Xem mẫu
- LƯỢNG GIÁC
Chuyên đề 8:
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vị đo góc và cung:
0 1
1. Độ: o
.
180
góc bẹt
Góc1 = x
O
180 y
2. Radian: (rad)
0
180 =π rad
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
Độ 120 135 150 180 360
0 30 45 60 90
π π π π 2π 3π 5π
Radian 0 2π
π
6 4 3 2 3 4 6
II. Góc lượng giác & cung lượng
giác: 1. Định nghĩa:
y
(tia ngọn)
y
+
(điểm ngọn)
+ B
α t
M
α
t
x
x
α
O A (điểm gốc)
(tia gốc)
O
(Ox,Oy) = α + k 2π (k Z)
AB =α + k2π
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượ ng giác đặc biệt:
y
→
A 2kπ B
+
π
B →
2+2kπ
x
C π +2kπ
→ O A
C
→
D π
- 2 + 2kπ −
D
→
A,C kπ
→
B,D π
2+kπ
33
- y t
B u
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
u' 1
+
1. Đường tròn lượng giác:
−1 1
R=1
• A: điểm gốc x
' O
C A
x Ox : trục côsin ( trục hoành )
• x'
'
( trục tung )
• y Oy : trục sin
' −
−1D
• t At : trục tang
'
• u Bu : trục cotang
t'
y'
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .
a. Định nghĩa:
' '
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x Ox và y Oy
' '
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t At và u Bu
y
T a định nghĩa: t
t
Trục sin
Trục cotang
U
u' B u
Q T +
M = OP
cosα
α
α
t x = OQ
sinα
x' O P
= AT
A tgα
−
Trục cosin −1 cot gα = BU
Trục tang
y' t'
b. Các tính chất :
Với mọ i α ta có :
•
−1≤sinα ≤1 hay sinα ≤ 1
−1≤ cosα ≤1 hay cosα ≤ 1
π
2 + kπ
tgα xác định α≠
•
α ≠ kπ
cotgα xác định
•
d. Tính tuần hoàn
sin(α + k2π ) =sinα
cos(α + k2π ) = cosα
(k Z )
= tg α
tg(α + kπ )
cot g(α + kπ ) = cotgα
34
- IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
B π/2
- -1 - 3 /3 1
3 3 /3 3
u' 1 π/3 u
2π/3
3 /2 π/4
3π/4
2 /2 π/6
+
3 /3
5π/6 1/2
x' 2
x
π 1A
3 /2
/2 (Điểm gốc)
1/2
- 3 /2 - -1/2
2 /2
-1 O
−
-1/2
- 3 /3
-π/6
- 2 /2
3 /2 -π/4
-
-1
-1
-π/2 -π/3
y
t 3
- - 3
y' t'
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0
Góc 45 150 180 360
120 135
0 30 60 90
0 π π 2π
2π 3π 5π
π π π
Hslg 6 4 3 2 3 4 6
1 1
sinα 0 1 0 0
2 3 3 2
2 2
2 2 2 2
cosα 1 −1
1 0 1
-1
3 2 2 3
− −
2 2
2 2 2 2
kxđ
0 0 0
t gα 1 -1
3 3 3 3
−
−
3 3
kxđ
cotgα 3 1 3 3 -1 −3
kxđ kxđ
0
−
3 3
35
- V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan
đặc biệt: Đó là các cung :
π π
6&− 6 ,…)
(tổng bằng 0)
: α và -α (Vd:
1. Cung đối nhau
π 5π
& , …)
( tổng bằng π )
2. Cung bù nhau : α và π -α (Vd:
6 6
π
π ππ
( tổng bằng 2)
2 −α 6& 3, … )
: α và
3. Cung phụ nhau (Vd:
π 2π
π
π
& ,… )
: α và +α
4. Cung hơn kém (Vd:
6 3
2 2
π 7π
& ,… )
: α và π +α (Vd:
5. Cung hơn kém π
6 6
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
cos(π −α) = −cosα
cos(−α) = cosα
sin(π −α) = sinα
sin(−α) = −sinα Đối cos Bù sin
tg(−α) = −tgα tg(π −α) = −tgα
cot g(−α) = − cot gα cot g(π −α) = − cot gα
π
4. Cung hơn kém
3. Cung phụ nhau :
2
π
+α)
cos( = −sinα
π
π
cos( 2 −α) =sinα 2
Hơn kém π
π Phụ chéo sin( 2 +α) = cosα
2
2 −α)
sin( = cosα sin bằng cos
π π
tg( tg(
2 −α) 2 +α)
cos bằng trừ sin
=cotgα = −cotgα
π π
cot g( 2 −α) = t gα cot g( 2 +α) = − t gα
5. Cung hơn kém π :
cos(π +α) = −cosα
Hơn kém π
sin(π +α) = −sinα
tang , cotang
tg(π +α) = tg α
cot g(π +α) = cot gα
36
- 11π 21π
Ví dụ 1: Tính cos(− ) , tg
4 4
π
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( 2 + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x)
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
1
2
2 2 1+ tg α =
cos α + sin α = 1 2
cos α
sinα 1
2
1+ cotg α = sin2 α
t gα = cosα
cosα tgα . cotgα = 1
cotgα =
sinα
Ví dụ: Chứng minh rằng:
4 4 2 2
1. cos x + sin x = 1− 2sin x cos x
6 6 2 2
2. cos x + sin x = 1− 3sin x cos x
2. Công thức cộng :
cos(α + β ) = cosα.cos β − sinα.sin β
cos(α − β ) = cosα.cos β + sinα.sin β
sin(α + β ) = sinα.cos β + sin β .cosα
sin(α − β ) = sinα.cos β − sin β .cosα
tgα+tgβ
tg(α+β ) =
1− tgα.tgβ
tgα − tgβ
tg(α − β ) =
1+ tgα.tgβ
Ví dụ: Chứng minh rằng:
π
2 cos(α −
1.cosα + sinα = 4)
2.cosα − sinα = π
2 cos(α + 4) 1 cos 2
α
cos2α = +
3. Công thức nhân đôi:
2
2 2
cos2α = cos α − sin α
2 −1 1 cos 2
α
sin 2α = −
=2 cos α2
=1−2sin α 2
4 4
= cos α −sin α
sin 2α = 2sinα.cosα 1
sinα cosα = sin 2α
2tgα
tg2α = 2
2
1− tg α
37
- 4 Công thức nhân ba:
cos α = cos3α + 3cosα
3
4
3
cos3α = 4cos α − 3cosα
3
sin 3α = 3sinα − 4sin α
3sin − sin 3α
α
sin α =
3
4
5. Công thức hạ bậc:
1 cos 2
1 cos 2 1 cos 2
α
tg 2α = −
α ; sin2α = − α;
cos2α = +
2 2 1+ cos 2α
α
,cosα,tgα theo t = tg 2
6.Công thức tính sinα
1− t 2
2t
2t cosα = ;
;
sinα = tg α =
2
2 2
1+ t
1+ t 1− t
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
2 [cos(α + β ) + cos(α − β )]
cosα.cos β =
1
2 [cos(α − β ) − cos(α + β )]
sinα.sin β =
1
= 2 [sin(α + β ) + sin(α − β )]
sinα.cos β
Ví dụ:
1. Biến đổ i thành tổng biểu thức: A = cos 5x.cos 3x
π 7π
5
2. Tính giá trị của biểu thức: B = cos 12 sin 12
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
α+β α−β
cosα + cos β = 2 cos .cos
2 2
α+β α−β
cosα − cos β = −2sin .sin
2
2
α+β α−β
sinα + sin β = 2sin .cos
2 2
α+β α−β
sinα − sin β = 2 cos .sin
2
2
sin(α + β)
tgα + tgβ =
cosα cos β
sin(α − β)
tgα − tgβ =
cosα cos β
38
nguon tai.lieu . vn
