Xem mẫu
- Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
1) y = 2x + 3x + 2 13 12
9) y = x − x − 2 x − 2
13 3 2
2) y = x − 3 x + 8 x − 2
2
3 10) y = x - 2x - 5
3) y = x - 2x + x 11) y = 2 x 3 + 3x 2 + 1
x − 2x + 5
2
12) y = x 4 − 2 x 2 − 5
4) y =
x −1 x 2 − 2x + 3
y=
13)
5) y = x +
x +1
6) y = x 3 + 3x 2 + 3 x + 2
3x + 2
7) y = 2x
3
+ 3x 2 + 1 14) y =
x +1
8) y = x -
x 4 − 2x 2 + 3
15) y =
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
x3
x x
a) y = 25 − x b) y = c) y = d) y =
2
x + 100
16 − x 2 x2 − 6
Bài 3. Chứng minh rằng:
4 − x 2 nghịch biến trên đoạn [ 0; 2]
a) Chứng minh rằng hàm số f(x) =
� 1� �1 �
−
� 1; � à nghịch biến trên khoảng � ;1�
y = x + 1 − x2
b) Hàm số đồng biến trên khoảng v .
2� �2 �
�
y = x 2 − x − 20 nghịch biến trên khoảng ( − ; −4 ) và đồng biến trên khoảng ( 5; + ) .
c) Hàm số
Bài 4. Chứng minh rằng:
a) f ( x ) = x + x − cos x − 4 đồng biến trên R
3
b) f ( x ) = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên R.
c) f ( x ) = x + cos x
2
đồng biến trên R.
Bài 5. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
� 5π �
π
a) y = sin x, x � 0;2 π ) b) y = x − sin x, x � 0;2 π]
[
( c) y = x + 2cos x, x � ; �
�
� 6�
6
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f '(x) 0, ∀x K thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu f '(x) 0, ∀x K thì f(x) nghịch biến trên K.
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức ∆ = b 2 − 4ac . Ta có:
a >0
f (x) � ∀x �R �
0,
∆0
1
- Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
a
- Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
f (x) = mx − 3x + ( m − 2 ) x + 3 nghịch biến trên R ?
3 2
b) Với giá trị nào của m, hàm số
−3x 2 + mx − 2
Bài 2: Với giá trị nào của m, hàm số f ( x ) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
2x − 1
mx + 1
Bài 3: Định m để hàm số y = luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x+m
13 1
Bài 4: Tìm m để hàm số y = mx − ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên [ 2; + ).
2
3 3
mx 2 + 6x − 2
nghịch biến trên nửa khoảng [ 1; + ).
y=
Bài 5: Tìm m để hàm số
x+2
Bài tập về nhà:
1
f ( x ) = x 3 + ax 2 + 4x + 3 đồng biến trên R
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
3
m
y=x+2+
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
x −1
12
( a − 1) x 3 + ( a + 1) x 2 + 3x + 5 luôn đồng biến trên R ?
y=
Bài 3. Định a để hàm số
3
( m − 1) x+ 2x + 1
2
Bài 4. Cho hàm số y = . Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của
x +1
nó.
y = − x 3 + ( m + 1) x 2 − ( m 2 + 2 ) x + m . Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với
Bài 5. Cho hàm số
mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng ( 0; + ) .
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).
x 2 − 2mx + m + 2
Bài 8. Cho hàm số y = .
x−m
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
( 1; + ) .
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
DẠNG 3:SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:
[ a; b] thì f ( a ) f ( x ) f ( b ) , ∀x [ a; b ]
f(x) đồng biến trên đoạn
f(x) nghịch biến trên đoạn [ a; b ] thì f ( a ) f ( x ) f ( b ) , ∀x [ a; b ]
Bài 1: Cho hàm số f ( x ) = 2sin x + tan x − 3x .
� π�
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; .
� 2�
� π�
Chứng minh rằng: 2sin x + tan x > 3x, ∀x 0; .
b) ��
� 2�
� π�
Bài 2: a) Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = tan x − x đồng biến trên nửa khoảng 0; .
� 2�
� π�
x3
b)Chứng minh rằng tan x > x + , ∀x � �
0; .
3 � 2�
Bài tập về nhà:
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x < x, ∀x > 0 và sin x < 0, ∀x < 0
3
- Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
x2
b) cos x > 1 − , ∀x 0
2
x3
x3
c) sin x > x − , ∀x > 0 và sin x < x − , ∀x < 0
6 6
� π�
d) sin x + tan x > 2x, ∀x � �
0;
� 2�
� π�
2x
e) sin x > , ∀x � � 0;
π � 2�
π
f) tan x > sin x với 0 < x <
2
� π�
4
f ( x) = x − tan x, x 0; .
Bài 2. Cho hàm số � 4�
π ��
� π�
0; .
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn � �
� 4�
π � π�
x, ∀x � �
b) Từ đó suy ra rằng: tan x 0; .
4 � 4�
x2
1 1
( )
< 1 + x < 1 + x với x � 0; +�
Bài 3. Chứng minh rằng: 1 + x−
2 8 2
DẠNG 4: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
DUY NHẤT
LOẠI 1: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ 1 NGHIỆM
Bài 1: Cho hàm số f ( x ) = 2x 2 x − 2 .
[ 2; + ) .
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
b) Chứng minh rằng phương trình 2x 2 x − 2 = 11 có một nghiệm duy nhất.
Bài 2: Cho hàm số f(x) = sin2x + cosx.
� π� π
��
0; � à nghịch biến trên đoạn � ; π �
a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn v .
� 3� 3
� ��
m � −1;1) , phương trình sin2x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ 0; π] .
(
Chứng minh rằng với mọi
LOẠI 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình: x 5 + x 3 − 1 − 3x +4=0
Bài 2: Giải phương trình: x + x - + 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: + + = 3 +
Bài 4: Giải phương trình: 2x + (1 - 2x) =
4
nguon tai.lieu . vn