 và
2
76. So sánh 4 7 4 7 2
2 3 84
77. Rt gọn biểu thức : Q .
3 4
78. Cho P 14 40 0 . Hy biểu diễn P dới dạng tổng của 3
cn thức bậc hai
79. Tnh gi trị của x + y2 biết rằng : x 1 y2 y 1 x2 1 .
80. Tm g lớn nhất của : A 1 x 1 x .
2
81. Tm g nhất của : M a b với a, b > 0 v a + b 1.
82. CMR trong cc số
2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd c t nhất hai số d-
ng (a, b, c, d > 0).
83. Rt gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18 .
84. Cho x y z xy yz zx , trong x, y, z > 0. Chứng minh x = y =
z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a 1a2aan = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 +
an) 2n.
2
86. Chứng minh : a b 2 2(a b) ab (a, b 0).
-
87. Chứng minh rằng nếu cc oạn thẳng c ộ di a, b, c lập ợc thnh một
tam giác thì các oạn thẳng c ộ di a , b , c cng lập ợc thnh một
tam giác.
ab b2 a (x 2)2 8x
88. Rt gọn : a) A b) B
b b 2
x
x
2
a 2
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta ều c : 2 . Khi nào có
a2 1
ẳng thức ?
90. Tính : A 3 5 3 5 bằng hai cch.
3 7 5 2
91. So sánh : a) và 6,9 b) 13 12 và 7 6
5
2 3 2 3
92. Tính : P .
2 2 3 2 2 3
93. Giải phng trnh : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 .
1.3.5 1
94. Chứng minh rằng ta lun c : Pn ; n Z+
2.4 2n 1
a2 b2
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 th .
b a
x 1) x 4(x 1) 1
96. Rt gọn biểu thức : A= . 1 .
2
x 4(x 1) x 1
a b b a 1
97. Chứng minh cc u : a) : ab (a, b >
ab a b
0 ; a b)
14 1 a a a a
b) : 2 c) 1 1 1 a
1 3 7 5 a 1 a 1
(a > 0).
98. Tính : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48 .
c) 7 48 28 16 3 . 7 48 .
99. So sánh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7
16
c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
2
100. Cho hằng ẳng thức :
a a2 b a a2 b
a b (a, b > 0 và a2 b > 0).
2 2
-
p dụng kết quả ể rt gọn :
2 3 2 3 3 2 2 32 2
a) ; b)
2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
2 10 30 2 2 6 2
c) :
2 10 2 2 3 1
101. Xc ịnh gi trị cc biểu thức sau :
xy x2 1. y2 1 1 1 1 1
a) A với x a , y b
(a > 1 ; b > 1)
2
xy x 1. y 1 2 2 a 2 b
a bx a bx 2am
b) B với x , m 1.
a bx a bx b 1 m2
2x x2 1
102. Cho biểu thức P(x)
3x2 4x 1
a) Tm tất cả cc gi trị của x ể P(x) xc ịnh. Rt gọn
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 th P(x).P(- x) < 0.
x 2 4 x 2 x 2
103. Cho biểu thức A .
4 4
x2 x
a) Rt gọn biểu thức A. b) Tm nguyn x ể biểu thức A l một
số nguyn.
104. Tm gi trị lớn nhất (nếu c) ho ị nhỏ nhất (nếu c) của cc biểu
thức sau:
a) 9 x2 b) x x c) 1 2 x d) x 5 4
1
e) 1 2 1 3x g) 5 h) 1 x2 2x 5 i)
2x x 3
105. Rt g A x 2x 1 x 2x 1 , bằng ba cách ?
106. Rt g ểu thức sau : a) 5 3 5 48 10 7 4 3
b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5 .
107. Chứng minh cc hằng ẳng thức với b 0 ; a b
a) a b a b 2 a a2 b b)
a a2 b a a2 b
a b
2 2
108. Rt gọn biểu thức : A x 2 2x 4 x 2 2x 4
109. Tìm x và y sao cho : x y 2 x y 2
110. Chứng minh bất ẳng thức : a 2 b2 c2 d 2 a c 2 b d 2 .
-
a2 b2 c2 abc
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : .
bc ca ab 2
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :
a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b bc ca 6 .
113. CM : a 2
c2 b2 c2 a 2
d 2 b2 d 2 (a b)(c d)
với a, b, c, d > 0.
114. Tm gi trị nhỏ nhất của : A x x .
(x a)(x b)
115. Tm gi trị nhỏ nhất của : A .
x
116. Tm gi trị nhỏ nhất, gi trị lớn nhất của A = 2x + 3y
biết 2x2 + 3y2 = 5.
117. Tm gi trị lớn nhất của A = x + 2 x .
118. Giải phng trnh : x 1 5x 1 3x 2
119. Giải phng trnh : x 2 x 1 x 2 x 1
120. Giải phng trnh : 3x2 21x 18 2 x2 7x 7
121. Giải phng trnh : 3x2 6x 7 5x2 4 2x x2
122. Chứng minh cc số sau l số v tỉ : 3 2 2 3
123. Chứng minh x 2 4 x 2
124. Chứng minh bất ẳng thức sau b ng php hnh học :
2 2 2 2
a b . b c b(a a, b, c > 0.
125. Chứng minh (a b)(c d) bd với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu cc hẳng c ộ di a, b, c lập ợc thnh một
tam gic th cc oạn di a , b , c cng lập ợc thnh một tam
giác.
ab
127. Chứn a b b a với a, b 0.
4
a b c
128. Chứng 2 với a, b, c > 0.
bc ac ab
129. Cho x 1 y2 y 1 x2 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tm gi trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1
131. Tm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x .
132. Tm gi trị nhỏ nhất của A x2 1 x2 2x 5
133. Tm gi trị nhỏ nhất của A x2 4x 12 x2 2x 3 .
134. Tm GTNN, GTLN của :
a) A 2x 5 x2
b) A x 99 101 x2
a b
135. Tm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mn 1
x y
(a v b l hằng số dng).
-
136. Tm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
xy yz zx
137. Tm GTNN của A với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z x y
x2 y2 z2
138. Tm GTNN của A biết x, y, z > 0 ,
x y y z z x
xy yz zx 1.
2
139. Tm gi trị lớn nhất của : a) A a b với a, b > 0 , a + b 1
b)
4 4 4 4 4 4
B a b a c a d b c b d c d
với a, b, c, d > 0 v a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
b c
141. Tm GTNN của A với b + c a + d ; ; a, d 0.
cd a b
142. Giải cc phng trnh sau :
a) x2 5x 2 3x 12 0 b) x2 4x 8 x 1 ) 4x 1 3x 4 1
d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 x 2x 1 x 2x 1 2
h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 ) x x 1 x 1
k) 1 x2 x x 1 ) 2x2 8x 6 x2 1 2x 2
m) x2 6 x 2 x2 1 1 x 10 x 2 x 5
o) x 1 x 3 2 x 1 x2 5 4 2x
p) 2x 3 x 2 2 1 2 x 2 .
q) 2x2 9x 4 3 2 21x 11
143. Rt g
A 2 2 5 3 2 18 20 2 2 .
144. Chứn ằng, n Z+ , ta luôn có :
1 1 1
1
2
3
....
n
2
n 1 1 .
1 1
145. Trục cn thức ở mẫu : a) b) .
1 2 5 x x 1
146. Tính :
a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5
147. Cho a 3 5. 3 5
10 2 . Chứng minh rằng a l số tự nhin.
3 2 2 32 2
148. Cho b . b c phải l số tự nhin khng ?
17 12 2 17 12 2
149. Giải cc phng trnh sau :
-
a)
3 1 x x 4 3 0 b)
3 1 x 2
3 1 x 3 3
c)
5 x 5 x x 3 x 3
2 d) x x 5 5
5 x x3
150. Tnh gi trị của biểu thức :
M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21
1 1 1 1
151. Rt gọn : A ... .
1 2 2 3 3 4 n 1 n
1 1 1 1
152. Cho biểu thức : P ...
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1
a) Rt gọn P. b) P c phải l số hữu tỉ khng ?
1 1 1 1
153. Tính : A ... .
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 9 100
1 1 1
154. Chứng minh : 1 ... n.
2 3 n
155. Cho a 17 1 . Hy tnh gi trị của biểu thức: A = (a + 2a4 17a3 a2 +
18a 17)2000.
156. Chứng minh : a a 1 a 2 a
1
157. Chứng minh : x2 x 0
2
158. Tm gi trị lớn nhất của S x 2 , biết x + y = 4.
3 1 2a 1 2a
159. Tnh gi trị của biểu thức s i a :A .
4 1 1 2a 1 1 2a
160. Chứng minh cc ẳ au :
a) 4 15 10 6 2 b) 4 2 2 6 2
3 1
2
c) 3 5
2 8 d) 7 48
2
3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2
161. Chứn c bất ẳng thức sau :
5 5 5 5
a) 27 6 48 10 0
b)
5 5 5 5
5 1 5 1 1
c) 3 4 2 0,2 1,01 0
1 5 3 1 3 5 3
2 3 1 2 3 3 3 1
d) 3 2 0
2 6 2 6 2 6 2 6 2
e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1
2 2 3 2 2
h) 3 5
7 3 5 7 3 i)
4
0,8
-
1
162. Chứng minh rằng : 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 . Từ suy ra:
n
1 1 1
2004 1 ... 2005
2 3 1006009
2 3 4 3
163. Trục cn thức ở mẫu : a) b) .
2 3 6 84 2 2 3 4
3
3 2 3 2
164. Cho x và y= .
3 2 3 2
Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
2002 2003
165. Chứng minh bất ẳng thức sau : 2002 2003 .
2003 2002
x2 3xy y2
166. Tnh gi trị của biểu thức : A với
x y 2
x 3 5 và y 3 5 .
6x 3
167. Giải phng trnh : 3 2 x x2 .
x 1 x
168. Giải bất cc pt : a)
1
3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 4.
4
169. Rt gọn cc biểu thức sau :
a 1
a) A 5 3 29 12 5 B 1 a a(a 1) a
a
x 3 2 x2 9 x2 5x 6 x 9 x2
c) C d) D
2x 6 x2 9 3x x2 (x 2) 9 x2
1 1 1
E ...
1 4 24 25
1
170. Tm GTLN của biểu thức A .
2 3 x2
2 1
171. Tm gi trị nhỏ nhất của A với 0 < x < 1.
1 x x
172. Tm GTLN của : a) A x 1 y 2 biết x + y = 4 ; b)
x 1 y 2
B
x y
173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 . So snh a với b, số no lớn
hn ?
1
174. Tm GTNN, GTLN của : a) A b) B x2 2x 4 .
2
5 2 6x
175. Tm gi trị lớn nhất của A x 1 x2 .
176. Tm gi trị lớn nhất của A = | x y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y 0 ; x2 + y2 = 1.
-
178. Tm GTNN, GTLN của A x x y y biết x y 1.
x 1
179. Giải phng trnh : 1 x x2 3x 2 (x 2) 3.
x2
180. Giải phng trnh : x2 2x 9 6 4x 2x2 .
1 1 1 1
181. CMR, n Z+ , ta có : ... 2.
2 3 2 4 3 (n 1) n
1 1 1 1
182. Cho A ... . Hãy so sánh A và
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
1,999.
183. Cho 3 số x, y v x y l số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x; y
ều l số hữu tỉ
3 2
184. Cho a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 . CMR : a b l cc số
3 2
hữu tỉ.
2 a a 2 a a 1
185. Rt gọn biểu thức : P . .
a 2 a 1 a a
(a > 0 ; a
a 1 a 1 1
186. Chứng minh : 4a . (a > 0 ; a 1)
a 1 a 1 a
2
x 2 8x
187. Rt gọn : (0 < 2)
2
x
a b ab
188. Rt gọn : a
ab b ab a ab
5a 2
189. Giải 2 2
: 2 x x a 2 2 (a 0)
x a
1 a a 1 a a
190. Cho A 1 a 2 : a a 1
1 a
1 a
a) Rt gọn biểu thức A.
b) Tnh gi trị của A với a = 9.
c) Với gi trị no của a th | A | = A.
a b 1 a b b b
191. Cho biểu thức : B .
a ab 2 ab a ab a ab
a) Rt gọn biểu thức B.
b) Tnh gi trị của B nếu a 6 2 5 .
c) So snh B với -1.
1 1 ab
192. Cho A :1
a ab a ab ab
-
a) Rt gọn biểu thức A.
b) Tm b biết | A | = -A.
c) Tnh gi trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2 .
a 1 a 1 1
193. Cho biểu thức A 4 a a
a 1 a 1 a
a) Rt gọn biểu thức A.
6
b) Tm gi trị của A nếu a .
2 6
c) Tm gi trị của a ể A A .
a 1 a a a a
194. Cho biểu thức A .
2 2 a a 1 a 1
a) Rt gọn biểu thức A.
b) Tm gi trị của A ể A = - 4
1 a 1 a 1
195. Thực hiện php tnh : A :
1 a 1 a 1 a
2 3
196. Thực hiện php tnh : B
2 2 3
197. Rt gọn cc biểu thức sau :
x y 1 1 1 2 1 1
a) A : . .
3
xy xy x y x y 2 y
x y x
với x 2 3 ; y 2 3
x x2 y2 y2
b) B với x > y > 0
2a 1 1 a a
c) C với x ; 0
-
201. Cho biết x = 2 l một nghiệm của phng trình x3 + ax2 + bx + c = 0
với cc hệ số hữu tỉ. Tm cc nghiệm cn lại.
1 1 1
202. Chứng minh 2 n 3 ... 2 n 2 với n N ; n 2.
2 3 n
203. Tm phần nguyn của số 6 6 ... 6 6 (c 100 dấu cn).
204. Cho a 2 3. Tính a) a 2
b) a 3 .
205. Cho 3 số x, y, x y l số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x, y
ều l số hữu tỉ
1 1 1 1
206. CMR, n 1 , n N : ... 2
2 3 2 4 3 (n 1) n
207. Cho 25 số tự nhin a1 , a2 , a3 , a25 thỏa k :
1 1 1 1
... 9 . Chứng minh rằng trong 25 ố in tồn
a1 a2 a3 a 25
tại 2 số bằng nhau.
2 x 2 x
208. Giải phng trnh 2.
2 2 x 2
1 x
209. Giải v biện luận với tham số a a.
x
x 1 y
210. Giải hệ phng trnh y 1 z
z
z
2x
211. Chứng minh rằn
7
a) Số 8 3 7 c 7 9 ền sau dấu phẩy.
b) Số 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
*
212. K hi ố nguyn gần
n nhất (n N ), v dụ :
1 1 a1 1 ; 2 1, 4 a 2 1 ; 3 1,7 a 3 2 ; 4 2 a4 2
1 1 1 1
Tính : ... .
a1 a 2 a 3 a1980
213. Tm phần nguyn của cc số (c n dấu cn) :
a) a n 2 2 ... 2 2
b) a n 4 4 ... 4 4
c) a n 1996 1996 ... 1996 1996
214. Tm phần nguyn của A với n N : A 4n2 16n2 8n 3
-
200
215. Chứng minh rằng khi viết số x = 3 2 dới dạng thập phn, ta ợc
chữ số liền trớc dấu phẩy l 1, chữ số liền sau dấu phẩy l 9.
250
216. Tm chữ số tận cng của phần nguyn của 3 2 .
217. Tnh tổng A 1 2 3 ... 24
2
218. Tm gi trị lớn nhất của A = x (3 x) với x 0.
219. Giải phng trnh : a) 3 x 1 3 7 x 2 b)
3
x 2 x 1 3 .
220. C tồn tại cc số hữu tỉ dng a, b khng nếu : a) a b 2 b)
a b 4 2.
221. Chứng minh cc số sau l số v tỉ : a) 3 5 b) 3 2 3 4
abc
222. Chứng minh bất ẳng thức Cauchy với 3 số khng m 3 abc .
a b c d
223. Cho a, b, c, d > 0. Biết g h rằng :
1 a 1 b 1 c 1 d
1
abcd .
81
x2 y2 z
224. Chứng minh bất ẳng thức : 2 với x, y, z > 0
y y z x
225. Cho a 3 3 3 3 3 3 3 3 ; b ứng minh rằng : a < b.
n
1
226. a) Chứng minh với mọi số y dng n, ta c : 1 3 .
n
b) Chứng minh rằ số c dạng n n (n l số tự nhin), số 3
3 có
gi trị lớn nhất
227. Tm i t ị h A x2 x 1 x2 x 1 .
228. Tm ủa A = x2(2 x) biết x 4.
229. Tm nhất của A x2 9 x2 .
230. Tm gi trị nhỏ nhất, gi trị lớn nhất của A = x(x2 6) biết 0 x 3.
231. Một miếng ba hnh vung c cạnh 3 dm. Ở mỗi gc của hnh vung lớn,
ngời ta cắt i một hnh vung nhỏ rồi gấp ba ể ợc một ci hộp hnh hộp
chữ nhật khng nắp. Tnh cạnh hnh vung nhỏ ể thể tch của hộp l lớn
nhất.
232. Giải cc phng trnh sau :
3
a) 1 3 x 16 3 x 3 b) 2 x x 1 1
c) 3 3
x 1 x 1 3 5x d) 2 2x 1 x3 1
3
3
x3 3x x2 1 x2 4 3
7 x 3 x5
e) 2 3 g) 3
6x
2 7 x 3 x5
h) 3
(x 1)2 3 (x 1)2 3 x2 1 1 i) 3
x 1 3 x 2 3 x 3 0
-
k) 4 1 x2 4 1 x 4 1 x 3 l) 4
a x 4 b x 4 a b 2x (a, b là
tham số)
3
a 4 3 a 2 b2 3 b 4
233. Rt gọn A 3
.
a 2 3 ab 3 b2
234. Tm gi trị nhỏ nhất của biểu thức : A x2 x 1 x2 x 1
235. Xc ịnh cc số nguyn a, b sao cho một trong cc nghiệm của phng
trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 3 .
236. Chứng minh 3 3 l số v tỉ.
237. Làm phép tính : a) 3 1 2. 6 3 2 2 b) 6
9 4 5. 3 2 5 .
238. Tính : a 3 20 14 2 3 20 14 2 .
239. Chứng minh : 3 7 5 2 3 7 2 5 2 .
240. Tính : A 4
7 48 4 28 16 3 . 4 7 48 .
241. Hy lập phng trnh f(x) = 0 với hệ số nguyn c nghiệm l :
x 3 3 3 9.
242. Tnh gi trị của biểu thức : M = x3 + 3x
1
x 3 75 2 .
3
75 2
3
243. Giải cc phng trnh : a) x x 3.
b) 3
x 9 (x 3)2 6 c) x2 32 2 4 x2 32 3
244. Tm GTNN của biểu thức
x3 2 1 x3 1 x3 2 1 x3 1 .
245. Cho cc số dng hứng minh : a + b + c + d 4 4 abcd .
x2 3
3
23 x 3
x2 4
246. Rt 2 x 3 ; x> 0
2 3 x x 2 3 x2 2 x
,x 8
247. CMR : x 3 5 17 3 5 17 l nghiệm của phng trnh x3 - 6x + 10
= 0.
1 3
248. Cho x 3 4 15 . Tnh gi trị biểu thức y = x - 3x + 1987.
3
4 15
a 2 5. 94 5
249. Chứng minh ẳng thức : 3 a 1.
3
2 5. 3 9 4 5 3 a 2 3 a
250. Chứng minh bất ẳng thức : 3 9 4 5 3 2 5 . 3 5 2 2,1 0 .
251. Rt gọn cc biểu thức sau :
-
3 4 3 2 2 3 4 1 23 1 24
a ab b b 4b
a) A b) . b
b 8 3
1
3 2 3
a ab b 3 2
3
b 2 1 2.
3
b
b 8
a 3 a 2a 3 b 3 a 2 b2 3 a 2 b 3 ab 2 1
c) C 3 . .
3 2
a 3 ab a 3 b 3 a2
252. Cho M x2 4a 9 x2 4x 8 . Tnh gi trị của biểu thức M biết
rằng:
x2 4x 9 x2 4x 8 2 .
253. Tm gi trị nhỏ nhất của : P x2 2ax a2 x2 2bx b2 (a < b)
254. Chứng minh rằng, nếu a, b, c l ộ di 3 cạnh của một tam gic th :
abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)
255. Tm gi trị của biểu thức | x y | biết x + y = 2 v xy =
256. Biết a b = 2 + 1 , b c = 2 - 1, tm gi trị của
A = a2 + b2 + c2 ab bc ca.
257. Tm x, y, z biết rằng : x y z 4 2 x 3 6 z5 .
258. Cho y x 2 x 1 x 2 x 1 . C x 2 th gi trị của y l
một hằng số.
259. Phn tch thnh nhn tử : M 7 x3 x2 x 1 (x 1).
260. Trong tất cả cc hnh chữ nhật cho bằng 8 2 , hãy tìm hình
chữ nhật c diện tch lớn nhất.
261. Cho tam gic vung ABC c cạnh gc vung l a, b v cạnh huyền
ab
l c. Chứng minh rằng c .
2
262. Cho cc số d a, b, c. Chứng minh rằng :
a b c
Nếu (a b c)(a ' b' c') thì .
a' b' c'
263. Giải p g nh : | x2 1 | + | x2 4 | = 3.
264. Chứng minh rằng gi trị của biểu thức C khng phụ thuộc vo x, y :
4
1 x y x y
C với x > 0 ; y > 0.
x y x y 2 x y 4xy
x y x y
265. Chứng minh gi trị biểu thức D khng phụ thuộc vo a:
2 a a 2 a a a a 1
D với a > 0 ; a 1
a 2 a 1 a 1 a
c ac 1
266. Cho biểu thức B a .
a c a c a c
ac c ac a ac
a) Rt gọn biểu thức B.
-
b) Tnh gi trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24
c) Với gi trị no của a v c ể B > 0 ; B < 0.
2mn 2mn 1
267. Cho biểu thức : A= m+ 2
m 2
1 2 với m 0 ; n 1
1+n 1 n n
a) Rt gọn biểu thức A. b) Tm gi trị của A với
m 56 24 5 .
c) Tm gi trị nhỏ nhất của A.
268. Rt gọn
1 x 1 x 1 1 x x
D 2 1
1 x 1 x 1 x 1 x x
2 x 1 x 1 x2
1 2 x 2 x
269. Cho P :1 với x 0 ; x 1.
x 1 x x x x 1 x 1
a) Rt gọn biểu thức P. b) Tìm x sao c .
2
x x 2x x
270. Xt biểu thức y 1 .
x x 1 x
a) Rt gọn y. Tm x ể y = 2. b) Giả hứng minh rằng : y -
|y|= 0
c) Tm gi trị nhỏ nhất của y ?
nguon tai.lieu . vn