Xem mẫu

  1. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS A - phÇn më ®Çu B - Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ BÊt ®¼ng thøc I - §Þnh nghÜa: Cho hai sè: a, b ta nãi sè a lín h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a > b nÕu a - b > 0 sè a nhá h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a < b nÕu a - b < 0 II - TÝnh chÊt: 1) a > b ⇔ b < a At ®¬n ®iÖu) 2) a < b, c < d ⇒ a + c < b +d (Céng hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu víi chóng) 3) a < b, c > d ⇒ a - c < b - d (trõ hai BÊt ®¼ng thøc ngùoc chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cã chiÒu lµ chiÒu cña BÊt ®¼ng thøc bÞ trõ) 4) Nh©n hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc a < b víi cïng mét sè a.m < b.m, m > 0 m a b.m, m < 0 5) Nh©n hai vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc kh«ng ©m cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu: 0 b ⇒ an+1>b2n+1 vµ ann>0; a>1 ⇒ am > an; am < an víi 0 < a
  2. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c tÝnh chÊt trªn cã thÓ chøng minh nhê ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt tríc. III - Mét sè BÊt ®¼ng thøc c©n nhí: 1) A 2k ≥ víi mäi A, DÊu"=" x¶y ra khi A=0 0 2) A ≥ 0, ∀A DÊu "=" x¶y ra khi A=0. 3) − A ≤ A ≤ A 4) A + B ≤ A + B DÊu "=" x¶y ra khi A.B ≥ 0 5) A − B ≥ A − B DÊu "=" x¶y ra khi A.B ≥ 0 vµ A ≥ B Chó ý: - Ngoµi c¸c BÊt ®¼ng thøc trªn cßn mét sè c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng kh¸c mang tÝnh tæng qu¸t h¬n nªn khi gi¶i bµi tËp cÇn chó ý. - Khi chøng minh song BÊt ®¼ng thøc a ≤ b ta ph¶i xÐt trêng hîp DÊu “=” x¶y ra khi nµo. c- c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc I -Ph¬ng ph¸p 1: ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa: (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn M¹nh Hëng) 1-Néi dung ph¬ng ph¸p: §Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc A>B ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc A- B >0 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông - C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Æc biÖt lµ: (A+B) 2=A+2AB+B2 n n 2 n - Tæng qu¸t: ( ∑ Ai) i =1 2 = ∑ Ai + 2 i =1 ∑ Ai. Aj; i < j i , j =1., 2 -2-
  3. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c kỹ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt ®Ó biÕn ®æi hiÖu hai vÕ vÒ c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng hay ®iÒu kiÖn ®óng cña ®Ò bµi: 3-Bµi tËp ¸p dông Bµi 1- Chøng minh BÊt ®¼ng thøc a2+b2 ≥ab Gi¶i 1 3 1 3 XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+ 1 b2- 2. 4 ab)+ b2=( a- b)2+ b2 ≥ ®óng 0 2 4 2 4 1 2 3 2 1 3 víi mäi a, b v× ( a- b) ≥0; b ≥0 DÊu "=" x¶y ra khi (a- b)2= 2 4 2 4 b2=0 suy ra a = b = 0 VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. Chøng minh t¬ng tù cho Bµi a2+b2 ≥ab n n Ta cã thÓ chøng minh cho Bµi to¸n tæng qu¸t: (an)2+(bn)2 ≥a .b Bµi 2 - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0
  4. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. Bµi 3: Cho a ≤ b ≤ c vµ x ≤ y ≤ z h·y chøng minh r»ng: a + b x + y ax + by . ≤ 2 2 2 Gi¶i a +b x +y ax +by 1 XÐt hiÖu: . − = (ax+ay+by+bx-2ax-2by) 2 2 2 4 1 1 = [(ay-ax)+(bx-by)]= (x-y)(b-a) ≤ 0 ( do x ≤ y vµ a ≤ b ) 4 4 DÊu "=" x¶y ra khi x=y hoÆc a=b VËy BÊt ®¼ng thøc thùc ®îc chøng minh Chøng minh t¬ng tù ta ®îc BÊt ®¼ng thøc: a + b + c x + y + z ax + by + cz . ≤ 3 3 3 B¹n ®äc cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n. Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a2+b2+c2+d2+e2 ≥a(b+c+d +e) Gi¶i XÐt hiÖu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae 1 = ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae) 4 1 = [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)] 4 1 = [(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] ≥0 4 Do (a+2b)2 ≥0 vµ (a+2c)2 ≥0 vµ (a+2d)2 ≥ vµ (a+2e )2 ≥ 0 0 a DÊu "=" x¶y ra khi b = c = d = e = 2 VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. Bµi 5: Tæng qu¸t bµi 4 -4-
  5. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Cho ai i=1,2,..,n lµ c¸c sæ thùc. chøng minh r»ng: n n 2 ∑a a1 ∑ai 2 i ≥ i =1 n − 1 i =2 Chøng minh t¬ng tù bµi 4 4- Bµi tËp ¸p dông: H·y chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau: 1/ 4.x2+y 2 ≥4xy 2/ x2+y2 +1 ≥ +x+y xy 3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) ≤4(x11+y11) 4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995) ≥(x+y+z):3 5/ (a3+b3+c3) ≥(a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0 6/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng: a 8 + b8 + c 8 1 1 1 a/ ≥ + + (abc )3 a b c a 3b b3c c 3a a 3c b3a c3b b/ + + + + + ≥ 6abc c a b b c a II - Ph¬ng ph¸p 2: Dïng tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi t¬ng ®¬ng: (Ngêi thùc hiÖn: §µo Trung TuyÕn) 1) Néi dung ph¬ng ph¸p: Khi chøng minh mét BÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ta biÕn ®æi BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi mét BÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc mét BÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh hoÆc ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi. 2) KiÕn thøc c¬ b¶n: C¸c tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc. C¸c BÊt ®¼ng thøc thêng dïng. Kü n¨ng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng mét BÊt ®¼ng thøc. -5-
  6. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c H§ thøc 3- Bµi tËp mÉu Bµi 1: Chøng minh r»ng: x2+2y2+2z2 ≥2xy +2yz+2z-1 (*) Gi¶i (*) ⇔ x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 ≥0 ⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1) ⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2 ≥ BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi 0 x,y,z DÊu "=" x¶y ra khi x=y=z=1 VËy BÊt ®¼ng thøc d· cho ®îc chøng minh. Bµi 2: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc: (a10+b10) (a2+b2) ≥(a8+b8) (a4+b4) Gi¶i (a10+b10) (a2+b2) ≥(a8+b8) (a4+b4) ⇔ (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) ≥0 ⇔ a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 ≥0 ⇔ ( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 ≥0 ⇔ a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) ≥ 0 ⇔ a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) ≥0 ⇔ a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) ≥0 ®óng víi mäi a, b DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2 ⇔ a=b hoÆc a=-b vµ a=0 hoÆc b=0 VËy BÊt ®¼ng thøc ban ®Çu ®îc chøng minh. *NhËn xÐt: Tõ kÕt qña bµi to¸n trªn ta cã bµi to¸n t¬ng tù: Cho 0 ≤ a ≤ b Chøng minh BÊt ®¼ng thøc: (a5+b5) (a+b) ≥(a2+b2) (a4+b4) -6-
  7. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Bµi 3: Chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9 - a) Cho a ≥c ≥0 vµ b ≥ chøng minh c c(a − c) + c(b − c) ≤ ab Gi¶i a) NhËn xÐt: Ta thÊy 3+4=1+6 nªn ta nh©n (x-1)( x-6) vµ (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9  (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 ≥0 -  (x2-7x +6)(x2-7x+12)+9 ≥0  (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 ≥0  (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 ≥0  (x2-7x +9)2 ≥0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9 - 7 ± 13 DÊu "=" x¶y ra khi x2-7x +9 =0  x= 2 b) c (a − c) + c(b − c) ≤ ab ( c (a − c) + c(b − c) )2 ≤ ( ab )2  c(a-c)+c(b-c) +2 c (a − c) c(b − c) ≤ ab  c2 +2c (a − c) (b − c) +(a-c)(b-c) ≥0 ( c- (a − c) (b − c) )2 ≥0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi vËy c(a − c) + c(b − c) ≤ ab víi a ≥c ≥0 vµ b ≥c Bµi 4: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc: 3 3 3 1 1 1 2 + + ≥4 ( + + ) . biÕt a,b,c >0 ab cb ac a+b c+b a+c -7-
  8. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Gi¶i 1 1 1 (a + b + c) Ta cã + + = . Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ ab cb ac abc 8abc 1 1 1 8.(a + b + c) => + + ≥ Hay ab cb ac (a + b)(b + c)(c + a ) 1 1 1 4(a + b) + 4(b + c) + 4(c + a) + + ≥ ( a + b)(b + c)(c + a ) ab cb ac 1 1 1 8 8 8  2( + + ) ≥ (a + c)(b + c) + (a + b)(a + c) + (a + b)(b + c) (1) ab cb ac Trong (1) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c 1 4 MÆt kh¸c ta cã (a+b)2 ≥4ab ⇒ ≥ ( a + b) 2 t¬ng tù ta cã ab 1 4 1 4 ≥ 2 vµ ≥ cb (c + b ) ac (a + c) 2 1 1 1 4 4 4 suy ra + + ≥ (a + b)2 + (c + b) 2 + (a + c) 2 (2) ab cb ac Trong (2) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c 3 3 3 1 1 1 2 Tõ (1) vµ (2) Ta cã + + ≥4 ( + + ) ab cb ac a+b c+b a+c DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c NhËn xÐt: §Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc nhiÒu khi ta biÕn ®æi tõ mét BÊt ®¼ng thøc ®óng cã d¹ng t¬ng tù nh BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. Sau ®©y lµ mét vÝ dô n÷a kiÓu nh vËy. Bµi 5: Cho 0 < a ,b, c vµ abc =1 chøng minh BÊt ®¼ng thøc sau: 1 1 1 + 3 + 3 3 ≤ 1 a + b +1 c + b + 1 a + c +1 3 3 3 Gi¶i Do 0 ≤ a ≤ b ≤ c => (a-b)2(a+b) ≥ DÊu "=" x¶y ra khi a=b 0  (a-b)(a+b)(a-b) ≥0 -8-
  9. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS  (a2-b2)(a-b) ≥0  a3-a 2b-ab2+b3 ≥0  a3 +b3 ≥ 2b+ab2 a  a3 +b3 +1 ≥ 2b+ab2+abc  a3 +b3 +1 ≥ a (a+b+c)ab 1 1 c 1  ≤ = (a + b + c) (do abc= 1 => =c) a + b +1 3 3 ab(a + b + c) ab 1 c suy ra ≤ a 3 + b3 + 1 (a + b + c) 1 a T¬ng tù ta cã ≤ DÊu "=" x¶y ra khi b=c c3 + b3 + 1 (a + b + c) 1 b vµ ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=c a3 + c3 + 1 (a + b + c) Céng vÕ víi vÕ cña ba BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ta ®îc: 1 1 1 + 3 + 3 3 ≤ 1 a + b +1 c + b3 + 1 a + c +1 3 3 DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c =1 4 - Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho 0 ≤ x,y,z ≤ 1 chøng minh: A) 0 ≤ x+y+z -xy-yz-zx ≤ 1 B) x2+y2+z2 ≤ 1+x 2 y +y2 z +z2 x x y z C) + yz + 1 xz + 1 + yx + 1 ≤ 2 Bµi 2: Cho a, b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c, cã chu vi b»ng 2. Chøng minh r»ng: a2+b2+c2+2abc < 2 Bµi 3: Chøng minh víi mäi x, y > 2 ta cã: x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2 Bµi 4: Cho a, b ,c lµ ba sè tuú ý thuéc ®o¹n [0,1]. Chøng minh: 1- a2+b2+c2 ≤ 1+ a 2 b +b2 c +c2 a 2- 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) ≤ 3 a b c 3- + + ≤ 2 bc + 1 ac + 1 ba + 1 -9-
  10. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS III - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè (Ngêi thùc hiÖn: §µo Thuû Chung) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p: Khi vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña tû sè th× viÖc chøng minh BÊt ®¼ng thøc trë nªn rÊt nhanh vµ gän. 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông: - Víi ba sè d¬ng a,b.c a a a+c NÕu ≤ 1 Th× ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=b b b b+c a a a+c NÕu ≥ 1 Th× ≥ DÊu "=" x¶y ra khi a=b b b b+c a c a a+c c NÕu b, d >0 vµ ≤ ⇒ ≤ ≤ DÊu "=" x¶y ra khi b d b b+d d ad=bc 3- Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Cho a,b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c: a b c Chøng minh r»ng:1< + + 0 vµ a+b > c; b+c >a Vµ c+a >b. c c c+c 2c c 2c Tõ a+b > c ⇒
  11. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS a b c a b c - Ta cã + + > a +b + c + + =1 Do a, b, c b+c a+c b+a a +b + c a + b + c d¬ng a b c VËy 1< + + < 2 (®pcm) b+c a+c b+a NhËn xÐt: ë ®©y ta ®· sö dông tÝnh chÊt: - Víi ba sè d¬ng a,b,c a a a+c NÕu ≤ 1 Th× ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=b b b b+c a1 + a2 + ..... + an Bµi 2: Chøng minh r»ng N»m gi÷a gi¸ trÞ nhá b1 + b2 + .... + bn a1 a2 an nhÊt vµ gÝ trÞ lín nhÊt cña ( , , …, ) ë ®ã bi lµ c¸c sè d- b1 b2 bn ¬ng i=1,2,..,n Gi¶i a1 a2 an Gäi gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( , , …, ) thø tù b1 b2 bn lµ m vµ M ai Khi ®ã ta cã m ≤ ≤ M víi mäi i=1,2,…,n bi ⇒ mbi ≤ ai ≤ bi.M Do bi>0 víi mäi i=1,2,…,n LÇn lît cho i+ 1,2,..,n råi céng c¸c vÕ l¹i víi nhau ta ®îc: m( b1+b2+…+bn) < a1+a2+…+an < M( b1+b2+…+bn) a1 + a2 + ..... + an ⇔ m< < M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (®fcm) b1 + b2 + .... + bn Bµi 3: Cho a>0 ,b>0 chøng minh r»ng: -11-
  12. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS 1 a b a+b a b ( + )< < + 2 a +1 b +1 a + b +1 a + 1 b +1 Gi¶i 1 a b a+b Ta chøng minh ( + )< 2 a +1 b +1 a + b +1 a a a+b b a+b Do a > 0 ta cã Céng vÕ víi a+ 1 a + b +1 b +1 a + b + 1 a+b a b vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc nµy ta ®îc: < + (2) a + b +1 a + 1 b +1 1 a b a+b a b Tõ (1) Vµ ( 2) Ta ®îc: ( + )< < + 2 a +1 b +1 a + b +1 a + 1 b +1 4- Bµi tËp ¸p dông: 2004 2 2 + 4 + 6 + ... + 2004 Bµi 1: Chøng minh r»ng < < 2005 3 3 + 5 + 7 + ... + 2005 Bµi 2: Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ab =1 chøng minh r»ng: 1 1 a+b 1 1 + < < + 2a + 2 2b + 2 1 + a + b a + 1 b + 1 x a m x x + 2004a + 2005m m Bµi 3: Cho y ≤ ≤ chøng minh r»ng y ≤ ≤ b n a + 2004b + 2005n n IV - Ph¬ng ph¸p 4 Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng (Ngêi thùc hiÖn: §ç V¨n Thµnh) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p -12-
  13. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS §Ó chøng minh A ≥ B ta gi¶ sö ph¶n chøng A 0,25 Gi¶i Gi¶ sö c¶ ba BÊt ®¼ng thøc a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 ®Òu ®óng khi ®ã a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1) MÆt kh¸c ta cã a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 ≤ 0,25 ⇒ a(1-a) ≤ 0.25 T¬ng tù ta cã b(1-b) ≤ 0,25 vµ c(1-c) ≤ 0,25 Nh©n vÕ víi vÕ cña ba BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ta ®îc: a(1-b) b (1-c) c(1-a) 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 cã Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc sai. Bµi 2: Chøng minh r»ng kh«ng cã ba sè x,y,z mµ cã thÓ tho¶ m·n ®ång thêi ba BÊt ®¼ng thøc sau: x < y − z , y < x − z , z < y−x Gi¶i: Gi¶ sö ph¶n chøng c¶ ba BÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng cã BÊt ®¼ng thøc nµo sai nghÜa lµ c¶ ba BÊt ®¼ng thøc ®ã ®Òu ®óng khi ®ã ta cã: -13-
  14. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS : x < y − z ⇔ x2 < (y-z )2 ⇔ x2 -(y-z )2 0 (*) Gi¶i: Gi¶ sö (*) kh«ng ®óng ⇒ cã Ýt nhÊt mét trong c¸c sè a,b,c ph¶i ≤ 0 Kh«ng mÊt t×nh tæng qu¸t gi¶ sö a ≤ 0. do abc >0 ⇒ bc 0 c0 T¬ng tù ®åi víi trêng hîp A ≤ 0 b0 ta còng ⇒ ®iÒu v« lÝ. VËy (*) ®îc chøng minh. Bµi 4: Chøng minh r»ng: Tæng cña mét ph©n sè d¬ng víi nghÞch ®¶o cña nã kh«ng nhá h¬n 2. Gi¶i: a a b a b Gi¶ sö ph¶n chøng >0 ta cã + < 2 ⇔ + - 2
  15. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS VËy Tæng cña mét ph©n sè d¬ng víi nghÞch ®¶o cña nã kh«ng nhá h¬n 2. 4-Bµi TËp ¸p dông: Bµi1 Cho ba sè d¬ng nhá h¬n 2 a,b,c: chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong c¸c BÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a(2-b)>1; b(2- c) >1; c(2-a)>1 Bµi 2 Cho a,b,c lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n abc =1 chøng minh r»ng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) ≤ 1 Bµi 3 Cho a+b+2cd chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc sau ®óng: c2> a: d2 > b a > 0 Bµi 4: Cho a,b,c,x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n:  (b − 1) − 4ac < 0 2 Chøng minh r»ng trong c¸c BÊt ®¼ng thøc sau cã Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc sai ax2+bx +c ≤ y ; ay2+by +c ≤ z ; az2 + bz +c ≤ x V- Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p quy n¹p; (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn V¨n Thµnh) 1) Néi dung ph¬ng ph¸p; Cã rÊt nhiÒu c¸c BÊt ®¼ng thøc mµ b»ng c¸c c¸ch chøng minh th«ng thêng th× kh«ng thÓ chøng minh ®îc. Thêng c¸c BÊt ®¼ng thøc ®ã cã d¹ng d·y sè hoÆc nh÷ng BÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t. Th«ng thêng ®Ó chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc kiÓu nh vËy ta dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p. §Ó chøng minh mét BÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi n ,b»ng ph¬ng quy n¹p chøng ta thùc hiÖn c¸c bíc sau; -15-
  16. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Bíc 1 KiÓm tra xem BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ n0 nµo ®o ( th«ng thêng ta chän n0 =0 hoÆc 1) Bíc 2 Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k Bíc 3 ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k+1 Bíc 4 KÕt luËn BÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi 2- KiÕn thøc cÇn v©n dông: C¸c t×nh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc: Kü n¨ng biÕn ®æi ®¼ng thøc vµ BÊt ®¼ng thøc. 3 Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Chøng minh r»ng: a) [(a+b):2]n ≤ (an+bn):2 víi a+b ≥ 0 vµ N ∋n b) a + a + ..... + a < 1 + 4a + 1 a ≥0         2 n , dau Gi¶i a) +) Víi n =1 ta cã (a+b):2 ≤ (a+b):2 ®óng +) Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n=k tøc lµ [(a+b):2] k ≤ (ak+bk):2 +) Ta chõng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n =k+1 Tøc lµ: [(a+b):2]K+1 ≤ (ak+1+bk+1):2 ThËt vËy: xÐt [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2] ≤ [(ak+bk):2][ (a+b):2] Ta chøng minh (ak+bk) (a+b) ≤ 2(ak+1+bk+1) ⇔ ak+1+bk+1+ak b+abk ≤ 2(ak+1+bk+1) ⇔ ak+1+bk+1-ak bb - abk ≥0 ⇔ (a-b)( ak - bk) ≥ 0 * NÕu a,b ≥ 0 th× * ®óng. NÕu a ≥ 0 ≥ b ⇒ a-b ≥ 0 mµ a+b ≥0 (gt) ⇒ a ≥ -b ⇒ a ≥ b ⇒ ak ≥ b k ak - bk ≥0 -16-
  17. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS ⇒ * ®óng Chøng minh t¬ng tù cho trêng hîp a ≤ 0 ≤ b ta ®îc * ®óng Do a+b ≥ 0 nªn a, b kh«ng cïng 1 +2 a >2 a ®óng ∀ a + Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k tøc lµ: a + a + ..... + a < 1 + 4a + 1 a ≥0         2 k , dau + Ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k+1 tøc lµ a + a + ..... + a < 1 + 4a + 1 a ≥0         2 ( k + + 1), dau §Æt xn =  a + a + ..... + a ⇒ xk=  a + a + ..... + a xk+1=               n , dau k , dau a + a + ..... + a = a + xk         ( k + + 1), dau -17-
  18. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS 1 + 4a + 1 Ta chøng minh a + xk < 2 a ≥ 0 ⇔ ( a + xk )2< ( 1 + 4a + 1 2 ) 2 ⇔ a+xk < 2 + 4a + 2 4a + 1 ⇔ 4xk
  19. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS + Víi n =2: ta cã 9 ≥ 8 * ®óng + Víi n =3: ta cã 27 ≥ 27 * ®óng + Víi n = 4: ta cã 81 ≥ 64 * ®óng Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n =k ≥ 4 tøc lµ 3 k ≥ k3 Ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n =k+1 tøc lµ 3 k+1 ≥ (k+1)3 ThËt vËy: Ta cã 3k+1 = 3. 3k ≥ 3 k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 -3k -1 = =(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) -1 > (k+1)3 do k ≥ 4 nªn k2(k-3) +k(k2-3) >1 ⇒ 3k+1> (k+1)3 ⇒ BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n = k+1 VËy 3 n ≥ n3 ∀ n, Z+ ∋ n ⇒ 3n 3n ≥ 3n n3 ⇔ 3 3 ≥ n n ∀ n, Z+ ∋ n - Víi m lµ sè tù nhiªn - NÕu m ≤ n ⇒ n ⇒ n m ≤ n n m ≤ 3 3 - NÕu m ≥ n ⇒ m m ≥ m n ⇒ m n ≤ 3 3 n VËy víi m,n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng trong c¸c sè m, m n cã Ýt nhÊt mét sè kh«ng vît qu¸ 3 3 . 4- Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: a) Chøng minh r»ng víi n ≥ 3 ta cã 2n >2n +1 b) Chøng minh 1.2.3….n < 2-n. (n+1 )n c) ∀ n ≥1, Chøng minh: 1 1 1 d) 1+ + + ........ + ≥ 2 n +1 − 2 2 3 n Bµi 2: Chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau: a) 2n+2 >2n+5 ∀ n ≥ 1, N ∋ n b) [(n+1)!]n ≤ 2!.4!….(2n)! ∀ n , N* ∋ n c) (2n)! < 22n(n!)2 ∀ n , N* ∋ n VI-Ph¬ng ph¸p 6 Dïng BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c: -19-
  20. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Quang HiÒn) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p NhiÒu BÊt ®¼ng thøc mµ c¸c yÕu tè cã liªn quan tíi c¶ sè vµ c¶ h×nh nªn khi gi¶i BÊt ®¼ng thøc ®ã ngoµi viÖc vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc ta ph¶i sö dông c¶ c¸c tÝnh chÊt kh¸c trong h×nh häc ®Æc biÖt lµ BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c. 2- C¸c kiÕn thøc cÇn vËn dông: NÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta cã - a, b, c >0 - |a-c| < b
nguon tai.lieu . vn