Xem mẫu
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
3
π
2
-3 3
-3 3
-1 3 0 1
π3
cotang
2π 3
3 π
3 2 2 4
3π
2
4 3
π
1
3
5π 6
2
6
3 2 23 0
π
2 2 1 1 cosin
-1 22
2 2
1
7π -3
2 11π
6 2 3
6
5π 2
7π
3
4
4π 4
2 5π
-1
3 3π 3
2
1
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
C ác bạn học sinh thân mến! Trong mỗi chúng ta ai cũng ấp ủ trong
mình những ước mơ, hoài bảo. Đối với riêng học sinh ở cấp
THPT chúng ta thì ước mơ lớn nhất không gì khác hơn, đó là thi
đậu vào trường Đại học, Cao đẳng mà chúng ta mong ước, cái ước mơ ấy
lại càng có cơ sở để trở thành hiện thực nếu như chúng ta cố gắng học
tập. Ước mơ của nhóm biên soạn chúng tôi cũng chẳng khác gì các bạn.
Để góp phần thực hiện cái ước mơ ấy nhóm chúng tôi đã quyết định soạn
ra một quyển chuyên đề lấy tên là “Phương trình lượng giác”. Không phải
ngẫu nhiên mà nhóm chúng tôi lại quyết định chọn chuyên đề này. Nh ư
các bạn đã biết, phương trình lượng giác là một mảng không th ể thi ếu
trong các kì thi Đại học và Cao đẳng.
2
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Chương I:
Các
công thức
lượng giác
cần nhớ
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
3
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
sin 2 α + cos 2 α = 1
•
sin α π
tan α = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
•
cos α 2
cos α
cot α = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
•
sin α
π
1
tan 2 α + 1 = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
•
cos α
2
2
1
cot 2 α + 1 = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
•
sin 2 α
Cung hơn kém k2π và kπ :
sin ( x + k 2π ) = sin x
•
cos ( x + k 2π ) = cos x
•
tan ( x + kπ ) = tan x
•
Cung đối :
sin ( − x ) = − sin x
•
cos ( − x ) = cos x
•
tan ( − x ) = − tan x
•
Cung bù :
sin ( π − x ) = sin x
•
cos ( π − x ) = − cos x
•
tan ( π − x ) = − tan x
•
Cung phụ :
π π
sin − x ÷ = cos x tan − x ÷ = cot x
2 2
Cung hơn kém π/2 :
π π
cos − x ÷ = sin x cot 4− x ÷ = tan x
2 2
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
π
sin + x ÷ = cos x
•
2
π
cos + x ÷ = − sin x
•
2
π
tan + x ÷ = − cot x
•
2
π
Cung hcot +π : = − tan x
• ơn kém x ÷
2
sin ( π + x ) = − sin x
•
cos ( π + x ) = − cos x
•
• tan ( π + x ) = tan x
Công thức cộng :
sin ( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x ( ∀x, y ∈ ¡ )
•
cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y ( ∀x, y ∈ ¡ )
•
π
tan x ± tan y
tan ( x ± y ) = ∀x, y, x ± y ≠ + kπ ÷
•
1 mtan x tan y
2
Công thức nhân đôi :
cot x cot y m1
• cot ( x ± y ) = cos ( ∀x, y, x ± y ≠ kπ )
• sin 2 x = 2sin xcot yx± cot x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
•
π
2 tan x 2
∀x, 2 x ≠ + kπ ÷
tan 2 x = =
•
1 − tan x cot x − tan x
2
2
cot 2 x − 1 cot x − tan x
( ∀x, 2 x ≠ kπ )
• cot 2 x = =
2cot x 2
Công thức chia đôi :
1 − cos x
x
=±
• sin
2 2
1 + cos x
x
=±
• cos
2 2
5
1 − cos x 1 − cos x
x
tan = ± =
•
1 + cos x
2 sin x
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Công thức nhân ba :
sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x
•
cos3 x = 4cos 3 x − 3cos x
•
π
3tan x − tan 3 x
∀x,3 x ≠ + kπ ÷
tan 3 x =
•
1 − 3tan x
2
2
cot 3 x − 3cot x
( ∀x,3x ≠ kπ )
cot ạ =
Công•thức h3 x bậc :
3cot 2 x − 1
1
( 1 − cos 2 x )
sin 2 x =
•
2
1
( 1 + cos 2 x )
cos 2 x =
•
2
π
1 − cos 2 x
∀x ≠ + kπ ÷
tan 2 x =
•
1 + cos 2 x
2
1 + cos 2 x
( ∀x ≠ kπ )
• cot x =
2
1 − sin 2x + cos 3 x
3cos x
Công•thức theo =
3
cos x :
4
x
Công thức theo t = tan :
2
2t
sin x =
•
1+ t2
1− t2
cos x =
•
Công thức biến 1 + i tích thành tổng :
2
đổt
xπ
2t
∀x, ≠ + kπ ÷
tan x =
• 2
1− t
22
Công thức biến đổi tích thành tổng :
6
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
1
sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ( x > y )
sin x cos y =
•
2
1
• cos y sin x = sin ( x + y ) − cos ( y − x ) ( y > x )
2
Công thức biến đổi tổng thành tích :
1
cos ( x + y ) + cos ( x − y )
cos x cos y =
•
2
1
Công thứsin x sinđy =t− ng cos ( x + y ) :− cos ( x − y )
c biến ổi ổ thành tích
2
•
x+ y x− y
sin x + sin y = 2sin cos
•
2 2
x+ y x− y
cos x + cos y = 2cos cos
•
2 2
x+ y x− y
sin x − sin y = 2cos sin
•
2 2
π π
• sin x + cos x = 2 sin xy
x + 4 ÷ = y2 cos x − 4 ÷
+ x−
sin
• cos x − cos y = −2sin
2 2
π π
• sin x − cos x = 2 x ± x ÷ = −π 2 cos x + ÷
sin ( sin y ) −
∀x, y ≠ + kπ
4 ÷ 4
• tan x ± tan y =
cos x cos y
2
Các kết quả thường dùng :
π
• tan x + cot x = −2cot 2 x ∀x ≠ k ÷
2
π
2
tan x − cot x = ∀x ≠ k ÷
•
sin 2 x 2
31
sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x
•
44
53
sin 6 x + cos 6 x = + cos 4 x
•
88
π x
1 + sin x = 2 cos 2 − ÷
•
4 2
π x
1 − sin x = 2sin 2 − ÷
•
4 2
7
π
2 cos x − ÷
• 4
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Các hằng đẳng thức trong tam giác :
A B C
sin A + sin B + sin C = 4cos cos cos
•
2 2 2
A B C
cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin
•
2 2 2
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
•
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
•
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2cos A cos B cos C
•
cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C
•
A B C A B C
+ cot + cot = cot cot8 cot
cot
•
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
9
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Chương II:
Phương trình
lượng giác
10
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
I. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản. Dù cơ bản (chính vì cơ bản
nên nó mới có tên như vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG
khác nếu giải được cũng phải đưa về một trong 3 PTCB sau đây:
với α ≤ 1 , có nghiệm là:
1. sinα =
x
x = arcsinα + k2 π
x = π − arcsinα +k2 π ( k ∈ Z)
2. cosα =
x với α ≤ 1 , có nghiệm là:
x = ± arc cosα+k2 π ( k ∈ Z)
3. tgx = α có nghiệm là:
x = arcα + kπ ( k ∈ Z)
tg
(hay là cotα =
gx có nghiệm là:
x = arc cotα + kπ ) ( k ∈ Z)
g
Ví dụ 1: Giai phương trinh sau:
̉ ̀
cos ( 3π sin x ) = cos ( π sin x )
̉
Giai
sin x = k
3π sin x = π sin x + k 2π 2π sin x = k 2π
⇔
⇔ ⇔
sin x = k
3π sin x = −π sin x + k 2π 4π sin x = k 2π
2
k ≤1
k ∈ Z k
≤ 1 ⇔ k ∈ { 0; ±1; ±2}
⇔
⇔k
Do
sin x ≤ 1 ≤1 2
2
11
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
sin x = 0 sin 2 x = 0
1 1
⇔ sin x = ± ⇔ sin x =
2
2
sin x = ±1 1
sin x = −
2
lπ
x = 2
lπ
x = ± π + k 2π x=
2
6
⇔
⇔ (l , k ∈Z )
x = ± π + kπ
x = 5π + k 2π
6 6
7π
+ k 2π
x =
6
Ví dụ 2: Giải phương trình
( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (1)
(Khối D, 2004)
Giải
(1) ⇔ ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x(2 cos x − 1)
⇔ ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 0
1
⇔ cos x = ∨ sin x + cos x = 0
2
π
+ k 2π ∨ tan x = −1
⇔x=±
3
π π
⇔ x = ± + k 2π ∨ x = − + kπ ( k ∈ Ζ )
3 4
12
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Ví dụ 3: Giải phương trình
sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x = 0 (1)
(Đại học sư phạm Vinh,1997)
Giải
(1) ⇔ ( sin 6 x + sin x ) + ( sin 5 x + sin 2 x ) + ( sin 4 x + sin 3 x ) = 0
7x 5x 7x 3x 7x x
⇔ 2.sin .cos + 2.sin .cos + 2.sin .cos = 0
2 2 2 2 2 2
7x x
5x 3x
⇔ 2.sin cos + cos + cos ÷ = 0
2 2
2 2
7x x
x
⇔ 2.sin 2.cos 2 x.cos + cos ÷ = 0
2 2
2
7x x
⇔ 2.sin .cos ( 2.cos 2 x + 1) = 0
2 2
7x
=0
sin
2
x
cos = 0
⇔
2
1
cos 2 x = −
2
2π
x=k
7
x = π + k 2π ( k ∈ Ζ )
⇔
π
+ kπ
x=±
3
13
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Ví dụ 4: Giải phương trình
π
8.cos3 x + ÷ = cos 3 x ( 1)
3
(Đại học Quốc Gia Hà Nội, 1999)
Giải
π π
Đặt t = x + ⇒ x = t −
3 3
( 1) ⇔ 8.cos3 t = cos ( 3t − x )
⇔ 8.cos3 t = − cos 3t
⇔ 8.cos3 t + cos 3t = 0
⇔ 8.cos3 t + 4 cos3 t − 3.cos t = 0
⇔ 3.cos t (4 cos 2 t − 1) = 0
⇔ cos t 2 ( 1 + cos 2t ) − 1 = 0
⇔ cos t ( 2 cos 2t + 1) = 0
cos t = 0
⇔ 1
cos 2t = −
2
π
π + kπ
x=
+ kπ
t=
6
2
x = kπ ( k ∈ Ζ )
π
⇔ t = + kπ ⇔
3
2π
+ kπ
x=−
π
t = − + kπ 3
3
14
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Bµi tËp tù gi¶i:
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
π
1. cos x + ÷+ sin 2 x = 0
3
π π
2. cos x + ÷+ cos x − ÷ = 1
3 3
3. tan 2 x.tan x = −1
4. sin 2 x + sin 2 x.tan 2 x = 3
5. 5cos 2 x + sin 2 x = 4
1
6. 3 sin x + cos x =
cos x
7. cos 2 x = sin 3 x − sin 4 2 x
4
π
8. tan x − ÷ = 1 − tan x
4
1
9. sin 3 x cos x = + cos 3 x sin x
4
10. sin x + cos x = cos 4 x
4 4
11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x)
12. sin + cos =
13. sin 2 5 x + cos 2 3 x = 1
−2
14. cos x cos 2 x cos 4 x =
16
15. sin ( π sin x ) = 1
cos 2 x sin 2 x
=
16.
1 − sin x 1 − cos x
1 1 2
+ =
17.
cos x sin 2 x sin 4 x
18. 4sin 3 2 x + 6sin 2 x = 3
Bài 2 : Cho phương trình tan ( π cos x ) = cot ( π sin x )
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ −3π ;π ] của phương trình.
Bài 3 : Cho phương trình sin6x + cos6x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng ( 0;π )
15
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Bài 4: Giải và biện luận phương trình ( 2m − 1) cos 2 x + 2m sin x + 3m − 2 = 0
2
Mời các bạn cùng tham khảo qua phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
trong các đề thi tuyển sinh đại học sau :
1) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2005
2) ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 1
Trích ĐTTS Học viện Ngân hàng TPHCM, 2000
3) sin 3 x − cos 4 x = sin 5 x − cos 2 6 x
3 2 2
Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2002
4) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos 3 3 x
Trích ĐTTS Đại học Tài chính Kế toán Hà Nội,1998
5)sin x.cos 3 x + cos 3 x.sin 3 x = sin 3 4 x
3
Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương TPHCM,1999
2
6) cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x =
4
Trích ĐTTS Đại học Mở Hà Nội, 2000
7) cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0
Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương, 1996
x 3x x 3x 1
8) cos x.cos .cos − sin x.sin .sin =
2 2 2 22
Trích ĐTTS Đại học Y Hà Nội, 1997
x π x π x 2π 3x π
9) 2 cos − ÷− 6 sin − ÷ = 2sin + ÷− 2sin + ÷
5 12 5 12 5 3 5 6
Trích ĐTTS Đại học Y Thái Bình, 1997
π π
10) sin 3x − ÷ = sin 2 x.sin x + ÷
4 4
Trích ĐTTS Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông, 1999
II. Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số
lượng giác
16
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số lượng giác gồm
các dạng sau đây.
a sin 2 u + b sin u + c = 0
a cos 2 u + b cos u + c = 0
;a ≠ 0
a tan 2 u + b tan u + c = 0
a cot 2 u + b tan u + c = 0
Cách giải
sin u = t
t ≤1
cos u = t
Đặt tan u = t
cot u = t
Ví dụ 1: Giải phương trình
π π 3
cos 4 x + sin 4 x + cos x − ÷.sin 3 x − ÷− = 0 (1)
4 4 2
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005)
Giải
π
1 3
(1) ⇔ 1 − 2sin 2 x.cos 2 x + sin 4 x − ÷+ sin 2 x − = 0
2 2 2
1 1 1
⇔ − .sin 2 2 x + ( − cos 4 x + sin 2 x ) − = 0
2 2 2
⇔ − sin 2 2 x + ( 2 sin 2 2 x − 1 + sin 2 x ) − 1 = 0
⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0
⇔ sin 2 x = 1 ∨ sin 2 x = −2(!)
⇔ sin 2 x = 1
π
+ k 2π , k ∈ Z
⇔ 2x =
2
17
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
π
+ kπ
⇔x=
4
Ví dụ 2: Giải phương trình
cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0(1)
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005)
Giải
(1) ⇔ 4 cos x − 3cos x + 2 cos x − 1 − cos x −1 = 0
3 2
⇔ 2 cos3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0
⇔ ( cos x − 1) ( 2 cos 2 x + 3cos x + 1) = 0
x = k 2π
cos x = 1
x = π + k 2π
cos x = −1
⇔ ⇔
2π
1
+ k 2π
x=±
cos x = −
3
2
x = kπ
(k∈ Z)
⇔
2π
+ k 2π
x=±
3
Ví dụ 3: Giải phương trình
cos 2 3x.cos 2 x − cos 2 x = 0(1)
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2005)
Giải
18
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
1 + cos 6 x 1 + cos 2 x
( 1) ⇔ ÷.cos 2 x − =0
2 2
⇔ cos 6 x.cos 2 x − 1 = 0
⇔ ( 4 cos3 2 x − 3cos 2 x ) .cos 2 x − 1 = 0
⇔ 4 cos 4 2 x − 3cos 2 2 x − 1 = 0
cos 2 2 x = 1
⇔
1
cos 2 2 x = − (Loại)
4
⇔ sin 2 x = 0
⇔ 2 x = kπ, k∈ Z
kπ
⇔ x = , k∈ Z
2
Ví dụ 4: Giải phương trình
5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ). tan 2 x
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối B, 2004)
Giải
π
+ lπ , l ∈ Z
Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
sin 2 x
(1) ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ).
cos 2 x
⇔ ( 5 sin x − 2 ). cos 2 x = 3(1 − sin x). sin 2 x
( )
⇔ ( 5 sin x − 2 ) 1 − sin 2 x = 3(1 − sin x). sin 2 x
⇔ ( 5 sin x − 2 ) (1 + sin x ) = 3 sin 2 x (do cos x ≠ 0 ⇒ sin x ≠ 1 )
⇔ 2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0
1
sin x =
⇔ 2
sin x = −2.(!)
19
- Chuyên đề Phương trình lượng giác 10
Toán
π
x = + k 2π
6
⇔ , k∈ Z
5π
+ k 2π
x=
6
So với điều kiện, ta thấy đây là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải phương trình
( )
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x. cos x
=0
2 − 2 sin x
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2006)
Giải
π 3π
2
⇔ x ≠ + k 2π ∧ x ≠ + k 2π
Điều kiện : sin x ≠
2 4 4
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương :
( )
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x. cos x = 0
( )
⇔ 2 1 − 3 sin 2 x. cos 2 x − sin x. cos x = 0
3 1
⇔ 21 − sin 2 2 x − sin 2 x = 0
4 2
⇔ 3 sin 2 x + sin 2 x − 4 = 0
4
⇔ sin 2 x = 1 ∨ sin 2 x = − (!)
3
⇔ sin 2 x = 1
π
⇔ x = + lπ
4
5π
+ m2π
So với điều kiện, ta thấy nghiệm của phương trình đã cho là: x =
4
Ví dụ 6: Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình:
cos 3x + sin 3 x
5 sin x + = 3 + cos 2 x (1)
1 + 2 sin 2 x
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2002)
Giải
20
nguon tai.lieu . vn