Chuyên đề về Phương trình lượng giác

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Chuyên đề phương trình lượng giác Phần 1. Ôn tập công thức lượng giác A. Lý Thuyết I. Các công thức cơ bản a) sin2 x+cos2 x =1 d) 1+ tan2 x = cos2 x b) tanx = sin x e) 1+cot2 x = sin2 x c) cot x = cos x f) tanx.cot x =1 II. Giá trị lượng giác cung liên quan đặc biệt 1) Hai cung đối nhau 2) Hai cung bù nhau cos(−x) = cos x sin(π − x) = sin x 3) Hai cung khác nhau 2π sin(x + 2π) = sin x sin(−x) = −sin x tan(−x) = −tanx cot(−x) = −cot x cos(π − x) = −cos x tan( − x) = −tanx cot( − x) = −cot x cos(x + 2π) = cos x tan(x + 2π) = tanx cot(x + 2π) = cot x 4) Hai cung khác nhau π sin(π + x) = −sin x cos(π + x) = −cos x tan( + x) = tanx cot( + x) = cot x III. Công thức cộng 5) Hai cung phụ nhau sinπ − x = cos x; cosπ − x = sin x tan 2 − x = cot x; cot 2 − x = tanx 1)sin(ab) =sinacosbsinbcosa 2)cos(ab) =cosacosbsinasinb IV. Công thức nhân đôi. 3)tan(ab) =1tanatanb 1)sin2x = 2sinxcosx 3)tan2x = 2tanx 1− tan x 2)cos2x = cos2 x − sin2 x =1− 2sin2 x = 2cos2 x −1 V.Công thức nhân ba 1)sin3x = 3sinx− 4sin3 x 2)cos3x = 4cos3 x − 3cosx. VI. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t = tan x 2 1+ cos2x = 2cos2 x 1− cos2x = 2sin2 x sin x = 2t 1+ t cosx = 1− t2 1+ t tanx = 2t 1− t VI. Công thức biến đổi tổng và tích 1. Công thức biến đổi tích thành tổng Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 1 Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM sinacosb = 1 sin(a+b)+sin(a−b) cosacosb = 1 cos(a+b)+cos(a−b) sinasinb = 1 cos(a−b)−cos(a+b) 2. Công thức biến đổi tổng thành tích sina+sinb = 2sin a+b.cos a−b sina−sinb = 2cos a+b.sin a−b cosa+cosb = 2cos a+b.cos a−b cosa−cosb = −2sin a+b.sin a−b VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. 1)tana + tan b = sin(a + b) cosacosb 2)tana − tan b = sin(a − b) cosacosb 3)cota + cot b = sin(a + b) sinasin b B. Bài tập Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 4)cota − cotb = − sin(a − b) sinasinb 5) sin4 x + cos4x =1− 2sin2 x.cos2x 6) sin6 x + cos6x =1− 3sin2 x.cos2x a) cos4 x sin4 x b) cos4 x sin4 x cos2x . 1 1sin2 2x . sinx cosx cosx sinx e) 4sinx cos3 x cosx cosx cosx sinx 4sin3 x cosx 2tan2x . sin4x . c) sin6 x cos6 x 1 3sin2 x.cos2 x . f) 4sinx cos5 x 4sin5 x cosx sin4x . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: sin5x sin3x sin4x cos5x cos3x cos4x tan4x . b) cosx sinx 2 1 sin2x . c) 1 sin2x sinx cosx 2 . d) cotx tanx 2cot2x. Bài 3. Cho sinx 3,x 0; 2 . Tính giá trị của biểu thức P cos x cos2x . Bài 4. Cho x 2; và tan x 4 1 Tính giá trị của biểu thức A cos x 2 sinx . Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2 Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Bài 5. Cho tanx 2 Tính giá trị của biểu thức sau: a) A 2sinx cosx cosx sinx c) C 2sin3 x sin2 x cosx cos3 x 3cosx 2sinx cos2 x b) B 2sin2 x sinx cosx 3cos2 x 2sinx cosx d) D 2sinx sin2 x cosx cosx 3cosx 2sinx cos2 x Bài 6. Cho tanx 1,x 0; 2 . Tính giá trị của biểu thức P 2sinx 3cosx 1 . sin 2 2cos 2 5 Bài 7. Cho sinx 2,x 2; . Tính giá trị của biểu thức P cos x 2 3 . Bài 8. Cho sinx 1,x 2; . Tính giá trị của biểu thức P sin2x cos2x . .......................................................................................................................... Phần 2. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình: sinx =sin  x =  + k2π ,k ∈ Z x = π −  + k2π 2. Phương trình: cosx =cos  x =  + k2π ,k ∈ Z x = − + k2π 3. Phương trình: tanx = tan   + kπ,k ∈Z 4. Phương trình: cot x = cot   + kπ,k ∈Z B. Bài tập rèn luyện Bài 9. Giải các phương trình sau: a) sin3x − π  = 3 2 b) sin(3x - 2) = 1,5 c) 2cos2x − π  =1 d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tanπ f) cot(45o - x) = 3 3 g) sin3x - cos2x = 0 j) cos x = −cos(2x −30o ) m) sinx−12 =1 p) cos(π −5x) = −1 h) sinx + 2π  = cos3x k) cos2x = cosx n) sin12x+ 6  = 2 q) tan(3π −6x) =1 i) sin3x − 5π +cos3x + π  = 0 l) sinπ + x = sin2x − π  o) cos6x+ 2  = 2 r) tan(x−6π)= 3 s) tanπ −2x = 1 3 t) cot5π +12x = 3 u) cot12π −5x = 3 3 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3 Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM v) sin 12π −3x)= 2 2 w) cos(2x−a)=sin3x x) sin(3x−b) =cos5x y) tan 4 − x = cot 6 + x z) cot(3π − x)= tan 12 +7x Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : a) sin2x 1 với 0 x . b) cot3x 1 với 3 2 x 0. c) sin x 2 1 với 0 x 2 . d) 2cos x 3 1 0 với 2 x . Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2sin2 x 1 c) sinx 1 2cosx 1 0 b) 2cos2x 3 2cosx 1 0 d) tanx 1 tanx 3 0 e) cotx 1 tanx 3 0 f) cos5x 2sin2 x 1 Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sinx sin3x cosx 0 c) sin3x.sin2x sin4xsinx b) sin5x sinx 2cos2 x 1 d) 2cos4 x 1 2sin4 x e) cos2x sinx cosx f) sinx 2cos2 2x 1 Bài 13. Giải các phương trình sau : a) 4sinxcosxcos2x 1 c) sin3x.sin2x sin4x cos2xcos3x b) sin5x cosx sinx cos5x 2cos2 x 1 d) 1 cos2x sinx cos2 x e) 4cos2xsinxcosx sin8x f) sin4 x cos4 x 5 8 Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 4sin3 x cos2x 3sinx c) sin2x 3cosx 4cos3 x b) 2sin2xcosx sin3x 1 d) 2sin3xsinx 1 cos4x II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1:asin2 x bsinx c Dạng 2:acos2 x bcosx c 0( ), đặt: t sinx,t 0( ), đặt: t cosx,t 1. Pt( ) trở thành: at2 bt c 0. 1. Pt( ) trở thành: at2 bt c 0. Dạng 3:atan2 x btanx c 0( ), đặt: t tanx . Pt( ) trở thành: at2 bt c 0. Dạng 4:acot2 x bcotx c 0( ), đặt: t cotx . Pt( ) trở thành: at2 bt c 0. Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) sin2 x+cos2 x =1 cos2x 2) cos2x cos2x sin2 x 3) cos4 x sin4 x 1 1sin2 2x 2cos2x 1 cos2x 1 2sin2 x 4) sin6 x cos6 x 1 3sin2 x.cos2 x . Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4 Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 5) cos2 x 1 cos2x 2 6) sin2 x 1 cos2x 2 7) cos3x 4cos3x 3cosx 8) sin3x 3sinx 4sin3 x B. Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Giải phương trình: cos2x 3sin2 x 2 0 (1) Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi cos2x 1 2sin2 x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải (3) 1 2sin2 x 3sin2 x 2 0 2sin2 x 3sinx 1 0 sinx ... - tailieumienphi.vn