Xem mẫu
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
I.ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN 2 CHIEÀU (rôøi raïc)
ÑLNN 2 chieàu (veùctô ngaãu nhieân 2 chieàu) laø 1 boä 2 ñaïi löôïng
ngaãu nhieân X,Y. Kyù hieäu V=(X,Y).
Baûng phaân phoái xaùc suaát doàng thôøi cuûa (X,Y) coù daïng:
CHÖÔNG IV:
ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN HAI CHIEÀU Y y1 yj yn
X
x1 p11 p1j p1n
xi pi1 pij pin
xm pm1 pmj pmn
Trong ñoù: X nhaän caùc giaù trò x1, x2 ,…, xm
Y nhaän caùc giaù trò y1, y2 ,…, yn
Xaùc suaát X nhaän giaù trò xi , Y nhaän giaù trò yj laø:
pij = P(X=xi ,Y = yj )
1 2
Ví duï: Cho ÑLNN 2 chieàu V=(X,Y) coù baûng phaân phoái xaùc suaát
0≤ pij ≤1 , i,j
Tính chaát:
ñoàng thôøi
p ij 1
Y1 2 3 4
ij
X
2 1/8 2/8 0 0
Löu yù: Ta khoâng xeùt ÑLNN 2 chieàu lieân tuïc.
4 1/8 0 1/8 2/8
6 0 0 1/8 0
3 4
1
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
II.PHAÂN PHOÁI LEÀ (PHAÂN PHOÁI BIEÂN DUYEÂN)
1) Phaân phoái leà cuûa X
X2 4 6
Ví duï:
X2 4 6
P 3/8 4/8
1/8
P 3/8 4/8 1/8
Kyø voïng: E(X) = xiP(X xi) = 234 4617
P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)]
8 8 82
i
= P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4)
Phöông sai: D(X) = (xi EX)2.P (X=xi)
1 2 00 3
88 8 i
P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4)
= (27)2.3(47)2.4(67)2.17
= 1 0 1 2 4 28 28 284
8 888
Töông töï cho P(X=6)
5 6
2) Phaân phoái leà cuûa Y:
Nhaän xeùt: Ñeå xaùc ñònh phaân phoái leà ñôn giaûn, ta laäp
Ví duï:
baûng sau: Y1 2 3 4
P 2/8 2/8 2/8 2/8
Y1 2 3 4 P(Y=1)= P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)]
X =P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)= 1 1 0 2
88 8
3/8
2 1/8 2/8 0 0 Töông töï cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6)
Kyø voïng: E(Y) = y j P(Y y j ) = 1 2 2 2 3 2 4 2 5
1/8 2/8 4/8
4 1/8 0 8 8 8 82
j
1/8
6 0 0 1/8 0 Phöông sai: D(Y) = (yj -EY)2 . P(Y=yj)
j
= (1 5 ) 2. 2 (2 5 ) 2. 2 (3 5 ) 2. 2 (4 5 ) 2. 2 5
2/8 2/8 2/8 2/8 1
28 28 28 284
7 8
2
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
IV. LAÄP BAÛNG PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT CHO X.Y ,
TÍNH E(X.Y)
III.ÑOÄC LAÄP VEÀ XAÙC SUAÁT CUÛA X,Y . Ví duï:
XY 2 4 6 8 12 16 18
X,Y ñoäc laäp P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j
P 1/8 3/8 0 0 1/8 2/8 1/8
Ví duï: P(X=2, Y=1) = 13.2 = P(X = 2).P(Y = 1) P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8
8 88
P(XY=4) = P(X=2, Y=2) + P(X=4, Y = 1) = 2/8+1/8=3/8
Vaäy X,Y khoâng ñoäc laäp P(XY=6)= P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3)= 0+0= 0
E(XY) = 2. (1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8)= 19/2
9 10
V.PHAÂN PHOÁI COÙ ÑIEÀU KIEÄN
Giaû söû bieán coá F ñaõ xaõy ra vaø P(F) > 0
Baøi taäp:
Phaân phoái cuûa X theo ñieàu kieän F laø: P(X=xi /F)
laäp baûng ppxs cho X+Y? P( X x , F )
i
= =P
Tính E(X+Y), var(X+Y)?
iF
P(F )
Ví duï: Xeùt F = (Y=1)
Phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa X theo F laø:
XF 2 4 6
PiF ½ 1/2 0
11 12
3
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
Phaân phoái cuûa Y theo ñieàu kieän F laø:
P(X2,Y1 1 1 = P
)8 P (Y y , F )
P(X=2/Y=1) = j
P(Y=yj /F) = = PFj
1F
PY1 2 2
() P (F )
8 Ví duï: Xeùt F = (X=4)
YF 1 2 3 4
P(X4,Y1 1 1 = P
)8 PFj ¼ 0 ¼ 2/4
P(X=4/Y=1) = 2F
P(Y1 2 2 1
) P(Y=1/X=4) = P ( X 4 , Y 1 ) 8 1
8 P ( X 4) 4 4
8
P(X=6/Y=1) = P(X6,Y1 0 0 = P3F
) Tính chaát: piF 0, i , p 1
i iF
P(Y1 2
) pFj 0, j , p 1
8 j Fj
13 14
Ví duï: F=(Y=1)
VI.KYØ VOÏNG TOAÙN COÙ ÑIEÀU KIEÄN,
E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F = 2 1 4 1 6 0 3
PHÖÔNG SAI COÙ ÑIEÀU KIEÄN 2 2
Neáu ta chöa coù baûng phaân phoái X F thì tính nhö
1. Xeùt cho X:
sau:
E(XF)=E(X/F) = x p neáu bieát baûng phaân E(XF) =
i iF
i
2 P ( X 2 , Y 1) 4 P ( X 4 ,Y 1) 6 P ( X 6 , Y 1)
phoái XF P (Y 1) P (Y 1) P (Y 1)
=2 1 8 4 1 8 6 0 3
Neáu chöa bieát baûng X F thì: 28 28 28
P( X x , F ) Töông töï : E(X/Y=2)=2 , E(X/Y=3)=5 ,
i
E(XF) = x P( X x / F ) x
i i i P( F ) E(X/Y=4)=4
i i
var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F
var(XF) = var(X/F) = ( x E ( X ))2 p
ii F iF = 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 1
15 16
4
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
Ví duï: F=(X=4)
YÙ nghóa cuûa E(X/F): laø trung bình coù ñieàu kieän
cuûa X, ñieàu kieän laø F E(Y/F) = 1.p F1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4
=1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4)=3
2. Xeùt cho Y:
Neáu ta chö a coù baûng phaân phoái Y F thì tính nhö
E(YF)=E(Y/F) = y p neáu bieát baûng phaân
j Fj sau: E(YF) =
j
1 P ( X 4,Y 1) 2 P ( X 4,Y 2 ) 3 P ( X 4,Y 3)
phoái YF
P ( X 4) P ( X 4) P ( X 4)
Neáu chöa bieát baûng Y F thì:
4 P ( X 4,Y 4 ) 1 1 8 2 . 0 3 1 8 4 2 / 8 3
P (Y y , F ) P ( X 4) 48 48
4 /8 4 /8
j
E(YF) = y P (Y y / F ) y
j j j P(F ) Töông töï : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)=3
j j
var(YF)=(1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4)
var(YF) = var(Y/F) = ( y E (Y )) 2 p
jj F Fj +(4–3)2(2/4) =3/2
17 18
VIII. HIEÄP PHÖÔNG SAI, HEÄ SOÁ TÖÔNG Cov(X,Y) ño möùc ñoä phuï thuoäc töông quan
QUAN, MA TRAÄN HIEÄP PHÖÔNG SAI , tuyeán tính giöõa X vaø Y.
MA TRAÄN TÖÔNG QUAN
Cov(X,Y) phuï thuoäc ñôn vò ño cuûa X,Y
Neáu E(Y/X=xi)=E(Y/xi)=a+bxi hoaëc
Ví duï: E(X.Y)= x y p 2(11 2 2 30 40)
E(X/Y=yj)=E(X/yj)=c+dyj thì ta noùi X,Y coù
i j i j ij 88
töông quan tuyeán tính.
+ 4(11 2.0 31 4 2) 6(10 20 31 40) =19/2
1) Hieäp phöông sai 8 88 8
Cov(X,Y)
Cov(X,Y) = E(XY) –EX.EY = 19 7 5 3
2 22 4
=E ( X E ( X )) (Y E (Y )) E ( XY ) EX EY
Neáu coù baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa XY thì ta
Vôùi E(XY) = x y p
i j i j ij deã daøng tính E(XY). Xem muïc IV
19 20
5
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
Tính chaát:
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
Neáu X,Y ñoäc laäp thì :
Cov (X,Y) > 0 : X, Y töông quan thuaän
E(X.Y)= EX.EY cov(X,Y)= E(XY)-EX.EY= 0
Cov (X,Y) < 0 : X, Y töông quan nghòch
Cov (X+ Z, Y) = Cov (X,Y) + Cov (Z,Y) Vaäy : X,Y ñoäc laäp X,Y khoâng töông quan
Ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng
Cov (aX,bY) = ab cov (X,Y) , a,b R
D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2 cov(X,Y) , Neáu X,Y coù phaân phoái chuaån thì ñieàu ngöôïc laïi ñuùng.
D(X-Y) = D(X)+D(Y)–2 cov(X,Y)
D(aX bY) = a2DX+b2DY2ab.cov(X,Y)
21 22
3
Baát ñaúng thöùc Cauchy–Schwartz: 3
4
RXY =
Ví duï:
7 5 35
|cov(X,Y)| D( X ).D(Y ) 44
Tính chaát:
Daáu “=” ñaït ñöôïc khi : P(Y=aX+b) = 1, a 0
- RXY = RYX = R = R(X,Y)
2) Heä soá töông quan: - R cuøng daáu vôùi cov(X,Y)
- |RXY| 1
cov(X ,Y ) cov(X ,Y )
R XY
DX . DY X .Y - R(aX+b, cY + d) = R(X,Y) a,b,c,d R
- Neáu Y = aX + b thì R(X,Y) = 1
RXY ño möùc ñoä töông quan tuyeán tính giöõa X - Neáu |R| caøng gaàn 1 thì möùc ñoä phuï thuoäc
vaø Y tuyeán tính giöõa X, Y caøng chaët.
RXY khoâng phuï thuoäc ñôn vò ño cuûa X,Y - Neáu |R| caøng gaàn 0 thì möùc ñoä phuï thuoäc
tuyeán tính giöõa X, Y caøng loûng.
23 24
6
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
- Neáu |R| = 1 thì Y=aX+b vôùi xaùc suaát 1 . Löu yù:
Töùc laø : P (Y=aX+b) = 1 r>0 : neáu X taêng thì Y seõ taêng
r
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
Baøi 10: Coù hai loaïi coå phieáu A, B ñöôïc baùn
Giaûi
1) Baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi
treân thò tröôøng chöùng khoaùn vaø laõi suaát cuûa
chuùng laø hai bieán ngaãu nhieân X,Y töông öùng.
Y 1 2 3
X
Giaû söû (X,Y) coù baûng phaân boá xaùc suaát nhö sau:
2/36 3/36 1/36 1/6
1
4/36 6/36 2/36 2/6
2
Y –2 0 5 10
6/36 9/36 3/36 3/6
3
X
2/6 3/6 1/6 1
0 0 0,05 0,05 0,1
2)
Y 1 2 3
X1 2 3
4 0,05 0,1 0,25 0,15
P 2/6 3/6 1/6
P 1/6 2/6 3/6
6 0,1 0,05 0,1 0
3) EX = 7/3 , EY = 11/6 DX =5/9 , DY = 17/36
29 30
Giaûi:
1) Neáu ñaàu tö toaøn boä coå phieáu A thì laõi suaát
kyø voïng vaø möùc ñoä ruûi ro laø bao nhieâu? 1)Ta phaûi tìm EX vaø X
2) Neáu muïc tieâu laø nhaèm ñaït ñöôïc laõi suaát kyø Töø baûng phaân boá xaùc suaát cuûa (X,Y) ta suy ra
voïng laø lôùn nhaát thì neân ñaàu tö vaøo caû hai baûng phaân boá xaùc suaát cuûa X laø:
loaïi coå phieáu treân theo tyû leä naøo?
X0 4 6
3) Muoán haïn cheá ruûi ro veà laõi suaát ñeán möùc
P 0,2 0,55 0,25
thaáp nhaát thì neân ñaàu tö vaøo hai loaïi coå phieáu
EX=3,7(%) ; Var(X)=4,11;(X)= 4,11= 2,0273
treân theo tyû leä naøo?
31 32
8
- ThS. Phạm trí Cao * Chương 4
3)Xaùc ñònh sao cho : Var(X+(1–)Y) min
2)Neáu kyù hieäu (0
nguon tai.lieu . vn