Xem mẫu
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:
sin2a = 2sina.cosa ⇒ sina.cosa= sin2a
2
π
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a
2
2 tan a
tan2a =
π sinα α 1 − tan 2 a
0 3. Công thức nhân ba:
0 cosα sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
3π
2 4.Công thức hạ bậc:
1 + cos 2a
sin x cos x cos2a =
∗ tan x = ∗ cot x = 2
cos x sin x 1 − cos 2a
Bảng giá trị của các góc đặc biệt: sin2a =
2
Góc 00 300 450 ( 600 900 1 − cos 2a
π π π π tg2a =
GTLG
(0) ( ) ) ( ) ( ) 1 + cos 2a
6 4 3 2 x
Sin 0 1 2 3 1 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan :
2 2
2 2
Cos 1 3 2 1 0
2t 1− t2
sinx = cosx =
2 2 2 1+ t2 1+ t2
2t 1− t2
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: tanx = cotx =
1− t2 2t
+ sin2 α + cos2 α = 1( ∀α ∈ R ) 6. Công thức biến đổi tổng thành tích
π
+ tanα.cotα = 1 ∀α ≠ k ,k ∈ Z
a+ b a− b
cosa + cosb = 2cos cos
2 2 2
1 π a + b a− b
+ = 1+ tan2 α ∀α ≠ + kπ,k ∈ Z cosa − cosb = −2sin sin
cos α2
2 2 2
1 a+ b a− b
+ = 1+ cotg2α ( ∀α ≠ kπ,k ∈ Z) sina+ sinb = 2sin cos
sin α
2
2 2
Hệ quả:
a + b a− b
• sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x sina− sinb = 2cos sin
1 1 2 2
• tanx= ; cot x = sin(a ± b) π
cot x tan x tan a ± tan b = (a, b ≠ + kπ , k ∈ Z )
• Sin x + cos x = 1 - 2sin2x.cos2x
4 4 cos a.cos b 2
• Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x sin(a + b)
cot a + cot b = (a, b ≠ kπ , k ∈ Z )
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: sin a.sin b
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π” − sin(a + b)
D/. Công thức lượng giác cot a − cot b = ( a , b ≠ kπ , k ∈ Z )
sin a.sin b
1. Công thức cộng: π π
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin a + cos a = 2 sin(a + ) = 2cos(a − )
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
4 4
π π
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin a − cos a = 2 sin(a − ) = − 2cos(a + )
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 4 4
tan a − tan b π π
cos a − sin a = 2cos(a + ) = − 2 sin(a − )
tan(a – b) = 4 4
1 + tan a.tan b
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
tan a + tan b
1
tan(a + b) =
1 − tan a.tan b • cos a.cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b)]
2
2. Công thức nhân đôi:
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 1
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
1 1
• sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] •sin a.cos b = [ sin(a + b) +sin(a − b)]
2 2
1
• sin b.cos a = [ sin(a + b) − sin(a − b)]
2
II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:
u = v + k 2π
a ) cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π , κ ∈ ¢ b) sinu = sinv ⇔ ,k ∈ ¢
u = π − v + k 2π
c) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ,k ∈ ¢ d) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ,k ∈ ¢
sin α = a
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả −π π thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương
2
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
* Dạng: a sin x + b sin x.cos x + c cos 2 x = d (1)
2
* Cách giải:
π
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔ x = + kπ có là nghiệm của (1) hay không ?
2
d
TH2: cosx ≠ 0 chia cả 2 vế phương trình cho cos 2 x , thay 2
= d ( 1 + tan 2 x ) , sau đó đặt
cos x
t = tan x rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t rồi tiếp tục giải.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng: A ( sin x ± cos x ) + B ( sin x.cos x ) + C = 0
t 2 −1
Cách giải: Đặt t = ( sin x ± cos x ) ; − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x.cos x = ± . Đưa phương trình về
2
t 2 −1
phương trình đại số theo t: At + B ± +C = 0
2
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. s n2x − cos2x = 0
i 6. sin 2x = 2cos x
2. s n3x + 2cos3x = 0
i s n x.
i cot5x
7. =1
3. 4s n2 x = 1
i cos9x
4 . s n2 x + s n2 2x = 1
i i 8. t x = t x
an3 an5
s n4x
i 9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
5. =1 s n2x
i
cos6x 10. = −2cosx
1+ s n x
i
−3π π π 1
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm x∈ π
; của phương trình s n xcos + cosx. i =
i sn
2 8 8 2
II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. cos2x + 3s n x = 2
i s n6 x + cos6 x 1
i
2. 4s n4 x + 12cos2 x = 7 5. = t xan2
i cos2 x − s n2 x 4
i
3. 25s n2 x + 100cosx = 89
i 3
4. s n 2x + cos 2x = s n2xcos2x
4 4 6. t x +
an2 =9
i i cosx
Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2. sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m là tham số )
Bài 3 : Giải các phương trình
1) 2+cos2x = -5sinx
2) sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97)
x
3) 2+cosx = 2tg (Học viện ngân hàng98)
2
3x
4) cosx = cos2( ) (ĐH hàng hải97)
4
3
5) tg2x + sin2x = cotgx (ĐH Thương mại 99)
2
6) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99)
sin 5 x
7) =1 (ĐH Mỏ địa chất 97)
5 sin x
8) 3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98)
9) 2sin3x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98)
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 3
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D)
1
12)cho phương trình :sin4x + cos4x - sin2(2x) + m = 0
4
a.Giải phương trình khi m= 2
b.tìm m để phương trình có nghiệm
(Trường Hàng không VN 97
13) 3cos (2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99)
6
14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98)
15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D)
3
16) 4cos x + 3 2 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D)
x x π x
17) sin sinx - cos sin2x + 1 = 2cos2( − )
2 2 3 2
(ĐHSP TP.HCM 2000)
1 − sin 2 x + 1 + sin 2 x
18) = 4 cos x
sin x
(ĐH luật HN 2000)
19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000)
20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000)
1
22) 2cos2x – 8cosx + 7 = (ĐH NNgữ HN 2000)
cos x
sin 3 x sin 5 x
23) = (ĐH Thủy lợi 2000)
3 5
24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2 π ) của phương trình
cos 3 x + sin 3 x
5(sinx + ) = cos2x + 3 (KA-2002)
1 + 2 sin 2 x
2
25) cotgx – tgx + 4sin2x = (KB-2003)
sin 2 x
π π 3
26)sin4x + cos4x + cos( x − ).sin(3x - ) - = 0
4 4 2
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. s n3x + 3cos3x = 2
i 4. 2s n x( x − 1)= 3cos2x
i cos
1 5. 3s n4x − cos4x = s n x − 3cosx
i i
2. s n2x + s n x =
i i2
2 6. 3cosx − s n2x = 3(
i cos2x + s n x)
i
3. 2s n17x + 3cos5x + s n5x = 0
i i
7. s n x + 3cosx + s n x + 3cosx = 2
i i
3s n2x
i
Bài 2 : Cho y =
2 + cos2x
1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình
1) 3 sin2x + cos2x = 2 ( ĐH Huế 99) 5) cosx + 3 sinx = 2cos2x
2) 2cos2x + sin2x = 2 2π 6π
6 6) Tìm x ∈ , thoả phương trình
3) 3cos3x + 4sinx + =6 5 7
3 cos x + 4 sin x + 1 cos7x - 3 sin7x= – 2
4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 4
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
7) cos7x.cos5x – 2 sin2x = 1 – π
14) (sin 2 x + 3 cos 2 x) 2 −5 = cos( 2 x − )
sin7x.sin5x 6
15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0
8) 2cosx(sinx – 1) = 3 cos2x
16) 4(sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2
9) 3sinx – 3 cos3x = 4sin3x – 1
1
π π 17) 1+ sin32x + cos32x = sin4x
10) 3 sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 2
3 6
11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+ 3 cosx)
12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx 19) sin 3 x + cos 3 = sin x − cos x
13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 π 1
20) sin 4 ( x + ) + cos 4 x =
4 4
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1) 2s n2 2x − 2 3s n2xcos2x = 3
i i π
6) 8cos (x + )= cos3x
3
1 3
2) 4s n x + 6cosx =
i
cosx 3 1
7) 8cosx = +
3) s n3x = 2cos x
i 3
s n x cosx
i
4) 4s n x + 3 3s n2x − 2cos x = 4
i 2
i 2
π
8) 2s n (x + )= 2s n x
i3 i
5) cos x + s n x = s n x − cosx
3
i 3
i 4
9) s n3x + cos3x + 2cosx = 0
i
Bài 2 :
Giải phương trình :
1
1) 3 sinx+cosx = (ĐH An ninh 98)
cos x 8) cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0
2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2 (ĐH NT 96)
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx 9) 3 cos 4 x − 4 sin 2 x. cos 2 x + sin 4 x = 0
4) 2cos3x = sin3x (HV KT Quân sự 97) cos 2 x 1
2 cotg x – 1= + sin 2 x − sin 2 x
5) sin x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 1 + tgx 2
(ĐH NN I HN 99) (ĐHBKA-2003)
6) sinx – 4sin3x + cosx = 0 sin3x + cos3x + 2cosx = 0
(ĐH Y Khoa HN 99) 5 sin 4 x. cos x
7) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 6 sin x − 2 cos 3 x =
2 cos 2 x
(ĐH YD HCM 97) tgx. sin x − 2 sin x = 3(cos 2 x + sin x. cos x)
2 2
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1 . 12( i x + cosx)− 4s n xcosx − 12 = 0
sn i 1 −1
7 . ( i x − cosx + 1) s n2x + )=
sn (i
2 . s n2x + 5( i x + cosx)+ 1 = 0
i sn 2 2
3 . 5( − s n2x)− 11( i x + cosx)+ 7 = 0
1 i sn 8. s n x − cosx + 4s n2x = 1
i i
1 9 . s n x + cosx − s n2x = 0
i i
4 . s n2x + ( i x − cosx)+ = 0
i sn
2
10 . 2( i x + cosx)= t x + cotx
sn an
5 . 5( − s n2x)− 16( i x − cosx)+ 3 = 0
1 i sn
6. 11 . cotx − t x = s n x + cosx
an i
2s n2x + 1
i s n x + cosx
i
2( i 3 x + cos x)− ( i x + cosx)+ s n2x = 0
sn 3
sn i 12 . =
2s n2x − 1 s n x + cosx − 1
i i
Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1. Giải phương trình với m = - 2
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 5
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
2. Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số
y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
Bài tập 4:
1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D)
2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97)
3) sin x − cos x + 2 sin 2 x = 1 (ĐH An ninh 98-A)
3(1 + sin x) π x
1) 3tg3x – tgx + 2
− 8 cos 2 ( − ) = 0
cos x 4 2
(Kiến trúc HN 98)
2) sinx+ sin x+sin x+sin x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x
2 3 4
3) sin3x+ cos3x = 1
4) sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1
3
5) 1 + sin3x+ cos3x = sin2x (ĐH GT VT 99)
2
6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97)
7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1
b.Ttìm m để phương trình có nghiệm
10) sin x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx
3
( ĐH Cảnh sát ND 2000-A)
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D)
12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A)
3 3
13) 1 + sin x- cos x = sin2x
VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
1 1 2 2 5
1. cot x + + 1= 0 t x− + =0
2
2. an
sn x
i 2 cosx 2
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1. sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x 3. sin 2 x + sin 2 2 x − sin 2 3 x = 0
3 17
2. sin x + sin 2 x + sin 3 x = . sin x + cos x = cos 2 x
2 2 2 8 8 2
2 16
C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 . cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = 0 1 + sin x
7. tan x =
2
2. 1 + sin x + cos 3 x = cos x + sin 2 x + cos 2 x 1 + cos x
3. 2 cos3 x + cos 2 x + sin x = 0 8 . sin x − cos3 x = sin x + cos x
3
4 . cos x + cos 3 x + 2 cos 5 x = 0 cos x cos 5 x
5 . cos3 x + sin 3 x = sin 2 x + sin x + cos x 9. − = 8sin x sin 3 x
cos 3 x cos x
6 . sin 2 x + cos3 x + sin x = 0 10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x
D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 6
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
3 1 cos 2 x(1 + cot x ) − 3
1. 8 cos x = + = 3cos x
sin x sin x 4. π
2 sin( x − )
1 − cos 2 x 4
2. 1 + cot g 2 x = cos x − 2sin x cos x
sin 2 2 x 5. = 3
sin 4 2 x + cos 4 2 x 2 cos 2 x − sin x − 1
= cos 4 4 x
3. π π
tan( − x)tan( + x)
4 4
Bài 2: Giải các phương trình
1. tan 3x= tan 5x 3π
2. tan2xtan7x=1 sin( x + )
5. 4 = cos 2 x
sin 4x
=1
π π
3. sin( − 2 x) cos( x + )
co s 6x 2 4
sin x cot 5 x 6. cos 3x.tan5 x = sin 7 x
4. =1
cos 9 x
Bài 3 : Giải các phương trình
sin x + sin 2 x + sin 3 x 1 2(cos x − sin x)
1. = 3 5. =
cos x + cos 2 x + cos 3 x tanx + cot 2 x cot x − 1
1 + 2sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x 2
2. =1 6. 3tan3 x + cot 2 x = 2tanx +
2sin x cos x − 1 sin 4 x
sin 3 x + cos3 x 1 1
3. = cos 2 x 7. cos x + = sin x +
2 cos x − sin x cos x sin x
π 1 1 1 1
8. cos x − = sin 2 x − 2
2
4. 2 2 sin( x + ) = + 2
4 sin x cos x cos x sin x
Bài 4:
π c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện
a) Tìm các nghiệm x ∈ ;3π của phương x π 3π x x
2 − ≤ của ph tr: sin − cos = 1 − sin x
5π 7π 2 2 4 2 2
trình sin(2 x + ) − 3cos( x − ) = 1 + 2sin x
2 2 d) Tìm các nghiệm thoã mãn x < 2 của ph tr:
b) Tìm các nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] của phương 1
(cos 5 x + cos 7 x ) − cos 2 2 x + sin 2 3x = 0
cos 3 x + sin 3x 2
trình 5(sin x + ) = cos 2 x + 3
1 + 2sin 2 x
Phương trình lượng giác có chứa tham số
Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x ∈ D thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t ∈ T
* Với mỗi t ∈ T thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x
∈D
Xác định m để các phương trình sau :
π π
1. Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm x ∈ − ;
3 2
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 7
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
π
2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm x ∈ 0 ;
2
π
3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm x ∈ 0 ;
2
4. ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
π
5. m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm x ∈ 0 ;
4
4tanx π
6. cos 4x - 2 = 2 m có nghiệm
x∈0 ;
1 + tan x 2
π
7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm x ∈ 0 ;
2
π
8. Cos 2x = m cos 2x 1 + tanx có nghiệm 0;
3
9. tan x + cot x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
2 2
10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
Bài toán 2 :
Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm x∈D
Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :
−π π
1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt x ∈ ;
2 2
3π
2. m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x x ∈ 0;
2
3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm x ∈ [ 0; π ]
2 π
4. ( 1- m) tan 2 x - + 1 + 3m = 0 có nhiều hơn một nghiệm x ∈ 0;
cos x 2
π
5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm x ∈ 0;
2
π
6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm x ∈ 0;
2
7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm x ∈ ( 0;3π )
−π
8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm x ∈ ;3
6
VII Phương trình lượng giác đặc biệt
1.Phương pháp tổng bình phương
A = 0
Sử dụng A + B = 0 ⇔
2 2
B = 0
1) 4 cos 2 x + 3tg 2 x − 4 3 cos x + 2 3tgx + 4 = 0
2) x 2 − 2 x sin x − 2 cos x + 2 = 0
3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0
4) y 2 − y + =
4 5 sin 2 x
2. Phương pháp đánh giá
Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
Nếu có số thực a sao cho f ( x) ≤ a ≤ g ( x ) thì
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 8
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
f ( x ) =a
f ( x ) =g ( x ) ⇔
( x ) =a
g
1
1) 2 cos x = cos x + 2) cosx + cos 2 x = 2
cos x
3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0 ( ĐH Huế 99-A)
4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
( ĐH kiến trúc HN97)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
(Tổng hợp luyện thi đại học)
2 2
1/ cos 3x.cos2x – cos x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
π π 3
3/ cos4x + sin4x + cos x − . sin 3x − - = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
4 4 2
cos 2 x 1
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx. 6/ cotx – 1 = + sin 2 x − sin2x.
1 + tan x 2
2 2 x π 2 x
8/ sin − . tan x − cos = 0
2
7/ cotx – tanx + 4sin2x =
sin 2 x 2 4 2
cos 3 x + sin 3 x
9/ 5 sin x + = cos 2 x + 3 với 0 < x < 2 π 10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
1 + 2 sin 2 x
11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 ≤ x ≤ 14
12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ 3. sin 2 x − 2 2. sin 2 x = 6 − 2 .
2 π 5x 2 9x
14/ cos3x + sin7x = 2. sin + − 2 cos 15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x
4 2 2
2 +1
16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos2x =
2
3x π π x
18/ sin + = 3. sin − 19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)
2 4 4 2
sin x + 2
20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 21/ =1
1 + cos 2 x
22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx
π π π
26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/ cos x + + cos x + = cos x +
3 6 4
2 π
29/ 2. sin x − = 2. sin x − tan x
2
28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx
4
1
30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = sin 3x + 1 + cos x .
2
32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
sin x − sin 2 x
34/ = 3 35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
cos x − cos 2 x
cos 6 x + sin 6 x 13
36/ = tan 2 x 37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1
cos 2 x − sin 2 x 8
38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 9
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
x π
6 2 (2 − 3 ) cos x − 2 sin 2 −
40/ 3cos4x – 8cos x + 2cos x + 3 = 0 41/ 2 4= 1
2 cos x − 1
cos 2 x(cos x − 1) 2 cos 4 x
42/ = 2(1 + sin x ) 43/ cotx = tanx +
sin x + cos x sin 2 x
sin 4 x + cos 4 x 1 1 (2 − sin 2 2 x) sin 3 x
44/ = cot 2 x − 45/ tan 4 x + 1 =
5. sin 2 x 2 8. sin 2 x cos 4 x
x
46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan ) 47/ sin( π . cos x) = 1
2
48/ cos3x – sìnx = 3 (cos2x - sin3x) 49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1
54/ 8.sin2x + cosx = 3 .sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x
58/ 1 + sin x + cos x = 0 ( )
59/ 3 cos x 1 − sin x − cos 2 x = 2 sin x . sin 2 x − 1
1 1 7π
x x
2
+ = 4 sin − x
60/ sin + cos + 3. cos x = 2 61/ sin x 3π 4
2 2 sin x −
2
2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x
2
62/ 2sin 2x + sin7x – 1 = sinx 63/ =0
2 − 2 sin x
x
64/ cotx + sinx 1 + tan x. tan = 4 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
2
Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay:
Giải phương trình .
1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : cos3 x + sin3 x + 2sin2 x = 1.
2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : 4 − 2 + 1+ 2( 2 − 1) sin( 2 + y − 1) + 2 = 0 .
x x x x
3/ (Dự bị 2 khối B 2007) : cos2x + ( 1+ 2cosx) ( sinx − cosx) = 0 .
4/ (Dự bị 2 khối D 2006) : 4sin3 x + 4sin2 x + 3sin2x + 6cosx = 0 .
(
2 2
) 2
(
5/ (Dự bị 1 khối B 2006) : 2sin x − 1 tan 2x + 3 cos x − 1 = 0 . )
π
6/ (Dự bị 2 khối A 2006) : 2sin 2x − + 4sinx + 1= 0.
6
2+ 3 2
7/ (Dự bị 1 khối A 2006) : cos3x.cos3 x − sin3x.sin3 x = .
8
8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng ( 0;π ) của phương trình :
x 3π
4sin2 − 3cos2x = 1+ 2cos2 x −
2 4
3 π
9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 2 2cos x − − 3cosx − sinx = 0
4
10/ (Dự bị 1 khối B 2005) : (
sinx.cos2x + cos2 x tan2 x − 1 + 2sin3 x = 0 ) .
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 10
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
π 2 cos2x − 1
11/ (Dự bị 2 khối B 2005) : tan + x − 3tan x = .
2 cos2 x
3π sinx
12/ (Dự bị 1 khối D 2005) : tan − x + = 2.
2 1+ cosx
13/ (Dự bị 2 khối D 2005) : sin2x + cos2x + 3sinx − cosx − 2 = 0 .
5x π x π 3x
14/ (Dự bị 1 khối B 2007) : sin − − cos − = 2cos .
2 4 2 4 2
2
15/ (Dự bị 2 khối A 2007) : 2cos x + 2 3sinx.cosx + 1= 3 sinx + 3cosx .( )
1 1
16/ (Dự bị 1 khối A 2007) : sin2x + sinx − − = 2cot2x .
2sinx sin2x
17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) : sin3x − 3cosx = 2sin2x .
18/(ĐH K-D-2008): 2sinx ( 1+ cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx .
19/(ĐH K-B-2008): sin3 x − 3cos3 x = sinx.cos2 x − 3sin2 x.cosx .
1 1 7π
+ = 4sin − x
20/(ĐH K-A-2008): sinx 3π 4 .
sin x −
2
21/ (ĐH KB-2007) 2sin 2 2x + sin 7x − 1 = sin x .
2
22/( ĐH KD-2007) sin x + cos x + 3 cos x = 2 .
2 2
(2
) 2
( )
23/(ĐH KA-2007) 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2x .
cos 2x 1
24/(ĐH KA-2003) cot gx − 1 = + sin 2 x − .sin 2x
1 + tgx 2
2
25/( ĐH KB-2003) cot gx − tgx + 4 sin 2 x =
sin 2 x
2 x π 2 2 x =0
26/( ĐH KD-2003) sin − .tg x − cos
2 4 2
cos 3 x + sin 3 x
27/(ĐH KA-2002). 5 sin x + = cos 2 x + 3 ; với x∈ (0;2π ) .
1 + 2 sin 2 x
28/(ĐH KB-2002) sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos2 6x
29/(ĐH KD-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ; x∈ [ 0;14]
30/(ĐH KA-2005) cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 .
31/( ĐH KA-2004 ) Cho tam giác ABC không tù thoả điều kiện :
cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3 . Tính ba góc của tam giác ABC .
32/( ĐH KB-2004) 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tg 2 x
33/( ĐH KD-2004) ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2x − sin x
34/(ĐH KB-2005) 1 + sin x + cos x + cos 2 x + sin 2 x = 0
4 4 π π 3
35/(ĐH KD-2005) cos x + sin x + cos x − .sin 3x − − = 0
4 4 2
x
36/( ĐH KB-2006) cot gx + sin x 1 + tgx.tg = 4
2
37/( ĐH KD-2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 11
- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
38/(ĐH KA-2006)
( 6 6
)
2 cos x + sin x − sin x.cos x
= 0.
2 − 2sin x
π
(1 + sin x + cos 2x)sin x +
39/(ĐH KA-2010) 4 1
= cos x
1 + tan x 2
40/(ĐH KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2 cos2x – sinx = 0
41/(ĐH KD-2010) sin2x - cos2x + 3 sinx – cosx -1 = 0
5x 3x
42/(CĐ KA,B,D-2010) 4sin cos + 2(8sin x − 1) cos x = 5
2 2
(1 − 2sin x).cos x
43/(ĐH KA-2009) = 3
(1 + 2sin x)(1 − sin x)
44/(ĐH KB-2009) sinx + cosx.sìn2x + 3 cos 3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x)
45/(ĐH KD-2009) 3 cos 5 x − 2sin 3x.cos 2 x − sin x = 0
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 12
nguon tai.lieu . vn
