Xem mẫu
- Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info
Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009.
Phương pháp 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
Kỹ thuật 1 : Tách, ghép và phân nhóm
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3
Chứng minh rằng:
a3 b3 c3 3
+ + ≥ (1)
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4
Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải:
Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế
a3 b3 c3 (a + b + c)
(1) ⇔ + + ≥
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
a3 a+b a+c ⎛ a3 ⎞ ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + c ⎞ 3a
⎟⎜
+ + ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜
⎜ (a + b ) ( a + c ) ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎜ 8 ⎠ = 4
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝
⎟
⎟
⎟
(a + b ) ( a + c ) 8 8 ⎜
⎝ ⎟⎜
Chứng minh tương tự ta cũng được:
b3 b+c b+a ⎛ b3 ⎞ ⎛ b + c ⎞⎛ b + a ⎞ 3b
⎟
+ + ⎜
≥ 33 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
(b + c)(b + a ) 8 8 ⎜(b + c)(b + a )⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4
⎜
⎝
⎟⎜
⎟⎝ ⎟⎜
⎟ ⎟
⎟
c3 c+a c+b ⎛ c3 ⎞ ⎛ c + a ⎞ ⎛ c + b ⎞ 3c
⎟⎜
+ + ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜
⎜(c + a )(c + b)⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4
⎜ ⎟⎝ ⎟⎜ ⎟
⎟
⎟
( c + a ) (c + b) 8 8 ⎜
⎝ ⎟
Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:
a3 b3 c3 a+b+c 3
+ + ≥ = (đpcm)
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 4
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
a3 b3 c3 3
+ + ≥
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4
Bài 2:
- Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng:
a2 b2 c2 a+b+c
+ + ≥
a + bc b + ca c + ab 4
Bài 2:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3
Chứng minh rằng:
a3 b3 c3
+ + ≥ 1 (1)
b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c)
Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải:
Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế
a3 b3 c3 a+b+c
(1) ⇔ + + ≥
b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
9a 3 ⎛ 9a 3 ⎞ ⎟ (3b)(2c + a ) = 9a
+ 3b + (2c + a ) ≥ 3 3 ⎜
⎜ ⎟
⎟
b (2c + a ) ⎝ ⎟
⎜ b (2c + a )⎠
Chứng minh tương tự ta cũng được:
9b3 ⎛ 9b3 ⎞ ⎟
+ 3c + (2a + b) ≥ 3 3 ⎜ ⎟
⎜ c (2a + b)⎠ (3c)(2a + b) = 9b
⎜ ⎟
c (2a + b) ⎜
⎝ ⎟
9c 3 ⎛ 9c3 ⎞
⎟
+ 3a + (2b + c) ≥ 3 3 ⎜ ⎟
⎜ a (2b + c)⎠ (3a )(2b + c) = 9c
⎜ ⎟
a (2b + c) ⎜
⎝ ⎟
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
⎡ a3 b3 c3 ⎤
9⎢ + + ⎥ + 6 (a + b + c) ≥ 9 (a + b + c)
⎢ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) ⎥
⎣ ⎦
a3 b3 c3 a+b+c
⇒ + + ≥ =1
b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài 3:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng:
a3 b3 c3 1
+ + ≥
b + 2c c + 2a a + 2b 3
Bài giải:
Sử dụng giả thiết a 2 + b2 + c2 = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế
- a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2
(1) ⇔ + + ≥
b + 2c c + 2a a + 2b 3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
9a 3 9a 3
+ a (b + 2c) ≥ 2 .a (b + 2c) = 6a 2
(b + 2c) b + 2c
Chứng minh tương tự ta cũng được:
9b 3 9b3
+ b (c + 2a ) ≥ 2 .b (c + 2a ) = 6b2
(c + 2a ) c + 2a
9c3 9c3
+ c (a + 2b) ≥ 2 .c (a + 2ab) = 6c2
(a + 2b) (a + 2b)
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
⎛ a3 b3 c3 ⎞⎟ + 3 (ab + bc + ca ) ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 )
9⎜⎜ + + ⎟
⎟
⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠
⎝
⎛ a3 b3 c3 ⎞ ⎟ ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 ) − 3 (ab + bc + ca ) ≥ 3 (a 2 + b2 + c2 )
⇒ 9⎜ ⎜ + + ⎟
⎟
⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠
⎝
a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2 1
⇒ + + ≥ =
b + 2c c + 2a a + 2b 3 3
3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
3
Bài tập tương tự
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng:
a3 b3 c3 1
+ + ≥
a+b b+c c+a 2
Bài 4:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng:
a b c 3
+ + ≤ (1)
1+a 2
1+ b 2
1+ c 2
2
Hướng dẫn:
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện
Bài giải:
Sử dụng giả thiết ab + bc + ca = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
a a a a 1⎛ a a ⎞⎟
= = . ≤ ⎜
⎜a + b + a + c⎠
⎜ ⎟
⎟
1+a 2 2
a + ab + bc + ca a+b a+c 2⎝
Chứng minh tương tự ta cũng được:
- b 1⎛ b
⎜ b ⎞⎟
≤ ⎜ + ⎟
⎟
1+b 2
2 ⎜b + c b + a⎠
⎝
c 1⎛ c
⎜ c ⎞⎟
≤ ⎜
⎜c + a + a + b⎠
⎟
⎟
1+c 2
2⎝
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
a b c 1 ⎛a + b b + c c + a ⎞ 3
⎟=
+ + ≤ ⎜⎜ + + ⎟
⎟
1+a 2
1+ b 2
1+ c 2
2 ⎜a + b b + c c + a ⎠ 2
⎝
3
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
3
Bài 5:
Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ab bc ac
S= + +
2c + ab 2a + bc 2b + ac
Bài giải:
Ta lần lượt có:
⎧
⎪ ab ab ab ab ⎛ 1 1 ⎞
⎪
⎪ ⎜ ⎟
⎪ 2c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) ≤ 2 ⎜ c + a + c + b ⎠
⎪
⎜
⎝
⎟
⎟
⎪
⎪
⎪
⎪ bc bc bc bc ⎛ 1 1 ⎞
⎪
⎨ = = ≤ ⎜ + ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎪
⎪ 2a + bc a (a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 2 ⎜a + b a + c⎠
⎝
⎪
⎪
⎪
⎪ ca ca ca ⎛
ca ⎜ 1 1 ⎞ ⎟
⎪ 2b + ac = b (a + b + c) + ca = (b + c)(b + a ) ≤ 2 ⎜ b + c + b + a ⎠
⎪
⎪ ⎜
⎝
⎟
⎟
⎪
⎩
bc + ca bc + ab ca + ab a+b+c
⇒S≤ + + = =1
2 (a + b) 2 (c + a ) 2 (c + b) 2
2
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =
3
Vậy Max S = 1 .
Bài tập tương tự
Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2
Chứng minh rằng:
ab bc ac 1
+ + ≤
c + ab a + bc b + ac 2
Phương pháp 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ
Dạng 1:
1) ∀x, y > 0 ta luôn có:
- ⎛1 1⎞
( x + y)⎜ + ⎟ ≥ 4
⎜ ⎟
⎟
⎜x y⎠
⎝
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y
2) ∀x, y, y > 0 ta luôn có:
⎛1 1 1⎞
⎟≥9
(x + y + x )⎜ + +
⎜ ⎟
⎟
⎜x y
⎝ y⎠
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z
Dạng 2:
1) ∀x, y > 0 ta luôn có:
1 1 4
+ ≥
x y x+y
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y
2) ∀x, y, z > 0 ta luôn có:
1 1 1 9
+ + ≥
x y z x+y+z
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z
Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:
ab bc ca a+b+c
+ + ≤
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4
Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
ab 1 1⎛ 1 1 ⎞⎟
= ab. ≤ ab. ⎜⎜a + c + b + c⎠
⎜ ⎟
⎟
a + b + 2c (a + c ) + ( b + c ) 4⎝
Tương tự ta cũng được:
bc 1 1⎛ 1 1 ⎞⎟
= bc. ≤ bc. ⎜⎜ + ⎟
⎟
b + c + 2a (b + a ) + ( c + a ) 4 ⎜b + a c + a⎠
⎝
ca 1 1⎛ 1
⎜ 1 ⎞⎟
= ca. ≤ ca. ⎜ + ⎟
⎟
c + a + 2b ( c + b ) + (a + b ) 4 ⎜c + b a + b⎠
⎝
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
ab bc ca 1 ⎛ bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c
⎟=
+ + ≤ ⎜ ⎜ + + ⎟
⎟
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 ⎜ a + b ⎝ b+c a+c ⎠ 4
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0
Bài 2:
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:
ab bc ca a+b+c
+ + ≤
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6
Bài giải
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
- ab 1 1⎛ 1 1 1⎞
= ab. ≤ ab. ⎜⎜ + + ⎟ ⎟
⎟
a + 3b + 2c (a + c) + (b + c) + 2b 9 ⎜ a + c b + c 2b ⎠
⎝
Tương tự ta cũng được:
bc 1 1⎛ 1 1 1⎞
= bc. ≤ bc. ⎜⎜ + + ⎟ ⎟
⎟
b + 3c + 2a (b + a ) + (c + a ) + 2c 9 ⎜ b + a c + a 2c ⎠
⎝
ca 1 1⎛ 1 1 1⎞⎟
= ca. ≤ ca. ⎜
⎜ c + b + a + b + 2a ⎠
⎜ ⎟
⎟
c + 3a + 2b (c + b) + (a + b) + 2a 9⎝
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
ab bc ca 1 ⎛ a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c
⎟=
+ + ≤ ⎜⎜ + + + ⎟
⎟
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 9 ⎜ ⎝ 2 a+b b+c a+c ⎠ 6
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0
Bài 3:
1 1 1
+ + = 4 .Chứng minh rằng:
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
a b c
1 1 1
+ + ≤1
2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c
Bài giải:
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
1 1 1⎛ 1
⎜ 1 ⎞
⎟ ≤ 1 ⎛ 2 + 1 + 1⎞
⎟
= ≤ ⎜ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟
2a + b + c (a + b) + (a + c) 4 ⎝ a + b a + c ⎠ 16 ⎜ a b c ⎠
⎟ ⎝ ⎟
1 1 1⎛ 1
⎜ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎛ 1 2 1⎞⎟
= ≤ ⎜ + ⎜
⎟≤ ⎜ + + ⎠ ⎟
a + 2b + c (a + b) + (b + c) 4 ⎝ a + b b + c ⎠ 16 ⎝ a b c ⎟
⎜ ⎟
1 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⎟ 1 ⎛ 1 1 2⎞ ⎟
= ≤ ⎜ ⎜ + ⎜
⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠
⎟ ⎟
⎟
a + b + 2c (a + c) + (b + c) 4 ⎜ a + c b + c ⎠
⎝ ⎝
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
1 1 1 1 ⎛ 1 1 1⎞ 1
+ + ≤ ⎜ + + ⎟ = .4 = 1
⎟
2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c 4 ⎜ a b c ⎠ 4
⎝ ⎟
3
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b =
4
Phương pháp 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG
THỨC BẬC BA
Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:
3
ab (a + b) ⎛ a + b ⎞
3
(a + b)(a 2 + ab + b2 ) a 3 + b3 (a 2 + b2 )
⎜
≤⎜ ⎟ ≤
⎟ ≤ ≥ (1)
2 ⎝ 2 ⎠ ⎟ 6 2 (a + b)
3
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b
Bài 1:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
b+c c+a a+b
+ + ≤2
a + 3 4 (b + c ) b + 3 4 (c + a ) c + 3 4 (a 3 + b3 )
3 3 3 3
- Bài giải:
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c
Do đó:
3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c ⇒ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ a + b + c
1 1 b+c b+c
⇒ ≤ ⇒ ≤
a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a+b+c a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a + b + c
Chứng minh tương tự ta cũng được:
c+a c+a
≤
b + 3 4 (c + a ) a + b + c
3 3
a+b a+b
≤
c + 3 4 (a 3 + b3 ) a+b+c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
b+c c+a a+b 2 (a + b + c )
+ + ≤ =2
a + 3 4 (b3 + c 3 ) b + 3 4 (c3 + a 3 ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) a+b+c
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0
Bài 2:
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
1 1 1 1
3 3
+ 3 3
+ 3 3
≤
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
Bài giải
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a 3 + b3 ≥ ab (a + b)
Do đó:
1 1
a 3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c) ⇒ ≤
a + b + abc ab (a + b + c)
3 3
Chứng minh tương tự ta cũng được:
1 1
≤
b + c + abc bc (a + b + c)
3 3
1 1
≤
c + a + abc ca (a + b + c)
3 3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
1 1 1 1 ⎛1 1 1⎞⎟ 1
+ 3 + 3 ≤ ⎜
⎜ ab + bc + ca ⎠ = abc
⎟
⎟
a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c ⎝
3 3 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0
Bài 4:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng:
a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3
+ 2 + 2 ≥2
a 2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a 2
- Bài giải:
a 2 + b2 a+b
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 2 2
≥
a + ab + b 3
Suy ra:
a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 a+b b+c c+a 2 2
2 2
+ 2 2
+ 2 2
≥ + + = (a + b + c) ≥ 3. 3 abc = 2
a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài toán tương tự:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng:
x 9 + y9 y 9 + z9 z9 + x 9
+ 6 + 6 ≥2
x 6 + x 3 y 3 + y9 y + y 3 z 3 + z6 z + z3 x 3 + x 6
Bài 5:
Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng:
1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2
+ + ≥3 3
ab bc ca
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab
1 + a 3 + b3 3
Suy ra: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab ⇒ ≥
ab ab
Chứng minh tương tự ta cũng được:
1 + b3 + c3 3
≥
bc bc
1 + c3 + a 3 3
≥
ca ca
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 3 3 3 3 3 3
+ + ≥ + + ≥ 33 . . =3 3
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài 6:
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
2 a 2 b 2 c 1 1 1
3 2
+ 3 2
+ 3 2
≤ 2 + 2 + 2
a +b b +c c +a a b c
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b
2 a 1
Suy ra: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b ⇒ 3 2
≤
a +b ab
Chứng minh tương tự ta cũng được:
- 2 b 1
3 2
≤
b +c bc
2 c 1
3 2
≤
c +a ca
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
2 a 2 b 2 c 1 1 1 1 1 1
3 2
+ 3 2
+ 3 2
≤ + + ≤ 2 + 2 + 2
a +b b +c c +a ab bc ca a b c
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0
Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info
Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009.
-------------------Hết------------------
nguon tai.lieu . vn
