Xem mẫu
- Chuong 2
’’
˜
¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN VA PHAN PHOI XAC SUAT
D. .’ ˆ ˆ ` ˆ ´ ´
ˆ ´
ˆ
1. ’ .’ ˜
ˆ ˆ
¯ AI LUONG NGAU NHIEN
D.
1.1 e ¯. ’ .
. ’ ˜
Kh´i niˆm dai luong ngˆu nhiˆn
a a e
2 ¯ inh nghia 1 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn l` dai luong biˆn dˆi biˆ’u thi gı´ tri kˆt qua
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e a ¯. ’.’ ´ ’
e ¯o e . a . e ’ ´
’ o
. e ’’ ˆ˜
cua mˆt ph´p thu ngau nhiˆn.
e
Ta d`ng c´c chu c´i hoa nhu X, Y, Z, ... dˆ’ k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn.
u a ˜ a
’ ’ ¯e ı e ¯ . ’ .’
. ˜
a e
o. u ˘ ´ . ´ ´
a o a ´ .
• V´ du 1 Tung mˆt con x´c xac. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac
ı . a e e a
. ´
u ˘
. ˜
a e a a
. a . o e’ a
th` X l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ l` 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ı a o ¯. ’.’
1.2 D. ’ . ’ ˜
a e ` .
¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac
’
D. ’ .’ ˜
a e ` .
a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac
’
D. ˜ D. ’.’ ˜
a ’ ´ o
e a
. . ´
2 ¯ inh nghia 2 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` roi rac nˆu n´ chi’ nhˆn mˆt sˆ
e ¯ ’.’ . a ` . o o
˜ .
’ a
. . ´ ´
huu han ho˘c mˆt sˆ vˆ han dˆm duoc c´c gi´ tri.
o o o . ¯e ¯ ’.’ a a .
Ta c´ thˆ’ liˆt kˆ c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac x1 , x2 , . . . , xn .
o e e e a
. a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e ` .’
Ta k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn X nhˆn gi´ tri xn l` X = xn v` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn
ı e ¯ . ’ .’
. ˜
a e a
. a . a a a ´
a ¯e a
.
gi´ tri xn l` P (X = xn ).
a . a
´ ´
o a ´ .
a e e a
. ´ ´
u ˘ o . ´
˘
• V´ du 2 Sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac, sˆ hoc sinh vang m˘t trong mˆt
ı . a
. o
.
’
o . a a ¯. ’.’ ˜
a e ` .
buˆi hoc...l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac.
’
’ ´ ´
b) Bang phˆn phˆi x´c suˆt
a o a a
Bang phˆn phˆi x´c suˆt d`ng dˆ’ thiˆt lˆp luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong
’ a ´
o a ´
a u ¯e ´ .
e a a
. a ´
o a ´
a ’ ¯ . ’ .’
ngˆu nhiˆn roi rac, n´ gˆm 2 h`ng: h`ng thu nhˆt liˆt kˆ c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn
˜
a e ` .’ o o ` a a ´ a e e a a . o e
’ ´ .
’ ¯ . ’ .’ a˜ e a a ´
’ e e a a
. a ’’ ´
´
cua dai luong ngˆu nhiˆn X v` h`ng thu hai liˆt kˆ c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn
’
cua c´c gi´ tri c´ thˆ’ do.
’ a a . o e ¯´
27
- 28 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
X x1 x2 . . . xn
P p1 p2 . . . pn
Nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X gˆm h˜u han sˆ x1 , x2 , . . . , xn th`
´
e a a . o e ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o` u . o ´ ı
´ cˆ X = x1 , X = x2 , . . . , X = xn lˆp th`nh mˆt nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung
c´c biˆn o
a e ´ a
. a o
. o a ´ o ¯a ¯ ’
e ´ `
´ ’
˘ ` ¯o
khac tung dˆi.
n
Do d´
¯o pi = 1.
i=1
ı . o
. ´ `
u ˘ ¯o ´
a . ´ ´
a o a ´ .
• V´ du 3 Tung mˆt con x´c xac dˆng chˆt. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con
a e e a
.
u ˘ ´c th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ phˆn phˆi x´c suˆt cho boi:
x´c xa ı a ¯. ’.’ ˜
a e ` . o a
’ ´ a
o ´
a ’’
X 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
P 6 6 6 6 6 6
1.3 ’ ˜ e . a a a ¯o a
. . ´
¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc v` h`m mˆt dˆ x´c suˆt
D. ’ . a e a
˜
a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc
D. ’ .’ a e e .
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a e . ´
e a a . o e’ ’
2 ¯ inh nghia 3 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` liˆn tuc nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ cua
´ ` o
o a ¯ˆ . ’ e . o ´
n´ lˆp day mˆt khoang trˆn truc sˆ.
• V´ du 4
ı .
- Nhiˆt dˆ khˆng kh´ o mˆi thoi diˆ’m n`o d´.
e ¯o o
. . ˜
ı ’’ o ` ¯ e
’ a ¯o
´ ¯ ’`
- Sai sˆ khi khi do luong mˆt dai luong vˆt l´.
o ’ o ¯. ’.’
. a y
.
’
- Khoang thoi ’ ’ ´ ´ ’
` gian giua hai ca cˆp cuu cua mˆt bˆnh viˆn.
˜ a ’ o e
. . e
.
b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt
a a ¯o a
. . ´
a
˜ a a ¯o a
. . ´
a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 4 H`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X l` h`m
D. a e e . a a
o a a ¯i ´ moi x ∈ (−∞, +∞) thoa m˜n
khˆng ˆm f(x), x´c d. nh voi .
’ ’ a
P (X ∈ B) = f (x)dx
B
´ . a o .’ ´
voi moi tˆp sˆ thuc B.
’ .
ınh a ´ a a ¯o a
. . ´
a o a ınh a ´
3 T´ chˆt H`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ c´c t´ chˆt sau
i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞)
+∞
ii) f (x)dx = 1
−∞
´ ˜ ’
Y nghia cua h`m mˆt dˆ
a a ¯o
. .
` ¯i
’ ˜ ’
Tu d.nh nghia cua h`m mˆt dˆ ta c´ P (x ≤ X ≤ x + x) ∼ f (x). x
a a ¯o
. . o
Do do ta thˆy x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri thuˆc lˆn cˆn kh´ b´ (x, x + x) gˆn nhu
¯´ ´
a a ´
a ¯e a
. a . o a a
. . a e a` ’
e ´
ti’ lˆ voi f(x).
. ’
- D. ’ ’ ˜
1. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn
a e 29
1.4 a a ´
o a ´
H`m phˆn phˆi x´c suˆt
a
˜ a a ´
o a ´
a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 5 H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu F(x),
D. a e ı e .
l` h`m duoc x´c d. nh nhu sau
a a ¯ ’.’ a ¯i ’
F (x) = P (X < x)
* Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn th`
´
e a ¯. ’.’ ˜
a e ` .’ a a
. a . o e ı
F (x) = P (X = xi ) = pi ´
(voi pi = P (X = xi ))
’
xi
- 30 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
0 ; x≤1
0, 3 ; 1 1
e
a a ´
o a ´
T`m h`m phˆn phˆi x´c suˆt F(x).
ı a
’
Giai
x
Khi x < 0 th` F (x) =
ı f (t)dt = 0
−∞
x x
6 3
Khi 0 ≤ x ≤ 1 th` F (x) =
ı f (t)dt = tdt = x2 .
5 5
−∞ 0
Khi x > 1 th`
ı
x 1 x x
6 6 3 2 2
F (x) = f (t)dt = tdt + 4
dt = + − 3 =1−
5 5t 5 5t 1 5x3
−∞ 0 1
0 ; x1
2. ´ ´
ˆ D˘ ’ ’ ’ .’ ˜
ˆ
CAC THAM SO ¯ AC TRUNG CUA ¯ AI LUONG NGAU
D.
.
ˆ
NHIEN
2.1 K` vong (Expectation)
y .
˜
2 ¯ inh nghia 6
D.
* Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ thˆ’ nhˆn c´c gi´ tri x1 , x2 , . . . , xn
’ ’’ a ¯. ’.’ ˜
a e ` . o e a a
’ . a .
´ c´c x´x suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn . K` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu
voi a a
’ ´ ’’ ´
a ’ y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e ı e .
´
E(X) (hay M(X)), l` sˆ duoc x´c d. nh boi
a o ¯ ’.’ a ¯i ’’
- ´
o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜
2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn
a ’ a e 31
n
E(X) = xi pi
i=1
’ ’ a˜ e e . o a a ¯o a
. . ´
* Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x). K` vong
a ¯. ’.’ a y .
’ ¯. ’.’
cua dai luong ngˆ
a˜u nhiˆn X duoc x´c d. nh boi
e ¯ ’.’ a ¯i ’’
∞
E(X) = xf (x)dx
−∞
ı . ım y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e o ’ a ´
o a ´
• V´ du 7 T` k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau
a
X 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 2 2 1 1
P 12 12 12 12 12 12 12
Ta c´
o
1 2 3 2 2 1 1 93 31
E(X) = 5. 12 + 6. 12 + 7. 12 + 8. 12 + 9. 12 + 10. 12 + 11. 12 = 12
= 4
= 7, 75.
ı . a ¯. ’.’ ˜
• V´ du 8 Cho X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ
a e e . o a a ¯o
. .
´
2.e−2x nˆu 0 < x < 2
e
f (x) = ´
0 nˆu x ∈ (0, 2)
e /
T` E(X).
ım
’
Giai
∞ 2 2
1 x3 4
E(X) = xf (x)dx = x.( x)dx = =
2 6 0
3
−∞ 0
´
3 T´ chˆt
ınh a
a ˘`
i) E(C) = C, C l` hang.
ii) E(cX) = c.E(X).
iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
´ a ¯ . ’ .’ ˜
iv) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` E(XY ) = E(X).E(Y ).
e a a e ¯ˆ a
. . ı
´ ˜ ’
Y nghia cua k` vong y .
Tiˆn h`nh n ph´p thu. Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’
´
e a e ’’ ’ ’’ a ¯ . ’ .’ ˜
a e a a
. a . o e
´ o a
’ ´ `
x1 , x2 , . . . , xn voi sˆ lˆn nhˆn k1 , k2 , . . . , kn .
a
.
a . ınh ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e e ’’ a
Gi´ tri trung b` cua dai luong ngˆu nhiˆn X trong n ph´p thu l`
k1 x1 + k2 x2 + . . . + kn xn k1 k2 kn
x= = x1 + x2 + . . . + xn = f1 x1 + f2 x2 + . . . + fn kn
n x n n
´
voi fi =
’ ki
n
l` tˆn suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri xi .
a a ` ´
a ¯e a
. a .
- 32 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
˜ a ´
a ´ o
o ´ e o lim ı a ´ ¯’ ´
Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ ta c´ n→∞ fi = pi . V` vˆy voi n du lon
¯i . ’ ’
ta c´
o
x ≈ p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = E(X)
´
a y . ’ ¯ . ’ .’ a˜ e a ´ ´
’ ´
Ta thˆy k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn xˆp xi’ voi trung b` sˆ hoc c´c gi´ tri
ınh o . a a .
a ’ ¯ . ’ .’ ˜
quan s´t cua dai luong ngˆu nhiˆn.
a e
Do do c´ thˆ’ n´i k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn ch´ l` gi´ tri trung b` (theo
¯´ o e o y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e ınh a a . ınh
x´c suˆ
a ´t) cua dai luong ngˆu nhiˆn. N´ phan ´nh gi´ tri trung tˆm cua phˆn phˆi x´c
a ’ ¯. ’.’ ˜
a e o ’ a a . a ’ a ´
o a
´
suˆt
a
2.2 Phuong sai (Variance)
’’
˜
2 ¯ inh nghia 7 Phuong sai (¯ˆ lˆch b` phuong trung b`
D. ’’ do e
. . ınh ’’ ’ ¯. ’.’ ˜
ınh) cua dai luong ngˆu
a
ı e . ¯ ’.’ ¯i ` o ´
˜ bang cˆng thuc
nhiˆn X, k´ hiˆu Var(X) hay D(X), duoc d. nh nghia ˘
e ’
V ar(X) = E{[X − E(X)]2 }
* Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn voi
e´ a ¯. ’.’ a˜ e ` . ’ a a
. a . o e ´’
a a ´t tuong ung p1 , p2 , . . . , pn th`
c´c x´c suˆ ’ ’
a ´’ ı
n
V ar(X) = [xi − E(X)]2 pi
i=1
´ ˜
a e e . o a a ¯o a
. . ´
* Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f(x) th`
e a ¯. ’.’ a ı
+∞
V ar(X) = [x − E(X)]2 f (x)dx
−∞
´ ’` `
˘ ´
Ch´ y Trong thuc tˆ ta thuong t´ phuong sai bang cˆng thuc
u´ .’ e ’ ınh ’’ o ’
V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
Thˆt vˆy, ta c´
a a
. . o
V ar(X) = E{X − E(X)]2 }
= E{X 2 − 2X.E(X) + [E(X)]2 }
= E(X 2 ) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2
= E(X 2 ) − [E(X)]2
ı . ¯. ’.’ ˜
a e ` .’ o ’ a ´
o a ´
• V´ du 9 Cho dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau
a
X 1 3 5
P 0,1 0,4 0,5
ı ’’ ’
T`m phuong sai cua X.
’
Giai
E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8
E(X 2 ) = 12 .0, 1 + 32 .0, 4 + 52 .0, 5 = 16, 2
Do d´ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 16, 2 − 14, 44 = 1, 76.
¯o
- ´
o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜
2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn
a ’ a e 33
ı . ¯. ’.’ ˜
• V´ du 10 Cho dai luong ngˆunhiˆn X c´ h`m mˆt dˆ
a e o a a ¯o
. .
´
cx3 voi 0 ≤ x ≤ 3
’
f (x) = ´
0 voi x ∈ [0, 3]
’
H˜y t`m
a ı
`
˘ ´
i) Hang sˆ c.
o
ii) K` vong.
y .
iii) Phuong sai
’’
’
Giai
3 3
x4 81
i) Ta c´ 1 =
o cx3 dx = c = c.
4 0
4
0
4
Suy ra c = .
81
3 3
4 3 4 x5
ii) E(X) = x x dx = = 2, 4.
81 81 5 0
0
iii) Ta c´
o
∞ 3 3
2 2 4 3 4 x6
E(X ) = x f (x)dx = x2 x dx = =6
81 81 6 0
−∞ 0
Vˆy V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = 6 − (2, 4)2 = 0, 24.
a
.
2 2
´
3 T´ chˆt
ınh a
’
i) Var(C)=0; (C khˆng dˆi).
o ¯o
ii) V ar(cX) = c2 .V ar(X).
´ a ¯ . ’ .’ ˜
iii) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th`
e a a e ¯ˆ a
. . ı
* V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y );
* Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y);
* Var(C+X)=Var(X).
´ ˜ ’
Y nghia cua phuong sai
’’
´
Ta thˆy X − E(X) l` do lˆch khoi gi´ tri trung b` nˆn V ar(X) = E{[X − E(X)]2 }
a a ¯ˆ e
. . ’ a . ınh e
l` dˆ lˆch b` phuong trung b`
a ¯o e
. . ınh ’’ ’ a ´ ¯ˆ a a a
ınh. Do do phuong sai phan ´nh muc do phˆn t´n c´c
¯´ ’’ ’ .
gi´ tri cua ¯ . ’ .’
a . ˜
’ dai luong ngˆu nhiˆn chung quanh gi´ tri trung b`
a e a . ınh.
2.3 Do e
. . e ’
¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn
a
D’ . ¯ ’ `
˘ ’ ’ ¯ ’ . ¯ ’ ¯ . ’ .’ ˜
¯ on vi do cua phuong sai bang b` phuong don vi do cua dai luong ngˆu nhiˆn.
’’ ınh a e
Khi cˆn ¯´
a ´ ¯o a a a a . ’ ¯ . ’ ’
a ’ . ˜
` danh gi´ muc dˆ phˆn t´n c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn theo don vi cua
a e ¯’ . ’
o `
’’ u o ¯˘
. . ’ ´ ¯o a ¯o e
’ . . e a’
n´, nguoi ta d`ng mˆt dac trung moi d´ l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn.
- 34 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
˜ . . e a’ ’ ¯. ’ ’ ˜
2 ¯ inh nghia 8 ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu l` σ(X),
D. Do e a e ı e a
.
.
¯ ’.’ ¯i ˜ nhu sau:
duoc d. nh nghia ’
σ(X) = V ar(X)
2.4 Mode
˜ a a . ’ ¯. ’.’ ˜ o ’ a ´ .
2 ¯ inh nghia 9 Mod(X) l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn X c´ kha n˘ng xuˆt hiˆn
D. a e a e
´ nhˆt trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua n´.
lon a
’ ´ o a a a ¯o ’
. . o
Do ´ ¯. ’.’
´ ’ ˜
a e ` .’ a a . ’ ´ ´ a a ´
´ ’
¯ ˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn roi rac mod(X) l` gi´ tri cua X ung voi x´c suˆt lon
’ ’
´t, c`n dˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc th` mod(X) l` gi´ tri cua X tai d´ h`m
nhˆ o ¯o ’
a ´ ´ ¯. ’.’ a˜ e e . ı a a . ’ . ¯o a
mˆt dˆ dat gi´ tri cuc dai.
a ¯o ¯.
. . a . .’ ¯.
Ch´ y Mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ thˆ’ c´ mˆt mode ho˘c nhiˆu mode.
u´ o ¯ . ’ .’
. ˜
a e o e o o . a
. e`
ı . ’ ’’ a ¯ e’ ı ’ e ’`
• V´ du 11 Gia su X l` diˆm trung b`nh cua sinh viˆn trong truong th` mod(X) l`
’ ı a
diˆ
¯e ’m m` nhiˆu sinh viˆn dat duoc nhˆt.
a e` e ¯. ¯ ’.’ ´
a
˜
• V´ du 12 Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn
ı . ¯. ’.’ a e e ´ ´ a
tuc c´ phˆn phˆi Vˆy−bun voi h`m mˆt
. o a o a ’ a
.
dˆ
¯o
.
0 ´
nˆu x ≤ 0
e
f (x) = x − x2
e 4 ´
nˆu x > 0
e
2
H˜y x´c d. nh mod(X).
a a ¯i
’
Giai
e
. ’
mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr`
a ’’ ınh
1 x2 x2 x2
f (x) = e− 4 − e− 4 = 0
2 4
x2
a e
. ’
Suy ra mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` 1 −
’’ ınh = 0. Do mod(X) > 0 nˆn
e
√ 2
mod(X) = 2 = 1, 414.
2.5 Trung vi
.
˜ . ’ ¯. ’.’ ˜ a a . ’
2 ¯ inh nghia 10 Trung vi cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` gi´ tri cua X chia phˆn
D. a e a
´i x´c suˆt th`nh hai phˆn c´ x´c suˆt giˆng nhau. K´ hiˆu med(X).
phˆ a
o ´ a
a a` o a ´ o
a ´ ı e.
1
Ta c´ P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) =
o 2
⊕ Nhˆn x´t Tu d.nh nghia ta thˆy dˆ’ t` trung vi chi’ cˆn giai phuong tr` F (x) = 1 .
a
. e ` ¯i
’ ˜ ´
a ¯e ım . a` ’ ’’ ınh 2
´ dung, trung vi l` dac trung vi tr´ tˆt nhˆt, nhiˆu khi tˆt hon ca k` vong,
Trong ung .
’ . a ¯˘
. ’ . ı o´ ´
a e` ´ ’ ’ y .
o
´ ´ . e` ’
nhˆt l` khi trong sˆ liˆu c´ nhiˆu sai s´t. Trung vi c`n duoc goi l` phˆn vi 50% cua
a a o e o o . o ¯ ’ .’ . a a .
phˆn pho
a ˆ´i.
- ´
o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜
2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn
a ’ a e 35
• V´ du 13 T` med(X) trong v´ du (12).
ı . ım ı .
’
Giai
e
. ’
med(X) l` nghiˆm cua phuong tr`
a ’’ ınh
med(X)
[med(X)]2
f (x)dx = 0, 5 hay 1 − e− 4 = 0, 5
0
Suy ra med(X) = 1, 665.
´ .
o ¯˘
Ch´ y N´i chung, ba sˆ dac trung k` vong, mode v` trung vi khˆng tr`ng nhau.
u´ o ’ y . a . o u
Cha ’ ng han, tu c´c v´ du (12), (13) v` t´ thˆm k` vong ta c´ E(X) = 1, 772; mod(X) =
˘ . ` a ı .
’ a ınh e y . o
1, 414 v` med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆn nˆu a
a e e ´ phˆn phˆi dˆi xung v` chi’ c´ mˆt mode th`
o´ ¯o ´
´ ’ a o o. ı
’ ¯˘
ca ba dac trung d´ tr`ng nhau.
. ’ ¯o u
2.6 Moment
˜
2 ¯ inh nghia 11
D.
´
a ’ ¯. ’.’ ˜
a e a o ´
* Moment cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ mk = E(X k ).
a ´
a ˜
a e a o´
* Moment qui tˆm cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ αk = E{[X − E(X)]k }.
’ ¯. ’.’
⊕ Nhˆn x´t
a
. e
´ ’ ’
i) Moment cˆp 1 cua X l` k` vong cua X (m1 = E(X)).
a a y .
a ´
ii) Moment qui tˆm cˆp hai cua X l` phuong sai cua X (α2 = m2 − m2 = V ar(X)).
a ’ a ’’ ’ 1
iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m3 .
1
2.7 H`m moment sinh
a
˜ a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 12 H`m moment sinh cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` h`m x´c d. nh
D. a e a a a ¯i
’’
trong (−∞, +∞) cho boi
etx p(x) ´ ` .
nˆu X roi rac
e ’
tX x
φ(t) = E(e ) = +∞
´
etx p(x)dx nˆu X liˆn tuc
e e .
−∞
´
3 T´ chˆt
ınh a
i) φ (0) = E(X).
ii) φ (0) = E(X 2 ).
o’
iii) Tˆng qu´t: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ 1.
a
- 36 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´
Chung minh.
’
d d tX
i) φ (t) = E(etX ) = E (e ) = E(XetX ).
dt dt
Suy ra φ (0) = E(X).
d d d
ii) φ (t) = φ (t) = E(XetX ) = E (XetX ) = E(X 2 etX ).
dt dt dt
Suy ra φ (0) = E(X 2 ). 2
Ch´ y
u´
’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜
i) Gia su X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ h`m moment sinh tuong
a a a e ¯ˆ a o a
. . ’’
´
’ a a ¯o a ’ ’’
ung l` φX (t) v` φY (t). Khi d´ h`m moment sinh cua X + Y cho boi
φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t)
d˘’ ´ a
’ ` ´
(¯ang thuc gˆn cuˆi c´ duoc do etX v` etY doc lˆp)
o o ¯ ’ .’ a ¯ˆ a
. .
o ’’ ´ ˜ a ´ ´
a ’ ¯.
ii) C´ tuong ung 1−1 giua h`m moment sinh v` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai
’ ’ a a a o a
luong ngˆ
’ .’ ˜u nhiˆn X.
a e
3. ˆ ´
ˆ ˆ ˆ ´
ˆ ´ ´
ˆ
MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT
. .
3.1 a ´
o . ´
Phˆn phˆi nhi thuc (Binomial Distribution)
’
˜ a˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 13 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,2,...,n
D. D. ’.’ ’ a
. o a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´nh theo cˆng thuc Bernoulli
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ı
a ’ o ´
’
Px = P (X = x) = Cn px q n−x
x
(2.1)
´ . ´ ´
o ’ ’ ´ a
goi l` c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ n v` p. K´ hiˆu X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)).
. a o a o ı e .
Cˆng thuc
o ´
’
´
Voi h nguyˆn duong v` h ≤ n − x, ta c´
’ e ’’ a o
P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + . . . + Px+h (2.2)
’ e e a´ ’ o ’ ’ ´ ˜ ’ ’
• V´ du 14 Ty lˆ phˆ phˆm trong lˆ san phˆm l` 3%. Lˆy ngˆu nhiˆn 100 san phˆm
ı . . a a a a e a
dˆ kiˆ’m tra. T` x´c suˆt dˆ’ trong d´
¯e’ e ım a ´
a ¯e ¯o
i) C´ 3 phˆ a
o e ’
´ phˆm.
o o a ´ ’
ii) C´ khˆng qu´ 3 phˆ phˆm.
e a
’
Giai
Ta thˆy mˆi lˆn kiˆ’m tra mˆt san phˆm l` thuc hiˆn mˆt ph´p thu. Do d´ ta c´
´
a ˜ ` e
o a o ’
. ’
a a .’ e
. o
. e ’’ ¯o o
’’
n=100 ph´p thu.
e
- o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 37
´ ´
a e o ’ ’ a ´ ´ a ’ ˜ ’’
Goi A l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm th` trong mˆi ph´p thu. Ta c´
. a a e ı o e o
p = p(A) = 0, 03.
D˘ ’ ´ ´ ’ ’ ’
¯ at X l` tˆng sˆ phˆ phˆm trong 100 san phˆm th` X ∈ B(100; 0, 03).
. a o o e a a ı
i) P (X = 3) = C100 (0, 03)3 .(0, 97)97 = 0, 2274.
3
ii) P (0 ≤ X ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3
= C100 (0, 03)0 (0, 97)100 + C100 (0, 03)1 (0, 97)99
0 1
+C100 (0, 03)2 (0, 97)98 + C100 (0, 03)3 (0, 97)97
2 3
= 0, 647.
Ch´ y Khi n kh´ lon th` x´c suˆt p khˆng qu´ gˆn 0 v` 1. Khi do ta c´ thˆ’ ´p dung
u´ a ´
’ ı a ´
a o a a ` a ¯´ o ea .
´ xˆp xi’ sau
´
cˆng thuc a
o ’
i)
1
Px = Cn px q n−x ≈ √
x
f (u) (2.3)
npq
trong d´
¯o
x − np 1 u2
u= √ ; f (u) = √ e− 2 ;
npq 2π
¯ ’ .’ . o ´ ¯i
(2.3) duoc goi cˆng thuc d.a phuong Laplace.
’ ’’
ii)
P (x ≤ X ≤ x + h) ≈ ϕ(u2 ) − ϕ(u1 ) (2.4)
trong d´
¯o
u
1 t2
ϕ(u) = √ e− 2 dt (H`m Laplace);
a
2π 0
x − np x + h − np
u1 = √ ; u2 = √
npq npq
¯ ’ .’ . a o ´ ıch a
(2.4) duoc goi l` cˆng thuc t´ phˆn Laplace.
’
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ B(n, p) th` ta c´
e ı o
i) E(X) = np.
ii) V ar(X) = npq.
iii) np − q ≤ mod(X) ≤ np + p.
´’ e ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´ . ´ ´ a
Chung minh. X´t dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi nhi thuc voi c´c tham sˆ n v`
a o ’ ’ ´
o a
p biˆe’u diˆn ph´p thu biˆn cˆ A xay ra, mˆi ph´p thu c´ c`ng x´c suˆt xay ra biˆn cˆ A
˜
e e ’’ e´ o ´ ’ ˜
o e ’’ o u a ´ ’
a ´ o
e ´
l` p.
a
Ta c´ thˆ’ biˆ’u diˆn X nhu sau:
o e e ˜
e ’
n
X= Xi
i=1
- 38 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´
e ’’ e ’’ ´’ ´ ´
e o ’
1 nˆu o ph´p thu thu i biˆn cˆ A xay ra
trong d´ Xi =
¯o ´
0 nˆu nguoc lai
e ’ .’ .
˜
a e ¯ˆ a o a
. . ´ . ´ e
V` Xi , i = 1, 2, . . . , n l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ phˆn phˆi nhi thuc nˆn
ı a a ¯ . ’ .’ o ’
E(Xi ) = P (Xi = 1) = p
V ar(Xi ) = E(Xi2 ) − p2 = p(1 − p) = pq (Xi2 = Xi )
Do d´
¯o n
E(X) = E(Xi ) = np
i=1
n
V ar(X) = V ar(Xi ) = npq
i=1
2
ı . o a ’
. ´
a ¯ ’.’ ’ a’ o
. a a a ¯e’ a
´
• V´ du 15 Mˆt m´y san xuˆt duoc 200 san phˆm trong mˆt ng`y. X´c suˆt dˆ m´y
’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ o ’
san xuˆt ra phˆ phˆm l` 0, 05. T`m sˆ phˆ phˆm trung b` v` sˆ phˆ phˆm c´ kha
a e a a ı o e a ınh a o e a
a ’
n˘ng tin ch´c cua m´y d´ trong mˆt ng`y.
a a ¯o o
. a
’
Giai
. ´ ´ ’ ’
Goi X l` sˆ phˆ phˆm cua m´y trong mˆt ng`y th` X ∈ B(200; 0, 05).
a o e a a o
. a ı
´ ´ ’ ınh ’
Sˆ phˆ phˆm trung b` cua m´y trong mˆt ng`y l`
o e a a o
. a a
E(X) = np = 200 × 0, 05 = 10
´ ´ ’ ´
˘
Sˆ phˆ phˆm tin chac trong ng`y l` mod(X). Ta c´
o e a a a o
np − q = 200 × 0, 05 − 0, 95 = 9, 05
np + p = 200 × 0, 05 + 0, 05 = 10, 05
=⇒ 9, 05 ≤ mod(X) ≤ 10, 05
V` X ∈ B(200; 0, 05) nˆn mod(X) ∈ Z. Do d´ mod(X) = 10.
ı e ¯o
3.2 ´
Phˆn phˆi Poisson
a o
o ´
Cˆng thuc Poisson
’
’ ’’ ˜
a e o a ´ . ´ ´
o ’ ’ ´
Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ (n, p) v` a = np
a ¯ . ’ .’ o a
¯o a ´ a
trong d´ n kh´ lon v` p kh´ b´.
’ a e
Ta c´
o
n!
P (X = k) = pk (1 − p)n−k
(n − k)!k!
n! a a
= .( )k .(1 − )n−k
(n − k)!k! n n
a
n(n − 1) . . . (n − k + 1) ak (1 − n )n
= . . a
nk k! (1 − n )k
- o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 39
a ´ a
Do n kh´ lon v` p kh´ b´ nˆn
’ a e e
a n n(n − 1) . . . (n − k + 1) a k
(1 − ) ≈ e−a , ≈ 1, (1 − ) ≈1
n nk n
ak
Do d´ P (X = k) ≈ e−a
¯o
k!
a ` o ´ ´ a
’ ´
Vˆy tu cˆng thuc Bernoulli ta c´ cˆng thuc xˆp xi’
. ’ ’ o o
ak −a
Pk = P (X = k) = Cn pk q n−k ≈
k
e
k!
Khi d´ ta c´ thˆ’ thay cˆng thuc Bernoulli boi cˆng thuc Poisson
¯o o e o ´
’ ’’ o ´
’
ak −a
Pk = P (X = k) = e (2.5)
k!
˜ ˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 14 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n
D. D. ’.’ a ’ a
. o
. a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.5) duoc goi l` c´ phˆn phˆi
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh
a ’ o ´
’ ¯ ’.’ . a o a o´
´’ ´
Poisson voi tham sˆ a. K´ hiˆu X ∈ P(a) (hay X ∼ P(a)).
o ı e
.
Ch´ y
u´
´ ak −a
P (k ≤ X ≤ k + h) = Pk + Pk+1 + . . . + Pk+h voi Pk =
’ e .
k!
• V´ du 16 Mˆt m´y dˆt c´ 1000 ˆng soi, X´c suˆt dˆ’ mˆt gio m´y hoat dˆng c´ 1
ı . o
. a e o
. ´
o .’ a ´
a ¯e o ` a
. ’ . ¯o. o
´ng soi bi dut l` 0,002. T`m x´c suˆt dˆ’ trong mˆt gio m´y hoat dˆng c´ khˆng qu´ 2
o
ˆ ´ a
.’ . ¯ ’ ı a ´ ¯e
a o ` a
. ’ . ¯o. o o a
´ng soi bi dut.
o
ˆ ´
.’ . ¯ ’
’
Giai
. . ´ .’ o . ¯ ´’ o ` a
Viˆc quan s´t mˆt ˆng soi c´ bi dut hay khˆng trong mˆt gio m´y hoat dong l` mˆt
e a o o o . ’ . ¯ˆ. a o.
ph´p thu. a ¯e o
e . o´
’’ M´y dˆt c´ 1000 ˆng soi nˆn ta c´ n = 1000 ph´p thu dˆc lˆp.
.’ e o e ’’ ¯o a
. .
. ´ ´´ .’ . ¯ ´ a
’ ´´
a oo .’ . ¯ ´
’ o
. ` a
Goi A l` biˆn cˆ ˆng soi bi dut v` X l` sˆ ˆng soi bi dut trong mˆt gio m´y hoat
a e oo ’ .
dong th` p = P (A) = 0, 002 v` X ∈ B(1000; 0, 002).
¯ˆ
. ı a
V` n = 1000 kh´ lon v` np = 2 khˆng dˆi nˆn ta c´ thˆ’ xem X ∈ P(a).
ı a ´ a
’ o ¯o e’ o e
Do d´ x´c suˆt dˆ’ c´ khˆng qu´ 2 ˆng soi bi dut trong mˆt gio l`
¯o a ´
a ¯e o o a o ´ .’ . ¯ ´
’ o ` a
. ’
P (0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2
20 −2
P0 = P (X = 0) = 0!
e
21 −2
P1 = P (X = 1) = 1!
e
22 −2
P2 = P (X = 2) = 2!
e
Do d´ P (0 ≤ X ≤ 2) = (1 + 2 + 2)e−2 = 5(2, 71)−2 = 0, 6808.
¯o
- 40 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ P(a) th` E(X) = V ar(X) = a v` a − 1 ≤ modX ≤ a.
e ı a
Chung minh. ¯ ˆ’ nhˆn duoc k` vong v` phuong sai cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn
´’ De a ¯ ’ .’ y .
. a ’’ ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e o a
´i Poisson ta x´c d.nh h`m moment sinh
phˆ
o a ¯i a
ψ(t) = E(etX )
Ta c´
o
∞ ∞
ak (aet )k t t
ψ(t) = etk e−a = e−a = e−a eae = ea(e −1)
k=0 k! k=0 k!
t
ψ (t) = aet ea(e −1)
t t
ψ (t) = (aet )2 ea(e −1) + aet ea(e −1)
Do d´
¯o
E(X) = ψ (0) = a
V ar(X) = ψ (0) − [E(X)]2 = a2 + a − a2 = a
2
’
Ung dung
.
. ˜
a e o a ´
Mˆt v`i dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Poisson:
o a ¯ . ’ .’ o
´ ˜
o o o
. a
. . ´
o o ’ o
. ´
i) Sˆ lˆi in sai trong mˆt trang (ho˘c mˆt sˆ trang) cua mˆt cuˆn s´ch.
o a
´ ’`
o ’ o o ¯o
. . ` o ´ ´
ii) Sˆ nguoi trong mˆt cˆng dˆng sˆng cho toi 100 tuˆi.
’ o’
´ .
iii) Sˆ cuˆc diˆn thoai goi sai trong mˆt ng`y.
o o ¯e . . . o
. a
´
o ’ a ¯a ` e ’’ .
iv) Sˆ transitor hu trong ng`y dˆu tiˆn su dung.
´
v) Sˆ kh´ch h`ng v`o buu diˆn trong mˆt ng`y.
o a a a ’ ¯e . o
. a
´ ` a .
vi) Sˆ hat α ph´t ra tu c´t hat ph´ng xa trong mˆt chu k`.
o . a ’ o . o
. y
3.3 a ´
Phˆn phˆi siˆu bˆi
o e o
.
´
a) Cˆng thuc siˆu bˆi
o ’ e o.
` a ’’
` a ’’ o ınh a
` ´
X´t mˆt tˆp hop gˆm N phˆn tu, trong do c´ M phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o do.
e o a
. . .’ o ¯´ o a ¯´
Lˆ
a´y ngˆu nhiˆn (khˆng ho`n lai) tu tˆp hop ra n phˆn tu. Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´
a˜ e o a . ` a
’ . .’ a` ’’ . a o´ a ’’ o ınh
`
´ a ’’ a
` ´
chˆt A c´ trong n phˆn tu lˆy ra. Ta c´
a o o
x n−x
CM CN −M
Px = P (X = x) = n
(x = 0, 1, . . . , n) (2.6)
CN
- o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 41
´
b) Phˆn phˆi siˆu bˆi
a o e o
.
˜ ˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 15 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n
D. D. ’.’ a ’ a
. o
. a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.6) duoc goi l` c´ phˆn phˆi siˆu
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh
a ’ o ´’ ¯ ’.’ . a o a ´
o e
o ´
. ’ ´
bˆi voi tham sˆ N, M, n. K´ hiˆu X ∈ H(N, M, n) (hay X ∼ H(N, M, n)).
o ı e .
o o a
. o ’ a’ ¯o o ’ ’
a o ´ a´ a˜
• V´ du 17 Mˆt lˆ h`ng c´ 10 san phˆm, trong d´ c´ 6 san phˆm tˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn
ı . e
o a . ` o a
’ ’
(khˆng ho`n lai) tu lˆ h`ng ra 4 san phˆ
a ’m. T`m x´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4
ı a ´ ¯e o
a ’ a’ o´
’ ’m duoc lˆy ra.
san phˆ ¯ ’.’ a
a ´
’
Giai
´
a o ’ ’ o o´ ’ ’ ´ ˜
Goi X l` sˆ san phˆm tˆt c´ trong 4 san phˆm lˆy ra th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn
. a a a ı a ¯ . ’ .’ a e
o a ´i siˆu bˆi voi tham sˆ N = 10, M = 6, n = 4.
c´ phˆn phˆ e o ’
o . ´ ´
o
X´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 san phˆm lˆy ra l`
a ´
a ¯e o ’ a’ o´ ’ ’
a a ´ a
3 1
C6 .C4 8
P (X = 3) = 4
= = 0, 3809
C10 21
Ch´ y
u´
x n−x
a e ´ N th` CM CN −M ≈ Cn px q n−x
Khi n kh´ b´ so voi
’ ı x
(p =
M
, q = 1 − p)
n
CN N
Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o d´ trong n phˆn tu lˆy ra th` ta c´ thˆ’ xem
. ´ `
a o a ’’ o ınh a ´ a ¯o a ’’ a
` ´ ı o e
o a e a ’’ o ınh a
. ` ´
X ∈ B(n, p) v´i p l` ti’ lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A cua tˆp hop.
’ a . .’
´ .
o ¯˘
c) C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ H(N, M, n) th` ta c´
e ı o
´ M
E(X) = np (voi p =
’ )
N
N −n ´
V ar(X) = npq (voi q = 1 − p).
’
N −1
’ ’ ´ ´ ’
o ` .
Bang tˆng kˆt c´c phˆn phˆi roi rac
o e a a
Phˆn phˆi
a o´ K´ hiˆu
ı e . ´
X´c suˆt P (X = k)
a a E(X) V ar(X)
. ´ Cn p (1 − p)n−k
k k
Nhi thuc
’ B(n, p) np npq
ak −a
Poisson P(a) e a a
k!
k n−k
CM .CN −M M N −n
Siˆu bˆi
e o . H(N, M, n) n
np (p = N
) npq
CN N −1
- 42 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
3.4 ´ u
Phˆn phˆi m˜
a o
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a o a o u ´
´ ’ ´
2 ¯ inh nghia 16 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ
o
´
e o o a a ¯o a
. . a´
λ > 0 nˆu n´ c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt
´
λe−λx nˆu x > 0
e
f (x) = ´
0 nˆu x ≤ 0
e
. e ´
e o a o u ´
´ ’ ´
o ı a a ´
o a ´
a ’
⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ th` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua
a
X l`
a
x
F (x) = λe−λx dt = 1 − e−λx v´i x > 0
o
0
v`
a
´
F (x) = 0 voi x ≤ 0.
’
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
e a ¯ . ’ .’ ˜
a e o a o u ´
´ ’ ´
Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ > 0 th`
o ı
y . ’
i) K` vong cua X l`
a
+∞ +∞
−λx +∞ 1
E(X) = λ xe dx = −xe−λx + e−λx dx =
0 λ
0 0
’’ ’
ii) Phuong sai cua X l`
a
+∞
1
V ar(X) = x2 λe−λx dx −
λ2
0
+∞ +∞
2 −λx +∞ 2
ıch a ` ’ `
T´ phˆn tung phˆn ta duoc
a ¯ ’ .’ x λe dx = −x2 e−λx +2 λxe−λx dx = .
0 λ2
0 0
1
Do d´ V ar(X) =
¯o .
λ2
ı . ’ ’’ o ’ . ı `
˘ a ’ o
. . ¯ e ’’
• V´ du 18 Gia su tuˆi tho (t´nh bang n˘m) cua mˆt mach diˆn tu trong m´y t´ l`
. a ınh a
o ¯. ’.’
. a˜ e o a o u ´ y .
´ ’ a `’ ’ a ’
mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi k` vong l` 6,25. Thoi gian bao h`nh cua
. . ’’ n`y l` 5 n˘m.
mach diˆn tu a a
¯e a
’ o ` a ¯ e ’’ a ’ ´ ` ’
Hoi c´ bao nhiˆu phˆn tr˘m mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao
e a . . e ’
h`nh?
a
’
Giai
. ’ . ’ . ı o a ´
Goi X l` tuˆi tho cua mach. Th` X c´ phˆn phˆi m˜
a o o u
1 1
Ta c´ λ =
o =
E(X) 6, 25
5
P (X ≤ 5) = F (5) = 1 − e−λ.5 = 1 − e− 6,25 = 1 − e−0,8 = 1 − 0, 449 = 0, 5506
- o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 43
. ’ ´
o . ¯ e ’’ a
. ’ ´
e `’ ’ a
Vˆy c´ khoang 55% sˆ mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao h`nh.
a o
´’
Ung dung trong thuc tˆ ´
. . e
’
’ `’ u a ` ´ .
a e ’ ´
o e o a
. ´
o u ’
˘
Khoang thoi gian gi˜a hai lˆn xuˆt hiˆn cua mˆt biˆn c´ phˆn phˆi m˜. Chang han .
’ `’ u a ´ ’’ o e
´ ’ . . e. ˜
’ a` ’ o ’
khoang thoi gian gi˜ a hai ca cˆp cuu o mˆt bˆnh viˆn, giua hai lˆn hong h´c cua mˆt o.
c´i m´y, giua
a a ’ . ¯o ¯a
. ´ a ˜ ¯ . ’ .’
’ a˜ e o a ´ u
˜ hai trˆn lut hay dˆng dˆt l` nhung dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜.
a . o
3.5 ´ `
Phˆn phˆi dˆu
a o ¯e
˜ D. ’.’ a˜ e e . ¯ ’.’ . a o a ´ ` e
2 ¯ inh nghia 17 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X duoc goi l` c´ phˆn phˆi dˆu trˆn
D. o ¯e
´u h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang
doan [a,b] nˆ a
¯ . e a ¯o a
. . a o .
1 ´
nˆu x ∈ [a, b]
e
f (x) = b − a
0 ´
nˆu x ∈ [a, b]
e
a. e e´ o a ´
o ¯e` e ı a a ´
o ’ ’’
⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi dˆu trˆn [a,b] th` h`m phˆn phˆi cua X cho boi
´
F (x) = 0 nˆu x < a
e
x x
dx x−a ´
F (x) = f (x)dx = = nˆu a ≤ x ≤ b
e
a
b−a b−a
−∞
´
F (x) = 1 nˆu x > b.
e
Ch´ y Gia su (α, β) ⊂ [a, b]. X´c suˆt dˆ’ X roi v`o (α, β) l`
u´ ’ ’’ a ´
a ¯e ’ a a
β
β−α
P (α < X < β) = f (x)dx =
α
b−a
´
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
b
xdx 1 b2 − a 2 a+b
i) E(X) = = = (k` vong l` trung diˆ’m cua [a,b]).
y . a ¯e ’
a
b−a b−a 2 2
b b
x2 dx 1 x3 a+b
ii) V ar(X) = − [E(X)]2 = −
a
b−a b−a 3 a 2
2 2 2 2
b + ab + a (a + b) (b − a)
= − =
3 4 12
iii) modX l` bˆt cu diˆ’m n`o trˆn [a,b].
a a ´ ¯e
´ ’ a e
. . ’ . . y ’ ´
• V´ du 19 Lich chay cua xe bu´t tai mˆt tram xe bu´t nhu sau: chiˆc xe bu´t dˆu
ı . y . o e y ¯a `
a e ’’ a ` .
’ a a u ` ´
’ ’ ˜
tiˆn trong ng`y s˜ khoi h`nh tu tram n`y v`o l´c 7 gio, cu sau mˆi 15 ph´t s˜ c´ mˆt
e o u e o o .
´ tram. Gia su mˆt h`nh kh´ch dˆn tram trong khoang thoi gian tu 7 gio dˆn
xe kh´c dˆn .
a ¯e ’ ’’ o a
. a ¯e ´ . ’ `’ `
’ ’ ´
` ¯e
7 gio 30. T`m x´c suˆt dˆ’ h`nh kh´ch n`y cho
`’ ı a ´
a ¯e a a a `’
- 44 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´ ’
a) It hon 5 ph´t.
u
´ ´
b) It nhˆt 12 ph´t.
a u
’
Giai
. ´
a o u ` a a
’ ´ . ı a ¯ . ’ .’ ˜
Goi X l` sˆ ph´t sau 7 gio m` h`nh kh´ch dˆn tram th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn
a ¯e a e
o a o´i dˆu trong khoang (0, 30).
c´ phˆn phˆ ¯e` ’
a a e ` ıt ’
’ u e ¯e´ ´ . ˜’ `’ a `
a) H`nh kh´ch s˜ cho ´ hon 5 ph´t nˆu dˆn tram giua 7 gio 10 v` 7 gio 15 ho˘c
’ a
.
˜ ` ` ´t cˆn t` l`
a `
giua 7 gio 25 v` 7 gio 30. Do do x´c suˆ a ım a
’ ’ a ’ ¯´ a
5 5 1
P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = + =
30 30 3
` ıt a
’ ´ u e ¯e´ ´ . ˜’ ` a
’ `
b) H`nh kh´ch cho ´ nhˆt 12 ph´t nˆu dˆn tram giua 7gio v` 7 gio 3 ph´t ho˘c
a a ’ u a
.
giua
’ `’ u a `’ u a ´ a ım a
a `
˜ 7 gio 15 ph´t v` 7 gio 18 ph´t. X´c suˆt cˆn t` l`
3 3 1
P (0 < X < 3) + P (15 < X < 18) = + =
30 30 5
3.6 ´ ’
Phˆn phˆi chuˆn (Karl Gauss)
a o a
a ´
o a’
a) Phˆn phˆi chuˆn
˜
2 ¯ inh nghia 18
D.
’.’ ˜
¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn
D. a e e
tuc X nhˆn gi´ tri trong
. a
. a .
’
khoang (−∞, +∞) duoc goi l`
¯ ’.’ . a f(x)
o a o´ a’
c´ phˆn phˆi chuˆn nˆu h`m e´ a 1
√
mˆt dˆ x´c suˆ o .
a ¯o a
. . ´t c´ dang
a σ 2π
1 (x−µ)2
f (x) = √ e− 2σ2
σ 2π
√1
σ 2πe
a ˘` ´
trong d´ µ, σ l` hang sˆ,
¯o o
σ > 0, −∞ < x < ∞.
o µ−σ µ µ+σ x
K´ hiˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) hay (X ∼ N (µ, σ 2 )).
ı e .
´ .
o ¯˘
b) C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` E(X) = µ v` V ar(X) = σ 2 .
e ı a
´
Chung minh.
’ X´t h`m moment sinh
e a
+∞
1 (x−µ)2
tX
φ(t) = E(e ) = √ etx .e− 2σ2 dx
σ 2π−∞
x−µ
D˘
¯ at y =
. σ
th`
ı
- o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 45
+∞ +∞
1 y2 eµt y 2 −2tσy
φ(t) = √ eµt etx e− 2 dy = √ e− 2 dy
2π −∞ 2π−∞
+∞ +∞
eµt (y−tσ)2 t2 σ 2 σ 2 t2 1 (y−tσ)2
= √ e− 2 + 2 dy = eµt+ 2 × √ e− 2 dy
2π−∞ 2π−∞
1 (y−tσ)2
´ ’
V` f (y) = √ e− 2
ı a a a ¯ˆ ’
. . a o a ´ ’ ´
l` h`m mˆt do cua phˆn phˆi chuˆn voi tham sˆ tσ v` 1
o a
2π
+∞
1 (y−tσ)2
nˆn √
e e− 2 dy = 1.
2π−∞
σ 2 +t2
Do d´ φ(t) = eµt+
¯o 2 .
´
Lˆy c´c dao h`m ta duoc
a a ¯. a ¯ ’ .’
2 t2 2 t2
φ (t) = (µ + tσ 2 )eµt+σ 2 , φ (t) = σ 2 eµt+σ 2 .(µ + tσ 2 )
Khi d´
¯o
E(X) = φ (0) = µ
E(X 2 ) = φ (0) = σ 2 + µ2 =⇒ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = σ 2 2
a ´
o a’
c) Phˆn phˆi chuˆn h´a
o
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a o a ´
o ’
a o e o ´
2 ¯ inh nghia 19 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a nˆu n´
´
o ’
a ´
c´ phˆn phˆi chuˆn voi µ = 0 v` σ 2 = 1. K´ hiˆu X ∈ N (0, 1) hay X ∼ N (0, 1).
o a ’ a ı e .
´ X −µ
⊕ Nhˆn x´t
a
. e Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` U =
e ı ∈ N (0, 1).
σ
a a’
d) Phˆn vi chuˆn
.
a’ ´
Phˆn vi chuˆn muc α, k´ hiˆu uα ,
a . ’ ı e.
a a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn U
a e
´ ’ ’ a ¯ e`
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a thoa m˜n diˆu
o a o a o
kiˆn
e
.
P (U < uα ) = α.
Voi α cho truoc c´ thˆ’ t´ duoc c´c gi´ tri cua uα . C´c gi´ tri cua uα duoc t´
´
’ ’ ´ o e ınh ¯ ’ .’ a
’ a . ’ a a . ’ ¯ ’ .’ ınh
˜
˘ ’
san th`nh bang.
a
- 46 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
o ´
e) Cˆng thuc
’
´
Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` ta c´
e ı o
x2 − µ x1 − µ
i) P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = ϕ( ) − ϕ( )
σ σ
ε
ii) P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( )
x
σ
1 t2
trong d´ ϕ(x) = √
¯o e− 2 dt (h`m Laplace).
a
2π 0
. ’.’ ’ o . ’
. ’
a a ¯. ’.’ ˜
• V´ du 20 Trong luong cua mˆt loai san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi
ı . a e o a ´
o
chuˆa’n voi trong luong trung b`nh µ = 5kg v` do lˆch tiˆu chuˆn σ = 0, 1. T´ ti’ lˆ
´ .
’ ’.’ ı a ¯. e
. e a’ ınh e
.
˜’ ’
nhung san phˆ a’m c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg.
o . ’.’ ` ’ ´
¯e
’
Giai
. a . ’ .’ ’ ’ a’
Goi X l` trong luong cua san phˆm th` X ∈ N (5; 0, 1).
ı
. ’ o . ’ .’ `
’ ´
Ti’ lˆ san phˆm c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg l`
e ’ a ¯e a
P (4, 9 ≤ X ≤ 5, 2) = ϕ( 5,2−5 ) − ϕ( 4,9−5 )
0,1 0,1
= ϕ(2) − ϕ(−1)
= 0, 4772 − (−0, 3413)
= 0, 8185
f ) Qui t˘c ”k−σ”
a
o ´
’ ε ´ ´
Trong cˆng thuc P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( σ ) nˆu lˆy ε = kσ th` P (|X − µ| < ε) =
e a ı
2ϕ(k).
´ ’` ´
˘ ´ o
Trong thuc tˆ ta thuong d`ng qui tac 1, 96σ, 2, 58σ v` 3σ voi nˆi dung l`:
.’ e ’ u a ’ . a
”Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri sai lˆch so voi k` vong khˆng qu´
´
e ı a ´
a ¯e a
. a . e
. ´ y .
’ o a
1, 96σ; 2, 58σ v` 3σ l` 95 %, 99% v` 99% ”.
a a a
´’
g) Ung dung
.
˜
a e o a ´
o a’
C´c dai luong ngˆu nhiˆn sau c´ phˆn phˆi chuˆn:
a ¯ . ’ .’
’´ ´ a a ’ ´
- K´ thuoc chi tiˆt m´y do m´y san suˆt ra.
ıch ’ e a
. ’ .’ ’ e` ’ a’
- Trong luong cua nhˆu san phˆm c`ng loai.
u .
a ´
a ’ . . a o ` e ˜
’ ’’
- N˘ng suˆt cua mˆt loai cˆy trˆng trˆn nhung thua ruˆng kh´c nhau.
o o
. a
3.7 a ´
Phˆn phˆi χ2
o
D. ˜ ’ ’’ a a ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 20 Gia su Xi (i=1,2,...,n) l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c`ng
a e ¯o a u
. .
o a ´
o ’
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a.
a o
nguon tai.lieu . vn