Xem mẫu
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ TOÁN 8
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
– Tìm nh}n tử chung l{ những đơn, đa thức có mặt trong tất cả c|c hạng tử.
– Ph}n tích mỗi hạng tử th{nh tích của nh}n tử chung v{ một nh}n tử kh|c.
– Viết nh}n tử chung ra ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử còn lại của mỗi hạng tử v{o trong
dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1
h nt h
th
s u th nh nh n t
28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Dùng c|c hằng đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử.
- C n chú đến vi c v n d ng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2
h nt h
th
s u th{nh nh}n tử
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
– Kết hợp c|c hạng tử thích hợp th{nh từng nhóm.
– Áp d ng liên tiếp c|c phương ph|p đặt nh}n tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3
h nt h
W: www.hoc247.net
th
s u th nh nh n t
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
- Chọn c|c phương ph|p theo thứ tự ưu tiên.
- Đặt nh}n tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4
h nt h
th
s u th nh nh n t
3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH
T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ
1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a) C|ch 1 (t|ch hạng tử b c nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi ph}n tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi c|ch.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = ai + ci
Bước 3: T|ch bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để ph}n tích tiếp.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Ví dụ 5
h}n tí h
thứ f(x) = 3x2 + 8x + 4 th{nh nh}n tử
Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 l{ tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
b) C|ch 2 (t|ch hạng tử b c hai ax2)
- L{m xuất hi n hi u hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)
c) Cách 3 (t|ch hạng tử tự do c)
- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm th{nh hai nhóm:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
d) C|ch 4 (t|ch 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
e) C|ch 5 (nhẩm nghi m): Xem ph n III.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Chú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta t|ch như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6
h}n tí h
thứ f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử
Hướng dẫn
T thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2 2x Từ ó t
ần thêm v{ bớt 1 2 = 1 ể xuất hiện hằng ẳng thứ
Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 7
h}n tí h
thứ f(x) = 9x2 + 12x – 5 th{nh nh}n tử
Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩm nghiệm)
3. Đối với đa thức nhiều bi n
Ví dụ 11
a)
h nt h
th
s u th nh nh n t
2x2 - 5xy + 2y2 ;
b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)
h nt h
th
n yt
ng t nh ph n t h
th
f(x) = x 2 + bx + c.
Ta t h h ng t th 2
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)
h n x t z - x = -(y - z) - (x - y)
W: www.hoc247.net
v y t t h h ng t th h i u
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
th
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú :
1)
c}u b) ta có thể t|ch y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức c}u b) l{ một trong những đa thức có dạng đa thức đặc bi t. Khi ta thay x = y (y
= z hoặc z = x) v{o đa thức thì gi| tr của đa thức bằng . Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích bằng
c|ch t|ch như trên, ta còn c|ch ph}n tích bằng c|ch x t gi| tr riêng (Xem ph n VII).
III. PHƯƠNG PHÁP NH
Tr ớ hết, t
NGHI
hú ý ến một ịnh lí qu n trọng s u
Đ nh lí : Nếu f(x) có nghi m x = a thì f(a) = . Khi đó, f(x) có một nh}n tử l{ x – a và f(x) có
thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Lú ó t| h | số hạng ủ f(x) th{nh | nhóm, mỗi nhóm ều hứ nh}n tử l{ x – a.
Cũng ần l u ý rằng, nghiệm nguyên ủ
thứ , nếu ó, phải l{ một ớ ủ hệ số tự do
Ví dụ 8
h}n tí h
thứ f(x) = x3 + x2 + 4 th{nh nh}n tử
Lời giải
Lần l ợt kiểm tr với x = ± 1, ± 2, 4, t thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0 Đ thứ f(x) ó
một nghiệm x = –2, do ó nó hứ một nh}n tử l{ x + 2 Từ ó, t t| h nh s u
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
nguon tai.lieu . vn
CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ TOÁN 8
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
– Tìm nh}n tử chung l{ những đơn, đa thức có mặt trong tất cả c|c hạng tử.
– Ph}n tích mỗi hạng tử th{nh tích của nh}n tử chung v{ một nh}n tử kh|c.
– Viết nh}n tử chung ra ngo{i dấu ngoặc, viết c|c nh}n tử còn lại của mỗi hạng tử v{o trong
dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1
h nt h
th
s u th nh nh n t
28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Dùng c|c hằng đẳng thức đ|ng nhớ để ph}n tích đa thức th{nh nh}n tử.
- C n chú đến vi c v n d ng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2
h nt h
th
s u th{nh nh}n tử
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
– Kết hợp c|c hạng tử thích hợp th{nh từng nhóm.
– Áp d ng liên tiếp c|c phương ph|p đặt nh}n tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3
h nt h
W: www.hoc247.net
th
s u th nh nh n t
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
- Chọn c|c phương ph|p theo thứ tự ưu tiên.
- Đặt nh}n tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4
h nt h
th
s u th nh nh n t
3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH
T H NG TỬ TH NH NHIỀU H NG TỬ
1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a) C|ch 1 (t|ch hạng tử b c nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi ph}n tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi c|ch.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = ai + ci
Bước 3: T|ch bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để ph}n tích tiếp.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Ví dụ 5
h}n tí h
thứ f(x) = 3x2 + 8x + 4 th{nh nh}n tử
Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 l{ tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)
b) C|ch 2 (t|ch hạng tử b c hai ax2)
- L{m xuất hi n hi u hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)
c) Cách 3 (t|ch hạng tử tự do c)
- T|ch th{nh 4 số hạng rồi nhóm th{nh hai nhóm:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
d) C|ch 4 (t|ch 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
e) C|ch 5 (nhẩm nghi m): Xem ph n III.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Chú : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta t|ch như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6
h}n tí h
thứ f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử
Hướng dẫn
T thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2 2x Từ ó t
ần thêm v{ bớt 1 2 = 1 ể xuất hiện hằng ẳng thứ
Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 7
h}n tí h
thứ f(x) = 9x2 + 12x – 5 th{nh nh}n tử
Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên (Xem mục III. Phương pháp nhẩm nghiệm)
3. Đối với đa thức nhiều bi n
Ví dụ 11
a)
h nt h
th
s u th nh nh n t
2x2 - 5xy + 2y2 ;
b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)
h nt h
th
n yt
ng t nh ph n t h
th
f(x) = x 2 + bx + c.
Ta t h h ng t th 2
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)
h n x t z - x = -(y - z) - (x - y)
W: www.hoc247.net
v y t t h h ng t th h i u
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
th
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú :
1)
c}u b) ta có thể t|ch y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức c}u b) l{ một trong những đa thức có dạng đa thức đặc bi t. Khi ta thay x = y (y
= z hoặc z = x) v{o đa thức thì gi| tr của đa thức bằng . Vì v y, ngo{i c|ch ph}n tích bằng
c|ch t|ch như trên, ta còn c|ch ph}n tích bằng c|ch x t gi| tr riêng (Xem ph n VII).
III. PHƯƠNG PHÁP NH
Tr ớ hết, t
NGHI
hú ý ến một ịnh lí qu n trọng s u
Đ nh lí : Nếu f(x) có nghi m x = a thì f(a) = . Khi đó, f(x) có một nh}n tử l{ x – a và f(x) có
thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Lú ó t| h | số hạng ủ f(x) th{nh | nhóm, mỗi nhóm ều hứ nh}n tử l{ x – a.
Cũng ần l u ý rằng, nghiệm nguyên ủ
thứ , nếu ó, phải l{ một ớ ủ hệ số tự do
Ví dụ 8
h}n tí h
thứ f(x) = x3 + x2 + 4 th{nh nh}n tử
Lời giải
Lần l ợt kiểm tr với x = ± 1, ± 2, 4, t thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0 Đ thứ f(x) ó
một nghiệm x = –2, do ó nó hứ một nh}n tử l{ x + 2 Từ ó, t t| h nh s u
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807