Xem mẫu
- Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên
1 S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê
2 Bi n ng u nhiên
3 Quá trình ng u nhiên
4 Tín hi u ng u nhiên r i r c theo th i gian
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 0. 1/ 80
- 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê
1 S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê
Khái ni m
S ki n
Xác su t
S ki n đ ng th i, xác su t đ ng th i
Xác su t có đi u ki n
Tính đ c l p th ng kê
2 Bi n ng u nhiên
3 Quá trình ng u nhiên
4 Tín hi u ng u nhiên r i r c theo th i gian
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 2/ 80
- 1.1.Khái ni m
Xác su t là m t lý thuy t nhánh c a toán h c nghiên c u
v các hi n tư ng ng u nhiên, cung c p m t công c hình
th c đ suy lu n trong các trư ng h p thông tin không đ y
đ .
Xác su t, gi ng như toán h c, d a trên m t s các tiên đ ,
dùng các phương pháp suy lu n và các công c toán h c
đ suy ra các đ nh lý
Th ng kê là khoa h c xu t phát t th c t , cho phép xây
d ng các mô hình c a các hi n tư ng t nhiên, s d ng
cách suy lu n qui n p: d a trên m t s lư ng các d li u
quan sát đư c, tìm các qui lu t, các mô hình c a các hi n
tư ng
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 3/ 80
- 1.1.Khái ni m
Th c nghi m (phép th ) ng u nhiên:
không th d đoán trư c k t qu
cho các k t qu khac nhau khi t t c các tham s , các đi u
ki n như nhau
Các k t qu có th c a phép th t o ra m t t p h p (ký
hi u b ng S).
Gieo con xúc x c, k t qu thu đư c n m trong t p
h p{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tung m t đ ng xu, t p k t qu là {S p, Ng a}
Tu i c a ngư i g p đ u tiên trong ngày{1 . . . 100}
Quan sát các gói tin ch y qua m t thi t b m ng trong
kho ng th i gian 15’: t p k t qu là:???
M t t p con A c a t p S đ nh nghĩa s ki n "k t qu thu
đư c c a phép th n m trong A" g i t t là s ki n A.
Ví d : gieo con xúc x c đư c s ch n
Tung đ ng xu đư c m t s p
Ngư i đ u tiên g p trong ngày còn tr (tu i
- 1.1.Khái ni m (Ti p)
V i t p S c đ nh, có th đ nh nghĩa phép bù, phép h p,
phép giao trên các t p con.
Có th đ nh nghĩa phép bù, phép h p, phép giao trên các
s ki n:
S ki n bù c a s ki n A là s ki n: "k t qu thu đư c c a
¯
phép th n m trong t p S \ A ký hi u A
Ví d S ki n bù c a s ki n gieo con xúc x c đư c {3, 4} là
s ki n gieo con xúc x c đư c {1, 2, 5, 6}
H p c a hai s ki n A ∪ B là s ki n "k t qu thu đư c c a
phép th n m trong t p A ∪ B
H p c a s ki n "g p ngư i dư i 18 tu i" và s kiên "g p
ngư i dư i trên 16 dư i 60" là s ki n "g p ngư i dư i 60
tu i"
Giao c a hai s ki n A ∪ B là s ki n "k t qu thu đư c c a
phép th n m trong t p A ∩ B
Giao c a hai s ki n trên là s ki n (g p ngư i t 16 đ n
18 tu i)
¯
Hai s ki n lo i tr l n nhau A ∩ A = ∅
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 5/ 80
- 1.2.Xác su t
Khái ni m
Là m t đ đo c a s ki n, đo đ xác đ nh c a m t s ki n
trư c khi s ki n đó x y ra
Xác đ nh lư ng hi u bi t v s ki n trư c khi s ki n đó x y
ra
S ki n nào ch c ch n s x y ra thì có xác su t b ng 1
Các s ki n khác không ch c ch n x y ra có xác su t
dương, nh hơn 1
Cách đo
C n đ nh lư ng kh năng xu t hi n c a m t s ki n.
Th c hi n các th c nghi m l p l i (gi thi t là các tính ch t
nh hư ng đ n k t qu không ph thu c th i gian)
Sau N l n th , s ki n A xu t hi n k l n.
k
T s N có th dùng đ đ c trưng cho kh năng xu t hi n
c a A v i N l n th đó.
Sau r t nhi u l n th , kh năng xu t hi n c a A th hi n
k
b ng giá tr trung bình c a N .
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 6/ 80
- 1.2.Xác su t (Ti p)
Giá tr đó chính là xác su t xu t hi n c a A, ký hi u P(A).
S d ng các tính toán xác su t
Tính ch t
0 ≤ P(A) ≤ 1: Xác su t là s dương nh hơn 1.
P(S) = 1: xác su t c a s ki n luôn luôn x y ra b ng 1.
P(∅) = 0.
Xác su t c a h p hai s ki n r i nhau b ng t ng hai xác
su t:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n u A ∩ B = ∅
T ng quát P(∪(Ai )) = Ai n u Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i, j
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 7/ 80
- 1.3.S ki n đ ng th i, xác su t đ ng th i
S ki n đ ng th i c a hai s ki n A, B là s ki n "C A và
B đ u xu t hi n".
Các s ki n riêng r : gieo xúc x c đư c 6, tung đ ng xu
s p. S ki n đ ng th i: V a tung đ ng xu s p, v a gieo
xúc x c đư c 6
Xác su t đ ng th i c a hai s ki n là xác su t xu t hi n
đ ng th i c a hai s ki n đó.
Xét hai phép th A,B
A cho các s ki n Ai ∈ A, 0 ≤ i ≤ m.
B cho các s ki n Bj ∈ B, 0 ≤ j ≤ n.
S ki n đ ng th i c a Ai và Bj là s ki n t o t t p các giá
tr (Ai , Bj ), 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n sao cho Ai ∈ A và Bj ∈ B,
Xác su t đ ng th i c a Ai và Bj là xác su t c a s ki n
đ ng th i (Ai , Bj ), P(Ai , Bj )
Tính ch t
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 8/ 80
- 1.3.S ki n đ ng th i, xác su t đ ng th i (Ti p)
0 ≤ P(Ai , Bj ) ≤ 1.
m
N u Bj lo i tr l n nhau thì P(Ai ) = j=1 P(Ai , Bj ).
n
N u Ai lo i tr l n nhau thì P(Bj ) = i=1 P(Ai , Bj ).
n m
N u Ai ,Bj lo i tr l n nhau thì i=1 j=1 P(Ai , Bj ) = 1.
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 9/ 80
- 1.3.S ki n đ ng th i, xác su t đ ng th i
Xét hai s ki n A, B có xác su t đ ng th i là P(A, B).
Khi B đã xu t hi n, xác su t xu t hi n c a A g i là xác
su t có đi u ki n, v i đi u ki n B đã xu t hi n.
Ví d S ki n B: M đã h c thi S ki n A: M thi qua Xác su t
có đi u ki n: xác su t M thi qua v i đi u ki n M đã h c thi
Đ nh nghĩa:
P(A, B)
P(A|B) =
P(B)
Như v y:
P(A, B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(A|B)
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 10/ 80
- 1.3.S ki n đ ng th i, xác su t đ ng th i (Ti p)
Công th c Bayes: N u Ai , 1 ≤ i ≤ n là các s ki n lo i tr
l n nhau, ∪n Ai = S, B là s ki n có xác su t l n hơn 0
i=1
thì
P(Ai , B) P(B, Ai ) P(B|Ai )P(Ai )
P(Ai |B) = = = n
P(B) P(B|A)P(A)
P(B|Aj )P(Aj )
j=1
P(Ai |B) g i là xác su t h u nghi m, còn P(B|Ai ) g i là xác
su t tiên nghi m
ý nghĩa trong truy n tin
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 11/ 80
- 1.3.S ki n đ ng th i, xác su t đ ng th i
N u A và B là hai s ki n x y ra hoàn toàn đ c l p v i
nhau thì
P(A|B) = P(A)
và
P(B|A) = P(B)
Xác su t đ ng th i c a A và B s là
P(A, B) = P(A).P(B)
Hai s ki n A và B g i là đ c l p th ng kê v i nhau.
T ng quát hơn, n u Ai , 1 ≤ i ≤ n đ c l p th ng kê thì
n
P(A1 , A2 , . . . , An ) = P(Ai )
i=1
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 1. S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê 12/ 80
- 2. Bi n ng u nhiên
1 S ki n, xác su t, tính đ c l p th ng kê
2 Bi n ng u nhiên
Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t đ xác
su t
Bi n ng u nhiên
Hàm phân b xác su t
Hàm m t đ xác su t
Bi n ng u nhiên, các hàm xác su t 2 (nhi u) chi u
Hàm phân b xác su t có đi u ki n
Bi n ng u nhiên đ c l p th ng kê
Hàm c a bi n ng u nhiên
Các tr trung bình th ng kê
Mô men, mô men trung tâm
Mô men h p, mô men trung tâm h p, hàm tương quan, hàm hi p
bi n
Bi n ng u nhiên nhi u chi u
Hàm đ c tính
T ng các bi n ng u nhiên
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 13/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t
C n đ nh lư ng hóa các k t qu thu đư c t m t phép th
s ∈ S.
Th c hi n m t ánh x t t p h p k t qu thu đư c lên t p
h p s th c
X : S → , s → X (s)
.
Bi n s X (s) nh n các giá tr th c, ph n ánh k t qu c a
phép th s; g i là m t bi n ng u nhiên, có th dùng đ đ c
trưng cho giá tr s c a phép th .
Có th g i t t X thay cho X (s)
Ví d
Khi gieo m t con xúc x c, có th dùng m t bi n ng u nhiên
X nh n 6 giá tr th c (ch ng h n 1, 2, 3, 4, 5, 6) tương ng
v i 6 m t.
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 14/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t (Ti p)
Khi tung m t đ ng xu, có th dùng m t bi n ng u nhiên X
nh n 2 giá tr th c 0, 1 tương ng v i k t qu s p ng a.
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 15/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t
Đ nh nghĩa
Xét m t phép th , k t qu thu đư c s bi u th b ng bi n
ng u nhiên X (s).
M i s ki n có m t xác su t xu t hi n nào đó.
C n m t đ c trưng toán h c cho xác su t c a t t c các s
ki n: hàm phân b xác su t:
F (x) = P({s : X (s) ≤ x}), −∞ < x < ∞
Ví d
Xúc x c, bi n ng u nhiên X nh n 6 giá tr th c
{1, 2, 3, 4, 5, 6} tương ng v i 6 m t, xác su t đ u nhau:
Tung xu, bi n ng u nhiên X nh n 2 giá tr th c −1, 1 tương
ng v i k t qu s p ng a, xác su t đ u nhau:
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 16/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t (Ti p)
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 17/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t (Ti p)
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 18/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t
Phân bi t bi n ng u nhiên liên t c và bi n ng u nhiên r i
r c
Hàm m t đ xác su t là đ o hàm c a hàm phân b xác
su t theo X
dF (x)
p(x) =
dx
Do đó
x
F (x) = p(u)du
−∞
∞
p(u)du = 1
−∞
x2
P(x1 < x ≤ x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ) = p(u)du
x1
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 19/ 80
- 2.1.Bi n ng u nhiên, hàm phân b xác su t, hàm m t
đ xác su t (Ti p)
N u hàm phân b không liên t c thì
n
p(x) = P(X = xi )δ(x − xi )
1
Trong đó δ(x) là hàm xung đơn v , δ(x) = 1 v i x = 0,
δ(x) = 0 v i x = 0
Chương 2: Xác su t và quá trình ng u nhiên 2. Bi n ng u nhiên 20/ 80
nguon tai.lieu . vn
