Chuyên đề 8: Phương pháp toạ độ trong không gian - Chủ đề 8.1

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một
  
điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2  2  2
   
Chú ý:
i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 .

2. Tọa độ của vectơ



  
a) Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk


b) Tính chất: Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k  
 
 a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )

 ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 )

a1  b1
 

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3




 0  (0;0; 0), i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0), k  (0; 0;1)

  


 a cùng phương b (b  0)
 a  kb (k   )
a1  kb1
a a
a

 a2  kb2
 1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a  kb
 3
3
 

 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3
 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0


2
2
2
2
 a 2  a12  a2  a3
 a  a12  a2  a2

 
a.b
a1b1  a2b2  a3b3
  
 cos(a , b )    
(với a , b  0 )
2
2
a .b
a12  a2  a3 . b12  b22  b32

3. Tọa độ của điểm






a) Định nghĩa: M ( x; y; z )  OM  x.i  y. j  z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:  M   Oxy   z  0; M   Oyz   x  0; M   Oxz   y  0

 M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0 .
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B ( xB ; yB ; z B )


 AB  ( xB  x A ; y B  y A ; z B  z A )
 AB  ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A )2

 x  x y  yB z A  z B 
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A
;

 2
2
2 
 x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : G  A B C ; A
;

3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
 x  x  x  xD y A  yB  yC  y D z A  z B  zC  zC 
G A B C
;
;


4
4
4

Chuyên đề 8.1 - Tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

4. Tích có hướng của hai vectơ



Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
 
 a, b  , được xác định bởi
 
 a a3 a3 a1 a1 a2 
 
a, b    2
;
;
   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 


 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
 
  

 
 
 [a, b]  a; [a, b]  b
  a , b     b, a 


 
 
 
     

 
 


 i , j   k ;  j , k   i ;  k , i   j
 [a, b]  a . b .sin  a , b  (Chương trình nâng cao)
 
 
 
 

 a, b cùng phương  [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

a) Định nghĩa: Trong không gian


của hai vectơ a và b, kí hiệu là

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
 

  
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0
 

 Diện tích hình bình hành ABCD :
S ABCD   AB, AD 



1  
 Diện tích tam giác ABC :
S ABC   AB , AC 


2
  

 Thể tích khối hộp ABCDAB C D : VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD ]. AA

 Thể tích tứ diện ABCD :

VABCD 


1   
[ AB , AC ]. AD
6

Chú ý:
- Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
- Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương.
 

a  b a.b  0

  
a vaø b cuøng phöông   a , b   0
  
  
a, b , c ñoàng phaúng   a , b  .c  0

5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn
Plus, Vinacal 570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  , C  xC ; yC ; zC  , D  xD ; yD ; z D 


w 8 1 1 (nhập vectơ AB ) 
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )

q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
 

C q53q54= (tính  AB, AC  )


  

C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
  

Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=

1   
(tính VABCD  [ AB , AC ]. AD
6
Chuyên đề 8.1 - Tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Câu 2.

Gọi  là góc giữa hai vectơ

a.b
A.   .
B.
a.b






a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng


 
a.b
 a.b
a b
C.   .
D.   .
  .
a.b
a.b
a.b



Gọi  là góc giữa hai vectơ a  1; 2;0  và b   2;0; 1 , khi đó cos  bằng
A. 0.

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D.  .
5

Câu 3.




Cho vectơ a  1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a



A. b   2; 6; 8 .
B. b   2; 6;8  .
C. b   2;6;8  .

Câu 4.



Tích vô hướng của hai vectơ a   2; 2;5  , b   0;1; 2  trong không gian bằng
A. 10.

Câu 5.

Câu 7.

C. 12.

6.

8.
C. 10.
D. 12.
 


Trong không gian Oxyz , gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, khi đó với M  x; y; z  thì OM bằng
  
  
  
  
A.  xi  y j  zk .
B. xi  y j  zk .
C. x j  yi  zk .
D. xi  y j  zk .


 
Tích có hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được


B.

xác định bằng tọa độ
A.  a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

B.

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .

D.

C.
Câu 8.

D. 14.

Trong không gian cho hai điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

B. 13.


D. b   2; 6; 8  .

 a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 a2b2  a3b3 ; a3b3  a1b1 ; a1b1  a2b2  .




Cho các vectơ u   u1; u2 ; u3  và v   v1; v2 ; v3  , u.v  0 khi và chỉ khi
A. u1v1  u2 v2  u3v3  1 . B. u1  v1  u2  v2  u3  v3  0 .

Câu 9.

C. u1v1  u2 v2  u3v3  0 .


Cho vectơ a  1; 1;2  , độ dài vectơ a là
A.

6.

B. 2.

D. u1v2  u2 v3  u3v1  1 .

C.  6 .

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M  a; 0; 0  , a  0 . B. M  0; b;0  , b  0 . C. M  0;0; c  , c  0 . D. M  a;1;1 , a  0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng  Oxy  sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c  0 )
A.

 0; b; a  .

B.

 a; b; 0  .

C.

 0; 0; c  .

D.

 a;1;1





Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a   0;3; 4  và b  2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A.

 0;3; 4  .

B.

 4; 0;3 .

C.

 2; 0;1 .

Chuyên đề 8.1 - Tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

D.

 8;0; 6  .

3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


 
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v  bằng
 
 
 
 
 

 

 
A. u . v .sin u, v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u, v .

 

 

 

 




Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a  1; 1;2  , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ
   
m  a  b  c có tọa độ là
A.  6; 0; 6  .
B.  6;6; 0  .
C.  6; 6; 0  .
D.  0; 6; 6  .
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2; 0  . Độ dài các cạnh

AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.

21, 13, 37 .

B.

11, 14, 37 .

21, 14, 37 .

C.

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B  2; 4; 1 , C  2; 2; 0  . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A.  ; ;   .
3 3 3

5 2 4
B.  ; ;  .
3 3 3

C.

5

D.  ;1; 2  .
2


 5; 2; 4  .

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2;0  , B  1;1;3 , C  0; 2;5  . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D  2;5; 0  .
B. D 1; 2;3 .

C. D 1; 1;6  .





D. D  0;0; 2  .



Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a  (1; 2; 3), b  (2; 0;1), c  ( 1; 0;1) . Tìm tọa độ của











vectơ n  a  b  2c  3i


A. n   6;2;6  .
B. n   6;2; 6  .


C. n   0;2;6  .


D. n   6;2;6  .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2

 1 
A. G  ;1;3  .
B. G  2;3;9  .
C. G  6; 0; 24  .
D. G  2; ;3  .
3

 3 
Câu 20. Cho 3 điểm M  2;0;0  , N  0; 3;0  , P  0;0;4  . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q  2; 3; 4 

B. Q  2;3; 4 

C. Q  3; 4; 2 

D. Q  2; 3; 4 

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M 1;1;1 , N  2;3; 4  , P  7; 7;5  . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q  6;5; 2  .

B. Q  6;5; 2  .

C. Q  6; 5; 2  .

D. Q  6; 5; 2  .

Câu 22. Cho 3 điểm A 1;2;0  , B 1;0; 1 , C  0; 1;2  . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
C. tam giác vuông đỉnh A .

B. tam giác cân đỉnh A .
D. tam giác đều.

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2;2  , B  0;1;3 , C  3;4;0  . Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D  4;5; 1 .

B. D  4;5; 1 .

C. D  4; 5; 1 .

Chuyên đề 8.1 - Tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

D. D  4; 5;1 .
4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN




 
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a  2; b  4 . Khi đó a  b bằng

8 3  20.

A.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

Câu 25. Cho điểm M 1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  Oxy  bằng
B. 3 .

A. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M  2;5;0  , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M   2;5;0  .

B. M   0; 5;0  .

C. M   0;5;0  .

D. M   2;0;0  .

Câu 27. Cho điểm M 1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  Oxy  là điểm
A. M  1;2;0  .

B. M  1;0; 3 .

C. M   0; 2; 3 .

D. M  1;2;3 .

Câu 28. Cho điểm M  2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
29 .

A.

5.

B.

C. 2.

26 .

D.

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng  đúng
thức  

   
 
   

   
 
A. IA  IB  IC.
B. IA  IB  CI  0. C. IA  BI  IC  0. D. IA  IB  IC  0.






Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a   1;1; 0  ; b  1;1; 0  ; c  1;1;1 . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai:


 
A. b  c.
B. a  2.


C. c  3.

 
D. a  b.

Câu 31. Cho điểm M  3;2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng  Oxy  là điểm
A. M   3; 2;1 .

B. M   3; 2; 1 .

C. M   3; 2;1 .

D. M   3;2;0  .

Câu 32. Cho điểm M  3;2; 1 , điểm M   a; b; c  đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a  b  c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.


 
Câu 33. Cho u  1;1;1 và v   0;1; m  . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A.  3 .

B. 2  3 .

C. 1  3 .

3.

D.

Câu 34. Cho A 1; 2;0  , B  3;3;2  , C  1; 2;2  , D  3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 6.

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
  

  

 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD
1 
1 


A. h 
B. h 
.
.
 

 

3
3  AB. AC 
AB.AC


  

  

 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD




C. h 
.
D. h 
 

.
 

 AB. AC 
AB. AC


Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0  , B  3;3;2  , C  1; 2;2  , D  3;3;1 . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng  ABC  là
A.

9
7 2

.

B.

9
.
7

C.

9
.
2

Chuyên đề 8.1 - Tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

D.

9
.
14

5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8