Xem mẫu
- CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT
HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
I. Khảo sát hàm số: Không trình bày
II. Các bài toán liên quan:
Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ
thị
Phương pháp: Giả sử biện luận số nghiệm phương trình F(x; m) = 0.
Trong đó có đồ thị (C) của hàm số f = f(x).
+ Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = g(m). (1)
y = f ( x ) (C)
+ (1) là phương trình hoành độ giao điểm của
y = g (m) (d)
+ Số nghiệm (1) là số giao điểm của d và (C). Dựa vào đồ thị biện luận.
Câu 1: Cho hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 2 x 3 + 3x 2 − 1 = m
Câu 2: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 có dồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có đúng một nghi ệm:
− x + 3x 2 + 1 − m = 0
3
Câu 3: Cho hàm số y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x − 4
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + m = 0 có 3
nghiệm phân biệt.
Câu 4: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đồ thị (C).
a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
x − 2x2 − 1 − m = 0
4
Câu 5: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 3 có đồ thị (C).
a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương x 4 − 2 x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
Bài toán 2: Tiếp tuyến của đường cong:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C).
Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C )
- Tính đạo hàm và tính f '( x0 )
- Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
− Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0
- Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 .
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
- Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó:
− Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a.
1
− Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − .
a
Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( xA ; y A ) ∉ ( C ) .
- Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A
- Điều kiện tiếp xúc của ( d ) và ( C ) là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
f ( x ) = k ( x − xA ) + y A
f '( x ) = k
Chú ý: Cần phân biệt hai khái niệm đi qua một điểm và tại một đi ểm khi
viết phương trình tiếp tuyến.
Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):
- Tại điểm có hoành độ x = 2 .
- Tại điểm có tung độ y = 3.
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 .
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x + 24 y + 2009 .
Bài 2: Cho hàm số y = x − 3x + 2
3 2
a. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y – 3x + 4 =
0
b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua B (1; 0)
Bài 3: Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C).
3 2
a. Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt
tới đồ thị (C).
b. Tìm những điểm trên đường thẳng y = -2 từ đó kẻ được hai ti ếp tuy ến
vuông góc tới (C).
Câu 4: Cho hàm số y = 2 x + 3 x − 12 x − 1 . Tìm điểm M trên đồ thị sao cho
3 2
tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ.
Câu 5: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y
= – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B
và C vuông góc với nhau.
Câu 6: Cho hàm số (C) y = f ( x) = x 3 − 3x
CMR đường thẳng (dm) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố
định
Tìm m để (dm) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ
thị tại B và C vuông góc với nhau.
Câu 7: Cho hàm số (C) y = f ( x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5
Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất .
Câu 8: Cho (C) y = f ( x) = x 3 + 1 − k ( x + 1) ,
Viết phương trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy.
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
- Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
Câu 9: Cho (Cm) y = f ( x) = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1
Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc v ới
nhau.
Câu 10: a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) đến y = x 3 − x − 6 .
2
b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A ;−1 đến y = x 3 − 3x + 1 .
3
(3m + 1) x − m
Câu 11: ồ thị (Cm) y = Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm
x+m
của (Cm) với Ox song song với y= - x-5.
2x − 3
Câu 12: Cho đồ thị (C) y = Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
5x − 4
vuông góc với đường thẳng (d) y= -2x.
x+2
Câu 13: Cho hàm số (C) y = Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
x−2
điểm A(-6;5) đến đồ thị (C.
x
(C) y =
Câu 14: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua
x +1
giao điểm I của 2 đường thẳng tiệm cận.
Câu 15: Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ
x+m
thị (C) y = sao cho tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm).
x−2
3x + 1
Câu 16: Cho hàm số y = .Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ
x +1
và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M ( −2;5 ) .
2x − 1
Câu 17: Cho hàm số y = .Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm
x −1
điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với IM.
Câu 18: Cho hàm số y = x + 3mx + ( m + 1) x + 1 ( m là tham số ). Tìm m để
3 2
tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng −1 đi qua A ( 1;2 ) .
Câu 19: Cho hàm số y = x 4 + mx 2 − m − 1 ( m là tham số ). Tìm m để tiếp tuyến
với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x , với A là điểm cố định có hoành độ
dương của đồ thị
Câu 20: Cho hàm số y = x + 1 − m ( x + 1) ( m là tham số ).Tìm m để tiếp tuyến
3
với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện
tích
S = 8.
Các bài toán tiếp tuyến trong các đề thi Đại học – Cao đẳng:
13 m2 1
Câu 1: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (m là tham số).
y= x− x=
3 2 3
Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của
(Cm) tại M song song với đường thẳng 5 x − y = 0 ( D – 2005)
Câu 2: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuy ến
đó đi qua điểm M(–1;–9). (B – 2008).
x+2
Câu 3: Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
2x + 3
biết tiếp tuyến đó cắt trục tung, trục hoành tại A, B sao cho tam giác OAB cân
tại O. (D – 2009)
1
Câu 4: Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + 3x . Viết phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) với đồ
3
thị tại điểm uốn, và chứng minh rằng ( ∆ ) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. (B –
2004)
2x
Câu 5: Cho hàm số y = .Tìm M thuộc đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại
x +1
1
M cắt Ox, Oy tại A và B và ΔOAB có S = . (D – 2007)
4
14 9
Câu 6: Cho hàm số y= x -2x2 - .Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số
4 4
tại các giao điểm của nó với trục ox. ( 1999)
Bài toán 3: Sự tương giao giữa hai đồ thị
Cho hai đồ thị hàm số (C1 ) : y = f ( x) và (C2 ) : y = g ( x)
- Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) chính là số nghiệm của phương trình
hoành độ giao điểm f(x) = g(x). (1)
+ (1) vô nghiệm ⇔ (C1 ) và (C2 ) không có điểm chung.
+(1) có n nghiệm ⇔ (C1 ) và (C2 ) có n điểm chung
+(1) có nghiệm đơn x0 ⇔ (C1 ) cắt (C2 ) tại M 0 ( x0 ; y0 )
+(1) nghiệm kép x0 ⇔ (C1 ) tiếp xúc (C2 ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) .
f ( x) = g ( x )
- Điều kiện tiếp xúc: (C1 ) tiếp xúc (C2 ) ⇔ có nghiệm.
f '( x) = g '( x)
Câu 1: Tìm m để các hàm số sau:
a. y = ( x − 1)( x + mx + m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
2
b. y = x − 2(m + 1) x + 2m + 1 không cắt trục hoành.
4 2
c. y = x − 2 x − m − 3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
4 2
Câu 2 Cho hàm số y = (x − 1)(x 2 + mx + m) (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số
(1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Câu 3 Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 − 1 (C). Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm
M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm
phân biệt.
Câu 4: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C)Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm
A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm
phân biệt.
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
- Câu 5 : Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1)Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1)
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Câu 6: Cho hàm số y = (x − 1)(x 2 + mx + m) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp
xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được
Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) = (4 − x)( x − 1) (C). Gọi I là giao điểm của (C) với
2
0y, d là đường thẳng qua I có hệ số góc m. Định m để d cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt.
Câu 8: Cho y = x + x + (m − 1) x − x − m. Định m để (1) tiếp xúc 0x.
4 3 2
(m − 1) x + m
Câu 9: Cho hàm số y = (m ≠ 0) . Chứng minh với mọi b thì đường
x−m
thẳng ∆ : y = x + b luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu 10: Cho hàm số y = x − 3x + 4 (1) . Chứng minh mọi đường thẳng đi qua
3 2
I(1; 2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B,
I đồng thời I là trung điểm AB ( D – 2008).
Câu 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = 2mx − (4m + 1) x + 4m tiếp xúc với trục
3 2 2
hoành.
(2m − 1) x − m 2
Câu 12: Cho hàm số y = (C m ) . Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với
x −1
đường thẳng y = x.
Bài toán 4: Các bài toán về cực trị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).
- Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 là hoành độ điểm cực trị.
f '( x0 ) = 0
thì hàm số đặt cực đại tại x = x0 .
- Nếu
f ''( x0 ) < 0
f '( x0 ) = 0
thì hàm số đặt cực tiểu tại x = x0 .
- Nếu
f ''( x0 ) > 0
Các bài toán thường gặp về cực trị
- Để y = f(x) có hai cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
- Để y = f(x) có ba cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt.
- Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục hoành ⇔ yCD . yCT < 0 .
- Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục tung ⇔ xCD .xCT < 0 .
- Hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc trục hoành ⇔ yCD . yCT = 0
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: (ở đây ta chỉ xét đối với
hàm bậc 3, còn hàm phân thức bậc 2 trên bậc nhất chúng ta không xét đến).
Xét hàm số y = ax + bx + cx + d có y ' = 3ax + 2bx + c .
3 2 2
Lấy y chia y’ được thương q(x), số dư r(x). Vậy đường thẳng y = r(x) là đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
- Câu 1: Cho hàm số y = (m + 2) x + 3 x + mx + m . Với giá trị nào của m, hàm số
3 2
có cực đại và cực tiểu.
Câu 2: Xác định m để hàm số y = − x + 2mx có ba cực trị.
4 2
Câu 3: Cho hàm số y = x − 3x + m x + m . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm
3 2 2
số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối
1 5
xứng nhau qua đường thẳng y = x − .
2 2
Câu 4: Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + m . Tìm m để hàm số có cực đại, cực
4 2 4
tiểu đồng thời lập thành tam giác đều.
Câu 5: Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 2m − 3) x + 4 . Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
Câu 6: Cho hàm số y = 2 x + 3(m − 3) x + 11 − 3m . Tìm m để hàm số có hai cực
3 2
trị. Gọi M 1 , M 2 là các điểm cực trị. Tìm m để M 1 , M 2 và B(0; -1) thẳng hàng.
Câu 7: Cho hàm số y = 4 x − mx − 3x + m . Chứng minh rằng với mọi m, hàm số
3 2
luôn có cực đại cực tiểu. Đồng thời chứng minh hoành độ cực đại và hoành độ
cực tiếu luôn trái dấu.
3 1
Câu 8: Cho hàm số y = x3 − mx 2 + m3 . Xác định m để hàm số các điểm cực
2 2
đạ, cực tiểu đối xứng nhau qua đường y = x.
13
Câu 9: Cho hàm số y = x − mx − x + m + 1 . Chứng minh với mọi m hàm số đã
2
3
cho luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực đại,
cực tiểu nhỏ nhất.
Câu 10: Cho hàm số y = x − 3mx − 3 x + m
3 2
a. Chứng minh hàm số có cực trị với mọi m
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Câu 11: Cho hàm số y = 2 x + mx − 12 x − 13 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực
3 2
tiểu đồng thời các điểm cực đại cực tiểu cách đều trục tung.
Câu 12: Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m .
3 2 2 3 2
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Câu 13: Cho hàm số y = − x − 3x + 3(m − 1) x − 3m − 1 . Tìm m để hàm số có cực
3 2 2
đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ.
Câu 14: Cho hàm số y = x + 8mx + 3(1 + 2m) x − 4 . Tìm m để hàm số có cực
4 3 2
tiểu mà không có cực đại.
Câu 15: Cho hàm số y = x + 3mx + 3(m − 1) x + m − 3m . Chứng minh hàm số
3 2 2 3
luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định.
Bài toán 5: Bài toán về khoảng cách
Các công thức về khoảng cách:
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
- (x − x A ) + ( yB − y A )
2 2
- Khoảng cách giữa hai điểm: AB = B
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
Ax 0 + By0 + C
∆ : Ax + By + C = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) . Khi đó d ( M 0 ; ∆) =
A2 + B 2
Chú ý: Trục 0x có phương trình y = 0
Trục oy có phương trình x = 0. Gốc tọa độ O(0;0).
x−2
Câu 1: Tìm M trên đồ thị hàm số y = sao cho tổng khoảng cách từ M đến
x+2
hai trục tọa độ nhỏ nhất.
x+2
Câu 2: Tìm M trên đồ thị hàm số y = sao cho khoảng cách từ M đến các
x −3
tiệm cận đứng và ngang bằng nhau.
Câu 3*: Cho (C): y = 2 x − 3x + 2 x + 1 và đường thẳng d : y = 2 x − 1 . Tìm A trên
4 2
(C) có khoảng cách đến d nhỏ nhất.
x−2
Câu 4: Cho hàm số y = (C) . Tìm tất cả các điểm thuộc (C) cách đều
x −1
O(0;0) và B(2; 2).
Câu 5: Cho hàm số y = 2 x + ax − 12 x − 13 . Tìm a để đồ thị hàm số có điểm cực
3 2
đại, cực tiểu cách đều trục tung.
Câu 6: Cho hàm số y = − x − 3x + 3(m − 1) x − 3m − 1 . Tìm m để hàm số có cực
3 2 2
đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ.
Bài toán 6: Các điểm cố định của họ đường cong
Cho họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f(x;m), trong đó m là tham số.
Tìm tất cả các điểm có định của học đường cong (Cm ) , tức là tìm các điểm
M 0 ( x0 ; y0 ) sao cho với mọi m, (Cm ) đi qua M 0 .
- Điều kiện để (Cm ) luôn đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) với mọi m là y0 = f ( x0 ; m) (1)
- Viết (1) dưới dạng một phương trình bậc n đối với ẩn m.
- (1) đúng khi tất cả các hệ số của m đều bằng 0. Từ đó ta tìm được x0 ; y0 .
Câu 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong y = x + mx − 9 x − 9m
3 2
Câu 2: Cho hàm số y = x − 3(m − 1) x − 3mx + 2 (C m ) . Chứng minh rằng (Cm )
3 2
luôn đi qua hai điểm cố định
Bài toán 7: Tâm đối xứng – trục đối xứng
Điểm
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
nguon tai.lieu . vn
