Xem mẫu
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
PHÁÖN II :
DAO ÂÄÜNG VAÌ SOÏNG CÅ
32
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Ch−¬ng 1 :
C¸c dao ®éng Tö §iÒu hßa liªn kÕt
hiÖn t−îng lan truyÒn dao déng
§1. Dao ®éng tù do cña c¸c dao ®éng tö liªn kÕt :
1) Dao ®éng tù do cña hÖ mét bËc tù do :
a) Dao ®éng tö ®iÒu hoµ:
XÐt mét hÖ chØ cã mét bËc tù do. BiÕn thiªn cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng mét ®¹i l−îng vËt lý ψ
(ψ cã thÓ lµ dÞch chuyÓn, gãc lÖch, c−êng ®é, ®iÖn ¸p....). VÝ dô, mét con l¾c chuyÓn ®éng quay
xung quanh mét trôc n»m ngang, chuyÓn ®éng cña hÖ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gãc lÖch θ cña con l¾c
so víi vÞ trÝ c©n b»ng.
NÕu hÖ cã mét vÞ trÝ c©n b»ng bÒn øng víi ψ = ψ 0 vµ ë l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng ®ã, ph−¬ng tr×nh
biÕn thiªn cña ψ cã d¹ng:
dψ 2
= −ω 0 (ψ −ψ 0 )
2
(1)
2
dt
th× khi ®ã hÖ sÏ thùc hiÖn mét dao ®éng ®iÒu hßa, cã tÇn sè gãc ω 0 .
ψ (t ) = ψ 0 + ψ m cos(ω 0t + ϕ )
Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cã d¹ng:
HÖ nãi trªn ®−îc gäi lµ mét dao ®éng tö ®iÒu hoµ.
b) Dao ®éng tö c¬ häc cã phôc håi tuyÕn tÝnh :
XÐt mét vËt cã khèi l−îng M, g¾n vµo mét lß xo cã ®é cøng K (bá qua khèi l−îng cña lß xo),
tr−ît kh«ng ma s¸t däc theo mét thanh n»m ngang. VÞ trÝ c©n b»ng øng víi ®é dµi cña lß xo lµ a0,
®−îc chän lµm gèc cña trôc Ox. §Çu kia cña lß xo g¾n vµo mét ®iÓm cè ®Þnh (H×nh 1).
Gäi ψ (t ) lµ dÞch chuyÓn cña vËt so víi vÞ trÝ c©n b»ng.
dψ 2
= − Kψ
Trong hÖ quy chiÕu gi¶ thiÕt lµ GalilÐe, ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng lµ: M
dt 2
K
Dao ®éng cña vËt lµ dao déng ®iÒu hßa, cã tÇn sè gãc : ω 0 =
M
i
H×nh 1 L
a0
x
q
C
-q
H×nh 2
x
ψ
c) Dao ®éng tö ®iÖn häc:
H·y xÐt sù t−¬ng ®ång gi÷a mét con l¾c lß xo vµ mét m¹ch ®iÖn LC nèi tiÕp.
Cho m¹ch ®iÖn nh− h×nh vÏ, gåm tô ®iÖn cã ®iÖn dung C, cuén d©y cã hÖ sè tù c¶m L, q lµ ®iÖn
tÝch trªn hai b¶n tô ®iÖn (H×nh 2).
¸p dông ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng ®Ó viÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ sù biÕn thiªn cña q:
WC + WL = W = h»ng sè
33
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
1 q2
Trong ®ã: WC = : n¨ng l−îng ®iÖn tr−êng gi÷a hai b¶n tô ®iÖn.
2C
1
WL = Li 2 : n¨ng l−îng tõ tr−êng trong èng d©y.
2
1 q2 1 2 q di q
+ Li = const ⇒ q +L i = 0 ⇒ q +L q q = 0
Suy ra:
2C 2 C dt C
dq
i= =q
víi:
dt
1
q +Ω 0 q = 0 víi: Ω0 =
2
VËy:
LC
1
Nh− vËy, q biÕn thiªn ®iÒu hßa víi tÇn sè gãc: Ω0 =
LC
Chóng ta thÊy ®−îc sù t−¬ng ®ång cña hai hÖ : C¬ hÖ vµ m¹ch ®iÖn LC nèi tiÕp:
Khèi l−îng M vµ ®é cøng K cña c¬ hÖ ®−îc thay thÕ b»ng hÖ sè tù c¶m L vµ nghÞch ®¶o cña ®iÖn
1
K
dung C. TÇn så gãc trong dao ®éng c¬: ω 0 = t−¬ng tù nh− tÇn sè gãc: Ω0 = trong dao
M LC
®éng ®iÖn cña m¹ch LC.
2) Dao ®éng tù do cña hÖ cã 2 bËc tù do:
a) Sù liªn kÕt hai dao ®éng tö:
XÐt hÖ gåm hai vËt cã cïng khèi l−îng M, tr−ît kh«ng ma s¸t trªn thanh n»m ngang Ox. Mçi vËt
®−îc g¾n trªn mét lß xo cã ®é cøng K, chiÒu dµ khi c©n b»ng lµ a0. §Çu kia cña mçi lß xo ®−îc
g¾n cè ®Þnh víi gi¸ (H×nh 3). Khi ch−a cã lß xo gi÷a, hai vËt sÏ thùc hiÖn hai dao ®éng tù do ®éc
K
lËp nhau, víi cïng tÇn sè gãc ω 0 = . H×nh 4
M
H×nh 3 a0
b0
a0
Dao tö 1 Dao tö 2
K K
x
x
(1) (3) (2)
x
Liªn kÕt
K K
O x O F1 F2
x
f1
ψ1
f2 ψ 2
G¾n thªm vµo gi÷a hai vËt mét lß xo ®é cøng k, chiÒu dµi khi c©n b»ng lµ b0. Chän gèc O cña trôc
Ox n»m trªn gi¸ bªn tr¸i (H×nh 4).
Ký hiÖu ψ 1 vµ ψ 2 lµ dÞch chuyÓn cña vËt (1) vµ (2) so víi vÞ trÝ c©n b»ng cña chóng.
VËt (1) chÞu t¸c ®éng cña c¸c lùc:
F1 = − Kψ 1ex (Do lß xo (1) t¸c ®éng)
f1 = k [ψ 2 −ψ 1 ] ex
vµ: (Do lß xo (3) t¸c ®éng)
VËt (2) chÞu t¸c ®éng cña c¸c lùc:
34
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
F2 = − Kψ 2ex (Do lß xo (1) t¸c ®éng)
vµ: f 2 = − f1 (Do lß xo (3) t¸c ®éng)
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ hai vËt:
⎧ Mψ 1 = − Kψ 1 − k (ψ 1 − ψ 2 )
⎨ (2)
⎩ Mψ 2 = k (ψ 1 −ψ 2 ) − Kψ 2
Nh− vËy, lß lo gi÷a ®· liªn kÕt hai vËt : ChuyÓn ®éng cña hai vËt kh«ng cßn ®éc lËp víi nhau n÷a.
b) NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng:
Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: u = ψ 1 + ψ 2 vµ v = ψ 1 −ψ 2
u+v u−v
Suy ra: ψ 1 = vµ ψ 2 =
2 2
Thay vµo (2), ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trë thµnh:
⎧ Mu = − Ku
⎨ (3)
⎩ Mv = −( K + 2k ) v
§©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai thuÇn nhÊt, hÖ sè h»ng.
NghiÖm cña hÖ (3) cã d¹ng:
⎧u (t ) = um cos(ω1t + φ1 )
⎨
⎩v(t ) = vm cos(ω 2t + φ2 )
K + 2k
K
TÇn sè gãc ω1 vµ ω 2 b»ng : ω1 = ; ω2 =
H×nh 5
M M
ψ 2 = ψ1
Suy ra: ψ1
⎧ um vm
⎪ψ 1 = 2 cos(ω1t + φ1 ) + 2 cos(ω 2t + φ2 ) ( 5a)
⎪
⎨
⎪ψ = um cos(ω t + φ ) − vm cos(ω t + φ ) ψ 2 = −ψ 1
ψ1
⎪2 2 1 1 2 2
⎩ 2
Khi biÕt vÞ trÝ vµ vËn tèc ban ®Çu cña hai vËt:ψ 1 (0) ; ψ 2 (0) ; (5b)
dψ 1 dψ 2
(0) cã thÓ x¸c ®Þnh hoµn toµn ψ 1 (t ) vµ ψ 2 (t ) .
(0) ;
dt dt
c) TÇn sè gãc riªng vµ c¸c d¹ng dao ®éng riªng:
C¸c tÇn sè gãc ω1 vµ ω 2 ®−îc gäi lµ tÇn sè gãc riªng cña hÖ hai dao ®éng tö liªn kÕt.
u
Khi : v(t) = 0, tøc lµ khi: ψ 1 (t ) = ψ 2 (t ) = m cos(ω1t + φ1 ) ⇒ hÖ sÏ dao ®éng víi tÇn sè gãc
2
ω1 . Khi ®ã, ta nhËn ®−îc d¹ng dao ®éng riªng øng víi tÇn sè gãc ω1 . DÞch chuyÓn cña hai vËt
nh− nhau. §©y lµ d¹ng dao ®éng riªng ®èi xøng (H×nh 5a).
Khi: u(t) = 0, tøc lµ khi: ψ 1 (t ) = −ψ 2 (t ) hÖ sÏ dao ®éng víi tÇn sè gãc ω 2 . Khi ®ã, ta nhËn
®−îc d¹ng dao ®éng riªng øng víi tÇn sè gãc ω 2 . §©y lµ d¹ng dao ®éng riªng ph¶n ®èi xøng
(H×nh 5b).
§Ó quan s¸t ®−îc mét trong hai d¹ng dao ®éng riªng, vÝ dô d¹ng dao ®éng riªng ®èi xøng,
dv
(0) = 0 , tøc
cÇn cã v(t) = 0. §iÒu nµy cã ®−îc nhê c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cã d¹ng: v(0) = 0 ;
dt
lµ t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu hÖ ®−îc kÝch thÝch ë d¹ng dao ®éng riªng ®èi xøng.
35
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Ghi chó:
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh (2) cña chuyÓn ®éng lµ mét tæ hîp tuyÕn
tÝnh cña hai d¹ng dao ®éng riªng:
⎡ψ 1 ⎤ um ⎡1⎤ vm ⎡1 ⎤
⎢ψ ⎥ = 2 ⎢1⎥ cos(ω1t +φ1 ) + 2 ⎢ −1⎥ cos(ω 2t +φ2 )
⎣⎦ ⎣⎦
⎣ 2⎦
3) Dao ®éng tù do cña N dao ®éng tö liªn kÕt (Dao ®éng tù do cña hÖ N bËc tù do):
XÐt tr−êng hîp tæng qu¸t: HÖ gåm N dao ®éng tö liªn kÕt gièng hÖt nhau. Khi ®ã sÏ xuÊt hiÖn
N d¹ng dao ®éng riªng cã tÇn sè gãc kh¸c nhau. ChuyÓn ®éng quan s¸t ®−îc lµ sù chång chÊt cña
N d¹ng dao ®éng cña chuçi c¸c dao ®éng tö (H×nh 6).
a 2a 3a Na x
O
ψn
ψ3
ψ1 ψ2
H×nh 6: N dao ®éng tö liªn kÕt
BiÓu diÔn c¸c dao ®éng riªng trªn ®å thÞ :
Trªn trôc hoµnh Ox, biÓu diÔn vÞ trÝ c©n b»ng x0n = na cña khèi l−îng thø n.
Trªn trôc tung Oy, biÓu diÔn dÞch chuyÓn ψ n (mÆc dï dÞch chuyÓn nµy n»m theo trôc Ox).
2K
• Víi N = 1 (H×nh7a), mét vËt duy nhÊt thùc hiÖn dao ®éng ®iÒu hßa víi tÇn sè gãc : ω1 =
M
(cã thõa sè 2 v× cã hai lß xo g¾n vµo vËt)
• Víi N = 2 (H×nh 7b), vµ víi ba lß xo cïng ®é cøng K, tÇn sè gãc cña hai d¹ng dao ®éng riªng
lµ:
3K
K
ω1 = vµ ω 2 =
M M
D¹ng dao ®éng riªng thø nhÊt vµ thø hai lÇn l−ît t−¬ng øng víi d¹ng dao ®éng ®èi xøng vµ d¹ng
ph¶n ®èi xøng cña hÖ hai vËt.
• T−¬ng tù cho tr−êng hîp N = 3, N = 4... vµ N bÊt kú (H×nh 8).
Hçnh 7a :
Hçnh 7b:
36
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Hçnh 8:
§2. Dao ®éng c−ìng bøc cña c¸c dao ®éng tö liªn kÕt:
1) Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ mét bËc tù do:
a) HiÖn t−îng céng h−ëng víi dao ®éng tö lý t−ëng (kh«ng cã lùc c¶n):
Dao ®éng tö mét bËc tù do (H×nh 9) ®−îc kÝch thÝch bëi mét c¬ cÊu tay quay- con tr−ît, t¹o
nªn mét dÞch chuyÓn cã d¹ng ξ (t ) cña mét ®Çu lß xo. Gäi a vµ K lÇn l−ît lµ chiÒu dµi øng víi vÞ
trÝ c©n b»ng vµ ®é cøng cña mçi lß xo.
Lùc t¸c dông lªn vËt bao gåm:
Lùc tõ lß xo (1): F1 = − K (ψ − ξ )ex ; Lùc t¸c dông tõ lß xo (2): F2 = − Kψ ex
H×nh 10:
(Trªn h×nh vÏ gi¶ sö ψ > ξ
x
(1) (2)
x
ξ (t )
ψ (t )
F (2) x
F (1)
Hçnh 9:
37
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
¸p dông ®Þnh lý vÒ ®éng l−îng vµ chiÕu lªn trôc Ox ⇒ Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt :
Mψ = − K (ψ − ξ ) − Kψ
Mψ + 2 Kψ = K ξ
Hay:
Trong ®ã : F (t ) = K ξ (t ) lµ lùc t¸c dông bæ sung lªn vËt do dÞch chuyÓn cña ®Çu lß xo bªn tr¸i,
g¾n víi c¬ cÊu tay quay-con tr−ît. F(t) ®−îc gäi lµ lùc kÝch thÝch.
V× vËy, ph−¬ng tr×nh cña chuyÓn ®éng trë thµnh:
2K
F (t )
víi: ω 0 =
ψ + ω 0 .ψ =
2
(4)
M
M
ω 0 chÝnh lµ tÇn sè gãc riªng (tÇn sè gãc cña dao ®éng tù do) cña hÖ.
Ph−¬ng tr×nh (4) lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai kh«ng thuÇn nhÊt (cã vÕ
ph¶i) cã hÖ sè h»ng. NghiÖm tæng qu¸t cña (4) lµ tæng cña nghiÖm tæng qu¸t ψ 0 (t ) cña ph−¬ng
tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt (kh«ng cã vÕ ph¶i) vµ mét nghiÖm riªng ψ 1 (t ) cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n
cã vÕ ph¶i:
ψ (t ) = ψ 0 (t ) + ψ 1 (t )
Thµnh phÇn ψ 0 (t ) biÓu diÔn dao déng tù do (kh«ng cã lùc c¶n) cña hÖ.
Thµnh phÇn ψ 1 (t ) biÓu diÔn dao déng c−ìng bøc cña hÖ.
Trªn thùc tÕ, do cã lùc c¶n (vÝ dô ma s¸t gi÷a vËt vµ thanh ngang), thµnh phÇn ψ 0 (t ) t¾t dÇn. Cuèi
cïng, sau mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh chØ cßn l¹i thµnh phÇn ψ 1 (t ) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng
bøc cña hÖ.
Khi ®ã : ψ (t ) = ψ 1 (t ) vµ dao ®éng cña vËt ®¹t ®−îc chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh.
XÐt chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh (kh«ng cã lùc c¶n).
Khi ®ã F(t) cã d¹ng h×nh sin theo thêi gian: F (t ) = F0 cos ω t
F cos ω t
Ph−¬ng tr×nh ( 4) trë thµnh: ψ + ω 0 .ψ = 0
2
(5)
M
NghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh (5) biÓu diÔn dao ®éng
c−ìng bøc cã d¹ng:
ψ 1 (t ) = A(ω ) cos(ω t + ϕ )
TÝnh ψ 1 (t ) vµ ψ 1 (t ) , thay vµo (5), suy ra : ϕ = 0 vµ biªn
®é A(ω ) cña dao ®éng c−ìng bøc :
F0
1
F
víi: ω ≠ ω0
A(ω ) = 0 2 2K
M ω0 − ω 2
ω0
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi A cña biªn ®é A phô thuéc vµo tÇn sè
gãc ω cña lùc kÝch thÝch. Khi ω = ω0 (tÇn sè gãc ω cña
lùc kÝch thÝch b»ng tÇn sè gãc riªng ω 0 cña hÖ), th× A → ∞ , hiÖn t−îng céng h−ëng sÏ x¶y ra
(H×nh 11).
Hçnh 11
b) Giíi h¹n cña biªn ®é khi céng h−ëng:
Trªn thùc tÕ, biªn ®é khi céng h−ëng kh«ng tiÕn ®Õn v« cïng mµ bÞ giíi néi, bëi v× :
• Trªn thùc tÕ tån t¹i c¸c lùc c¶n kh«ng thÓ bá qua ®−îc, ch¼ng h¹n lùc ma s¸t nhít, lùc ma s¸t
kh«.
• M« h×nh trªn ®©y lµ m« h×nh tuyÕn tÝnh, tøc lµ ®é cøng K cña lß xo xem nh− b»ng h»ng. Trªn
thùc tÕ, K kh«ng ph¶i lµ h»ng sè mµ phô thuéc vµo dÞch chuyÓn (biÕn d¹ng) cña lß xo.
c) Dao ®éng c−ìng bøc cã lùc c¶n nhít cña dao ®éng tö mét bËc tù do:
38
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
XÐt dao ®éng tö mét bËc tù do, ®−îc kÝch thÝch bëi mét c¬ cÊu tay quay con tr−ît, t¹o nªn mét
dÞch chuyÓn cã d¹ng: ξ (t ) cña mét ®Çu lß xo. Gi¶ sö lùc ma s¸t nhít (lùc c¶n nhít) t¸c ®éng lªn
vËt cã d¹ng: FC = − hψ , trong ®ã h lµ hÖ sè c¶n cña m«i tr−êng (H×nh 12a).
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cã d¹ng :
Mψ = − K (ψ − ξ ) − hψ (K)
M
F (t ) x
ψ + 2αψ + ω 0ψ =
⇒ 2
(1)
M
K h
víi: ω 0 = ; 2α = ; F (t ) = K ξ (t )
ξ (t )
M M
ψ (t )
ω
h
= 2α = 0
NÕu ®−a vµo hÖ sè Q víi: H×nh 12a
M Q
Q ®−îc gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt cña dao ®éng tö (khi Q cµng
A
lín th× hÖ sè c¶n h cµng nhá, nghÜa lµ lùc c¶n nhít cña m«i
tr−êng cµng bÐ).
Ph−ong tr×nh dao ®éng trë thµnh:
ω F (t )
ψ + 0 ψ + ω 0ψ = 2
(2)
1
Q M
Q>
2
Chóng ta chØ nghiªn cøu chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn
F0
®Þnh. Trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin F (t ) = F0 cos ω t ,
M ω0 2
nghiÖm riªng ψ (t ) cña ph−¬ng tr×nh (2), biÓu diÔn dao
®éng c−ìng bøc cã d¹ng :
ψ (t ) = A(ω ) cos(ω t + ϕ ) ω0 ω0
,
1
D−íi d¹ng phøc, ta cã :
Q<
H×nh 12b
F (t ) = F0 e ; ψ (t ) = A(ω )e ; A(ω ) = A(ω )e
iω t iϕ
iω t
2
ψ (t ) = iω A(ω )e iω t
⇒ vµ
ψ (t ) = ( iω ) A(ω ).eiω t = −ω 2 A(ω ).eiω t hay: ψ (t ) = −ω 2 .ψ (t )
2
Thay ψ (t ) vµ ψ (t ) vµo (2), suy ®−îc ph−¬ng tr×nh theo ψ (t ) :
ωω 0 ⎞
⎛2 F0 iω t
⎜ ω0 − ω + i ⎟ψ (t ) =
2
e
⎝ Q⎠ M
eiωt
F
ψ (t ) = 0
⇒
M ω 2 − ω 2 + i ωω 0
(0 ) Q
1
F
A(ω ) = 0
⇒
M ω 2 − ω 2 + i ωω 0
(0 ) Q
Biªn ®é dao ®éng cña dÞch chuyÓn ψ (t ) chÝnh lµ mo®un A(ω ) cña A(ω ) vµ cã d¹ng:
1
F0
A(ω ) =
2
M ⎛ω ω ⎞
(ω − ω ) + ⎜ 0 ⎟
2 22
0
⎝Q⎠
Nghiªn cøu sù biÕn thiªn cña biªn ®é dao ®éng A(ω ) theo ω :
39
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
⎡ ⎛ ω0 ⎞ ⎤
2
⎢ 2 (ω0 − ω ) − ⎜ ⎟ ⎥ .ω
2 2
⎝Q⎠ ⎥
dA(ω ) F0 ⎢⎣ ⎦
=
Ta cã:
dω 2 3/ 2
M⎡ ⎛ω ω ⎞ ⎤
⎢(ω0 − ω 2 ) 2 + ⎜ 0 ⎟ ⎥
2
⎝ Q ⎠⎥
⎢
⎣ ⎦
dA(ω ) 2⎡ 1⎤
1 1
= 0 ⇔ ω 2 = ω 0 ⎢1 − ⇔ ω = ω0 = ω0 1 −
• Víi ®iÒu kiÖn Q > ,
2⎥
th×
dω 2Q 2
⎣ 2Q ⎦
2
B¶ng biÕn thiªn :
1
ω0 = ω0 1 −
,
∞
ω 2Q 2
0
A(ω ) Amax
F0 0
M ω02
1
§å thÞ biÓu diÔn A(ω ) theo ω cho trªn h×nh 12b. Ta thÊy, khi hÖ sè phÈm chÊt ®ñ lín: Q > ,
2
1
biªn ®é A(ω ) sÏ cùc ®¹i (nh−ng kh«ng tiÕn ®Õn v« cïng) khi : ω = ω 0 = ω 0 1 − ≠ ω0 .
'
2Q 2
1
, ®å thÞ biÕn thiªn cña A theo ω cho trªn h×nh 12b : kh«ng thÊy xuÊt
• Trong tr−êng hîp Q <
2
hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng.
2) Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ nhiÒu bËc tù do:
a) HÖ hai bËc tù do:
Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng cã lùc c¶n cña hÖ hai bËc tù do :
XÐt hai dao ®éng tö liªn kÕt, gièng nhau, liªn kÕt nhau
b»ng ba lß xo gièng nhau, cïng ®é cøng K (H×nh 13). H×nh 13:
Gi¶ sö bá qua mäi ma s¸t t¸c dông lªn hai vËt.
§Çu lß xo bªn tr¸i thùc hiÖn mét dao ®éng : K K
K
x
ξ (t ) = ξ 0 cos ω t
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hai vËt nµy :
ψ1 ψ2
⎧ ξ (t )
F0
⎪ψ 1 + 2ω 0ψ 1 − ω 0ψ 2 = cos ω t
2 2
⎨
(1) M
⎪ψ + 2ω 2ψ − ω 2ψ = 0
⎩2 02 01
K
víi: ω 0 = vµ F0 = K .ξ 0
M
u+v u −v
Sö dông phÐp ®æi biÕn sè : u = ψ 1 + ψ 2 vµ v = ψ 1 − ψ 2 , hay ψ 1 = vµ ψ 2 = , suy ®−îc:
2 2
⎧ F0
⎪u + ω1 u = M cos ω t
2
⎪
⎨
(2)
⎪ v+ω2 v = F0 cos ω t
⎪ 2
⎩ M
Trong ®ã : ω1 = ω 0 vµ ω 2 = ω 0 3 lµ c¸c tÇn sè gãc riªng cña hÖ hai dao ®éng tö liªn kÕt.
40
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
ChØ xÐt chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh. Khi ®ã u(t) vµ v(t) chÝnh lµ nghiÖm riªng cña hÖ
ph−¬ng tr×nh vi ph©n (2) cÊp hai, cã vÕ ph¶i, hÖ sè h»ng vµ cã d¹ng:
u (t ) = U (ω ) cos ω t ; v (t ) = V (ω ) cos ω t
T−¬ng tù nh− §2.1.a, suy ®−îc:
F⎡ 1 ⎤ F⎡ 1 ⎤
U= 0⎢ 2 V= 0⎢ 2
2⎥ ⎥
vµ:
M ⎣ ω1 − ω ⎦ M ⎣ω2 − ω 2 ⎦
Do ®ã, dÞch chuyÓn ψ 1 (t ) vµ ψ 2 (t ) sÏ cã d¹ng:
⎧ψ 1 (t ) = A1 (ω ) cos(ω t )
⎨
⎩ψ 2 (t ) = A2 (ω ) cos(ω t )
F⎡ 1 1⎤ F⎡ 1 1⎤
víi: A1 (ω ) = 0 ⎢ 2 vµ: A2 (ω ) = 0 ⎢ 2
+2 −2
2⎥ ⎥
2M ⎣ ω1 − ω ω 2 − ω ⎦ 2M ⎣ ω1 − ω ω 2 − ω 2 ⎦
2 2
§å thÞ cña A1 (ω ) vµ A2 (ω ) theo ω cho trªn h×nh 14a vµ 14b, víi :
F0 ⎡ 1 1⎤ F0 ⎡ 1 1⎤
ξ1 =
⎢ 2 + 2 ⎥ vµ ξ 2 = ⎢ 2 − 2⎥
2M ⎣ ω1 ω 2 ⎦ 2M ⎣ ω1 ω 2 ⎦
Nh− vËy sÏ xuÊt hiÖn hai tr−êng hîp céng h−ëng ®èi víi hÖ hai bËc tù do, øng víi khi tÇn sè kÝch
thÝch ω trïng víi tÇn sè gãc riªng ω1 hoÆc víi tÇn sè gãc riªng ω 2 .
Trong tr−êng hîp dao ®éng thùc (cã lùc c¶n), biªn ®é dao ®éng còng bÞ giíi néi, t−¬ng tù
nh− khi nghiªn cøu dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do (H×nh 15).
H×nh 14
H×nh 15
b) Tr−êng hîp chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt (HÖ N bËc tù do):
XÐt mét chuçi gåm N dao ®éng tö liªn kÕt, gièng nhau.
Khi tËp hîp cña N dao ®éng tö liªn kÕt (cã hÖ sè phÈm chÊt Q t−¬ng ®èi lín) chÞu mét kÝch thÝch
h×nh sin, cã tÇn sè gãc ω . Biªn ®é dao ®éng sÏ lín khi tÇn sè kÝch thÝch xÊp xØ mét trong c¸c tÇn
sè riªng cña hÖ.
§3. HiÖn t−îng lan truyÒn dao ®éng :
41
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
1) Lan truyÒn dao ®éng trong chuçi c¸c dao ®éng tö:
a 2a 3a Na x
O
ψN
ψ3
ψ1 ψ2
H×nh 16: N dao ®éng tö liªn kÕt
XÐt mét chuçi c¸c dao ®éng tö gièng nhau gåm N dao ®éng tö liªn kÕt (H×nh 16).
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt thø (n) lµ :
Mψ n = Kψ n −1 − 2 Kψ n + Kψ n +1
ψ n : dÞch chuyÓn cña vËt thø (n) so víi vÞ trÝ c©n b»ng cña nã x¸c ®Þnh bëi chØ sè n.
T−ëng t−îng r»ng vËt (1) dÞch chuyÓn vÒ phÝa tr−íc mét chót. Th«ng qua lß xo, vËt (1) sÏ ®Èy vËt
(2) chuyÓn ®éng, vËt (2) chuyÓn ®éng l¹i ®Èy vËt (3) chuyÓn ®éng... DÞch chuyÓn cña c¸c vËt sÏ
lan truyÒn däc theo chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt.
Nh− vËy:
Trong chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt, dÞch chuyÓn cña mét vËt sinh ra mét lùc t¸c dông lªn c¸c
vËt l©n cËn, lµm chóng chuyÓn ®éng. C¸c dÞch chuyÓn cña chóng sinh ra nh÷ng lùc míi lµm xuÊt
hiÖn c¸c dÞch chuyÓn míi.
BiÕn d¹ng cña c¸c liªn kÕt gi÷a c¸c vËt l©n cËn sÏ lan truyÒn tõ gÇn ra xa bªn trong chuçi.
§¹i l−îng lan truyÒn ®i (ë ®©y lµ dÞch chuyÓn cña c¸c vËt trong chuçi) sÏ t¹o nªn mét sãng.
Sù tån t¹i hai ®¹i l−îng (dÞch chuyÓn vµ lùc), ®¹i l−îng nµy t¹o ra ®¹i l−îng kia vµ ng−îc l¹i (gäi
lµ hai ®¹i l−îng liªn kÕt) lµ c¬ së cña c¸c hiÖn t−îng truyÒn sãng.
2) Sãng trong chuçi c¸c dao ®éng tö :
a) Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng:
Sù lan truyÒn cña sãng ®−îc m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng.
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña dao ®éng tö thø (n) cã d¹ng:
M .ψ n = Kψ n −1 − 2 Kψ n + Kψ n +1
cã thÓ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sãng biÕn d¹ng cña chuçi dao ®éng tö so víi vÞ trÝ c©n
b»ng.
b) NghiÖm d¹ng h×nh sin cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng:
Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng biÕn d¹ng cña chuçi dao ®éng tö:
K
ψ n = ω 0 (ψ n −1 − 2.ψ n + ψ n +1 ) víi: ω 0 =
2
(1)
M
lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh.
Chuçi nãi trªn gåm nhiÒu dao tö ®éng liªn kÕt, do ®ã t−¬ng tù nh− chuçi hai dao ®éng tö liªn kÕt,
h·y xem thö cã tån t¹i c¸c nghiÖm h×nh sin, tÇn sè gãc ω biÓu diÔn dao ®éng tù do cña hÖ hay
kh«ng?.
Chóng ta t×m nghiÖm d−íi d¹ng phøc : ψ n (t ) = A exp [i (ωt − kxn )] víi A = A exp(iϕ0 ) , víi A
lµ sè thùc d−¬ng, cßn ϕ0 lµ mét sè thùc nµo ®ã, ω lµ mét sè thùc d−¬ng.
TÝnh ψ n (t ) vµ ψ n (t ) : ψ n (t ) = iω A exp [i(ωt − kxn )] ; ψ n (t ) = −ω 2 A exp [i(ωt − kxn )]
Thay vµo (1), ®ång thêi l−u ý r»ng xn = n.a , suy ®−îc :
−ω 2 exp i (−kna) = ω0 [ exp i (−kna + ka) − 2. exp i (−kna) + exp i (−kna − ka)]
2
42
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
−ω 2 = ω0 [ exp(ika) − 2 + exp(−ika)]
⇒ 2
−ω 2 = ω0 [ cos(ka) + i sin(ka) − 2 + cos(ka) − i sin(ka)]
⇒ 2
⎛ ka ⎞
ω 2 = 2ω02 [1 − cos(ka)] ω 2 = 4ω02 . sin 2 ⎜
⇒ ⇒ ⎟
⎝2⎠
⎛ ka ⎞
ω = 2ω0 . sin ⎜
⇒ ⎟
⎝2⎠
⎛ ka ⎞
Do 0 ≤ sin ⎜ ⎟ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ω ≤ 2ω0
⎝2⎠
⇒ C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn : 0 ≤ ω ≤ 2ω0
Nh− vËy, c¸c sãng h×nh sin lan truyÒn däc theo chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt cã d¹ng :
ψ n (t ) = Aei (ωt −nka +ϕ0 )
Dao ®éng cña c¸c vËt ®−îc viÕt d−íi d¹ng thùc nh− sau:
ψ n (t ) = A cos(ωt − nka + ϕ0 )
⎛ ka ⎞
⎛ ka ⎞ K
Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng cho ta hÖ thøc ω = 2ω0 . sin ⎜ ⎟ hay : ω = 2 sin ⎜ ⎟ víi: ω
⎝2⎠
⎝2⎠ M
chÝnh lµ tÇn sè gãc riªng (tÇn sè gãc cña dao ®éng tù do) cña vËt thø (n).
HÖ thøc trªn ®©y cho ta mèi quan hÖ gi÷a tÇn sè gãc riªng ω vµ k vµ ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹.
c) Sãng ch¹y ®¬n s¾c :
XÐt mét sãng cã hµm sãng m« t¶ bëi biÓu thøc : ψ ( x, t ) = A cos(ωt − kx + ϕ0 )
DÞch chuyÓn ψn(t) cña vËt nÆng thø (n) øng víi gi¸ trÞ cña hµm sãng ψ(x,t) t¹i vÞ trÝ c©n b»ng
ψ n (t ) = ψ ( x, t )( x=na )
x = na cña vËt nµy :
• Sãng ®¬n s¾c:
Sãng mµ hµm sãng cã d¹ng h×nh sin : ψ ( x, t ) = A cos(ωt − kx + ϕ0 ) ®−îc gäi lµ sãng ®¬n s¾c.
• Sãng ch¹y :
Ta cã : ψ ( x + ∆x, t + ∆t ) = A cos (ωt + ω∆t − kx − k∆x + ϕ0 )
⇒ Hµm sãng ψ ( x, t ) nhËn cïng mét gi¸ trÞ t¹i
(x,t) vµ t¹i (x + x, t + t), tøc lµ:
ψ ( x, t ) = ψ ( x + ∆x, t + ∆t ) nÕu nh− k .∆x = ω∆t
⇒ Cã thÓ nãi r»ng sãng ®¬n s¾c nãi trªn (®Æc
tr−ng b»ng pha cña nã) dÞch chuyÓn víi vËn tèc :
ω
vϕ =
k
vϕ ®−îc gäi lµ vËn tèc pha cña sãng.
Sãng ψ ( x, t ) ch¹y däc theo trôc (Ox) cña chuçi
dao ®éng tö víi vËn tèc vϕ lµ mét sãng ch¹y. H×nh 17
Ghi chó: CÇn ph©n biÖt hai kh¸i niÖm:
dψ n (t ) ∂
= [ψ ( x, t ]x =na
VËn tèc dÞch chuyÓn cña vËt nÆng:
∂t
dt
ω
VËn tèc pha: vϕ = (vËn tèc lan truyÒn cña pha)
k
43
- Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
d) B−íc sãng - VÐct¬ sãng:
§¹i l−îng k cã thÓ du¬ng hay sè ©m. Hai sãng ψ + ( x, t ) = A+ ei (ωt −|k |x ) vµ ψ − ( x, t ) = A−ei (ωt +|k|x ) cã
cïng tÇn sè. Hai sãng ch¹y nµy lan truyÒn däc theo chuçi c¸c dao ®éng tö, nh−ng theo hai h−íng
ng−îc nhau.
Víi sãng ch¹y ®¬n s¾c: ψ ( x, t ) = Aei (ωt −kx ) , ta ®−a ra vect¬ : k = kex gäi lµ vect¬ sãng cho biÕt
ph−¬ng chiÒu lan truyÒn cña sãng. k cã thÓ d−¬ng hoÆc ©m. NÕu k > 0 : sãng ch¹y theo ph−¬ng
chiÒu cña trôc Ox. NÕu k < 0 : sãng ch¹y theo ph−¬ng chiÒu ng−îc víi chiÒu cña trôc Ox.
TÇn sè gãc ω vµ vect¬ sãng k liªn hÖ nhau b»ng hÖ
⎛ ka ⎞
thøc t¸n x¹ : ω (k ) = 2ω0 sin ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
§å thÞ cña ω ( k ) nh− trªn h×nh 18, chØ ®−îc vÏ trong
2π
π π
vïng : − < k < , bëi v× c¸c gi¸ trÞ k vµ k + øng
a
a a
víi cïng mét nghiÖm vËt lý ψ ( x, t ) .
Mét sãng ch¹y ®¬n s¾c cã tÝnh chÊt tuÇn hoµn theo
c¶ thêi gian vµ kh«ng gian vµ cã hai chu kú :
2π
Chu kú theo thêi gian : T = ; Chu kú theo kh«ng H×nh 18
ω
2π
gian: λ = gäi lµ b−íc sãng.
k
Chóng ta thÊy r»ng, sãng biÕn d¹ng truyÒn trong chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö liªn kÕt lµ sù
chång chÊt cña nhiÒu sãng ch¹y ®¬n s¾c.
e) PhÐp gÇn ®óng cho c¸c m«i tr−êng liªn tôc:
@ Chuçi c¸c nguyªn tö liªn kÕt ®µn håi b»ng c¸c lß xo lµ mét sù m« ho¸ ®¬n gi¶n ®Ó m« t¶ sù lan
truyÒn c¸c dao ®éng nhá trong vËt r¾n (sù lan truyÒn cña sãng ©m trong vËt r¾n).
ThËt vËy, vËt r¾n cã thÓ xem nh− gåm mét chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö liªn kÕt : C¸c vËt dao
®éng cã cïng khèi l−îng M, liªn kÕt víi nhau b»ng c¸c lß xo gièng nhau, cã cïng ®é cøng K
kh«ng ®æi. Nguyªn tö trong vËt r¾n cã thÓ xem nh− lµ vËt dao ®éng. Lùc t−¬ng t¸c cã xu h−íng
®−a nguyªn tö trë vÒ vÞ trÝ c©n b»ng cã thÓ xem nh− lµ c¸c lß xo cã ®é cøng kh«ng ®æi. Khi mét
nguyªn tö bÞ kÝch thÝch dao ®éng, dao ®éng cña nã sÏ lµm c¸c nguyªn tö l©n cËn dao ®éng theo,
dÉn ®Õn sù lan truyÒn cña dao ®éng bªn trong vËt r¾n, nghÜa lµ sù lan truyÒn cña sãng ©m trong
vËt r¾n.
Trong vËt r¾n, c¸c nguyªn tö c¸ch nhau kho¶ng vµi m−¬i nanomÐt, vµ b−íc sãng λ cña c¸c
sãng ©m lan truyÒn trong vËt r¾n rÊt lín so víi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nguyªn tö : a
nguon tai.lieu . vn
