1. Trang Chủ
  2. Vật lý
  3. CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 5

CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 5

TRUYỀN ÂM TRONG NƯỚC NÔNG Khi truyền âm trong nước nông một tia bất kỳ (ngoại trừ tia trực tiếp trong trường hợp môi trường đồng nhất) bị phản xạ một hoặc nhiều lần từ đáy. Tại những khoảng cách tương đối xa trường âm chủ yếu là kết quả của phản xạ nhiều lần các tia âm từ đáy. Lý thuyết truyền âm trong nước nông sẽ được giới thiệu dưới đây với giả thiết rằng độ sâu nước không đổi. 5.1. BIỂU DIỄN TIA CỦA TRƯỜNG ÂM TRONG MỘT LỚP: CÁC NGUỒN ẢO Giả thiết rằng một lớp... Chương 5 hạn chế kể từ vùng t

Thể loại Tài liệu miễn phí Vật lý

Số trang 14

Ngày tạo 8/29/2018 11:43:59 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.58 M

Tên tệp

Tải CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN )... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Chương 5 hạn chế kể từ vùng tụ tia, nên chúng ta có thể giới hạn ở những số hạng khai triển pha được viết trong (4.5.19). Có thể rút ra được tiêu chuẩn TRUYỀN ÂM TRONG NƯỚC NÔNG tương ứng, nếu chúng ta đòi hỏi rằng số hạng bị bỏ qua đầu tiên g ′′′(ξ 0 )(ξ − ξ 0 ) 4 trong (4.5.19) phải bé so với đơn vị, tức sự lệch pha là Khi truyền âm trong nước nông một tia bất kỳ (ngoại trừ tia trực tiếp bỏ qua. 15 Bởi vì g(ξ ) = r và g(ξ 0 ) = r0 , chúng ta có trong trường hợp môi trường đồng nhất) bị phản xạ một hoặc nhiều lần từ 2 ⎛ r − r0 ⎞ đáy. Tại những khoảng cách tương đối xa trường âm chủ yếu là kết quả r0′′′ ⎜ ⎟
  2. Phương trình (5.1.4) thỏa mãn (5.1.2). Nó cũng thỏa mãn điều kiện biên tại đáy bởi vì O01 và O02 là đối xứng qua biên z = h : từ sự đối xứng này suy ra rằng ( ∂p / ∂z ) z = h = 0 . Điều này còn có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm trực tiếp (5.1.4) theo z . Tuy nhiên, (5.1.4) không thỏa mãn điều kiện tại biên z = 0 . Vì vậy, chúng ta bổ sung thêm vào các nguồn O01 và O02 một cặp nguồn ảo O03 và O04 , nhận được bằng sự phản xạ gương của hai nguồn thứ nhất tại bề mặt nước và bằng thay đổi các pha của chúng một lượng π . Trường tổng cộng của bốn nguồn sẽ là exp( i kR01 ) exp( i kR02 ) exp( i kR03 ) exp( i kR04 ) p= + − − , (5.1.5) R01 R02 R03 R04 ở đây [ ] [ ] 1/ 2 1/ 2 R03 = r 2 + ( z + z1 ) 2 R04 = r 2 + ( 2h + z − z1 ) 2 . , Phương trình (5.1.5) thỏa mãn (5.1.2) và điều kiện biên ( p) z = 0 = 0 vì Hình 5.1. Phản xạ của một sóng từ các biên của lớp và các nguồn ảo R01 = R03 và R02 = R04 tại z = 0 . Tuy nhiên, bây giờ sự đối xứng qua biên phía dưới không còn nữa Phương trình (5.1.1) là nghiệm của (5.1.2), nhưng nó không thỏa và hậu quả là điều kiện biên tại z = h không thỏa mãn. Sự đối xứng này mãn điều kiện tại các biên z = 0, z = h . Để thỏa mãn những điều kiện có thể được phục hồi bằng cách bổ sung hai nguồn ảo O11 và O12 , nhận đó, chúng ta phải tính đến các quá trình phản xạ của sóng từ các biên. Bổ được bởi sự phản xạ gương của O03 và O04 tại biên phía dưới. Bây giờ sung vào (5.1.1) sóng phản xạ từ biên phía dưới, ta nhận được cho áp suất các điều kiện biên được thỏa mãn tại biên phía dưới nhưng không thỏa âm mãn tại biên phía trên. Nếu tiếp tục cách cấu tạo liên tiếp các nguồn ảo, exp ( i kR01 ) exp ( i kR02 ) p = p01 + p02 = + . (5.1.4) chúng ta luân phiên thỏa mãn các điều kiện tại một biên này hoặc biên R01 R02 khác. Tuy nhiên, vì mỗi cặp nguồn bổ sung nằm ở xa hơn, nên phần đóng ở đây góp vào trường âm sẽ mỗi lần một ít hơn, và về giới hạn với một số R02 = [ r 2 + ( 2h − z − z1 ) 2 ] 1 / 2 . nguồn ảo vô hạn thì các điều kiện biên sẽ được thực hiện tại cả hai biên. Sóng phản xạ có thể được xem như là phát ra từ nguồn ảo O02 nhận được Kết quả là, trường tổng cộng có thể được viết dưới dạng bởi sự phản xạ gương của nguồn O01 tại biên phía dưới của lớp. 159 160
  3. ⎡ exp( i kRl1 ) exp( i kRl 2 ) exp( i kRl3 ) exp( i kRl 4 ) ⎤ vào thời gian t khi điều kiện ∞ p = ∑ ( −1) l ⎢ + − − ⎥, 0 ≤ t − Rl j / c ≤ τ Rl1 Rl 2 Rl3 Rl 4 ⎣ ⎦ l =0 (5.1.6) được thực hiện. ở đây 5.2. BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA TRƯỜNG TRONG LỚP j = 1, 2, 3, 4 ⎫ Rlj = ( r 2 + z lj )1 / 2 , 2 l = 0, 1, 2, ..., ∞, ⎪ ⎪ Bắt đầu từ việc biểu diễn một sóng cầu như một xếp chồng của các z l1 = 2hl + z1 − z, z l 2 = 2 h( l + 1) − z1 − z ⎬ . (5.1.7) sóng phẳng, ta có thể nhận được một cách biểu diễn khác cho trường của ⎪ z l3 = 2hl + z1 + z, z l 4 = 2h( l + 1) − z1 + z ⎪ ⎭ nguồn điểm trong một lớp đối với các tham số đáy tùy ý. Khái quát hóa (5.1.6) cho trường hợp đáy phản xạ một phần rất dễ Trong không gian tự do, chỉ có một sóng cầu trực tiếp có thể được quan sát thấy tại điểm ( r, z ) . Theo (4.2.7) sóng này có thể được biểu nếu hệ số phản xạ không phụ thuộc vào góc tới. Khi đó, thay vì (5.1.6) ta có diễn như một phép xếp chồng của các sóng phẳng loại exp{ i [ kx x + k y y + kz ( z1 − z )]} . Nếu có một biên phía dưới z = h , một ⎡ exp( i kRl1 ) ∞ exp( i kRl 2 ) p = ∑ ( −V ) l ⎢ +V sóng phản xạ cũng sẽ được quan sát, nó có thể được biểu diễn như một Rl1 Rl 2 ⎣ l =0 phép xếp chồng của các sóng phẳng loại exp( i kRl 4 ) ⎤ exp( i kRl3 ) ⎥. (5.1.8) V exp{ i [ kx x + k y y + kz ( 2h − z − z1 )]} . Hệ số phản xạ V có thể là một − −V Rl 3 Rl 4 ⎦ hàm tùy ý của góc tới. Sóng phản xạ từ biên phía trên có thể được biểu Trong một số trường hợp (5.1.8) là gần đúng thậm chí khi V phụ thuộc diễn một cách tương tự như một phép xếp chồng của các sóng phẳng vào góc tới V = V (θ ) . Một cách tự nhiên, có những θ l j và V (θ l j ) đối − exp{ i [ kx x + k y y + kz ( z + z1 )]} . Dấu trừ xuất hiện vì V = −1 đối với với từng nguồn trong số các nguồn ảo trong những trường hợp đó. một bề mặt tự do. Trong trường hợp phát xạ xung, áp suất âm trong sóng trực tiếp Tiếp tục những lập luận này, chúng ta có một chuỗi vô hạn các sóng được cho bằng R −1 f ( t − R / c) . Trường tổng cộng trong một lớp ở điểm có các số lần phản xạ khác nhau tại các biên của một lớp. Pha của mỗi ( r, z ) tại thời gian t là (đối với trường hợp đáy cứng) sóng là kx x + k y y + kz z l j , trong đó z l j ( z là hình chiếu của quãng ⎡ f ( t − Rl1 / c ) f ( t − Rl 2 / c ) f ( t − Rl 3 / c ) f ( t − Rl 4 / c ) ⎤ ∞ đường của sóng) được cho bằng (5.1.7). Như vậy, đối với sóng trực tiếp p = ∑ ( −1) l ⎢ + − − ⎥ ( l = 0, j = 1) z 01 = z1 − z ; đối với sóng phản xạ từ biên phía dưới Rl1 Rl 2 Rl 3 Rl 4 ⎣ ⎦ l=0 ( l = 0, j = 2 ) z02 = 2 h − z − z1 ; đối với sóng phản xạ từ biên phía trên (5.1.9) ( l = 0, j = 3) z03 = z + z1 ; đối với sóng phản xạ lần đầu từ biên phía Nếu độ dài của xung phát ra là π , các xung sẽ phủ chồng tại điểm thu dưới và sau đó từ biên phía trên ( l = 0, j = 4 ) z04 = 2 h + z − z1 , v.v... 161 162
  4. Bây giờ ta đưa vào (5.2.1) những biến tích phân mới ξ và ϕ tuân Ta nhận được trường tổng cộng bằng phép cộng trước tiên tất cả theo các quan hệ k x = ξ cos ϕ và k y = ξ sin ϕ ( ξ là mô đun của số những sóng phẳng với cùng k x và k y nhưng với một số lần phản xạ ϕ sóng phương ngang, là hướng của một sóng). Ta có khác nhau từ các biên và sau đó tích phân theo k x và k y . Nếu chú ý tới 2 2 1/ 2 kz = ( k − ξ ) ≡ α và dkx dk y = ξ dξ dϕ . Tích phân theo ϕ trong phép khai triển một sóng cầu thành các sóng phẳng (4.2.7) và cũng nhớ (5.2.1) cho 2π J 0 (ξ r ) (4.3.1). Thay thế hàm Bessel bậc không bằng nửa rằng: tại mỗi lần phản xạ từ biên phía dưới biên độ của sóng được nhân với hệ số phản xạ V , và tại mỗi lần phản xạ từ biên phía trên - nhân với tổng của các hàm Hankel loại một và hai, và thực hiện cùng những phép một nhân tử − 1 , ta thu được biểu thức đối với trường tổng cộng trong biến đổi như đối với (4.3.2), người ta thu được một lớp (với z < z1 ) theo một cách tương tự như ở mục 5.1 ∞ sin αz { exp[− iα ( h − z1 )] + V exp[iα ( h − z1 )]} (1) ∫ H 0 (ξ r ) ξ dξ p( r, z ) = ∞ ∫ ∫ exp [i ( kx x + k y y)] {exp [i kz ( z1 − z2 )] 1 α exp ( −iαh ) [1 + V exp ( 2iαh )] p( r, z ) = −∞ 2π −∞ (5.2.4) + V exp [i k z ( 2 h − z − z1 )] − exp [i k z ( z1 + z )] Thay thế lẫn nhau z và z1 trong (5.2.4) đối với biểu thức dưới dấu tích phân sẽ cho đối với z1 < z ∞ dkx dk y − V exp [i kz ( 2h + z − z1 )] } ∑ ( −V ) l exp ( 2i kz hl ) . (5.2.1) ∞ sin αz1 { exp [−iα ( h − z )] + V exp [iα ( h − z )]} (1) kz l=0 ∫ H 0 (ξ r ) ξ dξ p( r, z ) = α exp ( −iαh) [1 + V exp ( 2iαh)] Bằng cách thay thế lẫn nhau z và z1 , ta thu được biểu thức tương tự đối −∞ với z > z1 . (5.2.5) Chúng ta sẽ biến đổi (5.2.1) tiếp, chú ý tới đẳng thức Các công thức (5.2.4, 5) cho một biểu diễn tích phân của trường của {exp [i kz ( z1 − z)] + V exp [i kz ( 2 h − z − z1 )] − exp [i kz ( z1 + z )] nguồn điểm trong một lớp. Đáy được đặc tả bằng hệ số phản xạ V = V (ξ ) và có thể phân lớp theo một kiểu tùy ý. − V exp [i k z ( 2 h + z − z1 )] } = −2i sin kz z {exp ( i kz z1 ) + V exp [ i kz ( 2 h − z1 )] } (5.2.2) 5.3. CÁC THỨC CHUẨN TRONG ĐẠI DƯƠNG VỚI ĐÁY PHẢN XẠ 16 LÝ TƯỞNG và công thức cấp số nhân vô hạn ∞ ∑ ( −V ) l exp ( 2i kz hl) = [1 + V exp ( 2i kz h)] −1 Với trường hợp đơn giản nhất một lớp với đáy cứng lý tưởng khi . (5.2.3) V = 1 (mục 3.1) ta nhận được từ (5.2.4, 5) đối với z < z1 l =0 ∞ sin αz cos α ( h − z1 ) (1) ∫ H 0 (ξ r ) ξ dξ p( r, z ) = (5.3.1) α cos αh −∞ 16 Chuỗi ở vế trái của (5.2.3) hội tụ nếu V < 1 hoặc nếu số sóng k có một và đối với z > z1 phần ảo (sự hấp thụ trong môi trường) nhỏ. 163 164
  5. 2π i ∞ ∞ sin αz1 cos α ( h − z ) (1) ∞ p( r, z ) = ∑ pl = ∑ = 0 sin α 1 z sin α 1 z1H (01) (ξ l r ) . (5.3.7) ∫ H 0 (ξ r ) ξ dξ . p( r, z ) = (5.3.2) α cos αh hl l =0 −∞ Biểu thức cuối đối với p không thay đổi khi z được thay thế bằng z1 và Các tích phân này có thể được biến đổi thành tổng của các phần dư ngược lại, và do đó đúng với mọi z ( 0 ≤ z ≤ h ) . Mỗi số hạng pl trong tại các cực của biểu thức dưới dấu tích phân. Các cực được xác định bằng (5.3.7) thỏa mãn phương trình Helmholtz (5.1.2) và các điều kiện biên, và những nghiệm của phương trình được gọi là một thức chuẩn. cosαh = 0 , (5.3.3) Chúng ta sẽ xét những đặc tính cơ bản của các thức chuẩn. Tại tức là những khoảng cách lớn (so với bước sóng) kể từ nguồn ( ξ l r >> 1) , hàm π⎛ 1⎞ αl = ⎜ l + ⎟, l = 0, 1, 2, ... (5.3.4) Hankel có thể được thay thế bằng số hạng thứ nhất của biểu diễn tiệm cận 2⎠ h⎝ của nó (4.3.5), cho Chú ý tới quan hệ α = ( k 2 − ξ 2 ) 1 / 2 , ta được 1/ 2 2 ⎛ 2π ⎞ sin α 1 z1 sin α 1 z exp [i (ξ l r − π / 4)] . (5.3.8) [ ] pl ( r, z ) ≅ ⎜ ⎟ 2 1/ 2 ξ l = ± k 2 − (π / h) 2 ( l + 1 / 2) h ⎜ ξlr ⎟ . (5.3.5) ⎝ ⎠ Các nghiệm ξ l nằm trên trục số thực trong mặt phẳng ξ nếu Chúng ta thấy rằng mỗi thức chuẩn là một sóng di chuyển trong hướng π ( l + 1 / 2 ) < kh và trên trục số ảo nếu π ( l + 1 / 2 ) > kh . Sẽ thuận tiện ngang và một sóng đứng trong hướng z . Từ đó suy ra rằng mỗi thức nếu chấp nhận rằng k có một phần ảo dương bé (hấp thụ nhỏ trong môi chuẩn có thể được biểu diễn như xếp chồng của hai sóng tựa phẳng di trường). Khi đó các nghiệm được di chuyển từ bán trục dương tới cung chuyển phần tư thứ nhất, và từ bán trục âm tới cung phần tư thứ ba. Bây giờ pl ( r, z ) ~ r −1 / 2 {exp[i (ξ l r + α l z )] − exp[i (ξ l r − ξ1 z )]} (5.3.9) chúng ta di chuyển quãng đường lấy tích phân trong (5.3.1) xa khỏi trục số thực tới vô cùng trong nửa mặt phẳng ξ phía trên. Có thể chỉ ra rằng truyền dưới một góc ⎛ α1 ⎞ những đóng góp do phần vô cùng của quãng đường tích phân bằng χ l = ± arcsin ⎜ ⎟ (5.3.10) không. Kết quả là, tích phân biến đổi thành tổng của các phần dư tại các ⎝k⎠ cực ở trong cung phần tư thứ nhất, so với mặt phẳng nằm ngang. χ l tăng lên khi l tăng. Biên độ của mỗi ⎡ sin αz cos α ( h − z1 ) ⎤ ∞ thức chuẩn giảm dọc theo lớp như r −1 / 2 . Tùy thuộc đại lượng p( r, z ) = 2π i ∑ (1) ⎢ αd(cos αh ) / dξ ⎥ H 0 (ξ l r ) ξ l (5.3.6) ⎣ ⎦ξl l =0 π⎛ 1⎞ ⎜l + ⎟ 2⎠ kh ⎝ hay, nếu chú ý tới (5.3.5), bé hơn hay lớn hơn đơn vị mà thức chuẩn sẽ truyền trong lớp tuần tự 165 166
  6. không suy yếu 17 hoặc giảm theo hàm mũ với khoảng cách. Tần số thấp Một quan hệ tương tự đúng đối với đại dương phân tầng. nhất f l mà sóng còn truyền không suy yếu được gọi là tần số tới hạn hay Sự phụ thuộc của tốc độ pha và tốc độ nhóm vào tần số được thể tần số “cắt bỏ” của thức chuẩn đó. Nó được xác định từ phương trình hiện trên hình 5.2. Tại tần số tới hạn, thức chuẩn chuyển đổi thành một thức đứng trong hướng z và do đó u l = 0 . Khi f → ∞ , tốc độ nhóm (π / kh )( l + 1 / 2 ) = 1 or f l = ( c / 2 h )( l + 1 / 2 ) . (5.3.11) tiến tới c − tốc độ âm trong không gian tự do. Các tốc độ pha và nhóm l càng thấp thì tần số tới hạn càng thấp. Tại tần số của các thức chuẩn tuân theo một mối liên hệ đơn giản c f< ≡ f0 vl u l = c 2 . (5.3.14) 4h Sự phụ thuộc vào z của biên độ của các thức chuẩn là do nhân tử tất cả các thức chuẩn suy yếu. Trong trường hợp này, chỉ có trường “gần” sin α l z . Sự phụ thuộc này đối với l = 0, . . ., 3 được thể hiện trên hình ở lân cận nguồn mới được quan sát thấy. 5.3. Ta thấy rằng l là số lần độ sâu trong một lớp (ngoại trừ z = 0 ) trong Tốc độ pha của thức chuẩn dọc theo lớp đó áp suất âm bằng không. vl = ω / ξ1 = c [1 − ( f l / f ) 2 ] −1 / 2 (5.3.12) Đại lượng tùy thuộc vào tần số âm f . Khi f → ∞ , tốc độ pha tiệm cận tới tốc độ ( 2π i / h ) sin α l z l (5.3.15) âm trong không gian tự do; tại tần số tới hạn, vl trở nên lớn vô hạn và có thể được gọi là hàm kích thích của thức thứ l trong trường hợp đang đối với f < f l nó trở nên chủ yếu là ảo. Phương trình (5.3.12) mô tả sự xét. Nó trở nên bằng không đối với mỗi l nếu một nguồn nằm ở bề mặt dẫn sóng hay sự tản mát hình học, đó là nguyên nhân của sự biến dạng tự do ( z1 = 0 ) . Nếu nguồn nằm ở lân cận bề mặt ( z1 nhỏ) các hàm kích xung khi truyền trong lớp. Tốc độ nhóm của thức chuẩn là thích khác không, nhưng nhỏ. Đó là do “hiệu ứng lưỡng cực” (mục 4.1). dω = c [1 − ( f l / f ) 2 ] 1 / 2 . ul = (5.3.13) 2 dξ l Để tính toán cường độ âm hay p chúng ta phải nhân tổng của các Chú ý tới (5.3.4, 10), ta tìm được u l = c cos χ l . Lưu ý rằng tốc độ biểu thức (5.3.8) với biểu thức liên hiệp phức. Trong trường hợp đó chúng ta nhận được những số hạng có dạng exp [ i (ξ l − ξ l′ ) r ] , trong đó nhóm u l bằng tỉ số của độ dài chu trình tia Dl trên thời gian di chuyển l và l′ bao gồm tất cả những giá trị lấy tổng. Mỗi số hạng như vậy dao t l của sóng âm trong một chu trình. Thật vậy, vì 2π Dl = 2 h cos χ l , t l = ( 2 h / c ) sin χ l , động với r biến thiên với chu kỳ Λ l, l′ = . Chu kỳ giao thoa ξ l − ξ l′ ta có phương ngang của các thức gần nhau sẽ là chu kỳ lớn nhất Dl / t l = c cos χ l = u l . Λ l, l +1 − 2π /(ξ l − ξ l +1 ) . (5.3.16) Nếu kh >> 1 , giá trị của ξ l sẽ rất gần với ξ l +1 . Từ (5.3.5) ta có một cách 17 Trường hợp k thực được xét. 167 168
  7. gần đúng ξ l − ξ l +1 πα l ≅
  8. ⎡ exp ( i kRl1 ) exp ( i kRl3 ) ⎤ toán số. f ( 2π l ) = ( −1) l ⎢ − ⎥, (5.4.5) Rl1 Rl3 ⎣ ⎦ Vì tất cả ba biểu diễn đó mô tả cùng một trường, chúng có thể được biến đổi lẫn nhau. Mối liên hệ giữa biểu diễn tích phân và các thức chuẩn trong đó Rl1 và Rl3 được cho bằng (5.1.7). Thế (5.4.5) vào vế phải của đã được xác lập ở mục 5.3. Bây giờ ta biến đổi tổng của các thức chuẩn (5.4.1) và biến đổi nó thành chuỗi trên đoạn l từ 0 đến ∞ , chúng ta được thành các tia. Chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của Poisson [5.1, mục biểu thức (5.1.5). 2.13] cho mục đích này: Bây giờ chúng ta sẽ biến đổi biểu diễn tích phân thành biểu diễn tia. ∞ ∞ ∑ ∑ f ( 2π l ) , F( l) = Để làm việc đó, ta thay thế các hàm lượng giác trong (5.3.1) bằng các (5.4.1) hàm mũ và biểu diễn 1 / cos αh như một cấp số nhân l = −∞ l = −∞ ở đây 2 exp( iαh) ∞ 1 = 2 ∑ ( −1) l exp[iαh( 2l + 1)] . (5.4.6) = ∞ cos αh 1 + exp( 2iαh) f ( x ) = ∫−∞ F ( l ) exp(−i xl) dl . (5.4.2) l =0 ĐIều này dẫn đến Chúng ta cho vế trái của (5.4.1) bằng một tổng của các thức chuẩn, ∞ ∞ nhằm mục đích đó ta biến đổi (5.3.7) thành tổng từ l = −∞ đến l = ∞ . i ∑ ( −1) l ∫ [exp ( iα z l1 ) + exp ( iα zl 2 ) − exp ( iα z l3 ) p( r, z ) = 2 Đồng nhất thức l=0 −∞ ξ dξ ∞ − exp( i αz l3 ) − exp( i αz l 4 )]H (01) (ξ r ) ∑ sin α l z sin α l z1H (01) (ξ l r ) , (5.4.7) k2 − ξ 2 l =0 ∞ 1 ∑ {exp[−iα l ( z1 − z )] − exp[−iα l ( z1 + z )]}H (01) (ξ l r ) = trong đó z l j được cho bằng (5.1.7). 4 l = −∞ Sử dụng đồng nhất thức (4.3.3), người ta có thể viết các tích phân có thể dễ dàng chứng minh, nếu chúy ý rằng α − l = −α l −1 . Bây giờ ta có trong (5.4.7) thành πi { exp [−iα l ( zl − z)] − exp [−iα l ( z1 + z)]}H (01) (ξ l r ) . (5.4.3) F(l) = ξ dξ exp ( i kRl j ) ∞ 2h ∫−∞ exp ( iαzl j ) H 0 (1) (ξ r ) = −2i . (5.4.8) Rl j k2 − ξ 2 Thế (5.4.3) vào (5.4.2) và sử dụng quan hệ [5.2] ∞ Thế (5.4.8) vào (5.4.7), ta nhận ngay được biểu thức (5.1.6). H 01) ⎛ r k 2 − u 2 ⎞ exp ( i uz ) du = −2i R −1 exp ( i kR ) , ∫ ⎜ ⎟ ( ⎝ ⎠ −∞ 5.5. CÁC THỨC CHUẨN TRONG CHẤT LỎNG HAI LỚP R = ( r 2 + z 2 )1 / 2 , (5.4.4) Bây giờ chúng ta áp dụng các biểu thức (5.2.4, 5) cho trường hợp ta tìm được phức tạp hơn gồm một lớp nằm trên một nửa không gian chất lỏng đồng 171 172
  9. Trong trường hợp đang xét ( v 2 > 0) , phương trình này có những nghiệm nhất. Hệ số phản xạ V từ biên phía dưới của lớp được cho bằng (3.1.12), thực x l < v, l = 1, 2, . . . Các số sóng phương ngang của những thức chuẩn ρ1 m cos θ − n 2 − sin 2 θ c V= m= n= , (5.5.1) , , sẽ là ρ c1 2 2 m cosθ + n − sin θ ξ l = (1 / h) [( kh ) 2 − x l2 ] 1 / 2 . (5.5.5) ở đây ρ , c và ρ 1 , c1 là mật độ và tốc độ âm tuần tự trong lớp và trong Nếu chỉ xét những thức như vậy, ta sẽ tính các phần dư trong (5.2.4). Sử nửa không gian phía dưới. dụng phương trình đối với các cực, chúng ta có thể chỉ ra rằng Ta có thể thấy từ (5.5.1) rằng V bây giờ là một hàm hai giá trị của x l z1 θ do ( n 2 − sin 2 θ ) 1 / 2 có hai giá trị. Sẽ là hợp lý nếu đưa ra một bề mặt {exp [−iα ( h − z1 )] + V exp [iα ( h − z1 )]}α = 2i exp ( −ix l ) sin , h l Riemann với hai khoảng; trên mỗi khoảng đó V sẽ đơn trị. Điểm phân ξlh ⎛ ⎡d ⎤ 1 dV ⎞ nhánh của hai khoảng đó là θ = arcsin n . Các tích phân (5.2.4, 5) bây ⎢ dξ V exp ( 2i αh )⎥ α l = α ⎜ 2i + V dx ⎟ . (5.5.6) l⎝ ⎠ xl ⎣ ⎦ giờ có thể biến đổi về tổng của các phần dư tại các cực (phổ gián đoạn) và tích phân dọc theo các phía của một đường phân nhánh từ điểm phân Nếu biểu diễn theo x , (5.5.1) sẽ là nhánh (phổ liên tục). Người đọc có thể xem nghiên cứu tỉ mỉ về phổ liên −1 V = ⎛ mx − x 2 − v 2 ⎞ ⎛ mx + x 2 − v 2 ⎞ . tục ở những công trình khác ([5.3, mục 37.3] và [5.4, mục 2.21]). Ở đây ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ chúng ta sẽ thảo luận phổ gián đoạn (các thức chuẩn). Đây là phần chính của trường tại những khoảng cách đủ lớn kể từ một nguồn nếu c1 > c và Bây giờ nếu sử dụng (5.5.4), ta tìm được ⎛ 1 dV ⎞ tần số của nguồn không quá gần với tần số tới hạn của bất kỳ thức nào 2 2 ⎟ = −2i ( v / mx l ) (1 / x l ) sin x l tgx l . ⎜ (5.5.7) trong số các thức chuẩn. ⎝ V dx ⎠ xl Theo (5.2.4, 5) phương trình đối với các cực là Kết quả là, chúng ta nhận được biểu thức sau đây cho các thức trong lớp 1 + V exp( 2iαh ) = 0 . (5.5.2) 2π i sin( x l z / h ) sin( x l z l / h ) ∑ H (01) (ξ l r ) . (5.5.8) p( r, z ) = Nếu lưu ý tới (5.5.1) và đưa ra những ký hiệu 2 2 h l 1 − ( v / mx l ) (1 / x l ) sin x l tgx l k1 x = αh = h( k 2 − ξ 2 )1 / 2 , v = kh(1 − n 2 )1 / 2 , n = < 1, ξ = k sin θ Biểu thức (5.5.8) là biểu thức không biến phân khi thay đổi lẫn nhau giữa k z và z1 và, do đó, nó đúng đối với mọi z trong phạm vi 0 ≤ z ≤ h . (5.5.3) Ta xác định các tần số tới hạn của những thức chuẩn. Từ (5.5.4) suy có thể viết lại thành ra rằng x l thực lớn nhất xác định tần số tới hạn f l của thức thứ l nhận ctg x = −( mx ) −1 ( v 2 − x 2 )1 / 2 . (5.5.4) được khi các phương trình x l = π ( l + 1 / 2 ) và x l = v đồng thời được thỏa mãn. Khi đó f l có thể được tìm từ phương trình v = π ( l + 1 / 2 ) 173 174
  10. hoặc dưới dạng tường minh c ( l + 1 / 2) fl = . (5.5.9) 2h 1 − n 2 Biểu thức (5.5.9) là một mối liên hệ quan trọng giữa độ dày của lớp h , chỉ số khúc xạ n và tần số tới hạn f l . Vậy nếu biết h và f l , ta có thể tìm n và, do đó, tốc độ âm ở trong môi trường phía bên dưới. Điều kiện x l < v đối với các thức không suy yếu có một ý nghĩa vật Hình 5.5. Các nghiệm của lý đơn giản. Sử dụng (5.5.3), có thể viết ξ l > kn hay sin θ l > n . Vì θ l phương trình tản mạn tùy thuộc độ dày lớp và tần số âm là góc tới đối với những sóng phẳng tương ứng, điều kiện này có nghĩa rằng các sóng phẳng tạo thành một thức không suy yếu chịu phản xạ trong toàn phần tại biên z = h . Trên hình 5.5 x l đối với l = 0, 1, 2 và m = 2 được cho như một hàm của tham số v . Tại v → ∞ chúng ta có x l → π ( l + 1) . Khi tần số âm tăng lên, số nghiệm thực và, do đó, số các thức lan truyền trở nên lớn hơn. Hình 5.6 [5.5] cho thấy sự phụ thuộc vào độ sâu của biên độ của thức chuẩn thứ nhất ( l = 0 ) đối với năm tần số khác nhau từ 118 đến 13 160 Hz, trường hợp h = 90 m, c = 1500 m/s, c1 = 1501,5 m/s, ρ1 = 2 ρ (sự phụ thuộc vào độ sâu của tốc độ âm được thể hiện ở bên trái của hình). Biên độ giảm theo hàm mũ với độ sâu trong môi trường phía dưới, tần số càng lớn thì giảm càng nhanh. Tại những tần số cao, thực tế tất cả năng lượng của sóng được chứa trong phạm vi lớp. Tần số tới hạn đối với Hình 5.6. Phụ thuộc vào z của biên độ thức chuẩn thứ nhất đối với trường hợp này là 93,3 Hz. Tốc độ pha của thức thứ nhất cũng được thể các tần số khác nhau; v1 là tốc độ pha của thức chuẩn [5.5] hiện trên hình đối với những tần số khác nhau. Nó luôn luôn lớn hơn tốc độ âm trong lớp và tiệm cận tới tốc độ âm khi tần số tăng lên. 5.6. ĐỊNH LUẬT SUY YẾU TRUNG BÌNH Những phương pháp giới thiệu ở trên cho phép chúng ta thực hiện 175 176
  11. đi ra với các góc ± χ 1 ), mỗi chùm cắt qua độ sâu máy thu hai lần trong tính toán chính xác về trường âm. Tuy nhiên, tính toán như vậy thường tỏ ra khá phức tạp. Trong khi đó nhiều chi tiết của trường âm, ví dụ như cấu toàn chu trình (nếu như chúng đi tới được độ sâu đó). Tất cả các điểm tại độ sâu z trong phạm vi chu trình được gán cùng một tỉ trọng. Vậy ta có trúc giao thoa tinh đôi khi hoàn toàn không cần dùng đến. Đối với những 4 fE ∂r ứng dụng thực tế, một ước lượng về cường độ âm có khi là hoàn toàn đủ. 2 〈p 〉= dχ 1 r 2 D ∂χ 1 Trong mục này chúng tôi sẽ đưa ra một công thức giải tích đơn giản hay, nếu sử dụng giá trị f từ (2.5.3) và lấy tích phân trên tất cả χ 1 - các để tính toán một quy luật “trung bình” đối với áp suất âm bình phương theo khoảng cách trong nước nông khi xuất hiện khúc xạ tia và phản xạ góc của những tia đi tới độ sâu z - ta thu được đối với trường tổng cộng nhiều lần tại đáy. Việc dẫn lập công thức này dựa trên giả thiết về tính áp 4 2 ∫ E ( D sin χ ) cos χ1 dχ1 . −1 〈p 〉= (5.6.1) dụng của lý thuyết tia và tổng hợp không hiệp biến của các tia. Chúng ta r chấp nhận rằng độ sâu của biển là hằng số và bề mặt nước bằng phẳng Nhân tử phân rã E có thể viết thành (hiệu ứng của sóng biển sẽ được xét sau, trong mục ??). 2N E = V(χ h ) exp ( − β r ) , (5.6.2) Xét một chùm tia hẹp với độ rộng góc dχ 1 đi ra từ nguồn nằm tại trong đó β là hệ số hấp thụ khối trong nước, V ( χ 1 ) là hệ số phản xạ độ sâu z = z1 với góc χ 1 và có khoảng cách chu trình D( χ 1 ) . Bình biên độ tại đáy và N = N ( χ h ) là số lần phản xạ. Nếu chấp nhận rằng β phương của mô đun áp suất âm trong chùm này, theo mục 2.5, là là như nhau đối với các tia với những χ 1 khác nhau, đưa exp( − β r ) ra 2 p = fE / r 2 , ở đây f là nhân tử tiêu điểm (2.5.3), E = E( χ 1 ) là nhân ngoài tích phân và đặt N ≈ r / D( χ 1 ) đối với N lớn, ta nhận được từ tử phân rã do sự hấp thụ trong môi trường và những thất thoát phản xạ (5.6.1) đáy. Đầu ra năng lượng của nguồn được giả định là đã chuẩn hóa sao cho ⎡⎛ 2r ⎞ ⎤ ⎛4⎞ 2 2 trong một môi trường đồng nhất p = 1 / r 2 . Ta chấp nhận rằng r lớn 〈 p 〉 = ⎜ ⎟ exp( − β r )∫ ( D sin χ ) −1 exp ⎢⎜ ⎟ ln V ( χ h ) ⎥ cos χ 1 dχ 1 . ⎝r⎠ ⎣⎝ D ⎠ ⎦ 2 so với D và tìm do chùm đã chọn và chùm đối xứng từ nguồn đi p (5.6.3) ra dưới góc − χ 1 . Toán tử . . . biểu thị phép lấy trung bình trên khoảng Ở đây χ h và χ được biểu diễn qua χ 1 bằng quan hệ cách chu trình. Để thực hiện lấy trung bình như vậy, biểu thức cos χ cos χ 1 cos χ h = = , (5.6.4) 2 p = fE / r 2 phải được nhân với xác suất mà các điểm tại tầng máy thu c c1 ch z sẽ những chùm đó chiếu tới. Xác suất này bằng tỉ số bốn lần giữa độ trong đó c h , c1 , c tuần tự là các tốc độ âm tại đáy, tại các tầng nguồn và rộng chùm trên hướng r , tức đại lượng 4 ( ∂r / ∂χ 1 )dχ 1 , và khoảng cách máy thu. chu trình D( χ 1 ) . Thừa số 4 xuất hiện vì chúng ta có hai chùm (từ nguồn 177 178
  12. − srχ 2 Một phương pháp khác để rút ra biểu thức (5.6.3) có thể thấy trong [2r / D( χ )] ln V(χ ) ≅ . sách của Brekhovskikh [5.6, mục 18]. Trong bài báo của Smith [5.7], h phương pháp này được khái quát hóa cho trường hợp các điều kiện truyền Khai triển phần biến thiên chậm của biểu thức dưới dấu tích phân thành một chuỗi theo χ , chỉ giữ lại số hạng thứ nhất, cho âm phụ thuộc vào khoảng cách. Bây giờ chúng ta sẽ xét một số trường hợp cụ thể sử dụng công thức 1/ 2 ⎛ srχ 2 ⎞ π ⎟ dχ = ⎛ ⎞ 2 ∞ 2 exp( − βr ) ∫0 exp ⎜ − exp( − β r ) ⋅ r − 3 / 2 = ⎜⎟ p ⎜ h⎟ (5.6.3). ⎝ sh ⎠ rh ⎝ ⎠ 5.6.1. Lớp đồng nhất ( c = c1 = c h ) (5.6.8) Ở đây ∞ được lấy làm cận trên của tích phân, nhưng điều này không ảnh Trong trường hợp này hưởng tới kết quả, bởi vì chỉ có những giá trị nhỏ của χ mới có ý nghĩa π D = 2h ctgχ 1 , 0 ≤ χ1 ≤ χ = χ1 = χ h , (5.6.5) đối với sr / h >> 1 (giả định điều kiện này được thực hiện). Như vậy là , 2 2 chúng ta nhận được định luật “3/2” cho , định luật này là trung gian p ở đây h là độ sâu biển. Trong trường hợp lý tưởng một đáy phản xạ hoàn toàn ( V = 1 ), giữa định luật hình trụ đối với lớp có một đáy phản xạ lý tưởng và định luật hình cầu đối với không gian tự do. hàm mũ ở biểu thức dưới dấu tích phân trong (5.6.3) trở thành đơn vị. Đại lượng s có thể nhận được từ dữ liệu thực nghiệm đối với hệ số Khi đó thế (5.6.5) vào (5.6.3) sẽ cho phản xạ hoặc bằng lý thuyết sử dụng một số giả thiết nhất định về cấu π 2 π /2 2 exp( − β r )∫0 dχ = exp ( − β r ) . = (5.6.6) p trúc của đáy. Trong trường hợp đơn giản nhất đáy là một nửa không gian rh rh chất lỏng đồng nhất, hệ số phản xạ được xác định bằng (3.1.12), trong đó Kết quả là, chúng ta có định luật truyền hình trụ có suy giảm đã quen θ = π / 2 − χ , và ta nhận được s như sau biết. ⎧m⎫ ⎪ ⎪ Trong trường hợp đáy hấp thụ, χ h nhỏ là quan trọng nhất trong tích s = 2 Re ⎨ ⎬, (5.6.9) ⎪ n −1⎪ phân (5.6.3). Khi χ h tăng lên, hàm mũ trong biểu thức dưới dấu tích 2 ⎩ ⎭ phân giảm nhanh do 1 / D( χ h ) và ln V ( χ h ) tăng. Ký hiệu ở đây ký hiệu Re chỉ phần thực ( m = ρ1 / ρ cũng như n = c / c1 có thể là ⎡∂ ⎤ phức). s ≡ − ⎢ ln V ( χ ) ⎥ . (5.6.7) ⎣ ∂χ ⎦ χ =0 Định luật 3/2 (5.6.8) cũng có một số hạn chế đối với r lớn. Đó là do thực tế là lý thuyết tia và những giả thiết đã sử dụng để rút ra (5.6.3, 8) Khi đó, với độ chính xác tới χ 2 , ta có 179 180
  13. chỉ đúng khi số lượng các thức có nghĩa lớn [5.3]. Khi r tăng lên, số này xuống phía dưới và âm truyền thông qua phản xạ liên tiếp từ đáy (như giảm và tại một khoảng cách đủ lớn chỉ có một thức (có sự suy yếu nhỏ trên hình 5.7). nhất) giữ lại. Trong trường hợp này (5.6.8) trở thành không áp dụng Chúng ta lại bắt đầu từ (5.6.3) và sử dụng cách ký hiệu χ m = ( χ h )min = arccos( c / c1 ) , góc mở tại đáy của tia đi ra từ một nguồn được. là nằm ngang ( χ1 = 0 ) . Tại r đủ lớn, tích phân (5.6.3) có thể dễ dàng Khoảng cách cực đại r = rm mà (5.6.8) vẫn còn đúng, có thể được ước lượng theo cách như sau. Trong tích phân của (5.6.8) giá trị ý nghĩa ước lượng nếu như biểu thức trong hàm mũ là âm và giá trị tuyệt đối của nó tăng khi χ1 tăng. cực đại của χ có bậc χ m ∼ ( h / sr )1 / 2 . Mặt khác, mỗi thức chuẩn tương ứng với một họ các tia với cùng χ . Tổng số các thức chuẩn lan truyền xấp xỉ là 2h / λ , ở đây λ là độ dài của sóng âm. Các góc trong phạm vi khoảng 0, π / 2 tương ứng với những thức đó. Trong phạm vi khoảng 0, χ m , số thức chuẩn bằng ( 2 χ m / π )( 2 h / λ ) . Từ điều kiện là số này phải lớn hơn nhiều so với đơn vị, ta có 16h3 rm > rm , chỉ một thức có thể được tính đến và chúng ta có Hình 5.7. Lan truyền một chùm tia âm trong nước nông [5.8] Trong trường hợp này phần biến thiên chậm của biểu thức dưới dấu ⎡ ⎛ π ⎞ 2 sr ⎤ tích phân có thể đưa ra ngoài tích phân, nếu ta đặt χ1 = 0, χ h = χ m , và 4 exp( − β r ) 2 exp ⎢ − ⎜ ⎥, p= ⎟ (5.6.11) kh 2 r ⎢ ⎝ kh ⎠ h ⎥ biểu thức trong hàm mũ có thể được biểu diễn như một chuỗi lũy thừa ⎣ ⎦ của χ1 đến χ12 . Nếu ký hiệu đó là định luật hình trụ với một sự suy yếu bổ sung. Nếu chấp nhận rằng f ( χ1 ) ≡ − D−1( χ h ) ln V ( χ h ) , (5.6.12) biểu thức trong dấu ngoặc vuông nhỏ, chúng ta lại thu được tiêu chuẩn (5.6.10) từ (5.6.11). ta có 1 f " ( 0)χ12 , f ( χ1 ) = f ( 0) + (5.6.13) 2 5.6.2. Lớp với khúc xạ âm trong đó Giả sử tốc độ âm giảm theo độ sâu. Khi đó tất cả các tia âm khúc xạ f ( 0) = − D −1 ( χ m ) ln V ( χ m ) . (5.6.14) 181 182
  14. Ở đây f ′′( 0 ) là đạo hàm bậc hai theo χ1 . Sử dụng (5.6.4), ta tìm được ∂ ⎡ ln V ( χ h ) ⎤ ch sin χ1 f ' ( χ1 ) = f ' ( 0) = 0 , ⎢ ⎥ , ∂χ h ⎣ D( χ h ) ⎦ c1 sin χ h ⎧ ∂ ⎡ ln V ( χ h ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ ⎥ ctgχ h ⎬ . f " ( 0) = ⎨ (5.6.15) ⎢ ⎪ ∂χ h ⎣ D( χ h ) ⎦ ⎪χ ⎩ ⎭m Nếu thế (5.6.12-15) vào (5.6.3) và lấy cận trên bằng vô cùng, ta nhận được 2 = 2π 1 / 2 [ r 3 f " ( 0)]−1 / 2 ( D sin χ )−1 = 0 exp{ − r [ β + 2 f ( 0)] } . (5.6.16) p χ1 Định luật suy yếu một lần nữa lại trở thành r −3 / 2 , nhưng với một sự suy yếu bổ sung do hấp thụ ở đáy. Công thức (5.6.16) sẽ không đúng đối với r lớn, khi đó chỉ có một hay một số ít các thức còn giữ lại. Giá trị ước lượng của r = rm cực đại cho phép được thực hiện chỉ trong trường hợp lớp đồng nhất. Khoảng các giá trị có nghĩa của χ1 trong công thức ước lượng khoảng (5.6.3) có bậc là [r f ′′( 0 )] −1 / 2 . Tổng số các thức xấp xỉ bằng 2h / λ . Trong khoảng các giá trị có nghĩa sẽ có [r f ′′( 0 )] −1 / 2 ( 4 h / πλ ) thức. Đòi hỏi rằng số này phải lớn hơn nhiều so với đơn vị quyết định điều kiện ( 4h / πλ )2 rm
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học