Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
A. Kiến thức cơ bản.
I.

Tỉ lệ thức.

1.

Định nghĩa: Tỉ lệ thức l{ đẳng thức của hai tỉ số

Dạng tổng quát:

a c
 hoặc a:b=c:d
b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ
2.

Tính chất.

a)

Tính chất 1 (Tính chất cơ bản)

a c
  ad  bc (với b,d≠0)
b d
b)

Tính chất 2 (Tính chất hoán vị)

Từ tỉ lệ thức

a c
 (a,b,c,d≠0) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức kh|c bằng c|ch:
b d

-

Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau

-

Đổi chỗ trung tỉ cho nhau

-

Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau v{ đổi chỗ trung tỉ cho nhau

Cụ thể: Từ



a c
 (a,b,c,d≠0)
b d

a b d c d b
 ,  , 
c d b a c a

II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1)

Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

2)

Tính chất 2:

a a c a c
a c


( b  d )
suy ra 
b bd bd
b d

a c e
  ta suy ra
b d f

a c e a c e a c e c e
  


 ...
b d f bd d bd  f d  f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Nâng cao.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1. Nếu
2. Từ

=k thì
=> +)
+)

(Tính chất n{y gọi l{ tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
* Chú ý: C|c số x, y, z tỉ lệ với c|c số a, b, c =>
Ta còn viết x:y:z = a:b:c
B. Các dạng toán và phương pháp giải.
Dạng 1: Tìm th{nh phần chưa biết trong tỉ lệ thức, d~y tỉ số bằng nhau
Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
Dạng 3: Tính gi| trị biểu thức
Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, d~y tỉ số bằng nhau v{o giải b{i to|n chia tỉ lệ.
Dạng 5: Tính chất của tỉ lệ thức |p dụng trong bất đẳng thức

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Bài 1: Tìm x biết:
a)
b)
Giải
a)

Từ

=> 7(x-3) = 5(x+5). Giải ra x = 23

b) Cách 1. Từ

=> (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)

(x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2
- x + 3x – 3 =

+ 2x – 2x – 4

Đưa về 2x = -1 => x =
Cách 2:

x 1
x2
+1=
+1
x2
x3

2x 1 2x 1
=
x2
x3

 2x+1=0  x= -

Bài 2: Tìm x, y, z biết:

1
(Do x+2  x+3)
2

và x – 3y + 4z = 62
Giải

Cách 1 (Đặt giá trị chung)
Đặt

=> {

Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62
4k – 9k + 36k = 62
31k = 62 => k = 2

Do đó {

Vậy x = 8; y= 6; z = 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của d~y tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của d~y tỉ số bằng nhau ta có:
=>{

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cách 3 (Phương ph|p thế)
Từ

=> x=
=> y=

Mà x – 3y + 4z = 62 =>
Do đó x =

đua về 31z = 558 => z = 18

; y=

Vậy x = 8; y = 6 v à z =18
Bài 3: Tìm x, y, z biết:
a)

và 2x + 3y – z = 186
2x = 3y = 5z và |

b)

|=95
Giải

a)

C|ch 1: Từ

Và

=>

=>

=

Ta có:

=>

=>

=>
(*)
=

=>{
Vậy x=45; y=60 và z=84
Cách 2: Sau khi l{m đến (*) ta đặt

=

=k

(Sau đó giải như c|ch 1 của b{i 2)
Cách 3: Sau khi l{m đến (*) dùng phương ph|p thế giải như c|ch 3 của b{i 2.
b)
Mà |

Vì 2x = 3y = 5z =>
|

=

=>

=

 x  y  z  95

 x  y  z  95

+) Nếu x+y-z= 95
Ta có

=

=>{

+) Nếu x + y – z = - 95
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có

=

=>{

Vậy: [

Bài 4: Tìm x, y, z biết:
a)

và – x + z = -196

b)

và 5z – 3x – 4y = 50
4
3
2


và x + y – z = - 10
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z

c)

Giải
a)

Vì

=>
=>
=>

=

Ta có

= =

=>{

Vậy x = 231; y = 28 và z = 35
b)
=


Ta có
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
c)

Vì

4
3
2


=
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5