Xem mẫu
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
Phần I: MỞ ĐẦU
Thời gian gần đây,dạng bài toán mạch dao động điện từ LC thường xuất
hiện trong các đề thi đại học,học sinh giỏi các cấp. Đây là lo ại bài t ập v ật lý
khó,đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tổng hợp được kiến thức phần điện học.
Khi giải các bài toán về mạch dao động điện từ, học sinh th ường gặp khó
khăn bởi các lý do sau :
+ Trong chương trình vật lý ph ổ thông , th ời l ượng phân b ố cho h ệ đ ơn
vị kiến thức này chỉ trong 1 tiết , vả lại không có tiết bài tập để rèn luy ện bài
tập loại này .
+ Tài liệu tham khảo viết về chuyên đề này còn rất hiếm .
+ Để giải được loại bài tập này , học sinh phải nắm v ững các đ ơn v ị
kiến thức vật lý11. Thực tế khi học xong chương Dao động đi ện -Dòng đi ện
xoay chiều (VL12) , sau đó chuyển tiếp qua chương Dao động điện từ , học
sinh thường rơi vào tâm lý lúng túng khi áp dụng kiến th ức v ề dòng đi ện m ột
chiều và dòng điện xoay chiều để giải bài toán Dao động điện từ.
+ Khi lập hệ hai phương trình vi phân, h ọc sinh không t ự tìm đ ược
nghiệm bài toán,đồng thời gặp khó khăn trong việc áp dụng các đi ều ki ện
ban đầu để tìm lời giải cho bài toán .
Nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy của GV và nghiên cứu của
học sinh trong các kì thi ĐH và HSG các cấp, chúng tôi viết chuyên đề “Dao
động điện từ” dưới một khía cạnh kinh nghiệm để vận dụng gi ải các bài
toán về mạch dao động một cách thống nhất và xuyên suốt, t ạo đi ều ki ện t ốt
để ba đối tượng học sinh trung bình, khá- giỏi đều có thể vận dụng được.
Trong chuyên đề này chúng tôi đưa ra hai chủ đề chính: Chủ đề I là ki ểu
bài toán mạch dao động LC thông thường nhằm ph ục vụ luy ện thi ĐH và
HSG cấp Tỉnh-Quốc gia. Chủ đề II là kiểu mạch dao động liên k ết, đây là
loại bài toán khó dùng để luyện thi học sinh giỏi quốc gia trở lên.
Trong xu thế hiện nay,với mục đích nâng cao trình độ HSG c ủa đ ất n ước ta
lên ngang tầm cấp khu vực, các giáo sư đầu ngành vật lý đã và đang đ ưa
dạng bài tập dao động điện liên kết nhằm phổ thông hoá kiến thức này cho
các đội dự tuyển HSG Quốc gia ở các tỉnh và dự đốn sắp đ ến s ẽ đ ưa vào áp
dụng trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp quốc gia.
Phần II: NỘI DUNG
A. TỔNG QUAN KIẾN THỨC
I.Kiến thức áp dụng :
- 1-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
di
Suất điện động xuất hiện trong cuộn dây : e = − L = − Li '
-
dt
q
Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ : U =
-
C
- Định luật ôm cho đoạn mạch tổng quát:
u +e
i AB = AB
R AB
Trong đó e có thể là suất điện động(e>0) hoặc suất phản điện(e
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
3) Viết biểu thức định luật Kiếc xốp I cho các nút và định luật Kiếc
sốp II cho các mắt mạng :
Ví dụ: Tại A : i = i1 + i 2 ⇒ i'= i'1+ i'2 (1)
q
C = L1i '1
Mắt mạng A(L1)B(C)A và A(L2)B(C)A: (2)
q = L i'
C 22
4)Bằng cách khử dòng điện qua các cuộn dây để đưa về dạng ph ương
trình vi phân hạng hai,thường phương trình vi phân hạng hai có dạng :
+Nếu đề thi ĐH hoặc HSG quốc gia theo chủ đề I thường là:
q"+ωq = 0 → q = Q0 sin ωt + ϕ)
( (3)
+ Nếu đề thi HSG quốc gia trở lên theo chủ đề II có dạng hệ sau :
n1q"1+ m1q"2 +ω1 ( n1q1 + m1q2 ) = 0
2
n2q"1+ m2q"2 +ω2 ( n2q1 + m2q2 ) = 0
2
n1q"1+ m1q"2 = A .sin ω1t + ϕ1 )
(
Và cho nghiệm (4)
n2q"1+ m2q"2 = B.sin ω2t + ϕ 2 )
(
Từ đó giải (4) ta sẽ được ph ương trình dao động c ủa q1 và q2 có
thể là 1 phương trình điều hòa hoặc không điều hòa .
5)Từ điều kện ban đầu của bài toán : t = 0 thì ta có được q(0); q' (0)
hoặc q1 (0); q 2 (0); q'1 (0); q' 2 (0) ,suy ra được Q0;ϕ trong phương trình (3)
được A;B;ϕ1;ϕ 2 trong phương trình (4). Sau đó dựa vào yêu cầu bài
toán , ta có thể luận giải để được lời giải cho phù hợp .
B. ÁP DỤNG
DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
I.BÀI TOÁN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ I
Bài 1: (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia THPT - năm 2005)
Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Hai tụ điện C1;C2 giống nhau có
cùng điện dungC. Tụ điện C1 được tích điện đến hiệu điện thế U 0 , cuộn
dây có độ tự cảm L , các khóa k1; k2 ban đầu đều mở. Điện trở của cuộn
dây, của các dây nối và của các khóa là rất nhỏ,nên có th ể coi dao đ ộng đi ện
từ trong mạch là điều hòa.
- 3-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
1.Đóng khóa k1 tại thời điểm t = 0. Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t
của :
a) Cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây .
b) Điện tích q1 trên bản tụ nối với A của tụ C1
.
2.Gọi T0 là chu kì dao động của mạch LC1 và q2 là
điện tích của bản tụ nối với khóa k2 của tụ C2 . Đóng
khóa k2 ở thời điểm t1 = T0 . tìm biểu thức phụ thuộc
thời gian t của cường độ dòng điện chạy qua cuộn dâyL
và của q2 .
HD
1. Giả sử dòng điên chay trong mạch như hình vẽ.
Ta có: i = −q' và uAB = Li '= −Lq"
Xét mắt mạng A(L)B(C1)A:
q q
= −Lq"⇒ q"+ =0
C LC
1
⇒ q = Q0 sin t + ϕ
LC
Q0 sin ϕ = CU 0 Q0 = CU 0
q (0) = CU 0
Tại t = 0: → ⇒ ⇒ π
1
− Q0 LC cos ϕ = 0 ϕ = 2
i (0) = 0
Vậy:
π
1
q1 = q = CU 0 sin t+
(1)
2
LC
π
C 1
1 1
i = −q'= −CU 0 t + = U0
t
cos sin (2)
2 L LC
LC LC
2π
T0 = = 2π LC
2.Theo câu 1: (3)
ω
- Tại t = T0 thì q = Q0 = CU 0 và i = 0 ; đóng khóa k2 . Sau đó một khoảng
∆t < < giữa hai tụ C1;C2 phóng điện trao đổi điện tích và đạt đến giá trị:
Q CU 0
(vì C1 // C2 và C1 = C2 )
Q01 = Q02 = 0 =
2 2
- Tại t > T0 , dòng điện trong mạch chạy như hìng vẽ :
q
+ Mắt mạng A(L)B(C1)A : 1 = Li '1 (1)
C
- 4-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
q2
= Li '2 (2)
+ Mắt mạng A(C2)B(L)A :
C
+ Tại A : i l = i1 + i 2 ⇒ i'l = i'1+ i'2 (3)
- Thay (3) vào (1),(2) ta được :
q
q"1+ q"2 + 1 = 0 q
q"1+ q"2 + 1 = 0
LC ⇒ LC
q2
q" + q" + = 0 q1 = q2
1 2
LC
q
q"1+ 1 = 0 T
⇒ ⇒ q1 = q2 = Q02 sin + ϕ'
2LC
2LC
q1 = q2
với T = t − T0
CU 0
q1( 0) = Q01 = π
Lúc T = 0( t = T0 ) thì : 2 ⇒ ϕ'=
2
i1( 0) = 0
2π π
t t
CU 0 C
−π 2
Vậy q 2 = q1 = sin − − ⇒ i L = 2i1 = U 0 sin
-
2 2 2 2 L 2 LC
2 LC
Bài2: ( chuyên đề bồi dưỡng . . .Vũ Thanh Khiết)
Cho mạch dao động như hình vẽ. Tại thời điểm ban đầu khoá K mở và t ụ
điện có điện tích Q0, còn tụ kia không tích điện. Hỏi sau khi đóng khoá K thì
điện tích các tụ điện và cường độ dòng điện trong mạch biến đổi theo thời
gian như thế nào? Hãy giả định một cơ hệ tương đương nh ư mạch dao đ ộng
trên. Coi C1 = C2 = C và L đã biết; Bỏ qua điện trở thuần
của mạch.
HD:
- Xét tại thời điểm t, giả sử dòng điện có chiều và
các tụ tích điện như hình vẽ.
i = - q1/ = q2/ (1)
di
= - Li/
e=-L (2)
dt
+ q 1 + q 2 = Q0 (3)
- Ap dụng định luật Ôm :
q1 q 2
− - Li/ = 0
C C
Q
2q1
⇒ + Lq1// - 0 = 0
C C
Q
q1
−0
⇒ q1 //
+ LC LC = 0 (4)
2
- 5-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
//
Q
q1 q1
−0 LC //
Đặt x = LC LC ⇒ x// = LC ⇒ q1// = x thay vào
2
2 2
LC //
(4) : .x + x = 0
2
2 2
x = 0 ⇒ x = X0.sin( .t + ϕ )
Hay x// +
LC LC
Q0 LC 2
.t + ϕ )
q1 = + X 0 . sin(
2 2 LC
⇒
i = − q / = − LC . X . cos( 2 .t + ϕ )
1 0
2 LC
q1 (0) = Q0
Ap dụng điều kiện ban đầu: t = 0 ⇒
i =0
π
Q0 LC
Q0 = 2 + 2 X 0 . sin ϕ ϕ= 2
Q0 LC
= X 0 . sin ϕ
⇒ ⇒ ⇒
2 2 Q
0 = − LC X 0 . cos ϕ 0 = X 0 cos ϕ X 0 = 0
LC
2
Q0 Q 2
.t + π 2 )
Vậy q1 = + 0 .sin(
2 2 LC
Q0
Q 2 2 2
+ π2)=
⇒ i = - q1/ = - 0 . cos( sin( .t )
2 2 LC
LC LC LC
Mạch dao động trên tương đương như 1
cơ hệ
( hình vẽ). Trong đó ban đầu 1 trong 2 lò
xo bị nén hoặc dãn và lò xo còn lại chưa
biến dạng.
Bài3: Cho mạch dao động như hình vẽ. Ban đầu tụ C 1 tích điện đến hiệu
điện thế U0 = 10(V), còn tụ C2 chưa tích điện, các cuộn
dây không có dòng điện chạy qua. Biết L 1 = 10mH; L2
= 20mH; C1 = 10nF ; C2 = 5nF. Sau đó khoá K đóng.
Hãy viết biểu thức dòng điện qua mỗi cuộn dây. B ỏ
qua điện trở thuần của mạch.
HD:
- Xét tại thời điểm t, bộ tụ được vẽ lại và dòng
điện qua các cuộn dây có chiều như hình vẽ.
u AB = − e1 = + L1i1 / (1)
/
u AB = − e2 = + L2 i 2 (2)
q
u AB = C (3)
b
i =− q/ (4)
- 6-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
- Ap dụng định luật KiếcSốp cho các mắt mạng và nút:
q / /
= + L1 . i1 = + L2 (5)
Cb
i = i1 + i2 (6)
q q
Từ (6) ta suy ra: i/ = i1/ + i2/ ⇔ - q// = + L C + L C
1b 2b
111
( + )q = 0
⇒ q// +
C b L1 L2
( L1 + L2 ) ( L1 + L2 )
.t+ ϕ]
Hay q// + (C + C ) L L q = 0 ⇒ q = Q0.sin[
(C1 + C 2 ) L1 L2
1 2 12
Q0 = C1U 0
C U = Q0 sin ϕ
q (0) = C1U 0
Tại t = 0 ⇒ ⇒1 0 ⇒ ϕ =π
0 = cos ϕ
i (0) = 0
2
( L1 + L2 )
.t + π 2 ]
Vậy q = C1U0.sin [ (7)
(C1 + C 2 ) L1 L2
( L1 + L2 ) ( L1 + L2 )
.t + π 2 ]
⇒ i = - C1U0 cos[
(C1 + C 2 ) L1 L2 (C1 + C 2 ) L1 L2
( L1 + L2 ) ( L1 + L2 )
= C1U0 .sin( .t) (8)
(C1 + C 2 ) L1 L2 (C1 + C 2 ) L1 L2
L
Từ (5) L1i1/ = L2i2/ ⇒ L1i1 = L2i2 và i2 = L .i1
1
(9)
2
Thay vào (6) ta được:
L1 + L2
L2
L2 . sin ( .t )
( L1 + L2 )(C1 + C 2 ) L1 (C1 + C 2 ) L1 L2
i1 = L1 + L2 i = C1U0
L1 + L2
L1
L1 . sin ( .t )
L1 + L2 i = C1U0 ( L1 + L2 )(C1 + C 2 ) L2 (C1 + C 2 ) L1 L2
i2 =
2 2
Thay số ta được: i1 = .10-3.sin105t (A) = .sin105t (mA)
3 3
2
= sin(100000t) (mA)
3
1
i2 = .sin(100000t) (mA)
3
Bài4 : (Trích : Đề thi Olympic Vật lý tại
Liên bang Nga –năm 1987)
Cho mạch điện như hình bên. Các phần tử
trong mạch đều là lí tưởng .
a) Đóng khóa K , tìm Imax trong cuộn dây
và U1max trên tụ điện C1 .
b) Khảo sát sự biến thiên điện tích của tụ điện khi đóng khóa K .
- 7-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
HD:
+ Khi K mở : các tụ C1 và C2 có điện tích :
C1C2
Q01 = Q02 = E
C1 + C2
- Khi K đóng :
Giả sử chiều của các dòng điện trong mạch và
điện tích của các bản tụ (hình vẽ)
i1 = iL + i2
Ta có : (1)
q2
= Li1' (2)
C2
i1 = q1' (3)
i2 = q '
(4)
2
q1 q2 q1
+ = + LiL = E
'
(5)
C1 C2 C1
Từ (5)
'
q'
q i1 i C
⇒ + =0⇒ + 2 = 0 ⇒ i2 = −i1 2 (6)
1 2
C1 C2 C1 C2 C1
q1' i
Từ (5) ⇒ + LiL = 0 ⇒ 1 + LiL = 0
" "
(7)
C1 C1
C2 C1
Từ (6) và (1) suy ra : i1 = iL − i1 ⇒ i1 = iL
C1 + C2
C1
iL 1
Đặt ω =
Thay vào (7) được : iL + = 0 (*)
" 2
L(C1 + C2 ) L(C1 + C2 )
Nghiệm phương trình (*) là : iL = I 0 L Sin(ωt + ϕ )
- Tại t=0 thì iL = 0 ⇒ ϕ = 0 ⇒ iL = I 0 LCosωt
'
q1
+ LI 0L ω cos t = E
ω
Từ (5) suy ra :
C1
- Tại t=0 thì q1 = Q01 nên
Q01 EC2
+ LI 0 Lω = E ⇒ + Lω I 0 L = E
C1 + C2
C1
E C1 EC1
⇒ I0L = =
ω L C1 + C2 L(C1 + C2 )
EC1
I max = I 0 L =
Ta có :
L(C1 + C2 )
LEC1
Cosωt
u1 = E −
Suy ra :
L(C1 + C2 )
- 8-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
EC1
Cosωt
⇒ u1 = E −
(C1 + C2 )
E (2C1 + C2 )
EC1
U1max = E + =
(C1 + C2 ) C1 + C2
C1
• Cosωt )
q1 = C1u1 = C1 E (1 −
(C1 + C2 )
EC1
• ωCosωt
q2 = LC2iL = LC2
'
L(C1 + C2 )
C1C2
Cosωt
q2 = E
C1 + C2
Bài5: (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia THPT - năm
2003)
Trong mạch điện như hình vẽ, tụ điện có điện dung
là C, hai cuộn dây L1 và L2 có độ tụ cảm lần lượt là
L1=L, L2=2L; điện trở của các cuộn dây và dây nối
không đáng kể. Ở thời điểm t=0 không có dòng qua
cuộn dây L 2 , tụ điện không tích điện còn dòng qua
cuộn dây L1 là I1.
a) Tính chu kỳ của dao động điện từ trong mạch.
b) Lập biểu thức của cường độ dòng điện qua mỗi cuộn dây theo thời
gian.
HD:
- Chọn chiều dòng điện như hình vẽ
Gọi q là điện tích bản tụ nối với B
Ta có: iC = i1 + i2 (1)
LiC − 2 Li2 = 0
' '
(2)
q
Li1' = (3)
C
iC = −q ' (4)
Đạo hàm hai vế của (1) (2) và (3):
i"C =i1 +i"2
"
(1)
"
⇒
"
Li1 -2Li 2 =0 (2)
qi
Li1 =+ =- C
"
(3)
CC
3
i"C = - iC
2LC
- 9-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
2π 2LC
3
⇒T= = 2π
Chứng tỏ iC dao động điều hòa với ω=
ω 3
2LC
+ iC = I 0 Sin(ωt + ϕ ) (5)
Từ (2) ⇒ (Li 1 − 2Li 2 )'= const (i1 − 2i 2 ) = const
⇒
Tại t=0 thì : i1 =I1 , i 2 =0 ⇒ i1 -2i 2 =I1 (6)
+ i1 +i 2 =i C =I0CSin(ωt+ϕ )
Giải hệ được :
I1 2 I 0 C
Sin(ωt+ϕ )
i1 =
+
3 3
I I
i 2 = 0C Sin(ωt+ϕ )- 1
3 3
2I
u AB = q = Li1' = 0 C LωC.Cos(ωt+ϕ )
C 3
i1 = I1 ; i2 = 0; u AB = 0 .
Tại thời điểm t=0 :
I 0 C = I1 ;ϕ = π
Giải hệ được : 2
I 2I 3
Vậy : i1 = 1 + 1 Cos t
3 3 2 LC
I 3 I
i2 = 1 Cos t− 1
3 2 LC 3
.II.BÀI TOÁN LUYỆN TẬPTHEO CHỦ ĐỀ I
Bài 6: Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. Hai tụ C 1, C2 có điện dung bằng
nhau: C1 = C2 = C ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L; nguồn có suất đi ện
động E, bỏ qua điện trở dây nối và khoá K. Ban đ ầu khoá K ở ch ốt a, sau đó
đóng sang chốt b.
1) Viết biểu thức điện tích phụ thuộc thời gian trên
các tụ C1,C2 khi khoá K đóng sáng chốt b. Lấy mốc
thời gian là lúckhoá K đóng vào chốt b.
2) Tính điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây
dẫn sau một chu kỳ biến đổi của điện tích trên tụ C1.
Ap dụng số: C = 0,5 µ F ; L = 5mH ; E = 6V.
CE 2
.t ) + 1 ] = 1,5[cos(2 2 .10 4 t ) + 1 ]
ĐS: 1) q1 = [cos(
2 LC
µc
CE 2 µc
.t ) −1 ] = 1,5[cos(2 2 .10 4 t ) −1 ]
q2 = [cos(
2 LC
CE 2 2
2) i = q1/ = - ( .t )
) sin
2 LC LC
T
4
= 6 µc
∆q = 4 ∫ ( − i dt ) = 2CE
0
- 10-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
Bài7: Một mạch dao động LC gồm một tụ điện 1,0nF và một cuộn cảm
3,0mH có điện áp chỉnh bằng 3,0V.
a) Hỏi điện tích cực đại ở trên tụ điện.
b) Hỏi dòng điện cực đại chạy qua mạch? Hỏi năng lượng cực đại đ ược
dự trữ trong từ trường của cuộn dây.
Đáp số:a)Qmax=3.10-9C
b)Imax= 3 10-3A;W= 4,5.10-9J
Bài8: Trong mạch điện như HV:U=34V; R=14 Ω ;
C=6,2 µF ;L=54mH, đảo điện đã ở vị trí a trong một
thời gian dài. Bây giờ nó được gạt sang vị trí b.
a) Hãy tính tần số của dòng dao động.
b) Tính biên độ của dao động dòng điện.
Đáp số a) f=0,275kHz
b)Ima x=0,364A
Bài9: Bạn được đưa cho một cuộn cảm L=10mH và hai tụC 1= 5,0 µ F vàC2=
2,0 µ F. Hãy kê ra các tần số dao động có th ể có b ằng cách nối các y ếu t ố đó
theo các tổ hợp khác nhau.
Đáp số: (LC1) 712 Hz; (LC2) 1125Hz; (L,C1ntC2) 1331Hz; (L,C1song songC2)
602Hz
Bài 10:Một cuộn cảm được nối vào một tụ điện có điện dung thay đ ổi đ ược
nhờ xoay một núm. Ta muốn làm cho tần số của các dao động LC thay đ ổi
tuyến tính với góc quay của núm, đi từ 2x105 đến 4x105Hz khi núm quay 1 góc
1800. Nếu L = 1,0mH hãy biểu diễn bằng đồ thị C như một hàm số của góc
quay.
6,25.10 −9
Đáp số:f= θ .6,3662.104 ⇒ C =
θ2
( θ là góc quay của núm xoay)
Bài 11:Trong một mạch LC, L = 25,0mH và C = 7,80 µ F ở thời điểm t = 0,
dòng bằng 9,20mA, điện tích ở trên tụ điện bằng 3,80 µ F và tụ đang được
nạp.
a) Hỏi năng lượng tổng cộng trong mạch bằng bao nhiêu?
b) Hỏi điện tích cực đại trên tụ điện?
c) Hỏi dòng cực đại?
d) Nếu điện tích trên tụ điện được cho bởi q = Qcos( ωt + Φ ) thì góc pha Φ
bằng bao nhiêu?
e) Giả sử các dữ kiện vẫn như vậy, trừ ở thời điểm t = 0 , t ụ đang phóng
điện. Khi đó góc pha Φ bằng bao nhiêu?
Đáp số:a)W=1,98 µJ
b)Q=5,56 µC
c)I=12,6mA.
d) Φ = −46,9 0
e) Φ = 46,9 0
- 11-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
Bài12: Một mạch nối tiếp gồm cuộn cảm L 1 và tụ điện C1 dao động với tần
số góc ω . Một mạch nối tiếp thứ hai , chứa cuộn cảm L 2 và tụ C2, cũng dao
động với cùng tần số góc như vậy. Hỏi tần số góc của dao động(tính theo ω )
của mạch nối tiếp chứa cả bốn yếu tố đó? Bỏ qua điện trở có trong mạch.
(gợi ý: dùng các công thức cho điện dung tương
đương và độ tự cảm tương đương).
1 1
Đáp số: ω1 = ω = L C = L C
11 22
Bài 13: Trên HV tụ C1 =900 µ F mới đầu được nạp
đến 100V và tụ điện C2=100 µ F không có điện tích.
Hãy mô tả chi tiết làm thế nào để nạp tụ điện C 2
đến 300V nhờ các khoá S1 và S2.Biết L=10H.
Bài14: (Trích đề thi chọn HSG QG năm 1992 – 1993)
Một mạch dao động gồm 1 tụ điện và 1 cuộn dây thuần cảm. Mạch được
nối qua khoá K với một bộ pin có suất điện động (E,r)(HV). K đóng và dòng
điện đã ổn định thì người ta mở khoá K, trong mạch LC có dao động điện với
chu kỳ T. Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ lớn gấp n lần suất
điện động bộ pin. Hãy tính theo T và n điện dung C của tụ và độ tự
cảm L của cuộn dây.
HD:Đối với bài này mạch LC đã dao động điều
hoà nên chỉ cần áp dụng định luật bảo toàn
T Trn
năng lượng: C = và L =
2πrn 2π
Bài15: Cho mạch điện như hình vẽ. Các tụ điện
có cùng giá trị điện dung C,các cuộn dây có
cùng hệ số tự cảm Lphần tử trong mạch đều lý
tưởng.
1) Đóng khoá K, tìm (i L ) max trong cuộn dây
và (u c ) max trên tụ C1
1
2) Khảo sát sự biến thiên điện tích của
các tụ điện khi khoá K đóng.
C
1) (i L ) max =
ĐS: U0 .
6L
4
(u1 ) max = U 0 .
3
C 1
2) q1 = CU0 - U 0 cos t
3 LC
C 1
q2 =q3= 3 U 0 . cos t.
LC
Bài 16: Một tụ điện có điện dung C và hai cuộn dây thuần cảm có các hệ số
tự cảm L1 và L2 ( điện trở không đáng kể ) được mắc
thành một mach điện có sơ đồ như hình bên .
- 12-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
Ở thời điểm ban đầu tụ điện chưa tích điện và không có dòng điện trong
cuộn dây L2 nhưng có dòng điện I0 trong cuộn dây L1 . Hãy tính điện tích cực
đại của tụ điện và cường độ cực đại của dòng điện trong cuộn dây L2 .
Bài 26: Cho mạch dao động gồm tụ C và cuộn dây thuần cảm L 1 = L .Tại
thời điểm khi điện tích của tụ là Q và cường độ dòng điện qua cuộn dây là I
thì người ta mắc thêm cuộn dây thuần cảm L 2 = 2L song song với cuộn L 1 .
a) Tìm qui luật biến thiên điện tích của tụ.
b) Khi q max thì dòng điện qua hai cuộn cảm có chiều như thế nào và có
giá trị bằng bao nhiêu ?
DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ LIÊN KẾT
- 13-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
I.BÀI TOÁN THÍ DỤTHEO CHỦ ĐỀ II
Bài 1:
Hai tụ điện có điện dung C1 = 2C;C2 = C , ban đầu mỗi cái được tích điện
đến hiệu điện thế U 0 , sau đó ghép nối tiếp với nhau , bản âm tụ C1 được
nối với bản dương tụ C2 . Cùng một lúc người ta
đóng cả hai khóa k1 và k2 . Biết hai cuộn dây
thuần cảm có độ tự cảm L 1 = L ;L 2 = 2L mắc như
hình vẽ.
a)Tìm dòng điện cực đại qua mỗi cuộn cảm .
b)Hỏi sau bao nhiêu lâu từ lúc đóng 2 khóa ,
dòng điện qua cuộn cảm đạt cực đại .
HD
a)Xét tại thời điểm t nào đó ( t > 0), giả sử dòng
điện trong mạch có chiều như hình vẽ . Khi đó ta
có :
i 3 = −q'1 ;i 2 = −q'2
u = −e = 2Li '
AB 2 2
q
uAM = −e1 = Li '1 = 1
2C
q
uMB = 2
C
- Xét mắt mạng :
q
A(L1)M(C1)A : 1 − Li '1 = 0 (1)
2C
q q
A(L2)B(C2)M(C1)A : 2Li '2 − 2 − 1 = 0 (2)
C 2C
Tại M : i 3 = i1 + i 2 ⇒ i'1 = i'3 −i'2 = −q"1+ q"2 (3)
Thay (3) vào (1),(2) ta được hệ theo q1 và q2 :
q1 3q1 q2
q"1 −q"2 + 2 LC = 0 q"1 + 4 LC + 2 LC = 0
⇒
q" + q1 + q 2 = 0 q" + q1 + q 2 = 0
2 4 LC 2 LC 2 4 LC 2 LC
t
1
( q1 + q 2 ) = 0 + ϕ1
q1 + q 2 = A. sin
q"1 + q"2 +
LC
LC
⇒ ⇒
( 2q" − q' ) + 1 ( 2q − q ) = 0 2q − q = B. sin t + ϕ (4)
2
2
2 1 2 1
4 LC 1
2 LC
- Giả thiết cho : t = 0 thì q1 (0) = 2CU 0 ; q 2 (0) = CU 0 ; q '1 (0) = 0; q' 2 (0) = 0 .Thay
tất cả điều kiện ban đầu vào (4) ta được:
- 14-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
3CU 0 = A. sin ϕ1 (a)
0 = B. sin ϕ 2 (b)
−A
cos ϕ1
0= (c)
LC
−B
cos ϕ 2
0= (d)
2 LC
π
Giải hệ (a),(b),(c),(d) ta được : ϕ1 = ;A = 3CU 0;B = 0 thay vào (4) ta
2
được :
π
t
q1 = 2CU 0 sin +
LC 2
q = CU sin t + π
2 0
LC 2
C t
i 2 = −q2 = U 0
Vậy sin
-
L LC
q '1 C t
i1 = i3 − i2 = − q'1 −( − q ' 2 ) = − ⇒ i1 = U 0 sin
2 L LC
Tπ
b)Vậy khi t = = LC thì dòng i1;i 2 cực đại.
42
Bài 2: (Trích Đề dự bị thi Olympic VL Châu Á 2004)
Cho một mạch điện gồm 2 tụ điện, mỗi tụ có
điện dung C, nối với 3 cuộn cảm, một cuộn có
độ tự cảm L0, còn hai cuộn kia mỗi cuộn có độ
tự cảm L (Hình vẽ bên ).
Ban đầu trong các đoạn mạch đều không có
dòng điện và các tụ tích điện như sau: bản A 1
mang điện tích Q1 = Q, bản B2 mang điện tích
Q2.
Đóng khoá K1 và K2 cùng một lúc .
1. Hãy viết biểu thức cho các cường độ dòng điện i 1, i2 và i3 theo thời gian
trong điều kiện : Q1 = Q2 = Q.
2. Với giá trị nào của Q2 để i3 = 0 qua cuộn L0 ở mọi thời điểm. Viết biểu
thức i1, i2 khi đó.
3. Với giá trị của Q2 như thế nào để ta luôn có i1 = i2 = i3/2 .
Bài giải:
- Gọi q1, q2 là điện tích lần lượt trên các bản A1 và B2 và dòng điện có
chiều như hình vẽ tại thời điểm t:
i 1 = - q1 / (1)
/
i 2 = - q2 (2)
i1 + i 2 = i 3 (3)
- 15-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
1. Ap dụng định luật Kiếc Sốp cho các mắt mạng.
q1
+ Mắt mạng: (MA1NM) : - Li1/ - L0i3/ = 0 (4)
C
q2
- Li2/ - L0i3/ = 0 (5)
(MB2NM) :
C
1
+ Lấy (4) trừ (5) : (q1 – q2 ) + L (i2/ - i1/) = 0
C
1
⇔ (q1// -q2//) + (q1 – q2) = 0
LC
1
.t + ϕ1 )
⇒ q1 – q2 = A.sin(
LC
(6)
1
+ Lấy (4) cộng (5) : (q1 + q2) - L(i1/ + i2/) – 2L0i3/ = 0
C
1
Thay (1), (2) và (3) vào ta được: (q1 + q2) + L(q1// + q2//) + 2L0(q1// + q2//) =
C
0
1
⇔ (q1// + q2//) + .(q1 + q2) = 0
C ( L + 2 L0 )
1
.t + ϕ 2 )
⇒ q1 + q2 = B.Sin( (7)
( L + 2 L0 )C
A 1
.t + ϕ1 )
Từ (6) và (7) ⇒ - i1 + i2 = . cos( (8)
LC LC
B t
- i1 – i2 = ( L + 2 L ) . cos( C ( L + 2 L ) + ϕ 2 ) (9)
0 0
Từ (6) và (7) ta có:
t
t
A B
+ ϕ1 ) + + ϕ2 )
q1 = Sin( Sin( (10)
C ( L + 2 L0 )
2 2
LC
t
t
A B
+ ϕ1 ) + Sin( + ϕ2 )
q2 = - .Sin( (11)
C ( L + 2 L0 )
2 2
LC
Từ (8) và (9) ta được:
B t
A t
+ ϕ1 ) - 2 C ( L + 2 L ) cos( C ( L + 2 L ) + ϕ 2 ) (12)
i1 = - cos(
2 LC LC 0 0
B t
A t
+ ϕ1 ) - 2 C ( L + 2 L ) cos( C ( L + 2 L ) + ϕ 2 )
i2 = cos( (13)
2 LC LC 0 0
Ap dụng điều kiện ban đầu: lúc t = 0 thì:
q1 (0) = Q
q (0) = Q
2
i1 (0) = 0
i2 (0) = 0
Thay vào (10), (11), (12), (13) ta được:
- 16-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
A B
Q = 2 Sinϕ1 + 2 Sinϕ 2 (a )
A B
Q = − Sinϕ1 + Sinϕ 2 (b )
2 2
A B
cos ϕ1 − cos ϕ 2
0 = − (c )
2 C ( L + 2 L0 )
2 LC
A B
0 = 2 LC cos ϕ1 _ 2 C ( L + 2 L ) cos ϕ 2 (d )
0
Từ (a), (b) và (c), (d) ta có hệ:
2Q = B. sin ϕ 2 (a / )
B
. cos ϕ 2
0= (b / )
C ( L + 2 L0 )
0 = A sin ϕ1 (c / )
A
0 = cos ϕ1 (d / )
C ( L + 2 L0 )
Từ (a/) và (b/) ta được ϕ 2 = π 2 và B = 2Q
Từ (c/) và (d/) ta được A = 0
Thay kết quả trên vào (12) và (13):
π
Q t
+
. cos(
i1 = i 2 = - 2)
C ( L + 2 L0 ) C ( L + 2 L0 )
π
2Q t
+
. cos(
i3 = - C ( L + 2 L0 ) C ( L + 2 L0 ) 2
2.
a) Muốn i3 = 0 với mọi t thì:
B t
i3 = i1 + i2 = - C ( L + 2 L ) . cos( C ( L + 2 L ) + ϕ 2 ) = 0
0 0
Muốn vậy B = 0
A t
i1 = − 2 LC cos( LC + ϕ1 )
i2 = A . cos( t + ϕ1 )
2 LC LC
⇒
A t
q1 = sin( + ϕ1 )
2 LC
A t
+ ϕ1 )
q 2 = − sin(
2
LC
Kết hợp điều kiện ban đầu:
- 17-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
A
Q1 = 2 Sinϕ1
q1 (0) = Q A
Q2 = − Sinϕ1
q (0) = Q
2 2
⇒
A
i1 (0) = 0 cos ϕ1
0 = −
2 LC
i2 (0) = 0
A
0 = 2 LC cos ϕ1
⇒ Q1 = - Q2
ϕ1 = π 2
Với Q1 = Q ⇒ Q2 = - Q ⇒ A = 2Q1
Q t π
i1 = − LC cos( LC + 2 )
⇒
Q t
+π )
i2 = cos(
2
LC LC
i3
b) Để i1 = i2 = thì :
2
t
A t A t
B B
+ ϕ1 )- cos( C ( L + 2 L ) + ϕ 2 )= + ϕ1 )- cos(
- cos( cos(
2 2
2 LC LC 2 LC LC
0
t
+ ϕ2 )
C ( L + 2 L0 )
t
B
Từ đó ⇒ A = 0 ⇒ i1 = i2 = - cos( C ( L + 2 L ) + ϕ 2 )
2 0
Ap dụng điều kiện ban đầu :
B
Q1 = . sin ϕ 2
q1 (0) = Q
2
q (0) = Q
2 B
Q2 = . sin ϕ 2
⇒
i1 (0) = 0 2
B
i2 (0) = 0 0 = − cos ϕ 2
2 C ( L + 2 L0 )
⇒ ϕ2 = π
2 và Q1 = Q2 ; B = 2Q1
Với Q1 = Q. Vậy khi đó i1 = i2 = -
Q t
+π )
cos(
2
C ( L + 2 L0 ) C ( L + 2 L0 )
Bài 3:(Trích đề thi chọn Đội tuyển HS dự thi
Olympíc Vật lý quốc tế năm 2001).
Giữa hai điểm A và B có ba đoạnn mạch
điện mắc song song như HV. Mỗi đoạn
mạch đều có một tụ điện điện dung C; có hai
đoạn mạch chứa cuộn cảm có độ tự cảm L;
- 18-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
tất cả các cuộn cảm và dây nối đều có điện trở thu ần b ằng không. Hai cu ộn
cảm đặt cách nhau để có thể bỏ qua ảnh hưởng của từ trường của cuộn cảm
này lên cuộn cảm kia. Trong mạch có dao động điện.
1. Kí hiệu q1, q2 , q3 lần lượt là điện tích của bản A1, A2, A3 của tụ điện; i1, i2,
i3 lần lượt là cường độ dòng điện đi từ các bản A 1, A2, A3 của tụ điện tới A
(chiều dương được chọn là chiều của mũi tên trên hình vẽ).
a) Viết phương trình cho mối quan hệ giữa cường độ dòng điện i k . (k = 1, 2,
3. . .)
b) Viết biểu thức của hiệu điện thế u BA = VA – VB theo các dữ kiện của từng
đoạn mạch BA1A, BA2A, BA3A.
2) Tìm biểu thức cho sự phụ thuộc vào thời gian của cường độ dòng điện i 2
trong đoạn mạch không chứa cuộn cảm.
3) Chứng tỏ rằng , cường độ dòng điện trong mỗi đoạn mạch có chứa cuộn
cảm là tổng của hai số hạng biến đổi điều hoà theo thời gian. Hãy tính các
tần số góc đó.
4) Xét trường hợp đặc biệt khi i1(t) = i3(t) và i1(t) = - i3(t).
HD:
dq
dq1 dq
1)a. Theo hình vẽ ta có: i1 = - (1) ; i2 = - 2 (2) ; i3 = - 3 (3)
dt dt dt
b. Ta có:
q1 di
uAB = VA – VB = -L 1 (4)
C dt
q2
uAB = (5)
C
q
= 3 - L.i3/
uAB (6)
C
2) Theo quy tắc Kiếcxốp, tại nút A ta có:
i1 + i 2 + i 3 = 0 → i2 = - i 1 – i3 (7)
q1 q
- Li1/ = 2
(4) và (5) cho ta : (8)
C C
q q
(5) và (6) cho ta : 3 - Li3/ = 2 (9)
C C
q +q d (i + i ) q
(8) và (9) cho ta: 1 3 - L 1 3 = 2 2
C dt C
Chú ý đến (7) và hệ quả của (7):
Q2 = - q1 – q3 + K ( K là hằng số )
Ta có thể biến đổi phương trình nói trên thành:
K
q2
L i2/ = 3 +
C
C
Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế của phương trình này ta đ ược ph ương
trình vi phân :
3i2
Li2// = -
C
- 19-
- Chuyeân ñeà : DAO ÑOÄNG ÑIEÄN TÖØ
3
→ i2// + i2 = 0 (10)
LC
3
Chứng tỏ i2 biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc ω 2 = (11);
LC
Nghĩa là ta có : i2 = B.cos( ω 2 t + ϕ 2 ) (12)
q1 − q3 d (i − i )
3. Trừ (8) và (9) vế với vế ta có: -L 1 3 =0 (13)
C dt
d (i − i )
đặt i4 = i1 – i3 (14) ta có : i4 = - 1 3
dt
Lấy đạo hàm (13) theo thời gian ta được phương trình (vi phân) :
1
i4
= 0 → i4// +
Li4// + i4 = 0 (15)
LC
C
i4 = A.cos( ω1t + ϕ1 )
Rút ra: (16)
1
Với ω1 = (17)
LC
Từ (7) và (14) ta thu được:
A B
cos( ω1t + ϕ1 ) - cos( ω 2 t + ϕ 2 )
i1 = - ½ (i 2 – i4 ) = (18)
2 2
A B
cos( ω1t + ϕ1 ) - cos( ω 2 t + ϕ 2 )
i3 = - ½ (i 2 + i 4 ) = - (19)
2 2
1 3
với ω1 = ; ω2 =
LC LC
4. + Xét trường hợp đặc biệt thứ nhất: i1(t) = i3(t)
i 2 (t )
→ i1(t) = i3(t) = : Trong hệ chỉ có dao động điện từ theo một tần số
2
3
góc ω 2 = .
LC
Điện tích của các tụ điện thoả mãn các hệ thức:
q2 = -2q1 = - 2q3, khi đó có sự đối xứng giữa hai đoạn mạch có cuộn cảm.
+ Trường hợp đặc biệt thứ hai: i1(t) = - i3(t).
Trong trường hợp này i2(t) = 0. Như vậy đoạn mạch không chứa cuộn
cảm không tham gia vào dao động điện. Và khi đó, có th ể coi cả h ệ nh ư
một mạch kín AA3BA1A (mạch này gồm 2 cuộn cảm nối tiếp 2C và hai tụ
nối tiếp với điện dung tương đương bằng C/2), mạch này có dao động
1
điện với tần số góc ω1 = , và luôn luôn có q1 = - q3.
LC
II.bài toán LUYỆN TẬP theo CHỦ ĐỀ I
IBài 4: Ba cuộn cảm L giống nhau và hai tụ điện C giống nhau được m ắc
thành một mạch có hai vòng như ở HV.
a)Giả thiết các dòng điện
như HV. Hỏi dòng trong cuộn
dây ở giữa? Viết các phương
- 20-
nguon tai.lieu . vn
