Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c

Nhóm 5

PH N I: B T Đ NG TH C HÌNH H C TRONG M T
PH NG.
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO

I . Sơ lư c v phương pháp kéo theo:
Xu t phát t các b t đ ng th c đã bi t, v n d ng các tính ch t c a b t đ ng th c đ suy
ra b t đ ng th c c n ch ng minh. Sau đây là các ví d :
Vd
S ABC

1: Cho tam giác ABC,
1
1
≤ AB. AC ; S ABC ≤ BM . AC
2
2

M

AC.

thu c

Ch ng

minh

r ng:

Gi i:
B

M

A

C

H

G i BH là đư ng cao c a tam giác ABC ⇒ BH ≤ AB
1
1
S ABC = BH . AC ≤ AB. AC
2
2
1
1
M ∈ BC ⇒ BH ≤ BM ⇒ S ABC = BH . AC ≤ BM . AC
2
2
B t đ ng th c đư c ch ng minh xong.

Vd2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuy n. Ch ng minh: AM ≤

BC
thì BAC ≥ 90o và
2

ngư c l i.
Gi i:
B

A

M

C

D

3

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c

Nhóm 5

a) Gi s BAC < 90o .
G i D là đi m đ i x ng c a A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung đi m hai đo n th ng
BC và AD.

⇒ AB = DC & AB / / DC ⇒ BAC + ACD = 180O mà BAC < 90o
⇒ ACD > 90O ⇒ BAC < ACD
Xét tam giác ABC và tam giác CDB có: AB=DC, BC là c nh chung, BAC < ACD
BC
Do đó: BC
(Vô lí).
2
⇒ BAC ≥ 90o
Vd 3: Cho t giác l i ABCD sao cho AB c t CD t i E, AD c t BC t i F, và E,F,C cùng
thu c n a m t ph ng có b BD. Đ t AED = α , AFB = β ; và S ABCD = S . Ch ng minh
r ng: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC .

Gi i:

F
β
D

P

β

C
K

E

α

α
B

A

 ABF > α

D th y: 
 ACE > β

 BK / / DE
* Trong ∆ABD ta l y đi m K sao cho 
 DK / / BF
1
1
T đó ta có S ACK + S ADK ≤ S ⇒ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ S
2
2
⇔ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ 2 S
(1)
D th y DKBC là hình bình hành.
 BK = CD
(2)

 BC = DK
Thay (2) vào (1) ta có:
AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S
(1)

4

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c

Nhóm 5

 DP = BC
* Trong n a m t ph ng có b là BD ta l y đi m P sao cho 
.
 BP = CD
D th y
1
1
S ABCD = S ABPD = S ADP + S ABP = AD.DP sin ADP + BA.BP.sin ABP
2
2
1
1
≤ AD.DP + BA.BP
2
2
⇔ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC
V y AB.CD sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC

*M t s ki n th c thư ng dùng đ gi i tóan c c tr trong m t ph ng:
- S d ng quan h gi a đư ng vuông góc và đư ng xiên, hình chi u.
- Trong các tam giác vuông (có th suy bi n thành đo n th ng) có c nh góc vuông AH và
c nh huy n AB thì AH ≤ AB . X y ra d u b ng khi H ≡ B .
- Trong các đo n th ng n i t đi m đ n đư ng th ng, đo n nào vuông góc v i đư ng
th ng là đo n th ng có đ dài nh nh t.
- Trong các đo n th ng n i 2 đi m thu c hai đư ng th ng song song, đo n th ng vuông
góc v i hai đư ng th ng song song có đ dài ng n nh t.
- Trong hai đư ng xiên k t 1 đi m đ n cùng m t đư ng th ng, đư ng xiên l n hơn khi
và ch khi hình chi u c a nó l n hơn.
- M t t giác l i b ch a trong m t t giác khác (không nh t thi t là l i) thì chu vi c a t
giác b ch a s nh hơn chu vi c a t giác ch a nó bên trong.
- Đ dài đo n th ng n m trong m t đa giác l i không l n hơn đ dài đư ng chéo l n
nh t..
- Trong t t c các dây cung qua m t đi m cho trư c trong m t đư ng tròn thì dây cung có
đ dài nh nh t là dây cung vuông góc v i đo n th ng n i tâm đư ng tròn v i đi m đó.
- Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đ u có di n tích l n nh t.
- M t đư ng th ng có th c t nhi u nh t hai c nh c a m t tam giác.(nguyên t c
Dirichlet).

* M t s ví d :
Vd1: Cho đo n th ng AB có đ dài 2a. V v m t phía c a AB các tia Ax và By vuông
góc v i AB. Qua trung đi m M c a AB có 2 đư ng th ng thay đ i luôn vuông góc v i
nhau và c t Ax, By l n lư t t i C,D. Xác đ nh v trí c a các đi m C,D sao cho ∆MCD có
di n tích nh nh t. Tính di n tích đó.
Gi i:
D
1

H

2
C

a
A

M

B

5

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c

Nhóm 5

G i K là giao đi m c a CM và DB,
∆MAC = ∆MBK ( gcg ) ⇒ MC = MK
∆DCK cân ⇒ D1 = D2
K MH ⊥ CD Do M thu c phân giác góc D nên MH=MB=a.
1
S MCD = CD.MH .
2
Do CD ≥ AB = 2a & MH = a nên:
1
S MCD ≥ 2a.a = a 2 ⇒ CD ⊥ Ax . Các đi m C,D đư c xác đ nh trên Ax, By sao cho
2
AC=BD=a

1
CP.MH . Sau khi ch ng minh MH không
2
đ i, ta th y SMCD nh nh t khi và ch khi CD nh nh t.
- N u bài toán trên không cho M là trung đi m AB thì ta ph i gi i quy t ra sao?
* Trong l i gi i trên, SMCD đư c bi u th b i

D

C

α
A

a

M

b

B

1
MC.MD, MAC = MDB = α (cùng ph BMD )
2
a
b
⇒ MC =
, MD =
nên
cosα
sin α
1
ab
S MCD =
2 sin α cos α
Do a,b,c là h ng s nên SMCD nh nh t khi và ch khi 2 sin α cosα l n nh t.
2 sin α cos α ≤ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ S MCD ≥ ab
S MCD =

min SMCD = ab ⇔ sin α = cos α ⇔ tan α = 1 ⇔ α = 45o
⇒ Các đi m C,D trên Ax, By đư c xác đ nh sao cho AC=AM, BD=BM
Đây đư c xem là bài toán t ng quát.
Vd 2: Cho ∆ABC có B là góc tù, D di đ ng trên BC. Xác đ nh v trí c a D sao cho t ng
các kh ang cách t B và t C đ n đư ng th ng AD có giá tr l n nh t.
6

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c

Nhóm 5

Gi i:

A

1
1
1
E
AH .BC = BE. AD + CF . AD
2
2
2
2S
B
D
⇒ BE + CF = ABC .
Do
đó H
AD
( BE + CF ) max ⇔ AD min
AD nh nh t khi và ch khi hình chi u HD nh nh t. HD ≥ HB và HD=HB khi D ≡ B
Suy ra đpcm.
Ta có : S ABC =

C
F

Vd3: Cho tam giác ABC vuông có đ dài c nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là đi m
di đ ng trên c nh huy n BC. G i D và E là chân các đư ng vuông góc k t M đ n AB
và AC. Tính di n tích l n nh t c a t giác ADME.
Gi i:
Đ t AD = x thì ME = x . Theo Thalet:
EM CE
x CE
4
4
=
⇒ =
⇒ CE = x ⇒ AE = 8 − x
AB CA
6
8
3
3
Ta có:
4 
4

S ADME = AD. AE = x  8 − x  = 8 x − x 2
3 
3

4
4
4
2
= − ( x 2 − 6 x ) = − ( x 2 − 6 x + 9 ) + 12 = − ( x − 3) + 12 ≤ 12
3
3
3
S ADME = 12cm 2 ⇔ x = 3 ⇒ D là trung đi m c a AB, M là trung đi m BC, E là trung đi m
AC.
Vd4: Cho tam giác ABC, đi m M di chuy n trên c nh BC. Qua M k các đư ng th ng
song song v i AC và AB, chúng c t AB và AC theo th t D và E. Xác đ nh v trí M sao
cho ADME có Smax.
Gi i:

A
K
D
H
1

E
2

B

C
x

y

G i SABC=S, SBDM=S1, SEMC=S2.
S1 + S2
min
S
Các ∆DBM & ∆EMC đ ng d nh v i ∆ABC nên:

Ta nh n th y SADME max ⇔ ( S1 + S2 ) min ⇔

7