Xem mẫu
- 1
Chương 2:
PHÂN TÍCH TRONG MIỀN THỜI GIAN
Mô hình tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (DTSP), hoặc xử lý tín hiệu số (DSP),
được mô tả như hình 2.1. Hệ thống áp tín hiệu vào và cho tín hiệu ra khác só với tín hiệu vào tại một
số đặc điểm (biên độ, tần số, pha…). Ngõ ra là đáp ứng của hệ thống. Một hệ thống có thể có nhiều
hơn một đầu vào và một đầu ra. Hệ thống thường nói đến nhất là lọc số.
Trong chương trước, một hệ thống được mô tả (hoặc trình bày) bởi phương trình tín hiệu vào
ra. Trong chương này, chúng ta sẽ thấy hệ thống được mô tả ngắn gọn bằng đáp ứng xung của nó. Ngõ
ra là kết quả nhân chập tín hiệu vào và đáp ứng xung. Đá p ứng chuyển tiếp cũng được nhắc đến một
cách ngắn gọn. Phần kế tiếp sẽ nói đến lọc số và giải phương trình
Tín hiệu vào Tín hiệu ra
Hệ thống
x(n) y(n)
LTI (LSI)
Hình.2.1 Mô hình tổng quát của hệ thống DTSP (hoặc DSP)
:
2.1 ĐÁP ỨNG XUNG
Ta tìm cách khác để mô tả ngắn gọn hệ thống rời rạc thời gian.
(n)
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 n
(a) Xung tại n = 0
(n+k) (n-k) 1
1
-2 -1 0 1 2 n
-k k
(b) Xung tại n = k và tại n = -k
Hình.2.2: Mẫu đơn vị
Xét tín hiệu mẫu đơn vị (Hình.2.2)
(n) = 1 , n=0
(2.1)
n 0
0,
Khi mẫu dịch chuyển đến thời điểm k trong tương lai (k > 0) tín hiệu là
(n-k) = 1 , n=k
n k
0,
Khi mẫu dịch chuyển về quá khứ tại thời điểm –k (k > 0), tín hiệu là
(n + k) = 1 , n = -k
0 , n -k
Bây giờ, xem sự diễn tả một tín hiệu theo xung mẫu đơn vị. Trong hình 2.3 giá trị của x(n) khi n = 1
và 3, ta có thể viết (1.6).
x(n = 1) = x(1) (n - 1) = 3 x 1 = 3
- 2
..
.
x(n)
4
.. ..
3
3
. 2 2
3
1 1 1
0
n
-4 -3 -2 -1 0 1 23 4
Hình.2.3 : Tín hiệu ví dụ
Giống như vậy khi n = 2
[
x(n = 2) = x(2) (n – 2) = 2 x 1 = 2
Vì vậy, tín hiệu tổng quát x(n) có thể diễn tả như
x n x k n k (2.2)
k
2.1.1 Đáp ứng xung
Đáp ứng xung của một tín hiệu định nghĩa như ngõ ra (đáp ứng), chú thích h(n), khi ngõ vào là mẫu
đơn vị (n). Đáp ứng xung có thể thực hoặc phức, nhưng thường là thực. Hình 2.4 là một ví dụ
Hệ thống
Vào Ra
S
x(n) = (n) y(n) = h(n)
(n) 1 h(n)
... ...
n
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 n
Hình.2.4 : Định nghĩa và ví dụ của đáp ứng xung
2.1.2 Hệ thống FIR và IIR
Khi kích một mẫu đơn vị (n), đáp ứng xung h(n) của hệ thống có thể hiện hữu hữu hạn (hình 2.5a)
hoặc vô hạn (hình 2.5b). Trường hợp đầu hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn (FIR), và trường hợp sau
hệ thống có đáp ứng xung lâu vô hạn (IIR).
Hoặc, có thể phân loại hệ thống thành dạng đệ qui hoặc không đệ quy thay vì IIR hoặc FIR. Ta sẽ thảo
luận sau.
Nhân quả (Phần 1.6.2) của một hệ thống thể hiện trên đáp ứng xung của nó. Với hệ thống
nhân quả h(n)= 0 khi n
- 3
3
°
3
°
2
°°°
°°°
Hình.2.5: Ví dụ của hệ thống (a) FIR, (b) IIR
Ví dụ 2.1.1
Tìm đáp ứng xung của hệ thống khi phương trình tín hiệu vào ra được cho bởi
y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n)
Giải
Thay x(n) bằng (n) thì y(n) là h(n):
h(n) = 0.8h(n – 1) + (n)
Nhớ rằng (n) = 1 khi n = 0, và bằng 0 ở những giá trị khác, giả sử hệ thống nhân quả, có nghĩa h(n)
= 0 với n < 0, ta có
[
h(0) = 0.8h(-1) + (0) = 1
h(1) = 0.8h( 0) + 1 = 0.8
h(2) = 0.8h( 1) + (2) = 0.8 2
h(3) = 0.8h( 2) + (3) = 0.8 3
...
h(n) = 0.8 n u (n)
Hệ thống là IIR và ổn định vì h(n) hội tụ (xem phần 2.4). Thường ta không lấy kết quả cuối cùng như
trên (xem ví dụ 2.6.4).
2.1.4 Tìm phƣơng trình tín hiệu vào ra từ đáp ứng xung
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống, ta có thể tính phương trình tín hiệu vào ra, minh họa bằng ví dụ
sau:
Ví dụ 2.1.2
Đáp ứng xung của hệ thống tuần hoàn với chu kỳ 3 mẫu.
h(n) = [ 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 ... ]
Tìm phương trình tín hiệu vào ra.
Giải
Sự trễ được cho bởi 3 mẫu.
- 4
h(n - 3) = [ 0, 0, 0; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 … ]
Tính sự khác nhau
h(n) - h(n - 3) = [ 1, 2, 3; 0, 0, 0; 0, 0 … ]
= (n) 2(n 1) 3(n 2)
Thì
h(n) h(n 3) (n) 2(n 1) 3(n 2)
Phương trình tín hiệu vào ra là
y(n) = y(n - 3) + x(n) + 2x(n - 1) + 3x(n - 2)
2.2 NHÂN CHẬP SỐ
Trên là định nghĩa đáp ứng xung. Trong phần này ta sẽ thấy một cách ngắn gọn tầm quan trọng của
đáp ứng xung và đây cũng là đặc điểm của hệ thống LTI (hoặc LSI).
2.2.1 Tổng nhân chập
Với tín hiệu vào được diễn tả theo mẫu đơn vị trong công thức (2.2), ngõ ra của hệ thống S là
y(n) = S[x(n)] = S xk n k
k
Với một hệ thống tuyến tính
yn S xk n k xk S n k (2.3)
k k
Kế đến, nếu hệ thống bất biến thời gian
S[(n - k)] = h(n - k) (2.4)
Thì ngõ ra là
yn xk hn k (2.5)
k
Đây là tổng nhân chập (hoặc tổng chập) trong DTSP (hoặc DSP), tương tự với tích chập trong hệ
thống tương tự. Chú ý, dấu sao được sử dụng để chú thích cho nhân chập.
y n x n h n x k h n k (2.6)
k
Điều này có nghĩa nếu biết đáp ứng xung h(n) của một hệ thống, ta có thể tìm ngõ ra tín hiệu y(n) với
bất kỳ tín hiệu vào x(n). Vì điều này, đáp ứng xung được xem là đặc tính thời gian (hoặc đặc điểm)
của hệ thống. Tổng được lấy từ đến , nhưng trong thực tế thường là tổng hữu hạn, nên việc
tính toán được thực hiện dễ dàng.
2.2.2 Cách tính tổng nhân chập
Với hệ thống tương tư, nhân chập được tính bằng tích phân. Công việc này dễ hơn trong hệ
thống số vì nhân chập được tính bằng cách lấy tổng. Nó là một ý kiến hay để bắt đầu tính bằng phương
pháp giản đồ. Những bước gồm:
1. Đổi biến số n thành biến số k, viết x(k), h(k). Chọn x(k) cố định, h(k) dịch.
2. Lấy ảnh gương của h(k) tức tạo ảnh h(-k) đối xứng qua h(k) qua trục biên độ. Tạo ảnh gương
còn gọi là gấp ảnh. Ở n=0, tính tổng nhân chập y0 xk h k .
k
3. Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trược n tức tạo h(n-k). Cho n=1, 2, 3, …. Để h(n-
k) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi trị số của n tính tổng nhân chập. Tăng n lên cho đến
khi thấy tổng chập tiếp tục bằng không (tức h(n-k) đã trượt qua khỏi x(k)).
- 5
4. Bây giờ đảo hướng dịch chuyển n= -1, -2, -3... để dịch h(n-k) về trái (về quá khứ), ở mỗi trị
số của n tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục là không (tức h(n-k) đã
trược qua khỏi x(k)).
Quá trình tính tổng nhân chập có thể được t ổng kết như sau: trộn-dịch-nhân-cộng
Ví dụ 2.2.1
Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là:
x(n) = [0, 1, 2, 3, 1, 0]
h(n) = [0, 1, 2, 2, 0]
Biểu tượng in đậm là mẫu tại gốc. Tìm ngõ ra tín hiệu y(n) = x(n) h(n).
Giải
Xử lý qua những bước đã nêu bên trên
x(k)
h(k)
3
(1) 2
2 1
2 1
1
k k
2
-3 -2 -1 -2 -1
0 1 3 0 1 2 3 4
(2)
x(k)h(-k)
h(-k)
n=0
4
2 2
2 2 1 k
k k
2 2
-3 -2 -1 -2 -1
0 1 3 0 1 3
(3a)
h(1-k) x(k)h(1-k)
n=1 4
3 9
2 2
2
1 k
k
k
2 23
-3 -2 -1 -2 -1 0
0 1 3 1
(3b)
h(2-k) 6
x(k)h(2-k)
n=2 4
11
2 21
1 k
k k
2 2
-2 -1 -2 -1 0 1
0 1 3 3
Hình.2.6 : Ví dụ 2.2.1
Tiếp tục, ta có 8, 2, 0. Kế đến, đảo ngược hướng dịch như bước 4. Tín hiệu ra cuối cùng là
k
y(n) = [ ... 0, 1, 4, 9, 11, 8, 2, 0, ... ]
Phƣơng pháp chuỗi (Vector)
Ở đây có những phương pháp khác tính nhân chập số. Phương pháp giản đồ là cơ bản và minh hoạ rõ.
Một số tác giả thích phương pháp ma trận. Bên cạnh, phương pháp chuỗi (vector) ít tốn thời gian và là
- 6
một lựa chọn tốt. Trong phương pháp này ta phải luôn viết những mẫu tại gốc cùng một cột. Với ví dụ
trên, ta xử lý như sau:
x(k) = [ ..., 0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0, 0, ... ]
h(k) = [ ..., 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, ... ]
n = 0: h(-k) = [ ... , 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 0, ... ]
[ ..., 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, ... ] =4
x(k) h(-k) =
k
n = 1: h(1-k) = [ ... , 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, ... ]
[ ..., 0, 0, 0, 2, 4, 3, 0, 0, 0, ... ] =9
x(k) h(1-k) =
k
Trên là hai phương pháp tính có thể được lập trình bằng máy tính.
Một quan sát quan trọng là khi ta nhân chập hai chuỗi rời rạc thời gian có chiều dài M và N,
ta sẽ lấy được một chuỗi có chiều dài
L=M+N–1 (2.7)
Ví dụ 2.2.2
Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là
x(n) u(n)
a 1
h(n) a n u(n) ,
Tìm tín hiệu ra
Giải
Để h(k) cố định và x(k) dịch. Điều này có thể giải thích trong phần 2.3.1 bên dưới. ta tính nhân chập
như sau:
y ( n) h ( n ) x ( n ) h ( k ) x ( n k )
k
Ta đi qua những bước như đã nói để lấy được hình 2.7.
Để tính ngõ ra y (n) tiếp theo ta dùng công thức chuỗi hình học hữu hạn sau:
1
1 x x 2 x 3 ... xn , |x|1 (2.8)
1 x
n 0
1
x = a, thì sự giới hạn là .
1 a
2.3 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA NHÂN CHẬP SỐ
Một vài đặc tính của nhân chập số cho phép cấu hình sự kết nối hệ thống khác nhau.
2.3.1 Tính hoán vị
Đổi biến n - k = k’, hoặc k = n - k’ trong công thức nhân chập
yn xk hn k xn k 'hk '
k k '
Và thay biến số tạm k’ bằng k, ta có
yn xn k hk hk xn k hk xk n
k k
Có nghĩa, trật tự nhân chập bị đảo ngược. Vì vậy ta có hai công thức cho nhân chập:
- 7
x(k) h(k)
11 1 1 1 a
a2
... a 3 ...
-3 -2 -1 0 12 3 k -2 -1 0 1 2 3 k
x(0-k) h(k)x(0-k)
1 1 1 1 1
1
...
k
0 0 0 00 0 0 0
-3 -2 -1 0 12 3 k -2 -1 0 1 2 3 k
x(1-k) h(k)x(1-k)
1 1
1 a
a
...
k
0 0 00 0 0
-2 -1 0 12 3 k -2 -1 0 1 2 3 k
x(2-k) h(k)x(2-k)
1 a a2
1 1 a
a2 k
0 00 0
-1 0 12 3 k -2 -1 0 1 2 3 k
y(n)
1
limit
1a 1+a+a2
1+a
1
00
-2 -1 0 12 3 4 5 n
Hình.2.7 : Ví dụ 2.2.2
x ( k ) h( n k )
y ( n) x ( n) * h( n) (2.9a)
k
Và
h( k ) x ( n k ) (2.9b)
y ( n) h( n) * x ( n)
k
Vào Ra
Hệ thố ng
y(n) = x(n) h(n)
x(n) h(n)
Bằ ng nhau
y(n) = h(n) x(n)
h(n) x(n)
Hình.2.8 : Hoán vị giữa tín hiệu vào và đáp ứng xung với cùng ngõ ra.
- 8
Trong sự tính toán nhân chập ta thường để chuỗi dài hơn cố định, và dịch chuyển chuỗi ngắn hơn.
Đặc tính giao hoán của nhân chập có nghĩa ta có thể hóan đổi tín hiệu vào với đáp ứng xung
của hệ thống mà không ảnh hưởng đến ngõ ra. Ý tưởng này được minh họa trong hình 2.8.
2.3.2 Tính kết hợp
Có thể chứng minh
[x(n) h1(n)] h2(n) = x(n) [ h1(n) h2(n)] (2.10)
Hình 2.9 giải thích thuộc tính này. Nơi hai hệ thống trong chuỗi ( mắc chồng) có thể được thay thế chỉ
bằng một đáp ứng xung được nhân chập với hai đáp ứng xung.
x(n) x(n) h1(n) [x(n)h1(n)]h2(n)
h1(n) h2(n)
Bằ ng nhau
x(n) x(n)[h1(n)h2(n)]
h(n) = h1(n) h2(n)
Hình.2.9 : Đáp ứng xung của hai hệ thống mắc chồng nhau
Ví dụ 2.3.1:
Hai hệ thống mắc chồng có đáp ứng xung
h1 (n) a n u (n)
h2 ( n ) b n u ( n )
Tìm đáp ứng xung tương đương
Giải
Đầu tiên a và b nên nhỏ hơn 1 để đảm bảo chuỗi hội. Chú ý rằng cả đáp ứng xung là nhân quả. Đáp
ứng xung tương đương là:
h(n) h1 (n) h2 (n) h1 (k )h2 (n k )
k
Giới hạn thực tế của tổng là k = 0 và k = n (xem phần 2.3.4 sau), vì vậy
n
h(n) a k b k n u (k )u (k n)
k 0
k
n a
bn
k 0 b
Sử dụng chuỗi hình học
1 x M 1
M
1 x x 2 ... x M x k x 1
, (2.11)
1 x
k 0
Từ công thức này khi ta có công thức 2.8. Vì x = a/b nên
n 1
a
1 n 1 n 1
b b a
h( n) b n
ba
a
1
b
2.3.3 Tính phân phối
Có thể chứng minh
x(n) [h1 (n) h2 (n)] x(n) h1 (n) x(n) h2 (n) (2.12)
- 9
Ý nghĩa hệ thống được minh họa trong hình 2.10. Với hai hệ thống được kết nói song song có thể thay
bằng một đáp ứng xung là tổng của hai.
x(n)h1(n)
h1(n)
x(n) x(n)[h1(n)+x(n)h2(n)]
+
x(n)h2(n)
nhö
h2(n)
nhau nhau
Bằ ng
x(n)[h1(n)]+h2(n)]
x(n)
h(n) = h1(n)+h2(n)
Hình 2.10: Đáp ứng xung của hệ thống song song.
2.3.4 Đáp ứng xung của tín hiệu và hệ thống nhân quả.
Vì đáp ứng xung là một đặc tính của hệ thống. Chẳng hạn, một hệ thống nhân quả sẽ phản ảnh bằng
đáp ứng xung của nó. Từ sự nhân chập (2.9b) ngõ ra tại thời điểm n 0 là:
1
yn0 hk xn0 k hk xn0 k
k 0 k
Để tín hiệu ra y(n0) không phụ thuộc vào những giá trị tương lai (n > n0) của tín hiệu vào x(n), thành
phần thứ hai trong công thức trên phải bằng 0, điều này có nghĩa, h(k)=0 với k
- 10
Tìm ngõ ra bằng sự phân tích tính toán.
Giải
Chú ý rằng cả x(n) và h(n) là nhân quả và vô hạn. Điều kiện a < 1 để đảm bảo sự hội tụ của h(n). ta
chọn để ước tính h(n) x(n), sử dụng (2.14a)
n
y(n) h(n) x(n) h(k ) x(n k ) a k u (k )u (n k )
k k 0
n
ak
k 0
Vì vậy kết quả là
y(0) = 1
y(1) = 1 + a
y(2) = 1 + a + a 2
...
2
+ ... + a n
y(n) = 1 + a + a
1
Tín hiểu ra y(n) không tiến tới nhưng giả sử tiến tới giá trị hữu hạn của (Xem ví dụ 2.2.2).
1 a
2.3.5 Hệ thống xác định và giải nhân chập
Trong DSP thỉnh thoảng ta cần xác định một hệ thống, giả sử LTI (hoặc LSI), khi ta biết tín hiệu vào
và tín hiệu ra. Hệ thống này được gọi là hệ thống xác định khi ta phải xác định đáp ứng xung của hệ
thống, và sau đó là phương trình tín hiệu vào ra nếu cần thiết.
Lọc thích nghi sử dụng lọc FIR thường được sử dụng để xác định những hệ thống DSP không
biết. Trong lý thuyết điều khiển, xác định hệ thống là một vấn đề quen thuộc.
Với hệ thống nhân quả, ngõ ra được dẫn ra từ sự nhân chập (2.14a) được lặp lại ở đây.
n
h( k ) x ( n k ) ,
y ( n) n0
k 0
Tại n 0
y(0) h(0) x(0)
Lấy
y (0)
h(0)
x(0)
Cho x(0) 0 . Tại n 1 , Ta có
n 1
h( k ) x ( n k )
y (n) h(n) x(0)
k 0
Lấy
n 1
h( k ) x ( n k )
y ( n)
k 0
h( n) , n 1
x(0)
Ví dụ 2.3.3
Để xác định một hệ thống DSP chưa biết (phần cứng hoặc phần mềm) ta áp một tín hiệu x(n) và lấy
ngõ ra y(n) như sau:
- 11
x(n) [1, 2, 1, 2,1, 2]
y(n) [0,1, 4, 3, 4, 3, 4, 4]
Xác định đáp ứng xung.
Giải
Chú ý rằng tín hiệu vào ra là nhân quả. Ta ước lượng đáp ứng xung như sau:
y (0)
h(0) 0
x(0)
y (1) h(0) x(1) 1 0(2)
h(1) 1
x(0) 1
y(2) h(0) x(2) h(1) x(1) 4 0( 1) 1(2)
h(2) 2
x(0) 1
y(3) h(0) x(3) h(1) x(2) h(2) x(1) 3 0(2) 1(1) 2(2)
h(3) 0
x(0) 1
Tiếp tục ta thấy rằng h(n) 0 với n 3 . Vì vậy đáp ứng xung là
h(n) [0,1, 2]
Hệ thống là nhân quả như mong đợi
Một phương pháp khác là vấn đề biến đổi trong miền z (Chương 4)
2.4 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
Sự ổn định có lẽ là thuộc tính quan trọng nhất của hệ thống thực tế. Khi một hệ thống không ổn định
ngõ ra của nó thay đổi tự do và không có giới hạn, hoặc chương trình máy tính không đưa ra được kết
quả.
Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian ổn định khi với một tín hiệu vào có biên độ hữu hạn
hệ thống cho tín hiệu ra có biên độ hữu hạn. Đây là tiêu chuẩn ổn định bounded input-bounded
output (BIBO). Về mặt toán học:
x( n ) M x y( n ) M y
Bây giờ ta tính điều kiện của sự ổn định tác động trên đáp ứng xung. Bắt đầu từ tổng nhân chập
yn xn hn xn hn k
k
Lấy trị tuyệt đối giá trị hai bên:
yn xn hn k xn h n k x n h n k
k k
k
Để x (n ) , y(n ) là hữu hạn nếu
hk
k
Vì k là một biến giả ta thay nó bằng n và viết điều kiên như:
∞
h n < ∞ (Điều kiện BIBO ổn định) (2.15)
n=-∞
Nghĩa là, đáp ứng xung là hữu hạn. Hệ thống FIR là ổn định, ngược lại sự ổn định của hệ thống IIR
đòi hỏi đáp ứng xung phân hủy đủ nhanh theo thời gian.
Ví dụ 2.4.1
Một hệ thống LTI có đáp ứng xung
= an , n 0
h(n)
= bn , n < 0
- 12
Tìm điều kiện ổn định
Giải
Đáp ứng xung nói chung gồm phần nhân quả và không nhân quả. Điều kiện của sự ổn định là:
1
n n
h( n ) a b
n n 0 n
Đầu tiên
2
a 1 a a ...
n
n0
Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.8) sẽ dẫn đến điều kiện a 1 . Bây giờ
1
1 1 1 ... 1 1 ,
1 1 1
n
b 1
n 2 1
b bb b b
n n 1
1
b
b
1
< 1 hoặc b 1 . Vì vậy điều kiện tổng quát a 1 và b 1 .
Điều kiện là
b
Ví dụ 2.4.2 [Trích từ A. Antoniou, 2006]
Kiểm tra tính ổn định của hệ thống nhân quả với đáp ứng xung được cho bởi:
(a)
(b)
Giải
(a) Điều kiện ổn định
Từ chuỗi hình học (2.11) ta có tổng
Yều cầu sự ổn định
Vì vậy hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu |a| < 1. Chú ý khi a = 1 hoặc a > 1 giới hạn tiến tới vô cực
và hệ thống không ổn định
(b) Bây giờ tổng giá trị tuyệt đối của đáp ứng xung là
ta tách tổng này thành hai phần:
Vì sin
Vì vậy hệ thống không ổn định.
2.5 ĐÁP ỨNG CHUYỂN TIẾP VÀ ĐÁP ỨNG BƢỚC
Trong thực tế ta thường gặp trường hợp tín hiệu được áp cho hệ thống rồi tắt đi. Phản ứng của hệ
thống khi vừa áp tín hiệu hay vừa bị tắt đi được gọi là đáp ứng chuyển tiếp (quá độ, hay giao thời).
Đáp ứng này thường khác với đáp ứng ổn định hay đáp ứng vững, là đáp ứng khi tín hiệu đã được áp
hoặc tắt sau một thời gian dài. Đáp ứng chuyển tiếp là đặc biệt quan trọng của hệ thống, nó nói lên tín h
- 13
chất và tốc độ phản ứng của hệ thống. Thường ta muốn hệ thống dạt đến sự ổn định càng nhanh càn g
tốt nhưng phải trơn tru.
2.5.1 Đáp ứng xung bậc
Đáp ứng xung của hệ thống không cho ta biết trước tiếp đáp ứng chuyển tiếp của hệ thống.
Khi ta áp tín hiệu bậc đơn vị x(n)=u(n) vào hệ thống thì tín hiệu ra y(n)=s(n) được gọi là đáp ứng bậc.
Hàm bậc đơn vị u(n) là tổng tích lũy hay còn gọi là tổng chạy của xung đơn vị
u n n k (2.16)
k 0
Đáp ứng bậc là tổng chạy của đáp ứng xung.
sn hk (2.17a)
k 0
Ngược lại, đáp ứng xung có thể suy ra từ đáp ứng bậc như sau
(2.17b)
Ví dụ 2.5.1
Một hệ thống được miêu tả bởi phương trình vào ra
y(n) = 0,8y(n - 1) + x(n)
Tìm
(a) Đáp ứng bậc
(b) Đáp ứng bậc tương ứng với xung chữ nhật số gồm 5 mẫu biên độ 1 tại n=0 đến n=4 (hình
2.11a)
Giải
Đầu tiên ta tìm đáp ứng xung. Điều này đã được thực hiện trong ví dụ 2.1.1. Kết quả cho như trong
hình 2.11b
(a) Ta áp dụng công thức (2.17) với đáp ứng bậc
s(0) = h(0) = 1
s(1) = h(0) + h(1) = 1 + 0.8 = 1.8
s(2) = s(1) + h(2) = 1 + 0.8 + 0.8 2 = 2.44
s(3) = s(2) + h(3) = 1 + 0.8 + 0.8 2 + 0.8 3 = 2.952
...
1
s =1 + 0.8 +0.8 2 + 0.8 3 + ... = = 5.0
1 0.8
Kết quả cho trong hình 2.11c. Chú ý rằng giá trị ổn định (trong trường hợp giá trị cuối) là 50. Theo lý
thuyết, hệ thống cần một sự vô hạn về thời gian để tắt nhưng trong thực tế sự cài đặt thời gian có thể
đạt tời 10 đến 100 lần, phụ thuộc vào sự chính xá c của thiết bị.
x(n)
1.0
(a)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
h(n)
1.0 0.8
0.64
0.512
(b) ...
-2 -1 0 1 2 3 4 n
s(n)
limit
0.5
- 14
(b) Ngõ ra tín hiệu y(n) với xung hình chữ nhật có thể tìm theo 2 cách. Đầu tiên, ta xem xung gồm
5 mẫu đơn vị tại n = 0, 1, 2, 3, 4. Thứ hai, ta xem xung gồm một bậc đơn vị giá trị dương tại n=0, và
giá trị âm tại n=5. Ta sử dụng cách 2
y(n) = s(n) - s(n-5)
Vì vậy
y(0) = s(0) - s(-5) = 1.0 - 0 = 1.0
y(1) = s(1) - s(-4) = 1.8 - 0 = 1.8
y(2) = s(2) - s(-3) = 2.44 - 0 = 2.44
y(3) = s(3) - s(-2) = 2.952 - 0 = 2.952
y(4) = s(4) - s(-1) = 3.362 - 0 = 3.632
y(5) = s(5) - s(0) = 3.692 - 1 = 2.692
...
Kết quả cho trong hình 2.11d. Chú ý rằng đáp ứng không đạt đến trạng thái ổn định với biên độ giảm,
không đối xứng với biên độ tăng,
Ví dụ 2.5.2
Một hệ thống có đáp ứng xung vô hạn (IIR)
Tìm đáp ứng ngõ ra so với ngõ vào
a) Bậc đơn vị
b) Xung hình chữ nhật với n = 0 đến n = 50
Giải
a) Vì tín hiệu vào và hệ thống là nhân quả, đáp ứng bậc có dạng
- 15
Tại n = 0, đáp ứng là . Sau đó, đáp ứng tăng và đạt đến giá trị trạng thái ổn định
Thật ra bằng cách ước lượng hoặc vẽ ta thấy rằng tại n = 25 đáp ứng đã đạt tới trạng thái ổn định.
a) Xung chứ nhật số . Từ thời điểm n = 0 đến n = 50 ngõ ra có
dạng u(n):
Như nói ở trước, từ n = 25 ngõ ra có thể được xem như đã đạt đến giá trị ổn định là 4. Vì vậy tín hiệu
ra từ n = 51 là
Tại n = 51,
Và tại ,
Thật ra, từ khoảng n= 70 ngõ ra được xem như bằng không.
Khác với ví dụ trước, trong ví dụ này đáp ứng xung vào kết thúc lâu hơn cho phép hệ thống có
đủ thời gian để đạt đến trạng thái ổn định. Vì vậy tăng đáp ứng tại thời điểm bắt đầu và giảm tại thời
điểm cuối là đối xứng.
Ví dụ 2.5.3 [Trích từ A. Antoniou, 2006]
Một dốc đơn vị x(n) = 0 với n < 0 và x(n) = n với được áp vào một hệ thống nhân quả không đệ
qui và có những xung tương ứng
n 0 1 2 3 4 5 6 7
y(n) 0 1 4 10 20 30 40 50
(a) Tìm đáp ứng xung hệ thống với
(b) Sử dụng kết quả trong (a) để tìm đáp ứng bậc với
Giải
(a) Ta áp dụng sự nhân chập vào hệ thống
Bây giờ ta tính y(n) với n = 1, 2, …:
- 16
Tiếp tục ta có y(5) và y(6). Kết quả
h(0) = 1, h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4, h(4) = 0, h(5) = 0
(b) Đáp ứng bậc đơn vị được cho bởi
Vì vậy
y(0) = h(0) = 1
y(1) = h(1) + h(0) = 2 + 1 = 3
y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 3 +2 + 1 = 6
y(3) = h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 10
y(4) = h(4) + h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 15
y(5) = h(5) + h(4) + h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 21
Ví dụ 2.5.4 [Trích từ.Antoniou, 2006]
Hệ thống
Được giả sử nhân quả, tìm đáp ứng của nó để
(a) Mũ escitation
(b) Sin escitation
Giải
(a) Ta tăng chỉ số thời gian n từ không lên đến n và tìm đáp ứng y(n):
Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.11) ta có không hình thức gần đúng của đáp ứng xung:
Kết quả có thể mở rộng hơn nữa. Xét đáp ứng tần số
Với
và
Bây giờ đáp ứng y(n) được diễn tả như
(a) Vì hệ thống tuyến tính, ta viết
Vì vậy
Với
- 17
và
Tổng đáp ứng :
là hàm chẵn và là hàm lẻ theo ω, nghĩa là
Vì
and
Ta có kết quả cuối cùng
Thành phần đầu tiên đại diện cho tín hiệu sin mà có đáp ứng ổn định, thành phần thứ hai (khi a
- 18
Liệu ta có thể tìm được biểu thức tổng quả cho y(n) ?
Để trả lới nghi vấn trên ta có thể đặc tả một hệ thống LTI bằng đáp ứng bậc thay vì đáp ứng
xung. Tuy nhiên sự đặc tả một hệ thống bằng đáp ứng xung thì tổng quát và hữu ích hơn.
Biến đổi z thì hiệu quả trong sự giải quyết những vấn đề tức thời. Vì vậy, chương 4 đáp ứng
tức thời The z-transform is very effective in solving transient problems. Thus, in chapter 4 sẽ nói lại
vấn đề đáp ứng tức thời.
2.6 LỌC SỐ - DIGITAL FILTERS
Lọc số là hệ thống DSP (hoặc DTSP) phổ biến nhất. Mục đích của phần này là giới thiệu một cách
ngắn gọn những loại lọc với công thức khác nhau. Như những lọc tương tự, lọc số tác động lên đầu
vào tín hiệu để tạo tín hiệu ra khác về mặt biên độ, tần số, pha so với tín hiệu vào. Lọc số, giống như
lọc tương tự, bao gồm 4 tần số cơ bản- loại: thông thấp, thông cao, dải qua, chắn dải (xem hình 5.1
chương 5). Đặc tính tần số của lọc được thảo luận ở chương kế sau khi giới thiệu về phân tích Fourier.
Trong phần này, chúng ta phân loại lọc số dựa trên đáp ứng xung và cấu trúc của nó.
2.6.1 Lọc không đệ qui và lọc FIR
Một lọc không đệ qui trình bày tín hiệu ra phụ thuộc chỉ tín hiệu vào tại tất cả thời điểm. Về mặt toán
học, lọc không đệ qui được mô tả bằng phương trình tín hiệu:
M
yn b xn k (2.20)
k
k M
Với bk là hệ số lọc, có thể thực hoặc phức (thường là thực). Giới hạn được viết như –M và M, nhưng
cũng có thể khác, bao gồm và . Với lọc nhân quả, ngưỡng dưới là 0. Về mặt cấu trúc, lọc không
đệ qui gồm ba loại toán hạng: chậm, nhân và cộng. hình 2.12 chỉ sự tiến hành trực tiếp của một lọc
không đệ qui 4 hệ số.
3
y(n) bk x(n k ) b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) b3 x(n 3)
k 0
1
là đơn vị chậm thời gian (phần 1.5.2 và ví dụ 1.5.3)
Trong hình z
x(n 1) x(n 2) x(n 3)
x(n) z 1 z 1
z 1
b0 b1 b2 b3
( h0 ) ( h3
(h1 ) (h2 )
+ + +)
y(n)
Hình.2.12 : Cấu trúc (tiến hành) của lọc không đệ qui
Đáp ứng xung h(n) có được bằng cách thay x(n – k) bằng (n k) :
M
h n bk n k b (2.21)
n
k M
Kết quả này dẫn đến hai kết luận quan trọng: một hệ số lọc b n là chỉ số đáp ứng xung h(n) tại thời điểm
n. hai, lọc không đệ qui được định nghĩa bởi công thức (2.18) cũng là một lọc có đáp ứng xung hữu
hạn FIR. Tất nhiên khi một hoặc cả hai là , lọc FIR là một lọc IIR. Tuy nhiên, với trường hợp thực
tế giới hạn là hữu hạn, vì lọc không đệ qui và lọc FIR là giống nhau.
Khi thay b k bằng h(k) ta có thể viết lọc không đệ qui (FIR) như
M
h k x n - k
y n = (2.22a)
k = -M
Và lọc nhân quả
- 19
M
h k x n - k
y n = (2.22b)
k =0
Chú ý rằng lọc không đệ qui tiến hành trực tiếp bằng tổng nhân chập
Ví dụ 2.6.1
Xem một lọc trung bình di chuyển gồm năm thành phần
1
y(n) = [ x(n - 2) + x(n - 1) + x(n) + x(n + 1) + x(n + 2) ]
5
Đây là một lọc không đệ qui. Khi thời gian tăng trung bình di chuyển tăng đó là lý do cho tên gọi
Tín hiệu vào tuần hoàn với chu kỳ 4 mẫu.
x(n) = [ ... 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3 ... ]
Vẽ tín hiệu vào và ra
Giải
Đầu tiên, chú ý rằng đáp ứng xung là
h(2) h(1) h(0) h(1) h(2) 1/ 5 0.2
Định giá ngõ ra được cho bởi:
y(0) = 0.2[x(-2) + x(-1) + x(0) + x(1) + x(2)] = 0.2[1 + 2 + 3 + 2 + 1] = 1.8
y(1) = 0.2[x(-1) + x( 0) + x(1) + x(2) + x(3)] = 0.2[2 + 3 + 2 + 1 + 2] = 2.0
y(2) = 0.2[x( 0) + x( 1) + x(2) + x(3) + x(4)] = 0.2[3 + 2 + 4 + 2 + 3] = 2.2
…
Tín hiệu vào và ra chỉ trong hình 2.13. Chú ý rằng lọc trung bình di chuyển là một lọc thông thấp vì nó
có khuynh hướng giảm sự thay đổi về biên độ của tín hiệu vào. Tất nhiên, không phải bất kỳ lọc
không đệ qui (FIR) là lọc thông thấp. Nhiều mẫu được lấy trung bình thì ngõ ra trơn tru hơn, nhưng lại
tốn nhiều thời gian xử lý.
Lọc trung bình di chuyển cho thấy một DSP cơ bản, có nghĩa, DSP có thể được tính bằng
những mẫu (phần mềm) tốt như bằng mạch điện (phần cứng).
Lọc là không nhân quả vì giá trị hiện tại của y(n) phụ thuộc vào hai giá trị vào tương lai
x(n=1) và x(n=2). Đây không phải là vấn đề nếu dữ liệu được cất dữ. Trong hệ thống sử lý thời gian
thực (RTP) lọc phải nhân quả. Lọc được cho có thể làm thành nhân quả bằng cách biến tất cả những
mẫu, trừ hiện tại, trở thành quá khứ.
x(n)
3 3
3
(a)
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
... ...
- 2 -1 0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 n
y(n)
2.2 2.2 2
2.0 2.0 2.0 2.0
(b)
1.8
1.8
1.8
... ...
- 2 -1 0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 n
Hình.2.13 : Ví dụ 2.5.1 (a) x(n), (b) y(n)
- 20
1
[x(n) + x(n – 1) + x(n – 2) + x(n – 3) + x(n – 5)]
y(n) =
5
Bây giờ tín hiệu ra y(n) là trung bình xung quanh mẫu trung tâm x(n – 2).
Ví dụ 2.6.2
Tín hiệu
2n 2n
60 n 320
x(n) = sin+ sin ,
60 10
được áp vào một lọc không đệ qui (FIR) có đáp ứng xung
0n9
h(n) = 0.1 ,
0, khác
Vẽ tín hiệu vào x(n) và tín hiệu ra y(n).
Giải
Cho ngõ vào gồm những thành phần tần số thấp có 60 mẫu trong chu kỳ 2 và thành phần tần số cao
có 10 mẫu trong chu kỳ 2 .Hình 2.14a mô tả tín hiệu. Đáp ứng xung là một lọc trung bình di chuyển
10 mẫu có biên độ bằng nhau 0.1. Công thức lọc
9
y(n) = h(k ) x(n k )
k 0
= h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + ... + h(9)x(n – 9)
= 0.1[x(n) + x(n – 1) + ... + x(n – 9)]
Vì vậy những mẫu ra từ from n = 60 đến tương lai là
y(60) = 0.1[x(60) + x(59) + ... + x(51)]
y(61) = 0.1[x(61) + x(60) + ... + x(52)]
y(62) = 0.1[x(62) + x(61) + ... + x(53)]
x(n)
60 320 n
(a)
y(n)
60 320 n
(b)
Hình.2.14 Ví dụ 2.5.2 (a) tín hiệu vào, (b) tín hiệu ra
nguon tai.lieu . vn
