Xem mẫu
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
A - phÇn më ®Çu
B - Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ BÊt ®¼ng thøc
I - §Þnh nghÜa: Cho hai sè: a, b ta nãi
sè a lín h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a > b nÕu a - b > 0
sè a nhá h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a < b nÕu a - b < 0
II - TÝnh chÊt:
1) a > b ⇔ b < a At ®¬n ®iÖu)
2) a < b, c < d ⇒ a + c < b +d (Céng hai vÕ cña mét BÊt
®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng
chiÒu víi chóng)
3) a < b, c > d ⇒ a - c < b - d (trõ hai BÊt ®¼ng thøc ngùoc
chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cã chiÒu lµ chiÒu cña BÊt
®¼ng thøc bÞ trõ)
4) Nh©n hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc a < b víi cïng mét sè
a.m < b.m, m > 0
m a b.m, m < 0
5) Nh©n hai vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc kh«ng ©m cïng chiÒu
ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu: 0 b ⇒ an+1>b2n+1 vµ ann>0; a>1 ⇒ am > an; am <
an víi 0 < a
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
C¸c tÝnh chÊt trªn cã thÓ chøng minh nhê ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh
chÊt tríc.
III - Mét sè BÊt ®¼ng thøc c©n nhí:
1) A 2k ≥ víi mäi A, DÊu"=" x¶y ra khi A=0
0
2) A ≥ 0, ∀A DÊu "=" x¶y ra khi A=0.
3) − A ≤ A ≤ A
4) A + B ≤ A + B DÊu "=" x¶y ra khi A.B ≥ 0
5) A − B ≥ A − B DÊu "=" x¶y ra khi A.B ≥ 0 vµ A ≥ B
Chó ý:
- Ngoµi c¸c BÊt ®¼ng thøc trªn cßn mét sè c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng
kh¸c mang tÝnh tæng qu¸t h¬n nªn khi gi¶i bµi tËp cÇn chó ý.
- Khi chøng minh song BÊt ®¼ng thøc a ≤ b ta ph¶i xÐt trêng hîp DÊu
“=” x¶y ra khi nµo.
c- c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc
I -Ph¬ng ph¸p 1: ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa:
(Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn M¹nh Hëng)
1-Néi dung ph¬ng ph¸p:
§Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc A>B ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc A-
B >0
2- KiÕn thøc cÇn vËn dông
- C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Æc biÖt lµ: (A+B) 2=A+2AB+B2
n n 2 n
- Tæng qu¸t: ( ∑ Ai)
i =1
2
= ∑ Ai + 2
i =1
∑ Ai. Aj; i < j
i , j =1., 2
-2-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
C¸c kỹ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt ®Ó biÕn ®æi hiÖu hai vÕ vÒ
c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng hay ®iÒu kiÖn ®óng cña ®Ò bµi:
3-Bµi tËp ¸p dông
Bµi 1- Chøng minh BÊt ®¼ng thøc a2+b2 ≥ab
Gi¶i
1 3 1 3
XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+ 1 b2- 2.
4 ab)+ b2=( a- b)2+ b2 ≥ ®óng
0
2 4 2 4
1 2 3 2 1 3
víi mäi a, b v× ( a- b) ≥0; b ≥0 DÊu "=" x¶y ra khi (a- b)2=
2 4 2 4
b2=0 suy ra a = b = 0
VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.
Chøng minh t¬ng tù cho Bµi a2+b2 ≥ab
n n
Ta cã thÓ chøng minh cho Bµi to¸n tæng qu¸t: (an)2+(bn)2 ≥a .b
Bµi 2 - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.
Bµi 3: Cho a ≤ b ≤ c vµ x ≤ y ≤ z h·y chøng minh r»ng:
a + b x + y ax + by
. ≤
2 2 2
Gi¶i
a +b x +y ax +by 1
XÐt hiÖu: . − = (ax+ay+by+bx-2ax-2by)
2 2 2 4
1 1
= [(ay-ax)+(bx-by)]= (x-y)(b-a) ≤ 0 ( do x ≤ y vµ a ≤ b )
4 4
DÊu "=" x¶y ra khi x=y hoÆc a=b
VËy BÊt ®¼ng thøc thùc ®îc chøng minh
Chøng minh t¬ng tù ta ®îc BÊt ®¼ng thøc:
a + b + c x + y + z ax + by + cz
. ≤
3 3 3
B¹n ®äc cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n.
Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng:
a2+b2+c2+d2+e2 ≥a(b+c+d +e)
Gi¶i
XÐt hiÖu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae
1
= ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae)
4
1
= [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)]
4
1
= [(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] ≥0
4
Do (a+2b)2 ≥0 vµ (a+2c)2 ≥0 vµ (a+2d)2 ≥ vµ (a+2e )2 ≥
0 0
a
DÊu "=" x¶y ra khi b = c = d = e =
2
VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.
VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh.
Bµi 5: Tæng qu¸t bµi 4
-4-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
Cho ai i=1,2,..,n lµ c¸c sæ thùc. chøng minh r»ng:
n n
2
∑a a1 ∑ai
2
i ≥
i =1 n − 1 i =2
Chøng minh t¬ng tù bµi 4
4- Bµi tËp ¸p dông:
H·y chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau:
1/ 4.x2+y 2 ≥4xy
2/ x2+y2 +1 ≥ +x+y
xy
3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) ≤4(x11+y11)
4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995) ≥(x+y+z):3
5/ (a3+b3+c3) ≥(a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0
6/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng:
a 8 + b8 + c 8 1 1 1
a/ ≥ + +
(abc )3 a b c
a 3b b3c c 3a a 3c b3a c3b
b/ + + + + + ≥ 6abc
c a b b c a
II - Ph¬ng ph¸p 2: Dïng tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc ®Ó
biÕn ®æi t¬ng ®¬ng: (Ngêi thùc hiÖn: §µo Trung TuyÕn)
1) Néi dung ph¬ng ph¸p:
Khi chøng minh mét BÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ta biÕn ®æi BÊt ®¼ng
thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi mét BÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc
mét BÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh hoÆc ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi.
2) KiÕn thøc c¬ b¶n:
C¸c tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc.
C¸c BÊt ®¼ng thøc thêng dïng.
Kü n¨ng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng mét BÊt ®¼ng thøc.
-5-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
C¸c H§ thøc
3- Bµi tËp mÉu
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
x2+2y2+2z2 ≥2xy +2yz+2z-1 (*)
Gi¶i
(*) ⇔ x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 ≥0
⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)
⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2 ≥ BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi
0
x,y,z
DÊu "=" x¶y ra khi x=y=z=1
VËy BÊt ®¼ng thøc d· cho ®îc chøng minh.
Bµi 2: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc:
(a10+b10) (a2+b2) ≥(a8+b8) (a4+b4)
Gi¶i
(a10+b10) (a2+b2) ≥(a8+b8) (a4+b4) ⇔ (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4)
≥0
⇔ a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 ≥0
⇔ ( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 ≥0
⇔ a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) ≥ 0
⇔ a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) ≥0
⇔ a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) ≥0 ®óng víi mäi a, b
DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2 ⇔ a=b hoÆc a=-b vµ a=0 hoÆc b=0
VËy BÊt ®¼ng thøc ban ®Çu ®îc chøng minh.
*NhËn xÐt: Tõ kÕt qña bµi to¸n trªn ta cã bµi to¸n t¬ng tù:
Cho 0 ≤ a ≤ b Chøng minh BÊt ®¼ng thøc:
(a5+b5) (a+b) ≥(a2+b2) (a4+b4)
-6-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
Bµi 3: Chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9
-
a) Cho a ≥c ≥0 vµ b ≥ chøng minh
c
c(a − c) + c(b − c) ≤ ab
Gi¶i
a) NhËn xÐt: Ta thÊy 3+4=1+6 nªn ta nh©n (x-1)( x-6) vµ (x-3)(x-4 )
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 ≥0
-
(x2-7x +6)(x2-7x+12)+9 ≥0 (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 ≥0
(x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 ≥0 (x2-7x +9)2 ≥0
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña x
=> (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9
-
7 ± 13
DÊu "=" x¶y ra khi x2-7x +9 =0 x=
2
b) c (a − c) + c(b − c) ≤ ab ( c (a − c) + c(b − c) )2
≤ ( ab )2
c(a-c)+c(b-c) +2 c (a − c) c(b − c) ≤ ab
c2 +2c (a − c) (b − c) +(a-c)(b-c) ≥0
( c- (a − c) (b − c) )2 ≥0
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña a,b,c tho¶ m·n ®iÒu
kiÖn cña ®Ò bµi vËy c(a − c) + c(b − c) ≤ ab víi a ≥c ≥0
vµ b ≥c
Bµi 4: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc:
3 3 3 1 1 1 2
+ + ≥4 ( + + ) . biÕt a,b,c >0
ab cb ac a+b c+b a+c
-7-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
Gi¶i
1 1 1 (a + b + c)
Ta cã + + = . Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a) ≥
ab cb ac abc
8abc
1 1 1 8.(a + b + c)
=> + + ≥ Hay
ab cb ac (a + b)(b + c)(c + a )
1 1 1 4(a + b) + 4(b + c) + 4(c + a)
+ + ≥ ( a + b)(b + c)(c + a )
ab cb ac
1 1 1 8 8 8
2( + + ) ≥ (a + c)(b + c) + (a + b)(a + c) + (a + b)(b + c) (1)
ab cb ac
Trong (1) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c
1 4
MÆt kh¸c ta cã (a+b)2 ≥4ab ⇒ ≥
( a + b) 2
t¬ng tù ta cã
ab
1 4 1 4
≥ 2 vµ ≥
cb (c + b ) ac (a + c) 2
1 1 1 4 4 4
suy ra + + ≥ (a + b)2 + (c + b) 2 + (a + c) 2 (2)
ab cb ac
Trong (2) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c
3 3 3 1 1 1 2
Tõ (1) vµ (2) Ta cã + + ≥4 ( + + )
ab cb ac a+b c+b a+c
DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c
NhËn xÐt: §Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc nhiÒu khi ta biÕn ®æi
tõ mét BÊt ®¼ng thøc ®óng cã d¹ng t¬ng tù nh BÊt ®¼ng thøc cÇn
chøng minh. Sau ®©y lµ mét vÝ dô n÷a kiÓu nh vËy.
Bµi 5: Cho 0 < a ,b, c vµ abc =1 chøng minh BÊt ®¼ng thøc sau:
1 1 1
+ 3 + 3 3 ≤ 1
a + b +1 c + b + 1 a + c +1
3 3 3
Gi¶i
Do 0 ≤ a ≤ b ≤ c => (a-b)2(a+b) ≥ DÊu "=" x¶y ra khi a=b
0
(a-b)(a+b)(a-b) ≥0
-8-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
(a2-b2)(a-b) ≥0 a3-a 2b-ab2+b3 ≥0 a3 +b3 ≥ 2b+ab2
a
a3 +b3 +1 ≥ 2b+ab2+abc a3 +b3 +1 ≥
a (a+b+c)ab
1 1 c 1
≤ = (a + b + c) (do abc= 1 => =c)
a + b +1
3 3
ab(a + b + c) ab
1 c
suy ra ≤
a 3 + b3 + 1 (a + b + c)
1 a
T¬ng tù ta cã ≤ DÊu "=" x¶y ra khi b=c
c3 + b3 + 1 (a + b + c)
1 b
vµ ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=c
a3 + c3 + 1 (a + b + c)
Céng vÕ víi vÕ cña ba BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ta ®îc:
1 1 1
+ 3 + 3 3 ≤ 1
a + b +1 c + b3 + 1 a + c +1
3 3
DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c =1
4 - Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: Cho 0 ≤ x,y,z ≤ 1 chøng minh:
A) 0 ≤ x+y+z -xy-yz-zx ≤ 1
B) x2+y2+z2 ≤ 1+x 2 y +y2 z +z2 x
x y z
C) +
yz + 1 xz + 1
+ yx + 1 ≤ 2
Bµi 2: Cho a, b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c, cã chu vi b»ng 2.
Chøng minh r»ng: a2+b2+c2+2abc < 2
Bµi 3: Chøng minh víi mäi x, y > 2 ta cã:
x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2
Bµi 4: Cho a, b ,c lµ ba sè tuú ý thuéc ®o¹n [0,1]. Chøng minh:
1- a2+b2+c2 ≤ 1+ a 2 b +b2 c +c2 a
2- 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) ≤ 3
a b c
3- + + ≤ 2
bc + 1 ac + 1 ba + 1
-9-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
III - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè
(Ngêi thùc hiÖn: §µo Thuû Chung)
1- Néi dung ph¬ng ph¸p:
Khi vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña tû sè th× viÖc chøng minh BÊt
®¼ng thøc trë nªn rÊt nhanh vµ gän.
2- KiÕn thøc cÇn vËn dông:
- Víi ba sè d¬ng a,b.c
a a a+c
NÕu ≤ 1 Th× ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=b
b b b+c
a a a+c
NÕu ≥ 1 Th× ≥ DÊu "=" x¶y ra khi a=b
b b b+c
a c a a+c c
NÕu b, d >0 vµ ≤ ⇒ ≤ ≤ DÊu "=" x¶y ra khi
b d b b+d d
ad=bc
3- Bµi tËp mÉu:
Bµi 1: Cho a,b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c:
a b c
Chøng minh r»ng:1< + + 0 vµ a+b > c; b+c
>a
Vµ c+a >b.
c c c+c 2c c 2c
Tõ a+b > c ⇒
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
a b c a b c
- Ta cã + + > a +b + c + + =1 Do a, b, c
b+c a+c b+a a +b + c a + b + c
d¬ng
a b c
VËy 1< + + < 2 (®pcm)
b+c a+c b+a
NhËn xÐt: ë ®©y ta ®· sö dông tÝnh chÊt:
- Víi ba sè d¬ng a,b,c
a a a+c
NÕu ≤ 1 Th× ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=b
b b b+c
a1 + a2 + ..... + an
Bµi 2: Chøng minh r»ng N»m gi÷a gi¸ trÞ nhá
b1 + b2 + .... + bn
a1 a2 an
nhÊt vµ gÝ trÞ lín nhÊt cña ( , , …, ) ë ®ã bi lµ c¸c sè d-
b1 b2 bn
¬ng i=1,2,..,n
Gi¶i
a1 a2 an
Gäi gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( , , …, ) thø tù
b1 b2 bn
lµ m vµ M
ai
Khi ®ã ta cã m ≤ ≤ M víi mäi i=1,2,…,n
bi
⇒ mbi ≤ ai ≤ bi.M Do bi>0 víi mäi i=1,2,…,n
LÇn lît cho i+ 1,2,..,n råi céng c¸c vÕ l¹i víi nhau ta ®îc:
m( b1+b2+…+bn) < a1+a2+…+an < M( b1+b2+…+bn)
a1 + a2 + ..... + an
⇔ m< < M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (®fcm)
b1 + b2 + .... + bn
Bµi 3:
Cho a>0 ,b>0 chøng minh r»ng:
-11-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
1 a b a+b a b
( + )< < +
2 a +1 b +1 a + b +1 a + 1 b +1
Gi¶i
1 a b a+b
Ta chøng minh ( + )<
2 a +1 b +1 a + b +1
a a a+b b a+b
Do a > 0 ta cã Céng vÕ víi
a+ 1 a + b +1 b +1 a + b + 1
a+b a b
vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc nµy ta ®îc: < + (2)
a + b +1 a + 1 b +1
1 a b a+b a b
Tõ (1) Vµ ( 2) Ta ®îc: ( + )< < +
2 a +1 b +1 a + b +1 a + 1 b +1
4- Bµi tËp ¸p dông:
2004
2 2 + 4 + 6 + ... + 2004
Bµi 1: Chøng minh r»ng < < 2005
3 3 + 5 + 7 + ... + 2005
Bµi 2: Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ab =1 chøng minh r»ng:
1 1 a+b 1 1
+ < < +
2a + 2 2b + 2 1 + a + b a + 1 b + 1
x a m x x + 2004a + 2005m m
Bµi 3: Cho y ≤ ≤ chøng minh r»ng y ≤ ≤
b n a + 2004b + 2005n n
IV - Ph¬ng ph¸p 4 Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng
(Ngêi thùc hiÖn: §ç V¨n Thµnh)
1- Néi dung ph¬ng ph¸p
-12-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
§Ó chøng minh A ≥ B ta gi¶ sö ph¶n chøng A 0,25
Gi¶i
Gi¶ sö c¶ ba BÊt ®¼ng thøc a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) >
0,25 ®Òu ®óng khi ®ã a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1)
MÆt kh¸c ta cã
a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 ≤ 0,25
⇒ a(1-a) ≤ 0.25 T¬ng tù ta cã b(1-b) ≤ 0,25 vµ c(1-c) ≤ 0,25
Nh©n vÕ víi vÕ cña ba BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ta ®îc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 cã Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc
sai.
Bµi 2: Chøng minh r»ng kh«ng cã ba sè x,y,z mµ cã thÓ tho¶ m·n
®ång thêi ba BÊt ®¼ng thøc sau: x < y − z , y < x − z , z < y−x
Gi¶i: Gi¶ sö ph¶n chøng c¶ ba BÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng cã BÊt
®¼ng thøc nµo sai nghÜa lµ c¶ ba BÊt ®¼ng thøc ®ã ®Òu
®óng khi ®ã ta cã:
-13-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
: x < y − z ⇔ x2 < (y-z )2 ⇔ x2 -(y-z )2 0 (*)
Gi¶i: Gi¶ sö (*) kh«ng ®óng ⇒ cã Ýt nhÊt mét trong c¸c sè a,b,c
ph¶i ≤ 0 Kh«ng mÊt t×nh tæng qu¸t gi¶ sö a ≤ 0. do abc >0 ⇒ bc
0 c0
T¬ng tù ®åi víi trêng hîp A ≤ 0 b0 ta còng ⇒ ®iÒu v« lÝ.
VËy (*) ®îc chøng minh.
Bµi 4: Chøng minh r»ng: Tæng cña mét ph©n sè d¬ng víi
nghÞch ®¶o cña nã kh«ng nhá h¬n 2.
Gi¶i:
a a b a b
Gi¶ sö ph¶n chøng >0 ta cã + < 2 ⇔ + - 2
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
VËy Tæng cña mét ph©n sè d¬ng víi nghÞch ®¶o cña nã kh«ng
nhá h¬n 2.
4-Bµi TËp ¸p dông:
Bµi1 Cho ba sè d¬ng nhá h¬n 2 a,b,c: chøng minh r»ng Ýt
nhÊt mét trong c¸c BÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a(2-b)>1; b(2-
c) >1; c(2-a)>1
Bµi 2 Cho a,b,c lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n abc =1 chøng minh
r»ng:
S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) ≤ 1
Bµi 3 Cho a+b+2cd chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng
thøc sau ®óng:
c2> a: d2 > b
a > 0
Bµi 4: Cho a,b,c,x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n:
(b − 1) − 4ac < 0
2
Chøng minh r»ng trong c¸c BÊt ®¼ng thøc sau cã Ýt nhÊt mét BÊt
®¼ng thøc sai
ax2+bx +c ≤ y ; ay2+by +c ≤ z ; az2 + bz +c ≤ x
V- Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p quy n¹p;
(Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn V¨n Thµnh)
1) Néi dung ph¬ng ph¸p;
Cã rÊt nhiÒu c¸c BÊt ®¼ng thøc mµ b»ng c¸c c¸ch chøng minh
th«ng thêng th× kh«ng thÓ chøng minh ®îc. Thêng c¸c BÊt ®¼ng
thøc ®ã cã d¹ng d·y sè hoÆc nh÷ng BÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t.
Th«ng thêng ®Ó chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc kiÓu nh vËy ta
dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p.
§Ó chøng minh mét BÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi n ,b»ng ph¬ng
quy n¹p chøng ta thùc hiÖn c¸c bíc sau;
-15-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
Bíc 1 KiÓm tra xem BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ n0 nµo ®o ( th«ng
thêng ta chän n0 =0 hoÆc 1)
Bíc 2 Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k
Bíc 3 ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k+1
Bíc 4 KÕt luËn BÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi
2- KiÕn thøc cÇn v©n dông:
C¸c t×nh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc:
Kü n¨ng biÕn ®æi ®¼ng thøc vµ BÊt ®¼ng thøc.
3 Bµi tËp mÉu:
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
a) [(a+b):2]n ≤ (an+bn):2 víi a+b ≥ 0 vµ N ∋n
b)
a + a + ..... + a <
1 + 4a + 1
a ≥0
2
n , dau
Gi¶i
a) +) Víi n =1 ta cã (a+b):2 ≤ (a+b):2 ®óng
+) Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n=k tøc lµ [(a+b):2] k ≤
(ak+bk):2
+) Ta chõng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n =k+1 Tøc lµ:
[(a+b):2]K+1 ≤ (ak+1+bk+1):2 ThËt vËy:
xÐt [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2] ≤ [(ak+bk):2][ (a+b):2]
Ta chøng minh
(ak+bk) (a+b) ≤ 2(ak+1+bk+1) ⇔ ak+1+bk+1+ak b+abk ≤ 2(ak+1+bk+1)
⇔ ak+1+bk+1-ak bb - abk ≥0 ⇔ (a-b)( ak - bk) ≥ 0 *
NÕu a,b ≥ 0 th× * ®óng.
NÕu a ≥ 0 ≥ b ⇒ a-b ≥ 0
mµ a+b ≥0 (gt) ⇒ a ≥ -b ⇒ a ≥ b ⇒ ak ≥ b k ak - bk ≥0
-16-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
⇒ * ®óng
Chøng minh t¬ng tù cho trêng hîp a ≤ 0 ≤ b ta ®îc * ®óng
Do a+b ≥ 0 nªn a, b kh«ng cïng 1 +2 a >2 a ®óng ∀ a
+ Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k tøc lµ:
a + a + ..... + a <
1 + 4a + 1
a ≥0
2
k , dau
+ Ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k+1 tøc lµ
a + a + ..... + a <
1 + 4a + 1
a ≥0
2
( k + + 1), dau
§Æt xn =
a + a + ..... + a ⇒ xk=
a + a + ..... + a xk+1=
n , dau k , dau
a + a + ..... + a = a + xk
( k + + 1), dau
-17-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
1 + 4a + 1
Ta chøng minh a + xk <
2
a ≥ 0 ⇔ ( a + xk )2< (
1 + 4a + 1 2
)
2
⇔ a+xk < 2 + 4a + 2 4a + 1 ⇔ 4xk
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
+ Víi n =2: ta cã 9 ≥ 8 * ®óng
+ Víi n =3: ta cã 27 ≥ 27 * ®óng
+ Víi n = 4: ta cã 81 ≥ 64 * ®óng
Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n =k ≥ 4 tøc lµ 3 k ≥ k3
Ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n =k+1 tøc lµ 3 k+1 ≥ (k+1)3
ThËt vËy: Ta cã 3k+1 = 3. 3k ≥ 3 k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 -3k -1 =
=(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) -1 > (k+1)3 do k ≥ 4 nªn k2(k-3) +k(k2-3) >1
⇒ 3k+1> (k+1)3 ⇒ BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n = k+1
VËy 3 n ≥ n3 ∀ n, Z+ ∋ n
⇒ 3n
3n ≥ 3n
n3 ⇔ 3
3 ≥ n
n ∀ n, Z+ ∋ n
- Víi m lµ sè tù nhiªn
- NÕu m ≤ n ⇒ n ⇒ n
m ≤ n
n m ≤ 3
3
- NÕu m ≥ n ⇒ m
m ≥ m
n ⇒ m
n ≤ 3
3
n
VËy víi m,n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng trong c¸c sè m, m
n cã Ýt nhÊt
mét sè kh«ng vît qu¸ 3
3 .
4- Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1: a) Chøng minh r»ng víi n ≥ 3 ta cã 2n >2n +1
b) Chøng minh 1.2.3….n < 2-n. (n+1 )n
c) ∀ n ≥1, Chøng minh:
1 1 1
d) 1+ + + ........ + ≥ 2 n +1 − 2
2 3 n
Bµi 2: Chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau:
a) 2n+2 >2n+5 ∀ n ≥ 1, N ∋ n
b) [(n+1)!]n ≤ 2!.4!….(2n)! ∀ n , N* ∋ n
c) (2n)! < 22n(n!)2 ∀ n , N* ∋ n
VI-Ph¬ng ph¸p 6 Dïng BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c:
-19-
- Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS
(Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Quang HiÒn)
1- Néi dung ph¬ng ph¸p
NhiÒu BÊt ®¼ng thøc mµ c¸c yÕu tè cã liªn quan tíi c¶ sè vµ
c¶ h×nh nªn khi gi¶i BÊt ®¼ng thøc ®ã ngoµi viÖc vËn dông
c¸c tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc ta ph¶i sö dông c¶ c¸c tÝnh
chÊt kh¸c trong h×nh häc ®Æc biÖt lµ BÊt ®¼ng thøc trong
tam gi¸c.
2- C¸c kiÕn thøc cÇn vËn dông:
NÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta cã
- a, b, c >0
- |a-c| < b
nguon tai.lieu . vn