Chuyên đề 8: Phương pháp toạ độ trong không gian - Chủ đề 8.4

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường thẳng:


 Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ a   a1 ; a2 ; a3  với
a12  a2 2  a32  0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó  có phương trình tham số là :

 x  x0  a1t

 y  y0  a2t ;  t   
z  z  a t

0
3


 Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ a   a1 ; a2 ; a3  sao cho a1a2 a3  0
làm vectơ chỉ phương. Khi đó  có phương trình chính tắc là :
x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

II. Góc:
1.

Góc giữa hai đường thẳng:



Cho hai đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương a1 ;  2 có vectơ chỉ phương a2
 

a1.a2
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 . Ta có: cos    

a1 . a2

2.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:




Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương a và mp   có vectơ chỉ phương n
 
 
a .n
Gọi  là góc giữa đường thẳng  và mp ( ) . Ta có: sin    
 
a . n

III. Khoảng cách:
1.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  :


 đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a

 

 a , M 0 M 

d  M ,     

a

2.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a1


 2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2

  


 a1 , a2  .MN
d  1 ,  2  =    

 a1 , a2 



IV. Các dạng toán thường gặp:
1.
2.

Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm phân biệt A, B .

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là AB .
Đường thẳng  đi qua điểm M và song song với d .

Chuyên đề 8.4 – Phương trình đường thẳng
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Cách giải:
Trong trường hợp đặc biệt:
 

 Nếu  song song hoặc trùng với trục Ox thì  có vectơ chỉ phương là a  i  1;0;0 
 

 Nếu  song song hoặc trùng với trục Oy thì  có vectơ chỉ phương là a  j   0;1;0 
 

 Nếu  song song hoặc trùng với trục Oz thì  có vectơ chỉ phương là a  k   0;1;0 
 




Các trường hợp khác thì  có vectơ chỉ phương là a  ad , với ad là vectơ chỉ phương của d
3.

Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng   .
 




Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a  n , với n là vectơ pháp tuyến của   .

4.

Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 (hai
đường thẳng không cùng phương).


 

 

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a   a1 , a2  , với a1 , a2 lần lượt là vectơ chỉ



5.

6.

phương của d1 , d 2 .
Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song
với mặt phẳng   .


 
 


Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a   ad , n  , với ad là vectơ chỉ phương của




d , n là vectơ pháp tuyến của   .
Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng   ,    ;
(   ,    là hai mặt phẳng cắt nhau)

 
 


 
 
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a   n , n  , với n , n lần lượt là vectơ pháp


tuyến của   ,    .
7.

Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và    .
Cách giải:
 Lấy một điểm bất kì trên  , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý và tính 2 ẩn còn lại.
 
 


 
 
 Xác định vectơ chỉ phương của  là a   n , n  , với n , n lần lượt là vectơ pháp


tuyến của   ,    .

8.

Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1 , d 2  A  d1 , A  d 2  .


 

 

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a   n1 , n2  , với n1 , n2 lần lượt là vectơ pháp


tuyến của mp  A, d1  , mp  A, d 2  .

Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 .
 


Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của  là a  AB , với A  d1    , B  d 2   
10. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , vuông góc và cắt d .
Cách giải:
 Xác định B    d .
 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, B .
11. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , vuông góc với d1 và cắt d 2 , với A  d 2 .
Cách giải:
 Xác định B    d 2 .
 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, B .
12. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt
phẳng   .
9.

Chuyên đề 8.4 – Phương trình đường thẳng
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Cách giải:
 Xác định B    d .
 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, B .
13. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng   cắt và vuông góc đường thẳng d .
Cách giải:
 Xác định A  d    .


 
 


 Đường thẳng  đi qua A và có vectơ chỉ phương của  là a   ad , n  , với ad là vectơ




chỉ phương của d , n là vectơ pháp tuyến của   .
14. Viết phương trình đường thẳng  đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng   ,
nằm trong   và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với   ) .
Cách giải:
 Xác định A  d    .


 
 


 Đường thẳng  đi qua A và có vectơ chỉ phương của  là a   ad , n  , với ad là vectơ




chỉ phương của d , n là vectơ pháp tuyến của   .
15. Viết phương trình đường thẳng  là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
d1 , d 2 .
Cách giải:
 AB  d1
 Xác định A    d1 , B    d 2 sao cho 
 AB  d 2
 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm A, B .
16. Viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng
d1 , d 2 .
Cách giải:
 
 


 Xác định A    d1 , B    d 2 sao cho AB , ad cùng phương, với ad là vectơ chỉ phương
của d .
 


 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad  a .
17. Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   và cắt cả hai đường thẳng
d1 , d 2 .
Cách giải:
 
 


 Xác định A    d1 , B    d 2 sao cho AB, n cùng phương, với n là vectơ pháp tuyến
của   .

 


 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad  n .

18. Viết phương trình  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng   .
 



Cách giải : Xác định H   sao cho AH  ad ,với ad là vectơ chỉ phương của d .
 Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và vuông góc với mặt phẳng   .
 Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và   
19. Viết phương trình  là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng   theo phương d ' .
Cách giải :

 Viết phương trình mặt phẳng    chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương ud' .
 Viết phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và    .

Chuyên đề 8.4 – Phương trình đường thẳng
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Câu 2.

 x  2  2t
 x  6  2t 


Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y  3  2t và d  :  y  3  2t  . Xét các mệnh
 z  1  3t
 z  7  9t 


đề sau:

(I)
d đi qua A  2 ;3 ;1 và có véctơ chỉ phương a   2;2;3

(II) d  đi qua A  0; 3; 11 và có véctơ chỉ phương a   2;2;9 


(III) a và a không cùng phương nên d không song song với d 
   

(IV) Vì  a ; a  . AA  0 nên d và d  đồng phẳng và chúng cắt nhau


Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.
B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.
C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.
D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình tham số

x  2  t

 y  3t . Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?
 z  1  5t

A.
Câu 3.

Câu 4.

x  2 y z 1
 
.
1
1
1

B.

x2
y
z 1
x  2 y z 1


. C.
 
.
1
3
5
1
3
5

x2
y
z 1


.
1
3
5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình chính tắc
x  3 y 1 z

 . Phương trình tham số của đường thẳng  là?
2
3
1
 x  3  2t
 x  2  3t
 x  3  2 t
 x  3  2 t




A.  y  1  3t .
B.  y  3  t .
C.  y  1  3t .
D.  y  1  3t .
z  t
z  t
z  t
z  t




x  2 y 1 z  3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
. Đường thẳng


2
1
3




d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ad . Tọa độ của điểm M và vectơ chỉ phương ad

lần lượt là


A. M  2; 1;3 , ad   2;1;3  .


C. M  2;1;3  , ad   2; 1;3  .

Câu 5.

D.



B. M  2; 1; 3  , ad   2; 1;3  .


D. M  2; 1;3 , ad   2; 1; 3  .

x  t  2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2  3t . Đường thẳng d đi qua
z  1  t





điểm M và có vectơ chỉ phương ad . Tọa độ của điểm M và vectơ chỉ phương ad lần lượt là


A. M  2; 2;1 , ad  1;3;1 .


C. M  2;  2; 1 , ad  1;3;1 .



B. M 1; 2;1 , ad   2;3;1 .


D. M 1; 2;1 , ad   2; 3;1 .

Chuyên đề 8.4 – Phương trình đường thẳng
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 6.

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm

M  2;3;1 và có vectơ chỉ phương a  1;  2; 2  là
x  2  t

A.  y  3  2t .
 z  1  2t


 x  1  2t

B.  y  2  3t .
z  2  t


 x  1  2t

C.  y  2  3t .
z  2  t


 x  2  t

D.  y  3  2t .
 z  1  2t


Câu 7.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;5 và B  3;1;1 ?
x 1 y  2 z  5
x  3 y 1 z 1
A.
B.


.


.
2
3
4
1
2
5
x 1 y  2 z  5
x 1 y  2 z  5
C.
D.


.


.
2
3
4
3
1
1

Câu 8.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A  1;3;2  , B  2;0;5 , C  0; 2;1 .
Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là
x 1 y  3 z  2
x 1 y  3 z  2
A.
B.


.


.
2
4
1
2
4
1
x 1 y  3 z  2
x  2 y  4 z 1
C.
D.


.


.
2
4
1
1
1
3

Câu 9.

Trong

Oxyz, cho tam giác
ABC
với
A 1;4; 1 , B  2;4;3 , C  2;2; 1 . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và
song song với BC là
không

x  1

A.  y  4  t .
 z  1  2t


gian

với

hệ

tọa

x  1

B.  y  4  t .
 z  1  2t


độ

x  1

C.  y  4  t .
 z  1  2 t


x  1

D.  y  4  t .
 z  1  2t


Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

M 1;3;4  và song song với trục hoành là

x  1 t

A.  y  3 .
y  4


x  1

B.  y  3  t .
y  4


x  1

C.  y  3 .
y  4 t


x  1

D.  y  3 .
y  4 t


 x  1  2t

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  t
. Phương trình chính
 z  3  2 t


tắc của đường thẳng  đi qua điểm A  3;1; 1 và song song với d là
x  3 y 1 z 1
x  3 y 1 z 1
A.
B.


.


.
2
1
2
2
1
2
x  2 y 1 z  2
x  2 y 1 z  2
C.
D.


.


.
3
1
1
3
1
1
x  2 y 1 z  3
. Phương trình


2
1
3
tham số của đường thẳng  đi qua điểm M 1;3; 4  và song song với d là

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

x  2  t

A.  y  1  3t .
 z  3  4t


 x  1  2t

B.  y  3  t .
 z  4  3t


 x  1  2t

C.  y  3  t .
 z  4  3t


Chuyên đề 8.4 – Phương trình đường thẳng
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

 x  1  2t

D.  y  3  t .
 z  4  3t

5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8