Xem mẫu
- ồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1. Bảng nguyên hàm của các hàm số. 1 3
x
Bài 1: Tính tích phân I dx .
2. Các phương pháp tính tích phân: 2
x 1
0
a) Phương pháp đổi biến số:
HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2).
* Loại 1: ln 3
ex
Bài 2: Tính tích phân I dx
dx
2 2
a x dx ,
Dạng: đặt x = asint. (e x 1)3
0
2 2
a x
b
dx dx u du . ĐS I 21
HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng
Dạng: 2 đặt x = atant, đặt ax b ctant
x a2 (ax b) 2 2 a
c
0
b
x (e 2 x 3
Bài 3: Tính tích phân I 1 x ) dx
* Loại 2: f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x).
1
a
ĐS I=3/4e-2 - 4/7
HD Tách thành 2 tích phân.
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx.
b b 2
6
1 cos3 x .sin x.cos5 dx
Bài 4: Tính tích phân I
+ Ta cũng có thể biến đổi: f (u ( x))u '( x)dx f (u ( x ))d (u ( x ))
0
a a
b) Phương pháp tích phân từng phần: 6
1 cos3 x cos3x = 1- t6.
HD: t = ĐS I =12/91
b b b
x 23
P( x) sin xdx, P( x) cos xdx, P( x) e dx,
Dạng: 1
Bài 5: Tính tích phân I dx
a a a
x. x 2 4
5
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx).
x2
t 4 . ĐS I=1/4.ln5/3
HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt
b b
x x
Dạng: dx, dx,
2 2
a cos x a sin x
4
x
Bài 6: Tính tích phân I dx
dx dx 1 cos 2 x
Đặt u = x, dv = hoặc dv = . 0
2
sin 2 x
cos x HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I = /8-1/4.ln2
3. Một số tích phân thường gặp: 1 1
x 3 1 x 2 dx ; J x 2 1 x 2 dx
Bài 7: Tính tích phân I
b
P( x)
dx P(x), Q(x) là các đa thức.
a) Tích phân hữu tỉ: 0 0
Q( x)
a
3
tgx
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x). Bài 8: Tính tích phân I dx
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc cos x. 1 cos 2 x
phương pháp hệ số bất định. 4
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi. HD: Biến đổi về dạng .Đặt
c) Tích phân hồi quy:
b b
2
x
e x sin xdx, e x cos xdx.
Dạng Bài 9 :Tính tích phân : I dx
1 x1
a a
1
x
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e dx. Tích phân từng phần 2 lần.
2tdt x 1 0; x 2 t1
x1 x1 t2 1
t2 t
Đặt t x dx
b b
1 1 1
t1 2
2 3
tt
sin(ln x)dx, cos(ln x)dx.
Dạng: 2tdt 2 2 t2 t 2
I dt dt
1t t1 t1
a a 0 0 0
Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần. 1
1 1 11
t3 t2
2 2t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: 3 2 3 2 3
0
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
a a
2
sin 2 x sin x
f ( x)dx 2 f ( x)dx .
+ y = f(x) chẵn thì Bài 10:Tính tích phân : I dx
1 3cos x
a 0
0
a
Ñaë t t 1 3cos x t 2 1 3cos x 2tdt 3sin xdx
f ( x)dx 0.
+ y = f(x) lẻ thì:
2tdt
sin xdx . Ñoå i caä n : x 0 t 2; x t1
a
3 2
f ( x)
t2 1 2tdt
dx trong đó f(x) là hàm số chẵn.
e) Tích phân dạng
2 1
ax 1 2 2 cos x 1 sin xdx 1 3 3
2sin x cos x sin x
2
I dx
Cách giải: Tách thành 2 tích phân : t
1 3cos x 1 3cos x
0 0 2
0 2
f ( x) f ( x) f ( x) 2
2 2t 2 1 2 2t 3 2 16 2 2 1 34
t
dx dx dx
x x x
31 3 39 3 3 9 3 9 3 27
a1 a1 0a 1 1
0
f ( x)
sin 2 x
2
Xét tích phân dx đổi biến số x = -t.
Bài 11 : Tính tích phân : I dx
ax 1
cos x 4sin 2 x
2
0
f ( x)
dx f ( x)dx .
Kết quả ta được Ñaë t t cos2 x 4sin 2 x t 2 1 3sin 2 x 2tdt 6sin x cos xdx
ax 1 0
2tdt
3sin 2 xdx sin 2 xdx . Ñoå i caä n : x 0 t 1; x t2
a a
3 2
f) Tích phân dạng: f ( a x)dx f ( x )dx trong đó f(x) là hàm
2tdt 2
2 2
0 0
2 2 4 2 2
3
I dt t
số liên tục trên [0; a].
31 3 3 3 3
t
1 1
Đổi biến x = a - t.
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
xB
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ xB
kx 2
kx 1 5 3 x 2 dx 5 kx x3
S
TRÒN XOAY. 2
xA xA
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); 2 2
kx B kx A
5 k xB 5 k xA
3 3
xB xA
b
2 2
f ( x ) g( x ) dx
x = a; x = b có diện tích: SD=
k2
a
5 k xB
2 3 3
x xA xA xB xA
2B
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
k
quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : 5k 2 2
xB xA x xA xA x A xB xB
2B
b
f 2 ( x )dx k5
k2
kk
VOx=
. 5k
3 23 9 3
a
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
3k 2 90 18k 2k 2 6k 5 k 2 12k 60
quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
3.18 54
b 3
1 1
3
f 2 ( y )dy 2
k 2 12k 60 k6 24 Vaä y Smin 6
k
VOy=
54 54
a
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3.
1
x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong y pt tieá p tuyeá n taï i ñieå m M laø : y y M y ' xM x xM
x x3 1
y 9 2.3 x 3 6x 9
y
0
x2
y x yx
2
1 1
Ta coù : S dx , 1;2 , 0
x Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : y9
1 1
3 3
xx xx
6x 9
y x
1
6
1
3 3
x x
2 2 2
1 2
dx x y9
S dx dx pt tung ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø 9 36 y y 2 18y 81
y y
x x3 1
x x3 1 x x3 1 6
1 1 1
9
y9 y9
1 x 1'
3 2
2 2
y 2 18y 81 0 9. S y 0;9 : y 0
1 1 3x 2 1 1 y y dy
ln x ln x 3 1
dx dx 6 6
3 x3 1 3 x3 1 3
x x 0
1 1 1 9
9
2 y3
y9 9y 27 27 9
y2
1 1 4 1 Vaä y : S 18
y dy ñvdt
ln 2 ln 9 ln 2 . ln 2 ln 9 ñvdt
S 6 12 6 3 4 2 4
3 3 3 3 0
0
Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0 quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục
x sin x 0
Ox và đường y x
Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : y x, y 2x
x2
Phöông trình hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø :
0
x
x0
2x x 2 3x 0 0 3
x2
x x x Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x sin x 0
x
sin x 0
3 3
2 x dx x 2 3 x dx 0;3 , x 2 3 x 0
x2
Vaä y S x x 2
x sin x dx x sin 2 xdx
VOx
0 0
0 0
3
3
3x 2 27 9
x3
neâ n S 3x 9
x 2 dx ñvdt
1 cos 2 x x2 3
2 3 2 2 x cos 2 xdx
x dx xdx I I
0 0
2 20 2 4 2 4 2
0 0 0
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
du dx
y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x (Đại học khối A – 2007)
u x
Ñaë t 1
cos 2 xdx
dv
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : e 1 x 1 ex x sin 2 x
v
2
0
x 0
x
1 1 3
x
0
x
xe e
sin 2 x sin 2 xdx 0 cos 2 x 0
I VOx ñvtt
x1
ex e 2 20 4 4
0 0
1 1
e 1x 1 e x x dx x e e x dx ;
S Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,
0 0
y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
1
0;1 , ta luoâ n coù x e e x 0, vaä y S x e ex
x dx quay hình H quanh trục Ox
0
x 0 (loaï i)
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x ln x 0
u x du dx
ln x 0 x1
Ñaë t
e e x dx e e x dx ex e x
dv v e e
2
x ln x dx x 2 ln 2 xdx
Vaä y VOx I1
1
1 2
ex e e
1
1 1
1 1 ñvdt
x ex e x ex e x dx ex
S e
2 2 2 2 ln x
0
du dx
0 0 e e
ln 2 x
u 22 2
x3 2 e3
x
2
ln x x ln xdx
Ñaë t I1 I
Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x và đường thẳng (d) qua
3 31 3 32
x3
2
dv x dx
x 2 dx
v 1
M(1;5) có hệ số góc là k.
3
d
Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) P
x3
dx
và (d) có diện tích nhỏ nhất. Ñaë t u ' ln x du ' ; dv ' v'
x 2 dx x 2 dx
3
x
Ta coù pt ñt (d) : y 5 k x 1 kx k 5
y e e
e
12 1 2e3 1
x3 e3 x3 e3 e3
ln x
I2 x dx
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a (P) vaø (d) :
3 31 3 9 3 9 9 9
3x 2 kx k 5 3x 2 kx k 5 0 1 1
5e3 2
2 2e 1
3 3
e
k .
VOx ñvtt
xA 3 3 9 27
6
12k 60 0, k (d ) luoâ n caé t (P) ôû A vaø B.
2
k
k
xB
6
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005 2
cos 3x
I dx KQ: 2 3ln 2
sin x 1
2
sin 2 x sin x 34 0
KQ:
I dx Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
27
1 3cos x
0
I ln 2
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005 x sin 2 xdx
3
2
sin xdx
KQ:
I ;J 3
2
x 0 sin 2 x cos x J
2
sin 2 x cos x sin 2 x 2 cos x.cos 2
0
3 4
I dx KQ: 2 ln 2 1 2
1 cos x
0
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005 e
e2 1
I x ln xdx KQ:
2
4
1
esin x
I cos x cos xdx KQ: e 1
Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
4
0
2
Bài 4. Tham khảo 2005 2
4
7
4
I x sin xdx KQ:
x2 141
I dx KQ: 2
0
3
10
x1
0
Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005
Bài 5. Tham khảo 2005 23
x 2x2 4x 9
I dx KQ: 6
x2 4
3
8
3
sin 2 xtgxdx 0
I KQ: ln 2
Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005
8
0
1
xdx 1
Bài 6. Tham khảo 2005
KQ:
I 3
8
0x1
1
4
tgx esin x .cos x dx KQ: ln 2 e 2
I 1 Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
0 e
dx
Bài 7. Tham khảo 2005 KQ:
I
6
x 1 ln 2 x
e
2 1 1
2
KQ: e3
I x ln xdx Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005
9 9
1
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005 sin 2004 x
2
I dx KQ:
1
63 8 2004
x cos 2004 x
0 sin 4
x3 . x 2 KQ:
I 3dx
5 Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
0
Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005
4sin 3 x
2
3
x3 I dx KQ: 2
I dx KQ: 6 ln 3 8
1 cos x
3x1 x3 0
1
2006
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
8 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006
x 5 1 x 2 dx
I KQ:
105
0 2
2
sin 2 x
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 dx KQ:
I
3
2 2
cos x 4sin x
3 0
2
3.e 2 5 Bài 2. Tham khảo 2006
3x
I e sin 5 xdx KQ: 6
34 31
dx
0
KQ: ln
I
Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 2 12
2 2x 1 4x 1
3
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006
848
x 3 1.x 5 dx
I KQ: 1
5 3e 2
105
x 2 e2 x dx
0
KQ:
I
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 2
0
1 2sin 2 x
4
1 2
I dx ln 2
KQ: Bài 4. Tham khảo 2006 I x 1 sin 2 x dx KQ: 1
2
1 sin 2 x 4
0 0
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005 2
5
Bài 5. Tham khảo 2006 I x 2 ln x dx KQ: ln 4
0
dx 3 4
KQ:
I 1
x2 2 x 4 18 Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006
1
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 ln 5
dx 3
I KQ: ln
e
ln x 2 e x 2e x 3 2
I dx KQ: 1 ln 3
x2 e 10
1
dx
Bài 7. Tham khảo 2006 I KQ: 2 ln 2 1
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
x2x1
7 5
3
x1 46 e
3 2 ln x 10 11
I dx KQ: Bài 8. Tham khảo 2006 I dx KQ: 2
3
15
3x 1 3 3
x 1 2 ln x
0
1
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
1
1
x ln 1 x 2 dx (Đổi biến t 1 x 2 , từng phần)KQ: ln 2
I 2
sin 3 x
2 I dx KQ: Không tồn tại
0
2 cos 3 x 1
0
Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
2
ln 1 x 3 1
I dx KQ: 3ln 2 ln 3 1
x2 x ln 1 x 2 dx
2 I KQ: ln 2
1
2
0
Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006
Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006
1
221
x x 2 1dx 2
KQ:
I xx1 32
3 I dx KQ: 10 ln 3
0
x5 3
1
1
x 1
Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006
Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006 I dx KQ: ln 2
1 x2 2 1
5
0
x cos3 x sin x dx KQ:
I
4
2
sin x cos x 0
Bài 13. CĐ Y Tế – 2006 I dx KQ: ln 2
1 sin 2 x 2
cos x 15
Bài 31. CĐ GTVT III – 2006 I dx KQ: ln
4
5 2sin x 23
Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 0
3 2
1
x ln x 2 5 dx
I 14 ln14 5ln 5 9 J 2 x 7 ln x 1 dx
KQ: KQ: 24 ln 3 14
2
0 0
Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
2
cos 2 x 1 76
1 tg 8 x dx
I
I dx KQ: KQ:
3
32 105
sin x cos x 3 0
0
Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
4
4x 3
I dx KQ: 18 ln 2 7 ln 3
4
2 2
3x 3x 2
I x 1 cos x dx KQ: 1
8 Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006
0
Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006
sin 3 x sin 3 3 x
6
11
I dx KQ: ln 2
4
1
cos 2 x 1 cos 3 x 63
I dx KQ: ln 3 0
1 2sin 2 x 4 Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006
0
Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 e
ln x 3 2 ln 2 x 33
3 3 22 2
ln 2
e2 x I dx KQ:
8
KQ: 2 3 x
I dx 8
1
3
ex 2
0
Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
4
1
cos 4 x sin 4 x dx
I KQ:
3
2
4sin x
2
I dx KQ: 2 0
1 cos x Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
0
Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
4
1
cos 2 x
I dx ln 3
KQ:
4
x 2
1 2sin 2 x 4
ln
I dx KQ: 0
2
4 2
0 cos x Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006
Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
2
3
2
x3
I sin x sin 2 xdx KQ:
I dx KQ: 6 ln 3 8
3
13 x 1 x3 0
Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
1
9
x 4 1
468
x. 3 1 x dx I dx KQ : ln
I KQ: 2
3 4
7 0x 3
1
Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
e
x3 1 2e 3 11
Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006 I ln x dx KQ:
9 18
x 2
2
1
x 2 cos xdx
I 2 KQ:
1
2 4
x 2 2 x3 dx
Bài 24. I KQ: 33 22 1
9 Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
0
e
dx
I KQ:
2 2
1 2
2 x 1 cos 2 xdx 4
1 x 1 ln x
Bài 25. I KQ: 1
2 4 2
0
sin x cos x
2
1
e2 1 Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006 I dx KQ: ln 2
x e2 x 3
Bài 26. I x 1 dx KQ: 1 sin 2 x
4 14 4
0
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006 Bài 8. Tham khảo khối D – 2007
2
3 2
ln tgx 12
x 2 cos x dx
KQ: KQ:
I dx 2
ln 3
sin 2 x 4
16 0
4
Bài 9. CĐSPTW – 2007
Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương
7
2
trình y x 2 2 ; y x ; x
15 1; x 0 . KQ:
3
sin 2 x 1 sin 2 x dx KQ:
I 6
4
0
Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 4 cos3 x 2
Bài 10. CĐ GTVT – 2007 dx KQ: 2
e
ln x 1 sin x
I dx KQ: 4 2 e 0
x Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
0
Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 7
x2 231
dx KQ:
1
1 3
10
x1
I dx KQ: 0
x2 2 x 2 4 Bài 12. CĐ Khối A – 2007
0
Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 2007
1
32008 22008
1 1
KQ:
1 dx
7
2
x
x 2008
3
x2 46 1
I dx KQ: 3
3
15
3x 1 Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
0
Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006 e
1
2
5e3 2
x ln x dx KQ:
27
4
x 2 1
ln
I dx KQ: Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
2
4 2
0 cos x
Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006 3 2
4
1
2
x sin x dx KQ:
2
384 32 4
I 4 x 1 ln x dx KQ: 6 ln 2 2 1
Bài 15. CĐ Khối B – 2007
1
Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
x cos 2 x , x
3
x, y 0, x . KQ:
y
2
dx
ln 2 .
KQ:
I 2
3 0
sin x.sin x
Bài 16. CĐ Khối D – 2007 KQ: 1
x 1 dx
6
3
2
2007 Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007 3
dx 3
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: KQ: 1
2 2
3 12
x x 1
e 1
y e 1 x , y 1 ex x . KQ: 1
2 3
14 3
x 3 x 2 1 dx KQ:
Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007
Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007
5
1
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x ln x ,
Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
y 0, y e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi 0
3 31
x e2 x 2
x 1 dx KQ: e
3
5e 2 4 60
quay hình H quanh trục Ox. KQ: 1
27 1
xe x dx KQ: 1
Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007
e 0
5e 4 1
x3 ln 2 x dx 2008
Tính tích phân I KQ:
32
1
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008
Bài 4. Tham khảo khối A – 2007
4
2x 1 tg 4 x
6
1 10
KQ: 2 ln 2
dx dx KQ: ln 2 3
1 2x 1 cos 2 x 2 93
0 0
Bài 5. Tham khảo khối B – 2007 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
sin x dx
x1 x 1 4
432
4
ln 2 1
. KQ:
y 0 và y KQ:
x2 1 42 4
sin 2 x 2 1 sin x cos x
0
Bài 6. Tham khảo khối B – 2007 2
ln x 3 2 ln 2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường dx
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008 KQ:
3
1x 16
1
2
2 x2 . KQ:
y x và y
Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008
23
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
Bài 7. Tham khảo khối D – 2007
9
1
xx 1 3 x 2 4 x và đường thẳng d : y x .KQ:
P :y (đvdt)
dx KQ: 1 ln 2 ln 3
2
2
2
0x 4
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1
Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân 1 2t
ln .dt 0
I I
=
1 2t
Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm 1
Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo 2
x 2 .dx
khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi Thí dụ 2: Tính x
22 1
phân: d F ( x) F ( x) C Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận x = -2 t = 2 và x = 2 t = -2
2
2t 1 1 .t 2 .dt
t dt
2 2 2 2
2 .t .dt
2 2
t
t dt
Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được Do đó: I = =
2 1 2t 1 1 2t 2t 1
t
nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo 2 2 2 2
2 2
1 32 1 1 32
t 2 .dt 8
dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho
t 2 .dt . .t
t I I
3 23 3
22 1 2 2
t
gọn bài viết). 2
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm
2
ln x.dx s inx.dx
7
2x 1 x2 s inx.cos7 x.dx 3.
x 5 .dx
1. 2. Thí dụ 3: Tính
x sinx cosx
0
1 8
7 7
2x 1 x x 5 .dx x 5 .d x x 5 = x2 x5
2 2 2
x C và x 0
x x t dx dt .Đổi cận: x = 0 t t
1. Đặt t =
8 2 2 2 2
Do đó:
1 1
( cos7 x).d(cosx)= d - cos8x - cos8x+C
s inx.cos7 x.dx =
2.
8 8
sin t .( dt )
2
0
cost.dt cosx.dx
2 2
ln x.dx 12 I J
ln x.d (ln x ) ln x C
3. cost sint cosx sinx
2
x 0 0
sin cos
t t
2
2 2
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm
dx x.dx s inx.dx cosx.dx 1
2 2 2
dx x2 I J
sin 3x.cos2x.dx
1. 2. 3. Vì I + J = + =
2 4
sinx cosx cosx sinx
3 2
xx1 x 1 0
0 0 0
1 1 1
sin 3 x.cos2x.dx sin 5 x s inx .dx = cos5x-cosx
d
1.
2 2 5 Thí dụ 4: Tính x.s inx.sin3x.dx
0
1 1
cos5x - cosx + C
= Đặt t = −x x= −t dx = − dt. Đổi cận: x = 0 t= ,x= t =0
10 2
Do đó:
2d x 0
dx
t .sin t .sin 3 t .( dt ) = t .sin t.sin 3t.dt
d 2 ln x1 2 ln x1 I
x x C
2.
xx1 2
1
x 0
sin t.sin 3t.dt t.sin t.sin 3t.dt = cos2t-cos4t dt I
=
d x2 1 2
32
x.dx 12 2
1
x1
x1 .d x 2 1 d 3
3 0 0 0
3.
4
2
1
3
1
2
x 1 1
2 x2 1 3
cos2t-cos4t .dt sin 2t sin 4t 0
I
4 42 4 0
32 2 0
x1 3
C
4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
dx dx
Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1. 2. 1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
cos 4 x
s inx Đ ịnh lý : N ếu h àm s ố y = f(x) li ên t ục tr ên [a ; b] và F(x)
x x là m ột nguyên hàm c ủa f(x) th ì
d d
2 2
dx b
b
1. =
x x x x
s inx f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
sin .cos tg .cos 2 a
2 2 2 2 a
Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt
x
d tg buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có
2 x x
d ln tg ln tg C được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
x 2 2
tg 3
2 3
4
dx 1
4
d tgx
dx dx I tan x 1 (?). Lưu ý : f ( x) không
cos 2 x cos 2 x
0
2.
cos4 x cos2 x.cos2 x cos2 x 0
13
13 3
1 tg2 x .d (tgx ) tg x = tgx tg x C
d tgx xác định tại x nên I không tồn tại.
0;
=
3
3 2 4
2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân. 7
3
b
( x 1)dx
Thí dụ 1 : Tính I (ĐH Ngoại ngữ HN-1999)
f ( x).dx mà không thể
Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân 3
3x 1
0
a
7 7
tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin 2 1
1 3 [(3x 1) 2]dx 13
[(3x 1) 3 2(3 x 1) 3 ]d(3x 1)
I
gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x.
30 90
3x 1
3
1
1 2x 7
ln .dx
Thí dụ 1: Tính 5 2
13 46
3
(3 x 1) 3 3(3 x 1) 3
1 2x
95 15
1 0
Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận: x = -1 t = 1 và x = 1 t = -1.
1
dx
1
1 1 1 1
1 2x 1 2t 1 2t 1 2t Thí dụ 2 : Tính I (ĐH Ngoại thương HN-1999)
ln .dx ln .( dt ) ln .dt ln .dt
I ( x 2 3x 2) 2
1 2x 1 2t 1 2t 1 2t 0
1 1 1 1
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
dx dx x u
2 ( du)
I dx dx I dx u du du
x1 x2 x1 x2 1 s inx 1 s inu 1 s inu
( x 1)2 ( x 2)2 1 sin u
0 0 0 0 0 0 0
x1 2 3 1 1
u u
1
( x 1) ( x 2) 2 ln 2 ln
1 1
. 2 d I d I
x2 3 4
0
2 2 4
2
u
u
u cos 2
0 0
sin cos
2 4
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách 2 2
cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
u
2.
tg
3 Do đó : I =
2 40
x x2
Thí dụ 3 : Tính I 2 x .dx
b
1
f ( x)dx mà tính mãi không được,
Chú ý : Nếu gặp tích phân
3 0 2 3
x x 2 2 x .dx 2 x .dx 2 x .dx 2 x .dx
x x2 x x2 x x2
I a
1 1 0 2
các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ
0 2 3
trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
2 x .dx 2 x .dx 2 x .dx
x x2 x2 x x2
x
Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần
1 0 2
2x3 0 2x3 2 2x3 3
x4 x4 x4 aT T
4
4 3 4 30 4 32
1 hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có : f ( x)dx f ( x)dx
a 0
aT T aT aT
2. Phương pháp biến đổi số : f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (*). Xét J f ( x )dx ,
Ta có
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì a a T T
đặt u = x - T x=u+T dx = du.Đổi cận : x = T u=0;x=a+T u = a,
u (b )
b
f [u(x)].u'(x)dx f (t ) dt a a a
f (u T ). du f (u)du f ( x )dx .Thay vào (*) ta có đpcm.
do đó : J
a u( a)
0 0 0
4
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của
dx
Thí dụ 4 : Tính I (Học viện KTQS - 1999) hàm số tuần hoàn.
2
xx 9
7
2007
1 1 dt s inx dx
Thí dụ 9 : Tính
dx
Đặt t x .
x t t2 0
1
1 Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là
t
7 t
Đổi cận : x .
;x=4 .
4
7 2007 2 2007
s inx dx s inx dx s inx dx ... s inx dx
Do đó : Do đó :
1
1 0 0 2006
1
7
1 d (3t ) 1 1 7 17
dt
4 7
ln (3t )2 1 3t ln ln
I 2007 s inx dx 2007 s inx.dx 2007cosx 5014
3 3 3 2 64
9t 2 1 (3t )2 1 1
0
1 1
0 0
4
4
7
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
1
x 4 dx b b
Thí dụ 5 : Tính I (Đề Học viện BCVT - 1999) b
x
udv u.v vdu
Ta có :
11 2 a
a a
Đặt t = x x = t dx = dt.
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương
Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có :
pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải
1 1 1 1
1
( t ) .( dt ) 2 .t dt 15 2
4 t4 4
t dt 1
t 4dt I
I t I I . kết hợp với phương pháp đổi biến :
5
5 5
1 24 1 2t 1 2t 1
1 1 1 1
2
b
Thí dụ 10 : Tính I sin xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Chú ý : - Để tính f ( x)dx không nhất thiết phải tìm nguyên
0
a
t2 2
x t=0; x
Đặt t x
hàm F(x) của f(x). dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 t= nên :
g ( x)dx
2 sin t 2
2 t sin tdt 2 t.d (cos t ) 2 t cos t cos tdt
I
- Cách tích phân dạng với a > 0 và g(x) là hàm số = 0
0
ax 1 0 0 0
chẵn, đều làm như trên. 1
Thí dụ 11 : Tính I = x 5 .e x .dx
1
2x
Thí dụ 6 : Tính ln dx 0
2x 1
1
x n .e x .dx . Đặt u nu n 1; dv
xn e x dx ex .
Giải : Xét I n du v
Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :
0
-1
1 -1 1 1 1
2-x 2+t 2+t 2-t 2-t Theo công thức tích phân từng phần ta có :
I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I. I = 0.
2+x 2-t 2-t 2+t 2+t 1 1 1 1
1 1
-1 1 -1 -1 -1
x n .e x .dx x n .e x n x n 1e x dx
In udv uv vdu e nI n 1
0 0
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ 0 0 0 0
luôn bằng 0. 1 1
1 1
x.e x .dx 1.
xe x e x dx e ex
với mọi n nguyên và n >1.Ta có : I1
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số : 0 0
0 0
b b b
e 2 I1 e 2; I 3 e 3I 2 e 3(e 2) 6 2e;
I2
f ( x)dx f (u )du f (t )dt = ...
e 4I 3 e 4(6 2e) 9e 24; I e 5I 4 e 5(9e 24) 120 44e
I4 I5
a a a
x
dx
Thí dụ 7 : Tính Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương
1 s inx
0
tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho
0 ;x 0.
u . Ta có : x u u
x x
Đổi biến số u = n = 2;3;4;5.
Mặt khác : dx = -du.
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
x1 2
t
3 3
CÁC BÀI TOÁN CH ỌN LỌC dx xdx
Ñaë t t 1 x 2 2 xdx.
I dt
x 1 x2 x2 1 x2 3 4
x t
23
1 1
dx
1. Tính tích phân : I (A – 2003)
1t t1
4 4 4
1 1 1 1 1
dt 4
x x2 4 ln t 1 ln t
I dt dt
5
22t t 1 22 t t 1 22 t 1 t 2 2
4 4 2tdt 2 xdx
x2 t2 x2
Ñaë t t tdt xdx 4
1 t1 1 3 1 13
ln ln ln ln
Ñoå i caä n : x 5 3; x 23 4
t t
2 2 4 2 22
t2
1 t2 t2
23 4 4 4
xdx tdt dt
I dt
43 t 2 t 2
t2t2
4t
t2
4
2 2
x x 2
3 3
5
cos x cos xdx (D – 2005)
esin x
Tính tích phân : I
7.
4
4
1 1 1 1 1 t2
4
ln t 2 ln t 2 ln
dt 0
43 t 2 t2 4 4 t2
3
3
2 2
1 1 1 15
esin x cos xdx cos2 xdx
I AB
ln ln ln
4 3 5 43 0 0
1
2
x 3 1 x 2 dx (Dự bị 2A – 2003) esin x cos xdx : Ñaë t t sin x cos xdx.
Tính A dt
Tính tích phân : I
2.
0
0
1
1
Ñoå i caä n : x 0 0, x t 1. A e1
e t dt et
t
1 x2 t2 1 x2 1 t2 2 xdx 2tdt
x2
Ñaë t t xdx tdt
2 0
Ñoå i caä n : x 0 t 1; x 1 0 0
t
1
1 cos 2 x sin 2 x
x
2 2
1 0 1 2
1 1 2
t3 t5 cos2 xdx
Tính B dx
x 2 1 x 2 xdx 1 t2 t t 2 t 4 dt
I tdt
2 2 4 4
3 5 3 5 15 0 0 0
0 1 0 0
e1
Vaä y I AB
e
1 3ln x ln x 4
Tính tích phân : I dx
3. (B – 2004)
x 1
1
1 x 2 dx
Tính tích phân : I
8.
3dx 2tdt
dx
1 3ln x 1 3ln x 2tdt
t2
Ñaë t t 0
3
x x
Khi gaë p a 2 x 2 , ta ñaë t x a sin t , ;
t
1 t 1; x 2
x e t 22
2
2 2
1 2tdt 2 2t 2 32 8 11 116
2 5 3
t t
t 4 t 2 dt
I t
sin t t ; cos tdt.
Đặt x dx
3 3 91 95 3 9 5 3 53 135
22
1 1
ln 5
dx 0 sin t 0 0; x 1 sin t 1
x t t
Tính tích phân : I ( B – 2006) Đổi cận
2
2e x 3
x
ln 3 e
2 2 2
e x dx. x ln 3 3, x ln 5 5
ex
Ñaë t t dt t t
1 sin 2 t cos tdt cos2 t cos tdt cos t cos tdt
I
t1 t2
ln 5 5 5 5
x
e dx dt dt 0 0 0
I dt
2 3e x 3t 2 t1t2 t1t2
e2 x t2
1 cos 2t 1 1
2 2
ln3 3 3 3 2
cos2 tdt sin 2t
dt t
5
2 2 4 4
5
1 1 t2 3 1 3
5 0 0 0
ln t 2 ln t 1 ln ln ln ln
dt
t2 t1 t1 4 2 2
3
1
dx
3 3
9. Tính tích phân : I
01 x2
sin 2 x cos x
2
4. Tính tích phân : I dx (B – 2005)
1 cos x 1
Khi gaë p , ta ñaë t x atgt , t ;
0
22
a2 x2
2sin x cos x cos x sin x cos2 x
2 2
dx 2
I dx ; 1 tg2 t dt
Ñaë t x tgt t dx
1 cos x 1 cos x 22
0 0
Ñaë t t 1 cos x sin xdx; Ñoå i caä n : x 0 2, x t1
dt t
0 0 0; x 1 tgt 1
x tgt t t
2
4
2 2
t1 dt
1 2 2
2t 1 1
2 2
t t
1 tg2 t dt
2 2 2 t2 2 2t ln t
I dt dt 4 4
2
t t t I dt t4
2 1 1
4
1
1 tg2 t
0
0 0
1
2 2 4 ln 2 2 2 ln 2 1
2 1
dx
10. Tính tích phân : I
x x1 2
1 2 sin 2 x
4 0
5. Tính tích phân : I dx (B – 2003) 1
1 3 3
dx
1 s in2 x . Ñaë t x ; 1 tg 2t dt
I tgt t dx
0
2 2 22 2
2
2
1 3
0
0 t1
x x
cos 2 x
4
2 2
dx Ñaë t t 1 sin 2 x 2 cos 2 xdx .
I dt
1 sin 2 x 2
x t
0
3 1 1 3 3
4
0 ;x 1 3
x tgt tgt t tgt tgt t
2 2 6 2 2 3
2
3
1 dt 1 1
2
Vaä y I ln t ln 2
21 t 2 2
1
3 3
1 tg2 t dt
2 33 23 23 3
3
2
I dt t
3
dx 32 3 3 3 33 6 9
6. Tính tích phân : I tg t
(Dự bị 1 B – 2004)
x x3 4 4
6 6
1 6
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1 2
3 1 2
x2 x3 x3 x2
x - x 2 dx x 2 - x dx - -
Vaä y I
ln x 2
11. Tính tích phân : I x dx (D – 2004) 23 32
0 1 0 1
2
11 8 11
- -2 - - 1
2x 1 23 3 32
ln x 2
u x du dx
Ñaë t : x2 x
dv dx 2
x4 x 1
v x
17. Tính tích phân : I dx (Dự bị 2 A – 2004)
x 2x-1 x2 4
3 3 3 3
1
3
3
I= udv= uv - vdu= xln x 2 -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx 0
x-1
x x-1
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
x 17 x3 xdx dx 16
I= x 2 -4- + dx= -4x - +17 2 =- -A+17B
3
=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3 3 3
x +4 x 2 +4 0 x +4 0 x +4
2 2
2 0 0
Tính A : Ñaë t t 4 2 xdx ; x 0 4, x 2 8
x2 dt t t
1
x 2 e2 x dx
12. Tính tích phân : I (D – 2006)
Tính B : Ñaë t x 2tgt t ; 2 1 tg t dt ; x 0
2
dx
0 22
du=dx
u=x-2 0 0, x 2 tgt 1
tgt t t
Ñaë t : Þ 1 4
dv=e dx 2x
v= e2x dx= e2x
2 8
1 dt 1 1 1
8
ln t ln 8 ln 4 ln 2 ln 2
A
1 1
1 1 1
1 2x 1 2x 1 1 5-3e2 24 t 2 2 2
1 4
I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e2 +2 - e2x =
2 20 2 4 4
0
0 0 0 0
2 1 tg2 t dt 14 1 16 17
4 4
ln 2
B dt t Vaä y I
20 2 8 3 8
4 4tg2 t
4
x 0 0
13. Tính tích phân : I dx (Dự bị 1 – A2003)
1 cos2 x 1
2 2
dx
0
18. Chứng minh rằng :
9 7
18 x3
ux du dx
14 x 1
x
4
I1 Ñaë t :
I dx dx dx dx 1 1 1
2 0 cos2 x 2
2 cos2 x dv v tgx 1;1 thì 1x1 1 x3 1 7 8 x3 9
x
0
cos2 x cos2 x 9 7
8 x3
1 1
1 1 2 2
dx dx
cos x ' 11 11 ñpcm
4 4 4 4
I1 udv uv vdu xtgx tgxdx dx 9 7 9 7
8 x3 8 x3
4 4
4 cos x 1 1
0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
5
2
ln cos x ln ln 2. I ln 2
I
4
3 2sin 2 xdx
4 4 4 2 21 8 4
2
0
19. Chứng minh rằng :
2 4
1
2 4
x 3 e x dx
14. Tính tích phân : I (Dự bị 1 D – 2003)
0
; , ta coù :
x
42
2 xdx. Ñoå i caä n : x 0 0, x 1 t1
x2
Ñaë t t dt t
2 1
1 1 1
1 1
dt sin x 1 sin 2 x 1 1 2sin 2 x 2 4 3 2sin 2 x 5
2
x 2 e x xdx tet tet dt
I I 2 2
2 20 21
0 0
2
ut du dt 1 1
1
2 3 2sin 2 x 5 2 3 2sin 2 xdx 5
Ñaë t I1 udv uv vdu
2 4 2 4
t t
dv e dt ve 0
0 0
4
1
1
1 1
e1 1
tet et dt et
e e I
5
2
2
0 0
3 2sin 2 xdx ñpcm
0
2 4
2
4
x sin xdx (Dự bị 1 D – 2004)
15. Tính tích phân : I
1
4 x2 5
0
20. Chứng minh rằng : 1 dx
2 2
2tdt.
2
Ñaë t t x x t dx 0
0;1 0 x1 0 x2 1 4 4 x2 5
x
Ñoå i caä n : x 0 0; x Vaä y I 2 t sin tdt 2 I1
2 2
t t
0
4x 5
2
2 4 x2 5 1
du 2tdt
u t2 2 2
Ñaë t
sin tdt cos t
v
dv sin tdt 1
4 x2 5
1 (ñieà u phaû i chöù ng minh)
dx
2 2
0
Vaä y I1 t 2 cos t 2 t cos tdt 2I 2
2
0
0
4
du ' dt
u' t 1 cos2 xdx
21. Tính tích phân : I
Ñaë t
v' cos tdt sin t
dv ' cos tdt
3
Vaä y I2 t sin t sin tdt cos t 11 2 p p p p
0 0
0 4 4 4 4
0 0
I= 2sin 2 xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx - sinxdx
4 2 8
2 2
I1 I p p p p
0 0
- - - -
3 3 3 3
2 p
1 1 32
x2
0
16. Tính tích phân : I x dx =2 -cosx - -cosx =2- +1- -1+ = -1
4
(D – 2003) p
2 2
0 -
2
3
0
Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x -∞ 0 1 2 +∞
5x 1
2
x2 – x + 0 –0+ +
22. Tính tích phân : I dx
x6
x2
1
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
5x 5 5x 5 Ax 2 A Bx 3B
A B
Ta coù :
s in3 x cos3 x
2 2
x3 x2
x2 x 6 x3x2 x3x2
dx ; J
28. Cho I dx .
0 sin x+cos x 0 sin x+cos x
3
3 3
3
AB5 A2
5x 5 A B x 2 A 3B
2 A 3B 5 B3
Tính I bằng cách đặt t x
2 3
2
2
2 ln x - 3 3 ln x 2 3 ln 4 - 2 ln 2 3 ln 3
dx
2
I x -3 x2 1
0
x t
1
6 ln 2 - 2 ln 2 - 3 ln 3 4 ln 2 - 3 ln 3
2
Ñaë t t x dt dx
2
23. Xác định các hằng số A, B sao cho :
0
x t
2
3x 1 3x 1
A B
,x 1 . Tìm: dx
3 3 2 3
sin3 t
x1 x1 x1 x1 0
2 cos3 t cos3 x
2 2
I dt dt dx J
cos3 t sin3 t cos3 x sin3 x
A Bx 1 B3 2 sin cos
3 3
A t t
3x 1 A B Bx AB 0 0
2 2
2
AB1 B3
3 3 2 3 3
x1 x1 x1 x1 x1
2
Ngoaø i ra : I J dx x I J
2
3x 1 2 3 1 3
2 4
dx dx C 0
0
x1
3 3 2 2
x1 x1 x1 x1
x ln x 1 x2
1 3
dx
29. Tính tích phân : I
24. Tính tích phân : I dx
4
sin x cos5 x3
1x 2
0
4
1 x2
x x
dx
1
tan x .x t 1; x 3.
Ñaë t t dt t
ln x 1 x2
u dx
1 x dx 1 x 2 dx
2
4 3
cos2 x
du
Ñaë t 1 x2 1 x2 x 1 x2
x
xdx dx dx dx
p p p
dv
xdx 3 3 3
cos2 x cos2 x cos2 x
1 x2 Vaä y I
v
1 x2 sin3 x cos5 x sin3 x cos5 x p 4 tg3 x
4
p p
4
4 4 4
cos2 x cos8 x
Tính v : Ñaë t t 1 x2 1 x2 2tdt 2 xdx xdx.
t2 tdt
3 3 3
dt 3
tdt 4
4. 4 t 4 31 4 31
t 4 dt 8
1 x2
v dt t
t 4 3
t 1
1 1
1
1
1
1
1 x 2 ln x 1 x2 2 ln 1 2 2 ln 1 2 1
I dx x
sin
30. Tính tích phân : I x dx
0 0 0
0
ln x ln ln x
e2
1
0 0
x t
25. Tính : I dx (CĐ KT A, D – 2005) Ñaë t t 2tdt. Vaä y I sin t 2tdt
t2
x x dx
x x1 t1
e 0
du 2dt
dx u 2t
ln x t 1, x 2
e2
Ñaë t t dt x e t Ñaë t 1
x dv sin t dt sin cos
v t dt t
2
2 2 2
1 3
2
t
t ln t dt ln tdt 2
I tdt I1 I1 I 1 1
2 2 2 2 2
2 2 21 1
t cos cos sin
I t t dt t
1 1 1 1
2 0
dt 0
0
2
u ln t du 2 2
Tính I1 : Ñaë t t ln t 2 ln 2
t I1 dt t
dv dt 1 1
sin 2 x
2
vt 1
31. Tính tích phân : I dx
3 1 sin 4 x 6sin 2 x 5
2 ln 2 21 2 ln 2 1. I 2 ln 2 1 2 ln 2 0
2 2
sin 2 xdx
2
Ñaë t t sin 2 x 2sin x cos xdx sin 2 xdx
I dt
cos3 x
2
sin 2 x 1 sin 2 x 5
26. Tính tích phân : J dx (Sở GĐ TP 2004−2005) 0
sin 2 x 0 t1
x
1t4 t
2 2 2
11 1
dt
6 .I dt dt
41 t t 4 41 t t 4
4
1t t
2
x t
1 2
Ñaët t sin x dt cos xdx. x t ;x t 1
6 2 2 2
1 1 1 1 1 15
t
2
ln t ln t 4 ln ln ln ln
π
4 4 t4 4 3 5 43
2 1
1
1-t dt 1 1
1
cos2 xcosxdx
2
1 11 1
J= = = 2 -1 dt= - -t = -1-1 - -2- =
sin2 x t2 1t t 22
1
π 1
2
sin xe x dx
32. Tính tích phân : I
6 2 2
1 2
x dx 0
27. Tính tích phân : I
x6 9 u sin x cos dx
du
e x sin x e x cos xdx
Ñaë t I J
0
e x dx ex
dv v 0
0
1
x0 t0
2
x dx
Ñaë t t 3 x dx
3 2
I x dt u ' cos x du ' sin xdx
x1 t1
2
e x cos x e x sin xdx 1I
Ñaë t J e
9
x3
0
dv ' e x dx v ' ex 0
0
1 t3 t3
1 1 1 1
1 1 1 1 1
dt dt 1
e
I dt dt 1I 2I 1
I e e I
3 0 t2 9 30 t 3 t 3 18 0 t 3 t 3 18 0 t 3 t3 2
1
33. Giải phương trình :
1 1 t3 1 1 11
1
ln t 3 ln t 3 ln ln ln1 ln x
18 18 t3 18 2 18 2
0
1 2
sin 2t 1 cos2 tdt 0 0
x
0
ln t ln t 4
4 1
0
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
2
Ñaë t u 1 cos2 t 1 cos2 t 2udu 2sin t cos tdt
u2 2
11x 3
x5
x 4 11x 2 6 x 16 dx 3 x 2 16 x
VOx
5 3
2udu sin 2tdt. t 0 2; t u 1 cos x 2
u x 1 1
1 cos2 x
32 88 1 11 153
1 cos2 x
x 3
u 44 13 ñvtt
sin 2t 1 cos2 tdt 2 2
u 2 du 5 3 53 5
3
0 2 2
3 3
3 3
1 cos x 1 cos x
2 2
2 2 2
dx
39. Tính tích phân : I
2 . pt 0
3 3 3 3 4 5sin x
0
0 0
x t
1 cos x 2 cos x 1 sin x 0
2 2
x k k x dx
Ñaë t t .
tg dt
x
2 t1
x
sin3 x 2 cos2 2
2
34. Tính tích phân : I dx
1 sin x dx
0
x
cos2
1 1 1 1
2dt dt dt
2 2 2
I
1 1 cos 2 x 1
sin 2 x sin x 1 sin x 1
I dx dx x x 4t 10t 4 1
2
41 t 10t
2
4 10sin cos 4t 2 t
1 sin x 2 0 0 0 0
1 cos( x) 2 2 2
0 0
2 x
cos2
2
1 cos 2 x 1 1
sin x 1 dx t2 t
2 1
x 1 1
2
1 1 1 1 1 1
2 cos 2
0
ln t ln t 2
dt dt
4 2 1
30 30 t2 3 2
1
t
t2t 0
2
2
3 1 3 3
x
sin 2 x cos x tg 11 2 4
x 1
2 4 4 2 2 2 1
0
t
1 1 1 1 1
2
ln ln ln ln 2
3 t2 3 2 4 3
cos3 x
2
35. Tính tích phân : I dx 0
1 sin x
0
2
1 sin 2 x cos xdx 1 sin x 1 sin x cos xdx cos5 x cos 7 xdx
40. Tính tích phân : I
cos2 x cos xdx
2 2 2
I
1 sin x 1 sin x 1 sin x 0
0 0 0
1
2 2 2 2 2 2
cos x 1 sin x cos x cos x sin x dx cos x sin 2 x dx
dx cos5 x cos 6 x cos 6 x cos5 x cos xdx sin 6 x cos5 x sin xdx
I x dx JK
2
0 0 0 0 0 0
6sin x cos5 xdx
du
1 1 1 1 cos6 x
u
2
sin x cos 2 x 1 0 Tính J : Ñaë t 1
4 4 4 2 cos 6 xdx
dv cos 6 xdx sin 6 x
v
0
6
1 7
x
36. Tính tích phân : I dx bằng cách đổi biến t = –x 1 2
2
sin 6 x cos6 x sin 6 x cos5 x sin xdx K . Vaä y I 0
J JK
1
10
x 6
1
0
0
1 t1
x
Ñaë t t x dt dx
x1 t 1 1
x4
41. Tính tích phân : I dx
t7 dt
1 1 1 1
x7 t7 x7
2x 1
2I 0 0
I dx dt dx I I 1
x10 1 t10 1 t10 1 x10 1
1 1 1 1
0 1 0
x4 x4 x4
dx. Xeù t J dx.
I dx
e
3 2 ln x 2x 1 2x 1 2x 1
37. Tính tích phân : I dx (Dự bịB–2006) 1 0 1
x 1 2 ln x t4 dt
0 1 1
1 t1
x t 4 2t dt x 4 2 x dx
1
Ñaë t x .J
t dx dt
0 0 2 1 02 1 2x 1
t t
x t
2dx dx 1 0
1 2 ln x 1 2 ln x 2tdt
t2
Ñaë t t tdt
x x 1
x 4 2x 1
1 1 1 1
x 4 2 x dx 1
x4 x5
4
Vaä y I dx dx x dx
23 t1
2 2
5 5
2x 1 2x 1 2x 1
x1 t 1, x 2 Vaä y I 4 t dt 2
e t tdt 0 0 0 0 0
t
1 1
2
cosn xdx
2
22 1 10 2 11
t3
4t 42 4 42. Tính tích phân : I
3 3 3 3
cosn x sin n x
1
0
38. Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0
0
x t
; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi 2
dx;
Ñaë t t x dt
2
quay miền D quanh trục hoành.
0
x t
2
5 x2
y
Hình phaú ng D ñöôï c giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng
y3x cosn t dt
0
2 sin n tdt sin n xdx
2 2
.
I
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø :
0 sin t cosn t 0 sin x cosn x
n n
cosn sin n
t t
5 x2 3x x2 0 1x 2
x2 x 2 2
2
2 2
2 2
5 x2 3 x dx 25 10 x 2 9 6x
x4 x 2 dx
VOx
sin n x cosn x
2 2
2I dx dx x I
2
1 1
2 4
0 sin x cosn x
n 0
2
0
11x 6 x 16 dx. 1;2 , x 11x 6 x 16 0,
4 2 4 2
x x
1
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
2
2x 1
47. Tính tích phân : I dx
sin 4 x cos4 x
4
43. Tính tích phân : I dx x2 x 1
1
3x 1
Ax 1 Bx x 1 Cx 2
4
2x 1 A B C
Ta coù :
x1
x
xx1 x1
2
x2 2
x
0 0
sin 4 x cos4 x sin 4 x cos4 x sin 4 x cos4 x
4
dx . Xeù t J dx .
I dx BC0 1
A
3x 1 3x 1 3x 1 B C x2 A Bx A
0
AB2 B3
4 4
x2 x 1
1 3
A C
x t
Ñaë t x t dx dt 4 4 2
2
2
1 3 3 1 1 x
0 0
x t 3ln x 3ln x 1 3ln
I dx
x1 x1
x x x
x2
1 1 1
3t sin 4 t cos4 t 3x sin 4 x cos4 x
0
sin 4 t cos4 t 4 4
1 2 1 1 4
J dt dt dx 3ln 1 3ln 3ln
3t 1 3t 1 3x 1 2 3 2 2 3
0 0
4
2
3x sin 4 x cos4 x max 1; x; x 2 dx
48. Tính tích phân : F
sin 4 x cos4 x
4 4
Vaä y I dx dx
3x 1 3x 1 0
0 0
Gọi H = x – 1. H = 0 x = 1.
3x 1 sin 4 x cos4 x
4 4 4
sin 4 x cos4 x dx 1 2s in2 xcos2 x dx x 0 1 2
dx
3 1
x
H –0 +
0 0 0
Gọi G = x2 – x. G = 0 x=0Vx=1
1 1 1 cos 4 x 3 1
4 4 4
x 0 1 2
1 s in 2 2x dx 1 cos 4 x dx.
dx
2 2 2 4 4 G 0– 0 +
0 0 0
x1 x1
0 x 1: x1;1x 2: x1
x2 x2
3 1 3
4
x2 x2
sin 4 x .I x x
x
4 16 16
0 2
2 1 2
81 10
x3
1
max 1; x; x 2 dx 1
x 2 dx
F dx x
44. Tính tích phân : 3 33 3
0
0 0 1 1
2 1
x 3 dx
sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x dx
I 49. Tính tích phân : T
x2 1
x
0 0
Ta coù : sin x cos x cos x sin x cos x sin x
10 10 4 4 2 2
x2 1
x3 x
1 1
x 2 1 x dx
x3
T dx
sin10 x cos10 x cos6 x sin 4 x cos4 x sin 6 x
1x 1
2 2
x x x
0 0
sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x
6 4 4 6 4 4 4 4 6 6
1
1 1
1
x5
cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos4 x cos2 x sin2 x sin 4 x
2 2 2 2 2 2
x 3 x 2 1dx x 4 dx I I
5 5
12 cos 2 x.sin 2 x
2 2 0 0 0
cos2 2 x 1 cos2 x sin 2 x cos2 2 x 1 sin 2 x cos2 2 x 0 t1
x
4 4 x2 1 x2 1 2tdt 2 xdx xdx.
t2
Ñaë t t tdt
x1 2
t
1 cos 4 x sin 2 4 x 1 1 1 cos8 x 15 1 1
cos 4 x cos 4 x cos8 x
2 16 2 2 32 32 2 32 2
1 2 2 5 3
t t
x 2 x 2 1xdx t 2 1 t.tdt t4 t 2 dt
I
5 3
15 1 1 15 1 1 15
2 2 0 1 1 1
Vaä y : I cos 4 x cos8 x dx sin 4 x sin 8x
x
32 2 32 32 8 256 64 42 22 11 22 2 22 1
0 0
.Vaä y T
5 3 53 15 15 15
1
x
45. Tính tích phân : I dx 4
x3 1 ln 1 tgx dx
50. Tính tích phân : B
0
0
1 1
0 0
x t t.2tdt t 2 dt
Ñaë t t 2tdt Vaä y I 26
t2
x x dx
x1 t1 1 t1
6
0t 0
x t
0
4
dx;
Ñaë t t x dt
du
4
1 1
t0 u0 2 1 0
x t
3
du 3t 2 dt 2
Ñaë t u t 3 I du 4
3 0 1 u2
t1 u1 u2 1
0
0
0 0 0
u tgm m 1 tgt 2
4 4
ln 1 tg ln 1 ln
B t dt dt dt
; 1 tg 2 m dm
Ñaë t u tgm m du 4 1 tgt 1 tgt
22 u1 tgm 1 m 0 0
4 4
ln 2
4 4 4
2 4 1 tg m dm
2
24 2 4
ln 2dt ln 1 tgt dt ln 2 t ln 1 tgx dx I
4
I dm m 4
0
3 0 1 tg2 m 30 3 6 0 0 0
0
ln 2 ln 2
2I I
3
x2 4 8
max 1;
46. Tính tích phân : I dx
4 51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên và tuần
0
aT T
2 2
x x
f x dx f x dx
Ta laä p hieä u soá : H 1 . Cho H 0 1 0 4 2
x2 x hoàn với chu kỳ T thì :
4 4 0
a
x -2 0 2 3 2004
H 0 +0–
1 cos 2 xdx
Áp dụng, tính tích phân : I
3
2 3 2 3
x2 x2 x2 x3 9 2 43
2 0
I= max 1; dx+ max 1; dx= dx+ dx= x + =2+ -=
4 4 4 12 4 3 12
0
0 2 0 2 2
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
T a aT T 0 1 0
dx dx dx
Ta coù : 1
f x dx f x dx f x dx f x dx Xeù t J
I
ex 1 x2 1 ex 1 x2 1 ex 1 x2 1
0 0 a aT 1 0 1
T
x aT ta 0 0
x t
Xeù t I3 f x dx Ñaë t t xT dt dx Ñaë t x t dx dt
0
x Tt 1 t1
x
aT
0 a a a
0 1 1 1
et dt e x dx
dt dx
2
I3 f t T dt f t T dt f t dt f x dx . Vaä y I
J
x2 1
1t 1 1t 1 1x 1
2 2 2
t t x
e e e
0 0 0
a
1 0 0 0
T aT
Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c f x dx f x dx ñpcm 0 0 0
x tgu u
; 1 tg2 u du
Ñaë t x tgu u dx
0 a
22 x1 tgu 1 u
2004 2004 2004
4
AÙ p duï ng : I 1 cos 2 xdx 2sin 2 xdx 2 sin x dx
0 0 0
1 tg2 u du
4 4
2 4 2004
I du u 4
2 sin x dx sin x dx ... sin x dx 4
1 tg2 u 0
0 0
0 2 2002
x
1 ln t
2 4 2004
dt 18
Theo tính chaá t treâ n, ta coù : sin x dx sin x dx ... sin x dx 56. Giải phương trình theo ẩn x :
t
0 2 2002
1
2 2
e
1002 2 sin x dx 1002 2 sin xdx sin xdx
Neâ n I
1
x
0 0
0
t u
1 ln t dt
dt Ñaë t u 1 ln t
Goï i I du e
2
1002 2 cos x cos x 4008 2 t t
u 1 ln x
t x
1
0
e
1 2
1 ln x
1 ln x
1 ln x 2
u
x 2004 sin xdx
52. Tính tích phân : I I udu
2 2
0 0
1
e5
x
2
0 1
1 ln x 1 ln x 6 ln x 5
x 2004 sin xdx x 2004 sin xdx (1)
I 2
18 1 ln x 36
pt 1
2 1 ln x 6 ln x 7 x
1 0
e7
0
1 t1
x
Xeù t tích phaâ n I1 sin xdx. Ñaë t x
2004
x t dx dt
0 t0
x
1
57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) :
0 1 1
sin sin tdt sin xdx (2)
2004 2004 2004
I1 t t dt t x
x2 4x 4
y
1 0 0
, tiệm cận xiên của (C) và hai đường
x1
Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c : I 0
thẳng x = 2, x = 5
x sin x cos2 xdx
53. Tính tích phân : D 4x 4 1
x2
Haø m soá vieá t thaø nh : y x3
0
x1 x1
1
0
x t
Vì lim 0 neâ n TCX cuû a (C) laø y x3
Ñaë t t x dt dx
x1
0
x t x
5 5
1 1 1
0
x3 x 3 dx dx Vôù i x 2;5 0
Vaä y S
t sin t cos2 t sin t cos2 tdt
D t dt x1 x1 x1
2 2
0
5
1 5
ln x 1 ln 4 ln1 2 ln 2 ñvdt
neâ n S dx
sin t cos tdt t sin t cos tdt sin t cos2 tdt x sin x cos2 xdx
2 2
x1 2
2
0 0 0 0
x2
sin t cos2 tdt D 2D sin t cos2 tdt y 2 1 quay quanh trục
58. Cho hình giới hạn elip :
4
0 0
0 u1
t hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên.
cos t sin tdt
Ñaë t u du
1
t u
4 x2 1
x2 x2
1 1 4 x2
y2 y2
Elip y
1
1 1
4 4 4 2
2
u3
sin t cos tdt 2 2 2
u du u du D
Vì elip coù a2 4 a 2, b 2 1 b 1 neâ n hình giôù i haï n elip coù : 2 2
x
3 3 3
0 1 1 1
2
2 2
8 8 8
x3
3
4 x dx 4x 8 8
2 2
VOx y dx ñvtt
sin x.sin 2 x.sin 3 x.cos 5 xdx
54. Tính tích phân : I 4 4 3 4 3 3 3
2 2 2
0
3
59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do
3
2
sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx (1)
I quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường
3
0
tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
2
3 3
2
pt ñöôø ng troø n taâ m I 3; 0 ,R 2 laø x 3 y2 4
3
x t
sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx Ñaë t x 3 dt.
Xeù t J t dx 2 2 2
x3 4 y2 x3 4 y2 x3 4 y2
3 0
x t
3
Vì ñöôø ng troø n coù taâ m I 3; 0 ,R 2 neâ n 2y 2
2
2 2 2
0
VOy 3 4 y2 3 4 y2 dy 6.2 4 y 2 dy 12 4 y 2 dy
2 2
sin 3 t sin 6 2t sin 9 3t cos 15 5t
J dt 2 2 2
3
y 2 sin u 1 u
2 2
2
3 3 Goï i I 4 y 2 dy Ñaë t y 2sin u u ; dy 2 cos udu
22
2 2
y 2 sin u 1 u
2
sin t sin 2t sin 3t cos 5tdt sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx (2). 2
0 0
1
2 2 2 2 2
Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c I 0 I 4 4sin 2 t 2 cos udu 4 cos u cos udu 4 cos2 udu 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u
2
2
2 2 2 2
2 2 VOy 24 ñvtt
2
1
dx 2 2
55. Tính tích phân : I
1x 1
2
x
e
1
- Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x 4x 3 x3
2
60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2 2
x x 3 3
x x
4 vaø y
y 3 0
x x
(Đại học khối B – 2002)
4x 3 x3 5x 0
x2 x2
4 42 0 5 5
x x x
4x 3 x3 x 2 3x 6 0(VN )
x2
pt hoaø nh ñoä giao ñieå m 2 ñöôø ng laø :
x 0 5
x2 x2 x2 x4 x4 x2 8 22
x2 x
4 4 4 0 0 – 0
4x 3 x3
2
x
4 4 32 32 4
42 16 (voâ lyù )
x2
22 2 2 2 2
x x x x 5 5 5
4 dx Vôù i x 2 2;2 2 , 4 0
S x3 4 x 3 dx x 3 dx 4 x 3 dx
x2 x2
S
4 4
42 42
22 0 0 0
5
22 22 22
x2 x2 x2 x2 55
x2
neâ n S 4 4
dx dx dx AB 3x I I
4 4 2 2
42 42
22 22 22 0
5
22
1 4 x 3 dx Giaû i pt x 2 4 x 3 0 ta ñöôï c : x 1 x 3
x2
I
16 x 2 dx Ñaë t x 4sin t t ; 4 cos tdt
A dx
2 22 0
22
x 0 1 3 5
2
22 sin t
x t
4x 3
2
x +0– 0+
2 4
2 1 3 5
22 sin t
x t Ta coù : I 4 x 3 dx 4 x 3 dx 4 x 3 dx
2
x2 x2
x
2 4
0 1 3
1 3 5
1 4 4 4 4
4 4 20 28
x3 x3 x3
16 16sin 2 t .4 cos tdt 8 cos t cos tdt 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt
A 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x
2 3 3 3 3 3 3 3
0 1 3
4 4 4 4
55 28 109
ñvdt
S
1 1 1 2 3 6
4
4t s in2t 4 2 4
2 4 2 4 2 63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường :
4
x ; y 2 x; y 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay
y
22
22
1 8
2 3
x x
16 2 16 2
B dx
3
42 12 2 12 2 tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.
22 22
8 4 y 0 x y2
y x
2 4 2
Vaä y S AB ñvdt Mieà n D giôù i haï n bôû i
3 3 2x x2y
y
y 1 nhaä n
cot gx. 3 sin 3 x sin xdx
2
Pt tung ñoä giao ñieå m : y 2 2y y2 0
y2
Tính tích phân : A 2 loaï i
y
sin3 x
1 1
2
3 2 2
2y 2y
y2 y4
VOy dy dy
sin3 x sin x 0 0
cot gx. 3 cot gx. 1 1 cot g x 2
3 1
2 2
sin3 x 2
A dx dx x 0;1 , y 4 2y 0 neâ n VOy 4 4y y2 y 4 dy
sin 2 x sin 2 x 0
3 3 1
1 1 32
y3 y5
1 4y 2y2 42 ñvtt
x t 3 5 3 5 15
cot gx. 3 cot g 2 x dx
2
3 3 0
dx. Ñaë t t cot gx dt
sin 2 x sin 2 x 64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y =
0
x t
3
2 xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay
1 1
tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
0 5
3
3 3 t8 3
33 1 9
3
t 3 t2
A dt t 3 dt Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø :
8 8 81 24
1 0
0
x 0 (loaï i)
3
x ln x 0
ln x 0 x1
e
ln x
61. Tính tích phân : I dx e e
2
2
x ln x dx x 2 ln 2 xdx
Vaä y VOx I1
x1
1
1 1
e
2 ln x
du dx
dx e e
ln 2 x
u
ln x 22 2
x3 2 e3
u du x
ln x x ln xdx
Ñaë t I1 I
x
3 31 3 32
x3
dx 2
dv x dx
Ñaë t 1
dx x 2 dx
v
dv 1
v 3
2
x1 x1
2
x1
dx
du '
e e
1 u ' ln x
dx x
.ln x 1A
I Ñaë t
x1 xx 1 dv ' x 2 dx x3
1
1
v' x 2 dx
e
e
3
x1 x
e e e
1 1
dx e e e
ln x ln x 1
A dx dx e
12 1 2e3 1
x3 e3 x3 e3 e3
1
ln x
I2 x dx
x1
x
xx 1 xx 1
3 31 3 9 3 9 9 9
e
1 1 1
e e e 1 1
1 5e3 2
2 2e 3 1
e3
e
.
VOx ñvtt
x e
ln e
ln ln ln e 1. Vaä y I 0 3 3 9 27
1
x1 e1
1
1
e
e
62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
4 x 3 vaø y x 3 (Đại học khối A – 2002)
x2
y
nguon tai.lieu . vn
