Xem mẫu
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
HÀM S
1. TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S
D ng 1: Tính ñơn ñi u c a hàm s
I. Ki n th c cơ b n
1. ð nh nghĩa
Gi s hàm s y = f(x) xác ñ nh trên K:
+ Hàm s y = f(x) ñư c g i ñ ng bi n trên kho ng K n u:
∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
+ Hàm s y = f(x) ñư c g i là ngh ch bi n trên kho ng K n u:
∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
2. Qui t c xét tính ñơn ñi u
a. ð nh lí
Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm trên K:
+ N u f’(x) > 0 v i m i x thu c K thì hàm s ñ ng bi n
+ N u f’(x) < 0 v i m i x thu c K thì hàm s ngh ch bi n
b. Qui t c
B1: Tìm t p xác ñ nh c a hàm s
B2: Tính ñ o hàm c a hàm s . Tìm các ñi m xi (i = 1, 2,…,n) mà t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c
không xác ñ nh.
B3: S p x p các ñi m xi theo th t tăng d n và l p b ng bi n thiên.
B4: Nêu k t lu n v các kho ng ñ ng bi n, ngh ch bi n.
II. Các ví d
Lo i 1: Xét s bi n thiên c a hàm s
Ví d 1. Xét s ñ ng bi n và ngh c bi n c a hàm s :
1 1
a. y = x 3 − x 2 − 2 x + 2 b. y = -x 2 + 3 x + 4 e. y = x ( x − 3), (x > 0)
3 2
x-1
c. y = x 4 − 2 x 2 + 3 d. y =
x +1
Ví d 2. Xét s bi n thiên c a các hàm s sau:
a. y = 3x 2 − 8 x3 b. y = x 4 + 8 x 2 + 5 c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
3- 2x x2 − 2x + 3
d. y = e. y = f. y = 25-x 2
x+7 x +1
Lo i 2: Ch ng minh hàm s ñ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng xác ñ nh.
Phương pháp
+ D a vào ñ nh lí.
Ví d 3.
Ch ng minh hàm s y = 2 x − x 2 ngh ch bi n trên ño n [1; 2]
Ví d 4
a. Ch ng minh hàm s y = x 2 − 9 ñ ng bi n trên n a kho ng [3; + ∞ ).
4
b. Hàm s y = x + ngh c bi n trên m i n a kho ng [-2; 0) và (0;2]
x
Ví d 5. Ch ng minh r ng
3− x
a. Hàm s y = ngh ch bi n trên m i kho ng xác ñ nh c a nó.
2x +1
2 x 2 + 3x
b. Hàm s y = ñ ng bi n trên m i kho ng xác ñ nh c a nó.
2x +1
c. Hàm s y = − x + x 2 + 8 ngh ch bi n trên R.
D ng 2. Tìm giá tr c a tham s ñ m t hàm s cho trư c ñ ng bi n, ngh ch bi n trên kho ng xác ñ nh
cho trư c
Phương pháp:
+ S d ng qui t c xét tính ñơn ñiêu c a hàm s .
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 1
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
+ S d ng ñ nh lí d u c a tam th c b c hai
Ví d 6.
1
Tìm giá tr c a tham s a ñ hàm s f ( x) = x 3 + ax 2 + 4 x + 3 ñ ng bi n trên R.
3
Ví d 7.
x 2 + 5x + m2 + 6
Tìm m ñ hàm s f ( x) = ñ ng bi n trên kho ng (1; +∞)
x+3
m
Ví d 8. V i giá tr nào c a m, hàm s : y = x + 2 + ñ ng bi n trên m i kho ng xác ñ nh c a nó.
x −1
Ví d 9
x3
Xác ñ nh m ñ hàm s y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x ñ ng bi n trên kho ng (0; 3)
3
Ví d 10
mx + 4
Cho hàm s y =
x+m
a. Tìm m ñ hàm s tăng trên t ng kho ng xác ñ nh
b. Tìm m ñ hàm s tăng trên (2; +∞)
c. Tìm m ñ hàm s gi m trên ( −∞;1)
Ví d 11
Cho hàm s y = x3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m ñ hàm s :
a. Liên t c trên R
b. Tăng trên kho ng (2; +∞)
Ví d 12 (ðH KTQD 1997)
Cho hàm s y = x3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) ñ ng bi n trên [2:+∞)
D ng 3. S d ng chi u bi n thiên ñ ch ng minh BðT
Phương pháp
S d ng các ki n th c sau:
+ D u hi u ñ hàm s ñơn ñi u trên m t ño n.
+ f ( x) ñ ng bi n trên [a; b] thì f ( a ) ≤ f ( x) ≤ f ()
+ f(x) ngh ch bi n trên [a; b] thì f ( a ) ≥ f ( x) ≥ f (b)
Ví d 1. Ch ng minh các b t ñ ng th c sau:
π 1 x2 1
a. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞
2 2 8 2
2 3
x x
c. cosx > 1 - ,x ≠ 0 d. sinx > x - , x>0
2 6
Ví d 2.
Chohàm s f(x) = 2sinx + tanx – 3x
π
a. Ch ng minh r ng hàm s ñ ng bi n trên n a kho ng 0;
2
π
b. Ch ng minh r ng 2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; )
2
Ví d 3
Cho hàm s f ( x) = t anx - x
π
a.Ch ng minh hàm s ñ ng bi n trên n a kho ng 0;
2
x 3
π
b. Ch ng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; )
3 2
Ví d 3
4 π
Cho hàm s f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ]
π 4
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 2
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
π
a. Xét chi u bi n thiên c a hàm s trên [0; ]
4
4 π
b. Ch ng minh r ng tan x ≤ x, ∀x ∈ [0; ]
π 4
C C TR C A HÀM S
D ng 1. Tìm c c tr c a hàm s
Phương pháp:
D a vào 2 qui t c ñ tìm c c tr c a hàm s y = f(x)
Qui t c I. Qui t c II.
B1: Tìm t p xác ñ nh. B1: Tìm t p xác ñ nh.
B2: Tính f’(x). Tìm các ñi m t i ñó f’(x) = 0 ho c B2: Tính f’(x). Gi i phương trình f’(x) = 0 và kí
f’(x) không xác ñ nh. hi u là xi là các nghi m c a nó.
B3. L p b ng bi n thiên. B3: Tính f ”(xi)
B4: T b ng bi n thiên suy ra các c c tr B4: D a vào d u c a f ” (xi) suy ra c c tr
( f ”(xi) > 0 thì hàm s có c c ti u t i xi; ( f ”(xi) < 0
thì hàm s có c c ñ i t i xi)
* Chú ý: Qui t c 2 thư ng dùng v i hàm s lư ng giác ho c vi c gi i phương trình f’(x) = 0 ph c t p.
Ví d 1. Tìm c c tr c a hàm s y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10
Qui t c I. Qui t c II
TXð: R TXð: R
y ' = 6 x + 6 x − 36
2
y ' = 6 x 2 + 6 x − 36
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0
x = 2 x = 2
⇔ ⇔
x = −3 x = −3
x -3 2 +∞
y”= 12x + 6
-∞
+ -
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm s ñ t c c ti u t i x = 2 và
y' 0 0 +
yct = - 54
71 +∞ y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i x = -3
y
và
-∞ - 54 ycñ =71
V y x = -3 là ñi m c c ñ i và ycñ =71
x= 2 là ñi m c c ti u và yct = - 54
Bài1. Tìm c c tr c a các hàm s sau:
a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3 b. y = x 4 − 8 x3 + 432
c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7 d. y = x 4 - 5x 2 + 4
e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x
Bài 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau:
x+1 x2 + x − 5 (x - 4)2
a. y = 2 b. y = c. y = 2
x +8 x +1 x − 2x + 5
9 x − 3x + 3
2
x
d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2
x-2 x −1 x +4
Bài 3. Tìm c c tr các hàm s
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 3
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
x+1 5 - 3x
a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y =
x +1
2
1 - x2
x x3
d. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 2 x2 − 6
Bài 4. Tìm c c tr các hàm s :
a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + cos2x f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ]
2
D ng 2. Xác l p hàm s khi bi t c c tr
ð tìm ñi u ki n sao cho hàm s y = f(x) ñ t c c tr t i x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Gi i phương trình f’(a) = 0 tìm ñư c m
B3: Th l i giá tr a có tho mãn ñi u ki n ñã nêu không ( vì hàm s ñ t c c tr t i a thì
f’(a) = 0 không k Cð hay CT)
Ví d 1. Tìm m ñ hàm s y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 ñ t c c ti u t i x = 2
LG
y ' = 3 x 2 − 6 mx + m − 1 .
Hàm s ñ t c c tr t i x = 2 thì y’(2) = 0 ⇔ 3.(2)2 − 6 m.2 + m − 1 = 0 ⇔ m = 1
x = 0
V i m = 1 ta ñư c hàm s : y = x3 – 3x2 + 2 có : y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ t i x = 2 hàm s ñ t giá
x = 2
tr c c ti u
V y m = 1 là giá tr c n tìm
Bài 1. Xác ñ nh m ñ hàm s y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
2
Bài 2. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − mx 2 + (m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã h m sè cã C§ hay CT
3
x + mx + 1
2
Bài 3. Tìm m ñ hàm s y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x+m
Bài 4. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
Bài 5. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s : f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c ti u t i ñi m x = 1, f(1) = -3
và ñ th c t tr c tung t i ñi m có tung ñ b ng 2
q
Bài 6. Tìm các s th c q, p sao cho hàm s f ( x ) = xp + ñ t c c ñ i t i ñi m x = -2 và f(-2) = -2
x +1
q
Hư ng d n: f '( x ) = 1 − , ∀x ≠ -1
( x + 1)2
+ N u q ≤ 0 th× f'(x) > 0 víi ∀x ≠ -1. Do ®ã h m sè lu«n ®ång biÕn . H m sè kh«ng cã cùc trÞ.
+ N u q > 0 thì:
x2 + 2x +1− q x = −1 − q
f '( x ) = =0⇔
( x + 1)2 x = −1 + q
L p b ng bi n thiên ñ xem hàm ñ t c c t i t i giá tr x nào.
D ng 3. Tìm ñi u ki n ñ hàm s có c c tr
Bài toán: ‘Tìm m ñ hàm s có c c tr và c c tr tho mãn m t tính ch t nào ñó.’
Phương pháp
B1: Tìm m ñ hàm s có c c tr .
B2: V n d ng các ki n th c khác Chú ý:
• Hàm s y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) có c c tr khi và ch khi phương trình y’ = 0 có hai nghi m
phân bi t.
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 4
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
p( x )
• C c tr c a hàm phân th c y = . Gi s x0 là ñi m c c tr c a y, thì giá tr c a y(x0) có th
Q( x )
P( x0 ) P '( x0 )
ñư c tính b ng hai cách: ho c y( x0 ) = hoÆc y(x 0 ) =
Q( x0 ) Q '( x0 )
Ví d . Xác ñ nh m ñ các hàm s sau có c c ñ i và c c ti u
1 x 2 + mx − 2 m − 4
a. y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 b. y =
3 x +2
Hư ng d n.
a. TXð: R
y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 .
ð hàm s có c c tr thì phương trình: x 2 + 2 mx + m + 6 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
m > 3
∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔
m < −2
b. TXð: ¡ \ {−2}
(2 x + m)( x + 2) − ( x 2 + mx − 2m − 4) x 2 + 4 x + 4 m + 4
y' = =
( x + 2)2 ( x + 2)2
H m sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi y ' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 m + 4 = 0
∆ ' > 0 4 − 4m − 4 > 0
⇔ ⇔ ⇔ m
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
Bài1. Tìm c c tr c a các hàm s sau:
a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3 b. y = x 4 − 8 x3 + 432
c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7 d. y = x 4 - 5x 2 + 4
e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x
Bài 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau:
x+1 x2 + x − 5 (x - 4)2
a. y = 2 b. y = c. y = 2
x +8 x +1 x − 2x + 5
9 x − 3x + 3
2
x
d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2
x-2 x −1 x +4
Bài 3. Tìm c c tr các hàm s
x+1 5 - 3x
a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y =
x +1
2
1 - x2
x x3
d. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 2 x2 − 6
Bài 4. Tìm c c tr các hàm s :
a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + cos2x f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ]
2
Bài 5. Xác ñ nh m ñ hàm s y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
2
Bài 6. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − mx 2 + ( m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã h m sè cã C§ hay CT
3
x 2 + mx + 1
Bài 7. Tìm m ñ hàm s y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x+m
Bài 8. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
Bài 9. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s : f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c ti u t i ñi m x = 1, f(1) = -3
và ñ th c t tr c tung t i ñi m có tung ñ b ng 2
q
Bài 10. Tìm các s th c q, p sao cho hàm s f ( x ) = xp + ñ t c c ñ i t i ñi m x = -2 và f(-2) = -2
x +1
Bài 11. Tìm m ñ hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 2. Víi gi¸ trÞ n o cña m th× h m sè cã C§, CT?
x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1
Bài 12. Tìm m ñ hàm sô y = luôn có c c ñ i và c c ti u.
x−m
Bài 13. Cho hàm s y = 2 x 3 + 2 − 12 x − 13 . Tìm a ñ hàm s có c c ñ i, c c ti u và các ñi m c c ti u c a
ñ th cách ñ u tr c tung.
m
Bài 14. Hàm s y = x 3 − 2( m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m ñ hàm s có c c ñ i c c ti u.
3
x 2 + mx
Bài 15. Cho hàm y = . Tìm m ñ hàm s có c c tr
1− x
x 2 + mx − 2 m − 4
Bài 16. Cho hàm s y = . Xác ñ nh m ñ hàm s có c c ñ i và c c ti u.
x+2
GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S
D NG 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 6
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
• ð tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f(x) trên ( a; b ) :
+B1: Tính ñ o hàm c a hàm s y’ = f’(x)
+ B2: Xét d u ñ o hàm f’(x), l p b ng bi n thiên
x a x0 b x a x0 b
y' - + y' + -
GTLN
y y
GTNN
Trong ñó t i x0 thì f’(x0) b ng 0 ho c không xác ñ nh
• ð tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm caùc giaù trò xi ∈ [ a; b ] (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh .
B2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b)
B3: GTLN = max{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b) }
GTNN = Min{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f ( b) }
1
Ví d 1. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y = x + trên kho ng (0; +∞ )
x
Hư ng d n:
D th y h àm s liên t c trên (0; +∞) x 0 1 ∞
+∞
1 x −1 2 y' - 0 +
y ' = 1− 2
= 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 . ∞
+∞ ∞
+∞
x x y
D th y x = −1 ∉ (0; +∞) 2
V y Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm s không có giá tr l n nh t.
Ví d 2.
x3
Tính GTLN, GTNN c a hàm s y = + 2 x 2 + 3 x − 4 trên ño n [-4; 0]
3
Hư ng d n
Hàm s liên t c trên [-4; 0],
x = −1
f '( x ) = x 2 + 4 x + 3 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇒
x = −3
−16 −16
f (−4) = , f (−3) = −4, f ( −1) = , f (0) = −4
3 3
VËy Max y = −4 khi x = -3 hoÆc x = 0
x∈[-4;0]
−16
Min y = khi x = -4 hoÆc x = -1
x∈[-4;0] 3
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s (n u có):
a. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 3 + 5 x − 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s (n u có):
x 1
a. f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; +∞)
x+2 x- 1
1 π 3π
c. f(x) = x 1 - x 2 d. f(x) = trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
TI M C N C A HÀM S
I. Ki n th c c n n m
Cho hàm s y = f(x) có ñ th là (C)
• y = y0 là ti m c n ngang c a n u m t trong hai ñi u kiên sau ñư c tho mãn:
lim f ( x ) = y0 , hoÆc lim f ( x ) = y0
x →+∞ x →−∞
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 7
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
• x = x0 là ti m c n ñ ng c a (C) n u m t trong các ñi u ki n sau ñ ơc tho mãn:
lim+ = +∞, lim− = +∞, lim+ = −∞, lim− = −∞
x → x0 x → x0 x → x0 x → x0
• ðư ng th ng y = ax + b ( a ≠ 0 ) ñư c g i là ti m c n xiên n u m t trong hai ñi u ki n sau tho
mãn: lim [f ( x ) − (ax + b)] = 0 hoÆc lim [f ( x ) − (ax+b)]=0
x →+∞ x →−∞
II. Các d ng toán
P( x )
D ng 1: Ti m c n hàm s h u t y =
Q( x )
Phương pháp
• Ti m c n ñ ng: Nghi m c a m u không ph i là nghi m c a t cho phép xác ñ nh ti m c n ñ ng.
• Ti m c n ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Ti m c n ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Ti m c n ngang là t s hai h s b c cao nh t c a t và m u.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có ti m c n ngang; Ti m c n xiên ñư c xác ñ nh b ng
cách phân tích hàm s thành d ng: f(x) = ax + b + ε ( x ) v i lim ε ( x ) = 0 thì y = ax + b là ti m c n
x →∞
xiên.
Ví d 1. Tìm các ti m c n c a các hàm s :
2x- 1 x2 − x − 7 x+2
a. y = b. y = c. y = 2
x+2 x −3 x −1
Hư ng d n
2x −1 2x −1
a. Ta th y lim− = −∞; lim+ = +∞ nên ñư ng th ng x= 2 là ti m c n ñ ng.
x →−2 x + 2 x →−2 x + 2
1
2−
2x −1 x = 2 nên y = 2 là ti m c n ngang c a ñ th hàm s .
Vì lim = lim
x →±∞ x + 2 x →±∞ 2
1+
x
b.
x2 − x − 7
+ lim = −∞ . Nên x = 3 là ti m c n ñ ng c a ñ th hàm s .
x →3− x −3
1 −1
+ y = x+2− . Ta th y lim[y - (x + 2)]= lim = 0 V y y = x+ 2 là ti m cân xiên c a ñ th hàm
x −3 x →∞ x →∞ x − 3
s .
x+2
c. Ta th y lim = 2 = +∞. Nên x = 1 là ñư ng ti m c n ñ ng.
x →1+
x −1
x+2
+ lim− 2 = +∞ . Nên x = -1 là ti m c n ñ ng.
x →−1 x − 1
1 2
+
x + 2 x x2
+ lim 2 = = 0 . Nên y = 0 là ti m c n ngang c a ñ th hàm s .
x →+∞ x − 1 1
1− 2
x
D ng 2. Ti m c n c a hàm vô t y = ax 2 + bx + c (a > 0)
Phương pháp
b
Ta phân tích ax 2 + bx + c ≈ a x + + ε ( x)
2a
b
V i lim ε ( x ) = 0 khi ñó y = a ( x + ) có ti m c n xiên bên ph i
x →+∞ 2a
b
V i lim ε ( x ) = 0 khi ñó y = − a ( x + ) có ti m c n xiên bên tr ái
x →−∞ 2a
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 8
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña h m sè: y = 9 x 2 − 18 x + 20
H−íng dÉn
y = 9( x − 2)2 + 6
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 9
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
f (x)
C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña h m sè y =
g( x )
lim f ( x ) lim g( x ) f ( x)
x→ x x→x DÊu cña g(x) lim
0 0 x → x g( x )
0
L ±∞ Tuú ý 0
+ +∞
L>0 0
- -∞
- +∞
L
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
4. kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba
D¹ng 1: Kh¶o s¸t v vÏ h m sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
Ph−¬ng ph¸p
1. T×m tËp x¸c ®Þnh.
2. XÐt sù biÕn thiªn cña h m sè
a. T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc v c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã). T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn.
b. LËp b¶ng biÕn thiªn cña h m sè, bao gåm:
+ T×m ®¹o h m, xÐt dÊu ®¹o h m, xÐt chiÒu biÕn thiªn v t×m cùc trÞ.
+ §iÒn c¸c kÕt qu¶ v o b¶ng.
3. VÏ ®å thÞ cña h m sè.
+ VÏ ®−êng tiÖm cËn nÕu cã.
+ X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt: Giao víi Ox, Oy, ®iÓm uèn.
+ NhËn xÐt ®å thÞ: ChØ ra t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng (kh«ng cÇn chøng minh)
VÝ dô 1. Cho h m sè: y = − x 3 + 3 x 2 − 1
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè.
b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 − 1 = m
H−íng dÉn
a.
1. TX§: D = ¡
2. Sù biÕn thiªn cña h m sè
a. Giíi h¹n t¹i v« cùc
3 1
lim ( − x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞
x →+∞ x →+∞ x x
∞ ∞
+∞
3 1 x -∞ 0 2
lim ( − x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ y' - 0 + 0 -
x →−∞ x →−∞ x x ∞
+∞
c. B¶ng biÕn thiªn 3
x = 0 y
y ' = −3 x 2 + 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ −3 x 2 + 6 x = 0 ⇒
x = 2 -1 ∞
-∞
H m sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng ( −∞;0) v (2; +∞)
V nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2).
H m sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; v yC§=y(2)= 3
H m sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 v yCT = y(1) = -1 2
3. §å thÞ
+ Giao víi Oy: cho x = 0 ⇒ y = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) -5 5
+ y '' = 0 ⇔ −6 x + 6 = 0 ⇒ x = 1 . §iÓm A (1; 1)
+ NhËn ®iÓm A l m t©m ®èi xøng.
-2
b.
Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ y = − x 3 + 3 x 2 − 1 v y =m
Dùa v o ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn:
m > 3: Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm.
m = 3 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
-1< m < 3: Ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm.
m = -1: Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
m < -1: Ph−¬ng tr×nh cã 1nghiÖm
C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba
B i 1(TNTHPT – 2008)
Cho h m sè y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè.
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 11
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
b. BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m
B i 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008)
Cho h m sè y = x3 - 3x2
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè ® cho.
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 3 − 3x 2 − m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Bài 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hàm s y= x3 − 3 x + 2 có ñ th là (C) .
a/ Kh o sát và v ñ th hàm s .
b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m A(2 ;4) .
Bài 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hàm s y= − x 3 + 3 x 2 có ñ th (C) .
a/ Kh o sát và v ñ th hàm s .
b/ D a vào ñ th bi n lu n s nghi m phương trình : − x 3 + 3 x 2 -m=0 .
Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB)
Cho hàm s y= x3 − 6 x 2 + 9 x có ñ th là (C) .
a/ Kh o sát và v ñ th hàm s .
b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m cã ho nh ®é l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’=0 .
c/ V i giá tr nào c a m thì ñư ng th ng y=x+m2-m ñi qua trung ñi m c a ño n th ng n i c c ñ i
vào c c ti u .
Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB)
Cho hàm s y= x3 − 3mx 2 + 4m3 .
a/ Kh o sát và v ñ th hàm s khi m=1 .
b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i ñi m có hoành ñ x=1 .
B i 7 (§H- A- 2002)
Cho h m sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m= 1
b. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
c. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ h m sè (1).
B i 8 (C§ SP MGTW- 2004)
Cho h m sè y = x3 - 3x2 + 4m
a. Chøng minh ®å thÞ h m sè lu«n cã 2 cùc trÞ.
b. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè khi m = 1
B i 9 (§H-B- 2007)
Cho h m sè y = − x 3 + 3 x 2 + 3( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =1
b. T×m m ®Ó h m sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu v c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O.
B i 10 (§H - D - 2004)
Cho h m sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1
a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 2
b. T×m m ®Ó nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®−êng th¼ng y = x+ 1
B i8
Cho h m sè y = (x -1)(x2 + mx + m)
a. T×m m ®Ó ®å thÞ h m sè c¾t trôc ho nh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt
b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè víi m= 4
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 12
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
B i3
Cho h m sè y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6( m − 2) x − 1
a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =2
b. Víi gi¸ trÞ n o cña m h m sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu.
B i 5 (§H 2006- D)
Cho h m sè y = x 3 − 3 x + 2
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè.
b. Gäi d l ®−êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) v cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3
®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®−êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0)
B i7
Cho h m sè y = (x - m)3 - 3x
a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1
b. T×m m ®Ó h m sè ® cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã ho nh ®é x = 0
B i8
Cho h m sè y = (x -1)(x2 + mx + m)
c. T×m m ®Ó ®å thÞ h m sè c¾t trôc ho nh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt
d. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè víi m= 4
B i 11
Cho h m sè y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2
a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè khi m =1
b. T×m m ®Ó h m sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 13
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
H m bËc bèn trïng ph−¬ng v mét sè b i tËp cã liªn quan
I. Mét sè tÝnh chÊt cña h m trïng ph−¬ng
• H m sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho a ≠ 0
• H m sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu ⇔ y ' = 0 ⇔ 2 x (2 ax 2 + b) = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt
b
⇔
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
B i tËp h m sè trïng ph−¬ng
B i 1. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ c¸c h m sè sau:
a. y= -x 4 + 2 x 2 b. y = x 4 + x 2 − 2 c. y = x 4 − 6 x 2 + 1
1 4 5
d. y = x − 3x 2 = e.y = -x 4 +2x 2 +3 f. y = x 4 +2x 2 +1
2 2
B i 2.
Cho h m sè y = x 4 − 2 m 2 x 2 + 1
a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m =1
b. T×m m ®Ó ®å thÞ h m sè cã ba cùc trÞ l ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n.
B i 3 (§H § L¹t - 2002)
a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 = 0
b. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè y = x 4 − 2 x 2 + 1
c. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 − m = 0
B i 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002)
Cho h m sè y = − x 4 + 2 mx 2 (C m )
a. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1
b. H y x¸c ®Þnh m ®Ó h m sè ®å thÞ h m sè cã 3 cùc trÞ
B i 5. (§H Vinh - 2002)
1. Kh¶o s¸t v vÏ ®å thÞ h m sè y = − x 4 + 5 x 2 − 4
2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 4 − 5x 2 − m 2 + 3 = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
B i6
x4 9
Cho h m sè y = − 2x2 −
4 4
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ (C) cña h m sè
b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña h m sè y = k − 2 x 2
B i7
Cho h m sè y = x 4 − 2 mx 2 + m 3 − m 2
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ cña h m sè khi m = 1
b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (Cm ) cña h m sè ® cho tiÕp xóc víi trôc ho nh t¹i 2 ®iÓm
B i 8. (§H CÇn th¬ - 2002)
Cho h m sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm)
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 0
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña h m sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox
c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh l ba cùc trÞ l mét tam gi¸c vu«ng c©n.
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 15
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá )
Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho tröôùc.
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:
Ta coù :
Hoï ñöôøng cong (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f ( x 0 , m) (1)
Xem (1) laø phöông trình theo aån m.
Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
Cuï theå:
• Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0
• Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0
• Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M0
Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (C m )
D¹ng 1:
TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG
BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:
Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá )
Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm)
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Böôùc 1: Goïi M 0 ( x0 ; y 0 ) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (Cm) ñi qua. Khi ñoù phöông trình:
y 0 = f ( x0 , m) nghieäm ñuùng ∀ m (1)
Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau:
Daïng 1: Am + B = 0 ∀m
Daïng 2: Am 2 + Bm + C = 0 ∀m
A = 0
AÙp duïng ñònh lyù: Am + B = 0 ∀m ⇔ (2)
B = 0
A = 0
Am + Bm + C = 0 ∀m ⇔ B = 0 (3)
2
C = 0
Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc ( x0 ; y 0 )
B i tËp
B i 1. Cho hä (Cm) y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 2( m 2 + 4 m + 1) x − 4 m( m + 1) . CMR: Khi m thay ®æi th× hä ®−êng
cong lu«n qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
mx + 1
B i 2. Cho hä ®å thÞ (Cm): = . T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh m ®å thÞ cña h m sè lu«n ®i qua víi mäi
x+m
m ≠ ±1
x 2 + mx − m − 1
B i 3. Cho hä (Cm) cã ph−¬ng tr×nh: y = . Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè
x +1
®Þnh.
B i 4. Cho h m sè (Cm): y = x 3 − 3mx + 2 m
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 16
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1.
b. Chøng minh r»ng hä ®−êng cong lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
mx − 1
B i 5. Cho h m sè: y = , m ≠ ±1 . Gäi (Hm) l ®å thÞ cña h m sè ® cho.
x −m
a. Chøng minh r»ng víi mäi m ≠ ±1 , hä ®−êng cong lu«n qua 2 ®iÓm cè ®Þnh.
b. Gäi M l giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi m thay ®æi.
B i 6. Cho h m sè: y = ( m + 2) x 3 + 2( m + 2) x 2 − ( m + 3) x − 2 m + 1 (C m ) . Chøng minh r»ng hä ®å thÞ lu«n
qua ba ®iÓm cè ®Þnh v 3 ®iÓm cè ®Þnh ®ã cïng n»m trªn mét ®−êng th¼ng.
D¹ng 2: T×m ®iÓm hä ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua
Ph−¬ng ph¸p:
B1: Gi¶ sö M(x0; y0) l ®iÓm m hä ®−êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
B2: Khi cã ph−¬ng tr×nh: y 0 = f ( x0 , m) v« nghiÖm víi m tõ ®ã t×m ®−îc (x0; y0)
B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm m hä ®−êng cong kh«ng thÓ ®i qua.
B i 1. Cho h m sè y = ( x − 2)( x 2 − 2 mx + m 2 − 1) (C m ) . T×m c¸c ®iÓm m (Cm) kh«ng thÓ ®i qua.
(3m + 1) x − m 2 + m
B i 2. Cho h m sè y =
x+m
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè víi m = 1.
b. T×m c¸c ®iÓm trªn ®−êng th¼ng x = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ n o cña m ®Ó ®å thÞ h m sè ®i
qua.
B i 3. Cho ®å thÞ h m sè y = 2 x 3 − 3(m + 3) x 2 + 18mx − 8 (C m ) . Chøng minh r»ng trªn ®−êng cong y = x2
cã hai ®iÓm m (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m.
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 17
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
CHUYÊN ð : PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
I. PHƯƠNG PHÁP BI N ð I TƯƠNG ðƯƠNG
1. Bình phương 2 v c a phương trình
a) Phương pháp
Thông thư ng n u ta g p phương trình d ng : A + B = C + D , ta thư ng bình phương 2
v , ñi u ñó ñôi khi l i g p khó khăn hãy gi i ví d sau
3
A + 3 B = 3 C ⇒ A + B + 3 3 A.B ( 3
)
A+ 3 B =C
và ta s d ng phép th : 3 A + 3 B = C ta ñư c phương trình : A + B + 3 3 A.B.C = C
b) Ví d
Bài 1. Gi i phương trình sau : x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2
Gi i: ðk x ≥ 0
Bình phương 2 v không âm c a phương trình ta ñư c: 1 + ( x + 3)( 3x + 1) = x + 2 x ( 2 x + 1) , ñ gi i
phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi ph c t p m t chút .
Phương trình gi i s r t ñơn gi n n u ta chuy n v phương trình : 3x + 1 − 2 x + 2 = 4 x − x + 3
Bình phương hai v ta có : 6 x + 8 x + 2 = 4 x + 12 x ⇔ x = 1
2 2
Th l i x=1 th a
Nh n xét : N u phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x)
Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta bi n ñ i phương trình v d ng :
f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau ñó bình phương ,gi i phương trình h qu
Bài 2. Gi i phương trình sau :
x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x+3
Gi i:
ði u ki n : x ≥ −1
Bình phương 2 v phương trình ?
N u chuy n v thì chuy n như th nào?
x3 + 1
Ta có nh n xét : . x + 3 = x 2 − x + 1. x + 1 , t nh n xét này ta có l i gi i như sau :
x+3
x3 + 1
(2) ⇔ − x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1
x+3
x3 + 1 x = 1− 3
Bình phương 2 v ta ñư c: = x2 − x − 1 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔
x+3 x = 1+ 3
Th l i : x = 1 − 3, x = 1 + 3 l nghi m
Qua l i gi i trên ta có nh n xét : N u phương trình : f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x)
Mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta bi n ñ i f ( x) − h ( x) = k ( x) − g ( x)
2. Tr c căn th c
2.1. Tr c căn th c ñ xu t hi n nhân t chung
a) Phương pháp
M t s phương trình vô t ta có th nh m ñư c nghi m x0 như v y phương trình luôn ñưa v
ñư c d ng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có th gi i phương trình A ( x ) = 0 ho c ch ng minh A ( x ) = 0 vô
nghi m , chú ý ñi u ki n c a nghi m c a phương trình ñ ta có th ñánh gía A ( x ) = 0 vô nghi m
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 18
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
b) Ví d
Bài 1 . Gi i phương trình sau : 3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4
Gi i:
( ) ( ) ( ) ( )
Ta nh n th y : 3 x 2 − 5 x + 1 − 3 x 2 − 3 x − 3 = −2 ( x − 2 ) v x 2 − 2 − x 2 − 3 x + 4 = 3 ( x − 2 )
−2 x + 4 3x − 6
Ta có th tr c căn th c 2 v : =
3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1) x − 2 + x 2 − 3x + 4
2
D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình .
Bài 2. Gi i phương trình sau (OLYMPIC 30/4 ñ ngh ) : x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5
5
Gi i: ð phương trình có nghi m thì : x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥
3
Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a phương trình , như v y phương trình có th phân tích v d ng
( x − 2 ) A ( x ) = 0 , ñ th c hi n ñư c ñi u ñó ta ph i nhóm , tách như sau :
x2 − 4 x2 − 4
x + 12 − 4 = 3 x − 6 + x + 5 − 3 ⇔
2 2
= 3( x − 2) +
x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3
x+2 x +1
⇔ ( x − 2) − − 3 = 0 ⇔ x = 2
x + 12 + 4 x2 + 5 + 3
2
x+2 x+2 5
D dàng ch ng minh ñư c : − − 3 < 0, ∀x >
x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 3
Bài 3. Gi i phương trình : 3 x 2 − 1 + x = x3 − 1
Gi i :ðk x ≥ 3 2
Nh n th y x=3 là nghi m c a phương trình , nên ta bi n ñ i phương trình
( x − 3) ( x + 3 x + 9 )
2
x+3
3
x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 +
2 3
=
( ) + 2 x −1 + 4 x3 − 2 + 5
2
3 x2 − 1 3 2
x+3 x+3 x 2 + 3x + 9
Ta ch ng minh : 1 + = 1+
- Giáo viên: Nguy n Vi t B c Luy n thi ñ i h c (Chuyên ð Hàm S 12)
2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1 = 2 x = 0
V y ta có h : ⇒ 2 2x + x + 9 = x + 6 ⇔
2
2x + x + 9 + 2x − x + 1 = x + 4
2 2 x = 8
7
8
Th l i th a; v y phương trình có 2 nghi m : x=0 v x=
7
Bài 5. Gi i phương trình : 2 x2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x
Ta th y : ( 2 x 2 + x + 1) − ( x 2 − x + 1) = x 2 + 2 x , như v y không th a mãn ñi u ki n trên.
1
Ta có th chia c hai v cho x và ñ t t = thì bài toán tr nên ñơn gi n hơn
x
Bài t p ñ ngh
Gi i các phương trình sau :
x 2 + 3 x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 3
x 2 − 1 + 3 x3 − 2 = 3x − 2
4 − 3 10 − 3 x = x − 2 (HSG Toàn 2 x 2 − 11x + 21 − 3 3 4 x − 4 = 0 (OLYMPIC 30/4-2007)
Qu c 2002) 2 x 2 − 1 + x 2 − 3x − 2 = 2 x 2 + 2 x + 3 + x 2 − x + 2
2 ( 2 − x )( 5 − x ) = x + ( 2 − x )(10 − x ) 2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4
3
x2 + 4 = x − 1 + 2x − 3 x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8
3. Phương trình bi n ñ i v tích
S d ng ñ ng th c
u + v = 1 + uv ⇔ ( u − 1)( v − 1) = 0
au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b )( v − a ) = 0
A2 = B 2
Bài 1. Gi i phương trình : 3
x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2
x = 0
Gi i: pt ⇔ ( 3
x +1 −1 )( 3
)
x + 2 −1 = 0 ⇔
x = −1
Bi 2. Gi i phương trình : 3 x + 1 + 3
x2 = 3 x + 3 x2 + x
Gi i:
+ x = 0 , không ph i là nghi m
x +1 3 x +1
+ x ≠ 0 , ta chia hai v cho x: 3
x
+ x = 1+ 3 x +1 ⇔ 3
x
− 1 ( 3
)
x −1 = 0 ⇔ x = 1
Bài 3. Gi i phương trình: x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3
Gi i: dk : x ≥ −1
x = 1
pt ⇔ ( x + 3 − 2x )(
x +1 −1 = 0 ⇔
x = 0
)
4x
Bài 4. Gi i phương trình : x + 3 + =4 x
x+3
Gi i:
ðk: x ≥ 0
2
4x 4x 4x
Chia c hai v cho x + 3 : 1+ =2 ⇔ 1 − = 0 ⇔ x =1
x+3 x+3 x+3
Dùng h ng ñ ng th c
http://ebook.here.vn - Thư vi n ð Thi Tr c Nghi m, Bài Gi ng, Chuyên ð 20
nguon tai.lieu . vn
