Xem mẫu
- Chương
1
Ư c và B i
1.1 Ư cs ,ư c s chung, ư c s chung
l n nh t 1
1.2 B is ,b i s chung, b i s chung
1.3
nh nh t
Bài t p đ
4
ngh 6
.v n
h
Nguy n M nh Trùng Dương (duongld)
Nguy n Tr n Huy (yeutoan11)
2 4
c
Ư c và b i là 2 khái ni m quan tr ng trong chương trình s h c THCS.
Chuyên đ này s gi i thi u nh ng khái ni m và tính ch t cơ b n v
o
ư c, ư c s chung, ư c chung l n nh t, b i, b i s chung, b i chung
nh nh t. M t s bài t p đ ngh v các v n đ này cũng s đư c đ
c p đ n cu i bài vi t.
h
1.1
u i
Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t
V
Trong ph n này, chúng tôi s trình bày m t s khái ni m v ư c s ,
ư c s chung và ư c s chung l n nh t kèm theo m t vài tính ch t c a
chúng. M t s bài t p ví d cho b n đ c tham kh o cũng s đư c đưa
ra.
1.1.1 Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 1.1 S t nhiên d = 0 đư c g i là m t ư c s c a s t
nhiên a khi và ch khi a chia h t cho d. Ta nói d chia h t a, kí hi u d|a.
T p h p các ư c c a a là: U (a) = {d ∈ N : d|a}.
1
- 2 1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t
Tính ch t 1.1– N u U (a) = {1; a} thì a là s nguyên t .
Đ nh nghĩa 1.2 N u U (a) và U (b) có nh ng ph n t chung thì nh ng
ph n t đó g i là ư c s chung c a a và b. Ta kí hi u:
U SC(a; b) = {d ∈ N : (d|a) ∧ (d|b)}
= {d ∈ N : (d ∈ U (a)) ∧ (d ∈ U (b))}.
Tính ch t 1.2– N u U SC(a; b) = {1} thì a và b nguyên t cùng nhau.
n
Đ nh nghĩa 1.3 S d ∈ N đư c g i là ư c s chung l n nh t c a a và b
(a; b ∈ Z) khi d là ph n t l n nh t trong t p U SC(a; b). Ký hi u ư c
.v
chung l n nh t c a a và b là U CLN (a; b), (a; b) hay gcd(a; b).
1.1.2 Tính ch t
Sau đây là m t s tính ch t c a ư c chung l n nh t:
4 h
• N u (a1 ; a2 ; . . . .; an ) = 1 thì ta nói các s a1 ; a2 ; . . . ; an nguyên
t cùng nhau.
c 2
• N u (am ; ak ) = 1, ∀m = k, {m; k} ∈ {1; 2; . . . ; n} thì ta nói các
o
a1 ; a2 ; . . . ; an đôi m t nguyên t cùng nhau.
a b (a; b)
h
• c ∈ U SC(a; b) thì ; = .
c c c
• d = (a; b) ⇔
u i a b
;
d d
• (ca; cb) = c(a; b).
= 1.
V
• (a; b) = 1 và b|ac thì b|c.
• (a; b) = 1 và (a; c) = 1 thì (a; bc) = 1.
• (a; b; c) = ((a; b); c).
• Cho a > b > 0
– N u a = b.q thì (a; b) = b.
– N u a = bq + r(r = 0) thì (a; b) = (b; r).
Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
- 1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t 3
1.1.3 Cách tìm ư c chung l n nh t b ng thu t toán Euclide
Đ tìm (a; b) khi a không chia h t cho b ta dùng thu t toán Euclide
sau:
a = b.q + r1 thì (a; b) = (b; r1 ).
b = r1 .q1 + r2 thì (b; r1 ) = (r1 ; r2 ).
···
rn−2 = rn−1 .qn−1 + rn thì (rn−2 ; rn−1 ) = (rn−1 ; rn ).
rn−1 = rn .qn thì (rn−1 ; rn ) = rn .
.v n
h
(a; b) = rn .
(a; b) là s dư cu i cùng khác 0 trong thu t toán Euclide.
1.1.4 Bài t p ví d
2 4
Ví d 1.1. Tìm (2k − 1; 9k + 4), k ∈ N∗ .
c
L i gi i. Ta đ t d = (2k − 1; 9k + 4). Theo tính ch t v ư c s chung
o
ta có d|2k − 1 và d|9k + 4. Ti p t c áp d ng tính ch t v chia h t ta l i
h
có d|9(2k − 1) và d|2(9k + 4). Suy ra d|2(9k + 4) − 9(2k − 1) hay d|17.
i
V y (2k − 1; 9k + 4) = 1.
u
Ví d 1.2. Tìm (123456789; 987654321).
L i gi i. Đ t b = 123456789; a = 987654321. Ta nh n th y a và b đ u
chia h t cho 9.
V
Ta l i có :
a + b = 1111111110
=
1010 − 10
9
⇔ 9a + 9b = 1010 − 10
. (1.1)
M t khác :
10b + a = 9999999999
(1.2)
= 1010 − 1.
Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
- 4 1.2. B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t
Tr (1.2) và (1.1) v theo v ta đư c b−8a = 9. Do đó n u đ t d = (a; b)
.
thì 9.
.d.
Mà a và b đ u chia h t cho 9, suy ra d = 9.
D a vào thu t toán Euclide, ta có l i gi i khác cho Ví d 1.2 như sau :
L i gi i. 987654321 = 123456789.8+9 thì (987654321; 123456789) =
(123456789; 9).
n
123456789 = 9.1371421.
.v
(123456789; 987654321) = 9.
Ví d 1.3. Ch ng minh r ng dãy s An =
1
2
4
nh ng dãy s vô h n nh ng s đôi m t nguyên t cùng nhau.
h
n(n + 1), n ∈ N∗ ch a
2
L i gi i. Gi s trong dãy đang xét có k s đôi m t nguyên t cùng
nhau là t1 = 1; t2 = 3; . . . ; tk = m(m ∈ N∗ ). Đ t a = t1 t2 . . . tk . Xét s
h ng t2a+1 trong dãy An :
c
t2a+1 =
h o 1
2
(2a + 1)(2a + 2)
i
= (a + 1)(2a + 1)
≥ tk
V u
M t khác ta có (a + 1; a) = 1 và (2a + 1; a) = 1 nên (t2a+1 ; a) = 1.
Do đó t2a+1 nguyên t cùng nhau v i t t c k s {t1 ; t2 ; . . . tk }. Suy ra
dãy s An ch a vô h n nh ng s đôi m t nguyên t cùng nhau.
1.2 B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t
Tương t như c u trúc đã trình bày ph n trư c, trong ph n này
chúng tôi cũng s đưa ra nh ng đ nh nghĩa, tính ch t cơ b n c a b i
s , b i s chung, b i s chung nh nh t và m t s bài t p ví d minh
h a.
Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
- 1.2. B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t 5
1.2.1 Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 1.4 S t nhiên m đư c g i là m t b i s c a a = 0 khi
và ch khi m chia h t cho a hay a là m t ư c s c a m.
Nh n xét. T p h p các b i s c a a = 0 là: B(a) = {0; a; 2a; . . . ; ka}, k ∈
Z.
Đ nh nghĩa 1.5 S t nhiên m đư c g i là m t b i s c a a = 0 khi
n
và ch khi m chia h t cho a hay a là m t ư c s c a m
.v
Đ nh nghĩa 1.6 N u 2 t p B(a) và B(b) có ph n t chung thì các ph n
t chung đó g i là b i s chung c a a và b. Ta ký hi u b i s chung
c a a và b: BSC(a; b).
4 h
Đ nh nghĩa 1.7 S m = 0 đư c g i là b i chung nh nh t c a a và
b khi m là ph n t dương nh nh t trong t p BSC(a; b). Ký hi u :
BCN N (a; b), [a; b] hay lcm(a; b).
c 2
o
1.2.2 Tính ch t
M t s tính ch t c a b i chung l n nh t:
i
• N u [a; b] = M thì
h
M M
; = 1.
u
a b
• [a; b; c] = [[a; b]; c].
1.2.3
V
• [a; b].(a; b) = a.b.
Bài t p ví d
Ví d 1.4. Tìm [n; n + 1; n + 2].
L i gi i. Đ t A = [n; n + 1] và B = [A; n + 2]. Áp d ng tính ch t
[a; b; c] = [[a; b]; c], ta có: B = [n; n + 1; n + 2].
D th y (n; n + 1) = 1, suy ra [n; n + 1] = n(n + 1).
Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
- 6 1.3. Bài t p đ ngh
a.b
L i áp d ng tính ch t [a; b] = th thì
(a; b)
n(n + 1)(n + 2)
[n; n + 1; n + 2] =
(n(n + 1); n + 2)
.
G i d = (n(n + 1); n + 2). Do (n + 1; n + 2) = 1 nên
d = (n; n + 2)
Xét hai trư ng h p:
= (n; 2).
.v n
n(n + 1)(n + 2)
h
• N u n ch n thì d = 2, suy ra [n; n + 1; n + 2] = .
2
2 4
• N u n l thì d = 1, suy ra [n; n + 1; n + 2] = n(n + 1)(n + 2) .
Ví d 1.5. Ch ng minh r ng [1; 2; . . . 2n] = [n + 1; n + 2; . . . ; 2n].
o c
L i gi i. Ta th y đư c trong k s nguyên liên ti p có m t và ch m t s
chia h t cho k. Do đó b t trong các s {1; 2; . . . ; 2n} đ u là ư c c a m t
s nào đó trong các s {n + 1; n + 2; . . . ; 2n}. Do đó [1; 2; . . . n; 2n] =
[n + 1; n + 2; . . . ; 2n].
i h
1.3
u
Bài t p đ ngh
Thay cho l i k t, chúng tôi xin g i đ n b n đ c m t s bài t p đ ngh
V
đ luy n t p nh m giúp các b n quen hơn v i các khái ni m và các
tính ch t trình bày trong chuyên đ .
Bài 1. a. Cho A = 5a + 3b; B = 13a + 8b(a; b ∈ N∗ ) ch ng minh
(A; B) = (a; b).
b. T ng quát A = ma+nb; B = pa+qb th a mãn |mq −np| =
1 v i a, b, m, n, p, q ∈ N∗ . Ch ng minh (A; B) = (a; b).
Bài 2. Tìm (6k + 5; 8k + 3)(k ∈ N).
Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
- 1.3. Bài t p đ ngh 7
Bài 3. T các ch s 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành l p t t c s có sáu ch s
(m i s ch vi t m t l n). Tìm U CLN c a t t c các s đó.
n(n + 1)
Bài 4. Cho A = 2n + 1; B = (n ∈ N∗ ). Tìm (A; B).
2
Bài 5. a. Ch ng minh r ng trong 5 s t nguyên liên ti p bao gi
cũng ch n đư c m t s nguyên t cùng nhau v i các s
còn l i.
n
b. Ch ng minh r ng trong 16 s nguyên liên ti p bao gi cũng
ch n đư c m t s nguyên t cùng nhau v i các s còn l i.
Bài 6. Cho 1 ≤ m ≤ n(m; n ∈ N).
n n
a. Ch ng minh r ng (22 − 1; 22 + 1) = 1.
h .v
4
b. Tìm (2m − 1; 2n − 1).
2
Bài 7. Cho m, n ∈ N v i (m, n) = 1. Tìm (m2 + n2 ; m + n).
c
Bài 8. Cho A = 2n +3; B = 2n+1 +3n+1 (n ∈ N∗ ); C = 2n+2 +3n+2 (n ∈
N∗ ). Tìm (A; B) và (A; C).
h o
Bài 9. Cho sáu s nguyên dương a; b; a ; b ; d; d sao cho (a; b) = d; (a ; b ) =
d . Ch ng minh r ng (aa ; bb ; ab ; a b) = dd .
u i 1
Bài 10. Ch ng minh r ng dãy s Bn = n(n + 1)(n + 2)(n ∈ N∗ ) ch a
6
vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau.
V
Bài 11. Ch ng minh r ng dãy s 2n − 3 v i m i n ∈ N và n ≥ 2 ch a
dãy s vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau.
Bài 12. Ch ng minh dãy Mersen Mn = 2n − 1(n ∈ N∗ ) ch a dãy s vô
h n nh ng s nguyên t cùng nhau.
n
Bài 13. Ch ng minh r ng dãy Fermat Fn = 22 + 1(n ∈ N) là dãy s
nguyên t cùng nhau.
n
Bài 14. Cho n ∈ N; n > 1 và 2n − 2 chia h t cho n. Tìm (22 ; 2n − 1).
Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
- 8 1.3. Bài t p đ ngh
21n + 1
Bài 15. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ N, phân s t i gi n.
14n + 3
Bài 16. Cho ba s t nhiên a; b; c đôi m t nguyên t cùng nhau. Ch ng
minh r ng (ab + bc + ca; abc) = 1.
Bài 17. Cho a; b ∈ N∗ . Ch ng minh r ng t n t i vô s n ∈ N sao cho
(a + n; b + n) = 1.
Bài 18. Gi s m; n ∈ N(m ≥ n) th a mãn (199k−1; m) = (1993−1; n).
Ch ng minh r ng t n t i t(t ∈ N) sao cho m = 1993t .n.
Bài 19. Ch ng minh r ng n u a; m ∈ N; a > 1 thì
(m; a − 1).
am − 1
a−1
.v n
;a − 1 =
a.
1
, h
Bài 20. Tìm s nguyên dương n nh nh t đ các phân s sau t i gi n:
4
n1996
b. 1996
n
+ 1995n + 2
2
+ 1995n + 3
,
c 2
o
1994
c. 1996 ,
n + 1995n + 1995
d. 1996
n
1995
i h
+ 1995n + 1996
.
u
Bài 21. Cho 20 s t nhiên khác 0 là a1 ; a2 ; . . . an có t ng b ng S
và U CLN b ng d. Ch ng minh r ng U CLN c a S − a1 ; S −
V
a2 ; . . . ; S − an b ng tích c a d v i m t ư c nào đó c a n − 1.
Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
nguon tai.lieu . vn
