Xem mẫu
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
Chuyên đề 2 :
PHẦN 1 : ĐẠO HÀM
A). TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1). Định nghĩa:
∆y f( xo + ∆x) − f( xo )
f′( xo ) = lim = lim
∆x→ ∆
0 x ∆x→0 ∆x
2). Các quy tắc tính đạo hàm:
a). Đạo hàm một tổng, hiệu: ( u1 ±u2 ±L ±un ) ′ =u1 ±u′ ±L ±un
′ 2
′
b). Đạo hàm một tích: ( u.v) ′ = u′.v + u.v′
* Trường hợp đặc biệt: v = k ( k là hằng số) ta được: ( k.u) ′ = k.u′
u ′ u′v − u.v′
c). Đạo hàm một thương: = ( v ≠ 0)
v v2
* Trường hợp đặc biệt: u = 1 ta được: 1 ′ v′
= − 2 ( v≠ 0)
v v
3). Các công thức tính đạo hàm:
u′
( u ) ′ = nu
n n−1
u′ ( n∈ ¥ * ) ( cot gu) ′ = −
sin2 u
( u ≠ kπ )
( u) ′ = 2u′u ( u > 0) ( e ) ′ = e u′
u u
( sinu) ′ = cosu.u′ ( a ) ′ = a lnau′ ( 0 < a ≠ 1)
u u
u′
( cosu) ′ = − sinuu′
. ( lnu) ′ = ( u > 0)
u
u′ π u′
( t )′ =
gu u ≠ + kπ ( loga u) ′ = ( 0 < a ≠ 1; u > 0 )
2
cos u 2 ulna
7 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
B). BÀI TẬP:
Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình,
chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức
F ( x, y, y′, y′′, y′′′,...) , với y = f( x) là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước
sau:
• Tìm tập xác định của hàm số y = f( x)
• Tính y′, y′′, y′′′,K (có khi ta phải rút gọn hàm số y = f( x) trước, sau đó
mới tính đạo hàm).
• Thay y′, y′′, y′′′,K vừa tìm được vào biểu thức F , tiếp theo thực hiện
theo yêu cầu của từng bài toán.
x
( x − 1) . Giải phương trình y + xy′ = 0 .
2
Bài 1: Cho hàm số y =
2
Bài 2: Cho hàm số y = x2ex . Chứng minh đẳng thức: xy′ = ( x + 2 ) y.
x
Bài 3: Cho hàm số y= cos2 . Chứng minh đẳng thức: ycosx − y′ sin x = y.
2
Bài 4: Cho hàm số y = ex sin x . Chứng minh rằng: 2 y′ − 2 y′′ + y′′′ = 0 .
Bài 5: Cho hàm số y = ( x − 1) cosx.
2
Hãy tìm các giá trị của x sao cho: ( x − 1) ( y + y′′ ) − y′ = 0
Bài 6: Cho hàm số y = cos4 x − sin4 x.
a. Chứng minh rằng: y′ + 2 sin2 x = 0 .
b. Giải phương trình 2 y + y′ = 0 .
Bài 7: Cho hàm số y = ln2 x . Giải bất phương trình y + xy′ − x2 y′′ ≤ 3
Bài 8: Cho hàm số y = e− x ( x + 1) .
2
Tìm các giá trị của x sao cho: 2 y+ y′+ y′′+ y′′′ − 1 = 0
Bài 9: Cho hàm số y = lne x + 1 .
x 2
( )
8 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
(
a. Giải phương trình y′ + x + 1 y′′ = 0 .
2
)
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y′ .
Bài 10: Cho hàm số y = xe− x .
Chứng minh bất đẳng thức sau: y + y′′′ − y′ − y′′ > 0, ∀x∈ ¡ .
1 2
Bài 11: Cho hai hàm số: f( x) = cos2 xcos x; g( x) = sin 2 x + sin2 x .
2
2
a. Tính f′ ( x) , g′ ( x) .
b. Chứng minh rằng: f′ ( x) + g′ ( x) = 0 .
Bài 12: Cho hàm số y = f( x) = t 3 xt 2 xt .
g . g . gx
Chứng minh rằng: f′ ( x) = 3t 2 3x − 2t 2 2 x − t 2 x.
g g g
9 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
PHẦN 2 : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số F ( x) gọi là nguyên hàm của hàm số f( x) trên ( a,b) nếu
F ′ ( x) = f( x) , ∀x∈ ( a,b) .
Ghi nhớ : Nếu F ( x) là nguyên hàm của f( x) thì mọi hàm số có dạng
F ( x) + C ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f( x) và chỉ những hàm số có
dạng F ( x) + C mới là nguyên hàm của f( x) . Ta gọi F ( x) + C là họ nguyên hàm
hay tích phân bất định của hàm số f( x) và ký hiệu là f( x) dx. ∫
Như vậy: ∫ f( x) dx = F ( x) +C
2). Tính chất:
a.TC1: ∫kf( x) dx =k∫ f( x) dx; ( k ≠0 )
b.TC2: ∫ f( x) ±g( x) dx =∫ f( x) dx ±∫g( x) dx
c.TC3: Nếu ∫ f( x) dx = F ( x) + C thì ∫ f( u) du = F ( u) + C .
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ ( a, b ∈ ¡ & a ≠ 0) :
∫ dx = x + C dx 1
∫ ax + b = a ln ax + b + C
xα +1 ∫ e dx = e +C
x x
∫ x dx = α + 1 + C , ( α ≠ −1)
α
∫ sinxdx = − cosx + C ∫
1
eaxdx = eax + C
a
∫ cosxdx = sin x + C 1
∫ sinaxdx = − a cosax + C
dx π 1
∫ cos x = t + C , x ≠ 2 + kπ
2
gx ∫ cosaxdx = a sinax + C
10 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
dx dx 1 π
∫ sin 2
x
= − cot gx + C , x ≠ kπ ∫ cos ax = a t + C , x ≠ 2 + kπ
2
gx
dx dx 1
∫ = ln x + C , ( x ≠ 0 ) ∫ sin ax = − a cot gax + C , x ≠ kπ
2
x
4). Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng
(hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ
bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này
thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
1 1
Bài 1: Cho hai hàm số F ( x) = x + sin2 x; f( x) = cos2 x .
2 4
a. Chứng minh rằng F ( x) là nguyên hàm của f( x) .
π
b. Tìm nguyên hàm G ( x) biết rằng G =0.
4
cosx + cos2 x + cos3x
Bài 2: Cho hàm số f( x) = .
cos4 x − sin4 x
Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f( x) biết rằng F ( π ) = π .
Bài 3: Cho hàm số f( x) = 2 cos xcos4 x . Tìm hàm số G ( x) biết rằng
2
29 π 1
G ′′ ( x) = f( x) và G ( 0 ) = − ;G = − .
144 12 32
Bài 4: Cho hàm số f( x) = 8 sin xcosxcos2 xcos4 x .
a. Giải phương trình f′′ ( x) + f( x) = 0 .
b. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f( x) biết rằng đồ thị của hàm
π
số F ( x) đi qua điểm M − ;0 .
8
11 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
sin x
Bài 5: Biết rằng hàm số F ( x) = là nguyên hàm của f( x) . Hãy tìm
1 + cosx
các giá trị của x sao cho f( x) − f′ ( x) = 0 .
Bài 6: Cho hàm số y = xex .
a. Tính y′ và y′ ( 2 ) .
b. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x) = ( x + 2007 ) e .
x
Bài 7: Cho hàm số f( x) = e sin x . Chứng minh rằng hàm số f′ ( x) − f′′ ( x)
x
là nguyên hàm của hàm số 2 f( x) .
x3 + 3x2 + 3x − 1
Bài 8: Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f( x) = ,biết rằng
x2 + 2 x + 1
1
F ( 1) = . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
3
§2. TÍCH PHÂN :
b
∫ f( x) dx = F ( x) = F ( b) − F ( a)
b
1). Định nghĩa: a
a
2). Tính chất:
b a
a. TC1: ∫ f( x) dx = −∫ f( x) dx
a b
b b
b. TC2: ∫ kf( x) dx = k∫ f( x) dx (k ≠ 0)
a a
b b b
c. TC3: ∫ f( x) ± g( x) dx = ∫ f( x) dx ± ∫ g( x) dx
a
a a
b c b
d. TC4: ∫ f( x) dx = ∫ f( x) dx + ∫ f( x) dx
a a c
b
e. TC5: Nếu f( x) ≥ 0, ∀x∈ [ a;b] thì ∫ f( x) dx≥ 0
a
b b
f. TC6: Nếu f( x) ≥ g( x) , ∀x∈ [ a;b] thì ∫ f( x) dx ≥ ∫ g( x) dx
a a
12 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b
g. TC7: Nếu m ≤ f( x) ≤ M , ∀ x∈ [ a;b] thì m ( b − a) ≤ f( x) dx ≤ M ( b − a)
∫
a
3). Bài tập:
Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu
tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn
hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ),
ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính
tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong
dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
π
4
∫
a. cos2 xcosxdx
0
π
b. ∫ cosx + sinx dx
π
4
1
x2 + 2 x + 3
c. ∫ dx
−1
x+2
2
e2 x+ ln x
d. ∫ dx
1
x
x
Bài 2: Cho hàm số f( x) = và hàm số F ( x) = ln x2 + 1 .
x +1 2
a. Chứng minh rằng F ( x) là nguyên hàm của f( x) .
1
xdx
b. Áp dụng câu a. tính ∫ x2 + 1 .
0
Bài 3: Cho hàm số f( x) = xln x − 2 xln x .
2
a. Tính f′ ( x) .
13 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
e
∫
2
b. Áp dụng câu a. tính ln xdx .
1
cosx − sin x
Bài 4: Biết hàm số F ( x) = là một nguyên hàm của f( x) . Hãy
cosx + sin x
π
4
tính :
∫ f′ ( x) dx .
0
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
β b
1). Công thức tổng quát: ∫ fϕ ( x) .ϕ′( x) dx = ∫ f( t) dt
α
a
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu
tích phân có dạng tích của fϕ ( x) (hàm số theo biến là ϕ ( x) ) với đạo hàm
của hàm ϕ ( x) . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách
đặt cụ thể như sau:
β
a). TH1: ∫ f( sinx) .cosxdx
α
.
→ Đặt t= sin x
→ hoặc t= psin x + q ( p, q∈ ¡ )
→ hoặc t= n psin x + q nếu như biểu thức psin x + q nằm trong n
.
β
b). TH2: ∫ f( cosx) .sinxdx
α
.
→ Đặt t= cosx
→ hoặc t= pcosx + q ( p, q∈ ¡ )
→ hoặc t= n pcosx + q nếu như biểu thức pcosx + q nằm trong n
.
β
1
c). TH3: ∫ f( ln x) . x dx
α
.
→ Đặt t= ln x
→ hoặc t= pln x + q ( p, q∈ ¡ )
14 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
→ hoặc t= n pln x + q nếu như biểu thức pln x + q nằm trong dấu
n
.
β
1
d). TH4: ∫ f( t ) . cos
α
gx 2
x
dx .
→ Đặt t= t
gx
→ hoặc t= pt + q
gx ( p, q∈ ¡ )
→ hoặc t= n pt + q nếu như biểu thức pt + q nằm trong dấu
gx gx n
.
β
1
e). TH5: ∫ f( cot ) . sin
α
gx 2
x
dx .
→ Đặt t= cot
gx
→ hoặc t= pcot + q
gx ( p, q∈ ¡ )
→ hoặc t= n pcot + q nếu như biểu thức pcot + q nằm trong
gx gx
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
π
6
cosxdx
a.
∫ ( 2 sinx + 1)
0
3
π
2
b. ∫
π
6 cosx + 1 sin xdx
3
e
dx
c. ∫ x( 3 ln x+ 2 )
1
19
xdx
d. ∫ 0
3
x2 + 8
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
15 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
1
( x − 2 ) dx
a. ∫x
0
2
− 4x + 5
π
4
e2 tgxdx
b.
∫ cos2 x
0
π
2
dx
c. ∫
π
6
( )
3 cot gx + 1 sin2 x
4
dx
d. ∫e
1
2 x+1
x
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
π
3
t
gxdx
a.
∫ cos x
0
3
π
2
∫
2 3
b. sin xcos xdx
π
6
π
6
sin2 xdx
c.
∫ cos4 x − sin4 x
0
π
4
cos2 xdx
d.
∫ ( sin x + cosx)
0
2
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
π
3
sin3 xdx
a.
∫ cos4 x
0
3
b. ∫ 0
x2 + 1x3dx
π
6
sin2 xdx
c.
∫ 2 sinx + 1
0
16 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
π
4
dx
d. ∫ gx g3
π t +t x
6
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
b b
∫ uvdx = ( uv) a − ∫ vu′dx
b
1). Công thức tổng quát: ′
a a
b b
∫ udv = ( uv) a − ∫ vdu
b
hay (1)
a a
2). Các bước thực hiện:
u = u(x) du = u′(x)dx (Ñ aï haø )
o m
• Bước 1: Ñaë
t ⇒
dv = v′(x)dx v = v(x) (nguyeâ haø )
n m
• Bước 2: Thế vào công thức (1).
b
Tính ( uv) a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu ∫
b
• Bước 3:
a
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân
từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét).
3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng
như sau:
b
a). Dạng 1: ∫ p( x) .q( x) dx
a
Trong đó p( x) là hàm số đa thức, còn q( x) là hàm sinα (x) hoặc
cosα (x) .
u = p( x)
→ Trong trường hợp này ta đặt:
dv = q( x) dx
Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào
b b
∫
công thức ta được vdu phức tạp hơn udvban đầu.
a
∫
a
17 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b
b). Dạng 2: ∫ p( x) .q( x) dx
a
Trong đó p( x) là hàm số đa thức, còn q( x) là hàm logarit.
u = q( x)
→ Trong trường hợp này ta đặt:
dv = p( x) dx
Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó
khăn khi suy ra v từ dv.
4). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
π
a. ∫ ( 2 x + 1) sinxdx
0
π
∫( x + 2 x) cosxdx
2
b.
0
π
4
c.
∫ xcos xdx
2
0
π
4
xdx
d.
∫ cos2 x
0
1
∫ ( x + 1)
2
e. e2 xdx
0
1
3x − 2
f. ∫ ex dx
0
1
∫
g. (x − 3)2 dx
x
0
1
∫ ( x+ e )
x 2
h. dx
0
18 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
3
∫ ( 3x + 1) ln xdx
2
a.
1
1
b. ∫ xln( x + 1) dx
0
e
∫
2
c. ln xdx
1
1
∫ xln( x + 1) dx
2
d.
0
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
π
2
( 1 − cosx) dx
a. ∫
π sin2 x
6
2
( lnx + x e ) dx 2 x
b. ∫
1
x
π
2
( cot g x + sin2 x) dx
2
c. ∫
π sin2 x
6
π
d.
2
2
∫
0 3 cosx + 1
+ x sin xdx
π
sin xcosxdx
e. ∫ cos2 x + 1
0
1
1 1
f. ∫ x
0
2
− x xdx
+2 e
π
2
∫
g. cos2 x +
0
cos2 xdx
sin2 x + 3
1
h. ∫ xln
0
3x2 + 1dx
19 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
( C1 ) : y = f( x) ; ( C 2 ) : y = g( x) ; x = a; x = b
(trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thiếu một hoặc cả hai).
b
a). Công thức: S = ∫ f( x) − g( x) dx (2)
a
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thiếu một hoặc cả
hai thì giải phương trình f( x) = g( x) (PTHĐGĐ của ( C1 ) và ( C 2 ) ) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức f( x) − g( x) , sau đó xét dấu của hiệu
này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ
để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý:
Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng
hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích
phân nào đó mà trên hình vẽ, ( C1 ) nằm trên ( C 2 ) thì hiệu f( x) − g( x) ≥ 0 , và
( C1 ) nằm dưới ( C 2 ) thì hiệu f( x) − g( x) ≤ 0 .
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp
1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính
được diện tích bằng công thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng
diện tích tất cả các hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quanh trục Ox:
( C ) : y = f( x) ; O x; x = a; x = b
(trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thiếu một hoặc cả hai).
20 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b
V = π ∫ f( x) dx
2
a). Công thức: (3)
a
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thiếu một hoặc cả
hai thì giải phương trình f( x) = 0 (PTHĐGĐ của ( C ) và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
x2 − 6 x + 5
( C ) : y= và trục Ox.
2x − 1
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( C ) : y = x( x − 3) và trục Ox.
2
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( C ) : y = x4 − x2 và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( C ) : y = x3 − 3x + 1 và đường thẳng d : y= 3 .
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x + 2x+ 2
2
( C ) : y= ; đường tiệm cận xiên của ( C ) ; Ox; x = e − 1 .
x+ 1
Bài 6: Cho đường cong ( C ) : y = x − 3 x + 4 x. Viết phương trình tiếp
3 2
tuyến d của ( C ) tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn
bởi ( C ) và d .
Bài 7: Cho parabol ( P ) : y = x − 6 x + 5 .
2
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của ( P ) tại các giao điểm của
( P ) với trục Ox.
21 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
- Tài liệu tham khảo ôn tập TN.THPT
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và các tiếp tuyến
nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( C ) : y = x
; d : y = 2 − x và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = 4 x và
2
đường thẳng d : y = 2 x − 4 .
Bài 10: Cho parabol ( P ) : y = 4 x.
2
a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( P ) tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( P ) , trục
Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
2x+ 1
Bài 11: Cho đường cong ( C ) : y = . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn
x+ 1
bởi các đường: ( C ) ; O x; O y. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi
quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong ( C ) : y = x − x . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn
4 2
bởi ( C ) và trục Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung
quanh trục Ox.
22 Hội đồng bộ môn Toán - THPT
nguon tai.lieu . vn
