Xem mẫu
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuyeân ñeà 6 ÔN T P LƯ NG GIÁC
PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
TÓM T T GIÁO KHOA
A. CÔNG TH C LƯ NG GIÁC
I. Ñôn vò ño goùc vaø cung:
1. Ñoä: 180 o
Goùc 10 = 1 goùc beït .
O x
180 y
2. Radian: (rad)
1800 = π rad
3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng:
Ñoä 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian 0 π π π π 2π 3π 5π π 2π
6 4 3 2 3 4 6
II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc:
1. Ñònh nghóa: y
(tia ng n)
y
( i m ng n) +
+ B
α t
t α M
x
α O
x A ( i m g c)
O (tia g c)
(Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)
AB = α + k 2π
32
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: AM = α + k2π
y
A → 2kπ B +
B → π + 2kπ
2
C → π + 2kπ C O A x
M
D → - π + 2kπ
2 D
−
A, C → kπ
B, D → π + kπ
2
y t
III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: B u
u' 1
+
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc:
• A: ñieåm goác −1 R =1 1
x
• x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) x' C O A
• y'Oy : truïc sin ( truïc tung )
• t'At : truïc tang −1D
−
• u'Bu : truïc cotang
t'
y'
2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc:
a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM = α .
Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy
T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu
Ta ñònh nghóa:
y t
t
Tr c sin
Tr c cotang
u' B U
u
Q
M
T + cos α = OP
t α α sin α = OQ
x
x' O P
A tanα = AT
−
cot α = BU
Tr c cosin −1
Tr c tang
y' t'
33
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
b. Caùc tính chaát :
• Vôùi moïi α ta coù :
−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1
π
• tanα xaùc ñinh ∀α ≠
+ kπ
2
• cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ
c. Tính tuaàn hoaøn
sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cos α
(k ∈ Z )
tan(α + kπ ) = tan α
cot(α + kπ ) = cot α
IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät:
Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät
y t
3
- 3 -1 - 3 /3 B π /2 3 /3 1 3
u' 1 π/3 u
2π/3
3 /2 π/4
3π/4
2 /2 π/6
5π/6 3 /3
1/2
+
x' π - 3 /2 - 2 /2 -1/2 1/2 2 /2 3 /2 1 A (Ñieåm goác) x
-1 O
-1/2 −
-π/6
- 3 /3
- 2 /2
- 3 /2 -π/4
-1 -π/3 -1
-π/2
π
- 3
y' t'
34
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Goùc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
0 π π π π 2π 3π 5π π 2π
Hslg 6 4 3 2 3 4 6
sin α 0 1 2 3 1 3 2 1 0 0
2 2 2 2 2 2
cos α 1 3 2 1 0 1 2 3 -1 1
− − −
2 2 2 2 2 2
tan α 0 3 1 3 kxñ − 3 -1 3 0 0
−
3 3
cot α kxñ 3 1 3 0 3 -1 − 3 kxñ kxñ
−
3 3
V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät:
Ñoù laø caùc cung :
π π
1. Cung ñoái nhau : α vaø -α (toång baèng 0) (Vd: &− ,…)
6 6
π 5π
2. Cung buø nhau : α vaø π -α ( toång baèng π ) (Vd: & ,…)
6 6
π π π π
3. Cung phuï nhau : α vaø −α ( toång baèng ) (Vd: & ,…)
2 2 6 3
π π π 2π
4. Cung hôn keùm : α vaø +α (Vd: & ,…)
2 2 6 3
π 7π
5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α (Vd: & ,…)
6 6
1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau :
cos(−α ) = cos α cos(π − α ) = − cos α
sin(−α ) = − sin α Ñoái cos Buø sin sin(π − α ) = sin α
tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α
cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α
35
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
π
3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm
2
π π
cos( − α ) = sin α cos( + α ) = − sin α
2 π 2
π Hôn keùm π
sin( − α ) = cos α Phuï cheùo 2 sin( + α ) = cos α
2 sin baèng cos 2
π
tan( − α ) = cotα cos baèng tröø sin π
tan( + α ) = − cotα
2 2
π π
cot( − α ) = tan α cot( + α ) = − tan α
2 2
5. Cung hôn keùm π :
cos(π + α ) = − cos α
sin(π + α ) = − sin α Hôn keùm π
tan(π + α ) = tanα tang , cotang
cot(π + α ) = cot α
VI. Coâng thöùc löôïng giaùc:
1. Caùc heä thöùc cô baûn:
1
2 2 1 + tan 2α =
cos α + sin α = 1 cos2α
sinα 1
tanα = 1 + cot 2α =
cosα sin 2 α
cosα tanα . cotα = 1
cotα =
sinα
2. Coâng thöùc coäng :
cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α
tanα +tanβ
tan(α +β ) =
1 − tan α .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1 + tan α .tan β
36
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 1 + cos 2α
cos2 α =
2
cos 2α = cos2 α − sin 2 α
= 2 cos2 α − 1
1 − cos 2α
= 1 − 2sin 2 α sin2 α =
2
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2 sin α .cos α
2 tan α 1
tan 2α = sin α cos α = sin 2α
1 − tan 2 α 2
4 Coâng thöùc nhaân ba:
cos 3α + 3 cos α
cos 3 α =
cos 3α = 4 cos 3 α − 3cos α 4
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
3 sin α − sin 3α
sin 3 α =
4
5. Coâng thöùc haï baäc:
1 + cos 2α 1 − cos 2α 1 − cos 2α
cos2 α = ; sin2 α = ; tan2 α =
2 2 1 + cos 2α
α
6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan
2
2t 1 − t2 2t
sin α = ; cos α = ; tan α =
1 + t2 1 + t2 1 − t2
7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång :
1
cosα .cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
37
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích :
α +β α −β
cos α + cos β = 2 cos .cos
2 2
α +β α −β
cos α − cos β = −2sin .sin
2 2
α +β α −β
sin α + sin β = 2 sin .cos
2 2
α +β α −β
sin α − sin β = 2 cos .sin
2 2
sin(α + β )
tan α + tan β =
cos α cos β
sin(α − β )
tan α − tan β =
cos α cos β
9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc:
π π 3 + cos 4α
cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) cos 4 α + sin 4 α =
4 4 4
π π 5 + 3 cos 4α
cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) cos6 α + sin 6 α =
4 4 8
B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc
Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa
Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi
Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù)
Böôùc 4: Keát luaän
I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng )
u = v+k2π
sinu=sinv ⇔
u = π -v+k2π
u = v+k2π
cosu=cosv ⇔ ⇔ u = ± v + k2π
u = -v+k2π
π
tanu=tanv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ + kπ )
2
cotu=cogv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ kπ )
( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z )
38
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Ví d : (B.2013)
Ví d : (C .2013)
II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn:
1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R )
* Gpt : sinx = m (1)
• Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm
• Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù
x = α +k2π
(1) ⇔ sinx=sinα ⇔
x = (π -α )+k2π
* Gpt : cosx = m (2)
• Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm
• Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù
x = β +k2π
(2) ⇔ cosx=cosβ ⇔
x = − β +k2π
* Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R )
• Ñaët m = tan γ thì
(3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ
* Gpt: cotx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R )
• Ñaët m = cot δ thì
(4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ
Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät:
y
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π B
2 +
sinx = 0 ⇔ x = kπ
π
sin x = 1 ⇔ x =+ k 2π x
2 C O A
cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π
π −
cosx = 0 ⇔ x= + kπ D
2
cos x = 1 ⇔ x = k 2π
39
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Bài t p rèn luy n
1) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 3 x ( x = k 2π )
2 π
2) cos 3 x.cos3 x + s in3x.sin 3 x = (x=± + kπ )
4 8
3 2 π
3) 2 tan x + cot x = + (x= + kπ )
3 s in2x 6
tan x + sin x x 2π
4) 3 = 4 cos 2 (x=± + k 2π )
tan x − sin x 2 3
3
cos 2 x π
5) = 3 + s in4x (x=± + kπ )
2 π 12
cos x +
4
s in3x + cos 3 x π
6) = 3cos x + sin x (x=− + kπ )
1 + 2sin 2 x 4
2. Daïng 2:
a sin 2 x + b sin x + c = 0
a cos2 x + b cos x + c = 0
( a ≠ 0)
a tan 2 x + b tan x + c = 0
a cot 2 x + b cot x + c = 0
Caùch giaûi:
Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1)
Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x
Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù)
Bài t p rèn luy n
s in3x + cos 3 x π
1) 5 + sin x = cos 2 x + 3 (x=± + k 2π )
1 + 2 sin 2 x 3
kπ π kπ
2 4 cos5 x sin x − 4 sin 5 x cos x = sin 2 4 x (x= ,x = + )
4 8 2
cos 2 x + 3cot 2 x + s in4x π 7π
3) =2 (x=− + kπ , x = + kπ )
cot 2 x − cos 2 x 12 12
4)
( 2 sin x + 3 2 ) cos x − 2 cos 2
x −1
=1 (x=
π
+ k 2π )
1 + sin 2 x 4
40
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
3. Daïng 3:
a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0)
(Phương trình b c nh t i v i cosx và sinx)
Caùch giaûi:
• Chia hai veá cuûa phöông trình cho a 2 + b 2 thì pt
a b c
(1) ⇔ cos x + sin x = (2)
a2 + b 2 a2 + b2 a2 + b 2
a b
• Ñaët = cosα vaø = sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì :
a2 + b2 a2 + b 2
c
(2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα =
a2 + b 2
c
⇔ cos(x-α ) = (3)
a2 + b 2
Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x.
Chuù yù :
Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b 2 ≥ c 2
Bài t p rèn luy n
π kπ 7π kπ
1) 3sin 4 x − 3 cos12 x = 1 + 4 sin 3 4 x (x= + ;x = + )
24 6 72 6
2π
( )
2) 3 cos x + 3 sin x = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x (x=
3
+ k 2π ; x = k 2π )
3 3 π kπ π kπ
( )
3) 4 sin 6 x + cos 6 x +
2
s in4x = 1 (x= +
4 2
;x = − +
12 2
)
1 3 π π kπ
4) + = 8sin x ( x = + kπ ; x = − + )
sin x cos x 6 12 2
3x x π π 7π
5) 2 sin cos − 2sin x + = 3 ( cos 2 x − cos x ) + 1 ( x = + kπ ; x = + kπ )
2 2 3 4 12
41
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
d. Daïng 4:
a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1)
(Phương trình ng c p b c hai i v i sin và cos)
Caùch giaûi 1:
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x
Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin 2 x = vaø cos2 x =
2 2
1
vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3
2
Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang )
Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt:
a tan2 x + b tan x + c = 0
Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi.
π
Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x = + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng?
2
Ví duï : Giaûi phöông trình:
3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0
Nói thêm:
Phương trình d ng ng c p b c ba: a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos3 x = 0 ho c các ng c p cao
hơn s th c hi n theo cách gi i 2.
d. Daïng 5:
a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 (1)
Caùch giaûi :
π
• Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2
4
2 t2 − 1
Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx=
2
• Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình :
t2 − 1
at + b + c = 0 (2)
2
π
• Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: 2 cos( x − ) = t tìm x.
4
42
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0
4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng :
a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng
giaùc cô baûn ñaõ bieát
Ví duï 1: (B-2012)
Ví du 2ï: Giaûi phöông trình:
3
1) sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x −
=0
2
2) sin 3x − 3 cos 3x = 2 s in2x
1
3) tan x − 3 =
cos x
b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá
Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây:
A=0
A=0
A.B = 0 ⇔ hoaëc A.B.C = 0 ⇔ B=0
B=0 C=0
Ví du 1ï : (D-2013)
Ví du 2ï: (A-2012)
Ví du 3 : (D-2012)
Ví duï 4: (A-2013)
Ví du 5: Giaûi caùc phöông trình :
a. sin2 x + sin2 2 x + sin2 3 x = 2
b. 2sin3 x + cos 2 x − cos x = 0
c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï
Moät soá daáu hieäu nhaän bieát :
• Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa)
Ví duï : Giaûi caùc phöông trình :
a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0
43
- Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
• Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx
3
Ví duï : Giaûi phöông trình : 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x
2
BÀI T P RÈN LUY N
Bài 1: Gi i các phương trình lư ng giác sau
1 1 7π
1) + = 4 sin − x
4
sin x sin x − 3π
2
2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x
3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x
Bài 2: Gi i các phương trình lư ng giác sau
1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x
2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
x x 2
3) sin + cos + 3 cos x = 2
2 2
Bài 3: Gi i các phương trình lư ng giác sau
2 (cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
1) =0
2 − 2 sin x
x
2) cot x + sin x 1 + tan x tan = 4
2
3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
Bài 4: Gi i các phương trình lư ng giác sau
1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0
2) 1 + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0
π π 3
3) cos4 x + sin 4 x + sin 3x − cos x − − = 0
4 4 2
Bài 5: Gi i các phương trình lư ng giác sau
cos 2x 1
1) cot x − 1 = + sin2 x − s in2x
1 + tan x 2
2
2) 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan x
3) (2cosx − 1)(2 sin x + cos x ) = s in2x − sin x
------------------------------------H t----------------------------------
44
nguon tai.lieu . vn
