- Trang Chủ
- Ôn thi ĐH-CĐ
- Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước
Xem mẫu
- Nguy n Phú Khánh – à L t
D ng 3 : Tìm i u ki n các i m c c tr c a hàm s th a mãn i u
ki n cho trư c.
Phương pháp:
• Trư c h t ta tìm i u ki n hàm s có c c tr ,
• Bi u di n i u ki n c a bài toán thông qua t a các i m c c tr c a th
hàm s t ó ta tìm ư c i u ki n c a tham s .
Chú ý:
* N u ta g p bi u th c i x ng c a hoành các i m c c tr và hoành các
i m c c tr là nghi m c a m t tam th c b c hai thì ta s d ng nh lí Viét.
* Khi tính giá tr c c tr c a hàm s qua i m c c tr ta thư ng dùng các k t qu
sau:
( ) (
nh lí 1: Cho hàm a th c y = P x , gi s y = ax + b P’ x + h x khi ó ) ( ) ( )
n u x 0 là i m c c tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s là:
( ) ( ) ( )
y x 0 = h x 0 và y = h x g i là phương trình qu tích c a các i m c c tr .
Ch ng minh: Gi s x 0 là i m c c tr c a hàm s , vì P (x ) là hàm a th c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( pcm) .
nên P ' x 0 = 0 ⇒ y x 0 = (ax 0 + b)P ' x 0 + h x 0 = h x 0
u (x )
nh lí 2: Cho hàm phân th c h u t y = khi ó n u x là i m c c
v (x )
0
u ' (x )
0
tr c a hàm s thì giá tr c c tr c a hàm s : y(x 0 ) = .
v ' (x )
0
u ' (x )
Và y = là phương trình qu tích c a các i m c c tr .
v ' (x )
u ' ( x ) v ( x ) − v ' (x ) u ( x )
Ch ng minh: Ta có y ' =
2
v (x )
⇒ y ' = 0 ⇔ u ' ( x ) v ( x ) − v ' ( x ) u ( x ) = 0 (*). Gi s x là i m c c tr c a
0
u ' (x ) u (x )
= y (x ) .
0 0
hàm s thì x là nghi m c a phương trình (*) ⇒ =
v ' (x ) v (x )
0 0
0 0
1 3
Ví d 1 : Tìm m th c a hàm s y =
3
(
x − mx 2 + 2m − 1 x + 2 có 2 )
i m c c tr dương.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
65
- Nguy n Phú Khánh – à L t
* Ta có y ' = x 2 − 2mx + 2m − 1
y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0 (*)
* Hàm s có hai i m c c tr dương ⇔ (*) có hai nghi m dương phân bi t
∆ ' = m 2 − 2m + 1 > 0
1
m >
⇔ S = 2m > 0 ⇔ 2.
P = 2m − 1 > 0 m ≠ 1
1
m >
V y 2 là nh ng giá tr c n tìm.
m ≠ 1
Bài t p tương t :
1. Tìm m ( )
th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + m + 6 x + 5 có 2 i m c c tr
dương.
2x 2 − mx + m − 2
2. Tìm m th c a hàm s y = có 2 i m c c tr âm.
mx + 1
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Ví d 2 : Tìm m th c a hàm s y = có c c i,
x −1
c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác {}
nh và liên t c trên » \ 1 .
mx 2 − 2mx − 5m − 1
* Ta có y ' =
(x − 1)2
y ' = 0 ⇔ mx 2 − 2mx − 5m − 1 = 0 ( x ≠ 1) ( * )
()
Hàm s có hai i m c c tr ⇔ * có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 1
m ≠ 0 1
m < − .
⇔ m(6m + 1) > 0 ⇔ 6
−6m − 1 ≠ 0 m>0
Hai i m c c tr c a th hàm s n m v hai phía tr c Ox
( ) ( )
⇔ y x 1 .y x 2 < 0 .
Áp d ng k t qu ( ) ( ) ( ) (
nh lí 2 ta có: y x 1 = 2m x 1 − 1 , y x 2 = 2m x 2 − 1 )
⇒ y x 1 .y x 2 = 4m 2 x 1x 2 − x 1 + x 2
( ) ( ) ( ) + 1 = 4m ( −2m − 1) .
66
- Nguy n Phú Khánh – à L t
1
m < − .
( ) ( )
y x 1 .y x 2 < 0 ⇔ 4m(−2m − 1) < 0 ⇔
2
m>0
1
m 0
Bài t p tương t :
m 1
1. Tìm m ( )
th c a hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + 3 có c c i, c c
3 2
ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Ox .
2. Tìm m th c a hàm s y = −
(
m +1 3 )
x − mx 2 + 3m − 1 có c c i,
3
c c ti u và 2 i m ó n m v hai phía v i tr c Oy .
mx 2 + 3mx + 2m + 1 1
3. Cho hàm s y = , m ≠ . Tìm m hàm s có c c i,
x −1 6
c c ti u và hai i m c c tr ó n m v hai phía c a tr c hoành.
Ví d 3 : Tìm m th c a hàm s (C m ) : y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có
i mc c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy .
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên »
* Ta có y ' = 2(3x 2 + mx − 6) ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 + mx − 6 = 0 (2)
Vì (2) luôn có hai nghi m phân bi t nên th hàm s luôn có hai c c tr . G i
x 1, x 2 là hoành hai c c tr , hai i m c c tr cách u tr c tung
⇔ x 1 = x 2 ⇔ x 1 = −x 2 ⇔ x 1 + x 2 = 0 (vì x 1 ≠ x 2 )
−b −m
⇔S = = = 0 ⇔ m = 0.
a 3
V y m = 0 là giá tr c n tìm.
Bài t p tương t :
1
1. Tìm m ( )
th c a hàm s (C m ) : y = − x 3 + 2m − 3 x 2 − 2m − 3 x
3
( )
có i m c c i, c c ti u và các i m này cách u tr c Oy .
2. Tìm m th c a hàm s (C m ) : y =
( )
x2 − m − 1 x + m + 1
có i m c c
x −1
i, c c ti u và các i m này cách u tr c Ox .
Ví d 4 : Tìm m th c a hàm s
67
- Nguy n Phú Khánh – à L t
( ) (
y = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai i m c c) i và c c ti u
n m v hai phía tr c tung .
Gi i :
* Hàm s cho xác nh và liên t c trên »
(
* Ta có : y ' = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2)
Hàm s có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi
phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2
()
⇔ 3.y ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2
V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 .
Bài t p tương t :
1. Tìm m (
th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + 2m 2 + 7m − 9 x − 1 có hai )
i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c tung .
2. Tìm m ( )
th c a hàm s y = −x 3 + 4m − 3 x 2 + m 2 + 7m + 10 x + 3 ( )
có hai i m c c i và c c ti u n m v hai phía tr c hoành .
x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3
Ví d 5 : Tìm tham s m > 0 hàm s y = t
x
c c ti u t i x ∈ 0;2m . ( )
Gi i :
* Hàm s ã cho xác (
nh và liên t c trên kho ng 0;2m )
x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x ( )
* Ta có : y ' =
x 2
= 2 , x ≠ 0 , g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3
x
( )
Hàm s ( ) ( )
t c c ti u t i x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t
m > 0
(
x 1, x 2 x 1 < x 2 ) tho x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ()
1.g 2m > 0
( )
68
- Nguy n Phú Khánh – à L t
m > 0
m > 0 m < 1 1
3
2m 2 + 5m − 3 > 0
2
2
m < −3
1
m >
2
1 3
V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > .
2 2
Bài t p tương t :
1. Tìm tham s m hàm s y = x 3 − m 2x 2 − 2x + 3 t c c ti u t i
(
x ∈ m;2m . )
2. Tìm tham s m ( )
hàm s y = x 4 − m − 1 x 2 − 1 tc c i t i
(
x ∈ 1; m + 1 . )
Ví d 6 : Tìm tham s th c m th c a hàm s :
1
( )
y = mx 3 + 3mx 2 + 3m + 1 x − 2 có c c i t i x ∈ −3; 0 .
3
( )
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có y ' = mx 2 + 6mx + 3m + 1
+ N u m = 0 thì y ' = 1 > 0, ∀x ∈ » ⇒ hàm s luôn tăng ∀x ∈ » , do ó hàm
s không có c c tr .
(
+ N u m ≠ 0 , ta có ∆ ' = m 6m − 1 . )
* B ng xét d u
m −∞ 1 +∞
0
6
∆' + 0 − 0 +
1
i N u 0
- Nguy n Phú Khánh – à L t
1
i V i m < 0 ho c m > , khi ó tam th c y ' có hai nghi m phân bi t
6
∆'
x 1,2 = −3 ±
m
(
x1 < x 2 . )
+ m < 0 . Ta có b ng xét d u
x −∞ x1 x2 +∞
y' − 0 + 0 −
D a vào b ng xét d u, suy ra x 2 là hoành c c i c a hàm s .
∆'
Theo bài toán, ta có −3 < x 2 < 0 ⇔ −3 < −3 − < 0 ⇔ ∆ ' < −3m
m
1
( )
⇔ m 6m − 1 < 9m 2 ⇔ 3m 2 + m > 0 ⇔ m < − do m < 0
3
( )
1
+ m > , tương t .
6
Bài t p t luy n:
mx 2 + x
1. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y = có c c i t i
−x + 1
( )
x ∈ 0;1 và có c c ti u x ngoài kho ng ó.
2. Tìm tham s th c m th c a hàm s : y =
x2 + m x + 1 ( ) có c c it i
x +2
x ∈ 0;1 và có c c ti u x
ngoài o n ó.
3. Tìm tham s th c m ( )
th c a hàm s : y = m + 1 x 3 + mx 2 − x có m t
(
c c tr t i x ∈ −1;1 . )
Ví d 7 : Cho hàm s y =
(
x2 + m x + 1 ) , hãy tìm tham s m hàm s t
x +2
c c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 th a mãn h th c :
1 1
x 1 + x 2 = −6
2 2
+ .
x x2
1
Gi i :
* Hàm s ã cho xác ( ) (
nh và liên t c trên −∞; −2 ∪ −2; +∞ . )
x 2 + 4x + m
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −2
(x + 2 )
70
- Nguy n Phú Khánh – à L t
* hàm s tc c i , c c ti u t i các i m có hoành x 1, x 2 thì phương
( )
trình g x = x 2 + 4x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 khi ó
∆ = 4 − m > 0
2 ⇔ m < 4.
( ) ( )
g −2 = −2 + 4. −2 + m ≠ 0
( )
x + x 2 = 12
Theo nh lý Vi-ét , ta có : 1 .
x 1.x 2 = m
1 1 2 x + x2
x 1 + x 2 = −6
2 2
+ ⇔ x + x − 2.x .x = −6 1
( )
x 1 2 1 2
x 1.x 2
1 x2
24 m = 2
16 − 2m = m 2 − 8m + 12 = 0
⇔ m ⇔ ⇔ m = 6
⇔ m = 2.
0 ≠ m < 4 0≠m
- Nguy n Phú Khánh – à L t
5. Tìm m ∈ » + th c a hàm s :
2
( ) (
y = 2x 3 − 3 2m + 1 x 2 + 6m m + 1 x + m + 1 có c c ) ( ) ( )
i A x 1, y1 , c c ti u
( )
B x 2 , y2 th a mãn h th c : (y 1
− y2 )( 6 − 5m ) > m (x − x ) . 2
2 1
Ví d 8 : Tìm tham s m hàm s y = ( x − m ) ( x − 3x − m − 1) có c
2
c
i và c c ti u th a xC .xCT = 1 .
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
(
* Ta có y ' = 3x − 2 m + 3 x + 2m − 1
2
)
( )
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 2 m + 3 x + 2m − 1 = 0 (1)
Hàm s có hai i m c c tr th a mãn xC .xCT = 1 ⇔ (1) có hai nghi m x 1, x 2
∆ ' = m 2 + 7 > 0
m = 2
th a mãn: x 1 .x 2 = 1 ⇔ c 2m − 1 ⇔ .
P = = =1 m = −1
a 3
V y m = 2 ho c m = −1 là giá tr c n tìm.
Bài t p tương t :
1. Tìm tham s m hàm s y = 3x 4 − mx 2 − 2 có c c (
i A 0; −2 và c c)
m 2 + 4m − 4
ti u B,C sao cho xC .x B < .
6
2. Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 4mx 2 + 1 có c c ( )
i A 0;1 và c c ti u
B,C sao cho xC .x B > 2 m 2 + 8m + 10 . ( )
Ví d 9 : Tìm tham s m hàm s
1 1
( )
y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x +
3 3
( )
có c c i , c c ti u ng th i
hoành c c i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 .
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
(
* Ta có y ' = mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 ) ( )
Hàm s có c c i , c c ti u khi y ' i d u hai l n qua nghi m x , t c là
( ) (
phương trình mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 )
72
- Nguy n Phú Khánh – à L t
m ≠ 0
m ≠ 0
2 ⇔ 2
( ) (
∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0
) −2m + 4m + 1 > 0
m ≠ 0
⇔ 2 − 6 2+ 6
2 2m − m 2 . )
2x 2 + 3x + m − 2
Ví d 10: Tìm tham s m hàm s y= có i m c c i
x +2
và c c ti u t i các i m có hoành ( )
x 1, x 2 th a mãn y x 2 − y x 1 = 8( )
Gi i :
2
2x + 3x + m − 2 m
y= = 2x − 1 +
x +2 x +2
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ −2 { }
73
- Nguy n Phú Khánh – à L t
* V i x ≠ −2, m ≠ 0 , ta có
m 2(x + 2)2 − m g (x )
y' = 2− 2
= 2
= 2
, g (x ) = 2(x + 2)2 − m
(x + 2) (x + 2) (x + 2)
th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t và y ' i
d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình g x = 0 có hai nghi m ( )
2(x + 2)2 = m > 0
phân bi t khác −2 ⇔ ⇔m >0
2(−2 + 2)2 − m ≠ 0
Khi ó ta có
y x = 4x + 3
( )
1
( )
1
( ) ( )
⇒ y x 2 − y x 1 = (4x 2 + 3) − (4x 1 + 3) = 4 x 2 − x 1
y x 2 = 4x 2 + 3
y ( x ) − y ( x ) = 8 ⇔ 4 x − x = 8 ⇔ (x
2 1 2 1 1
+ x 2 )2 − 4x 1x 2 = 4 1()
x 1 + x 2 = −4
Mà 8−m (2)
x 1x 2 =
2
8−m
T (1) và (2 ) suy ra (−4) 2
− 4 −4 =0⇔m =2
2
Bài t p tương t :
1 3
1. Tìm tham s m hàm s y=) 3
(
x + m − 2 x 2 − 2 có i m c c
i và c c
ti u t i các i m có hoành x , x th a mãn y ( x ) − y ( x ) < 2 .
1 2 2 1
2. Tìm tham s m hàm s y = (m + 1) x − 2 (m − 1) x có 2 i m c c ti u
4 2
khác O ( 0; 0 ) và hoành x , x c a c c ti u th a mãn y ( x ) + y ( x ) > 1 .
1 2 2 1
x + ( m + 1) x + m + 1
2
Ví d 11 : Cho hàm s y = . G i A, B là hai i m
x +1
c c tr , nh m di n tích tam giác OAB b ng 2 . V i giá tr m v a tìm
ư c , tính kho ng cách t O n ư ng th ng AB .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) .
x 2 + 2x
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −1
( x +1 )
74
- Nguy n Phú Khánh – à L t
i V i ∀m ∈ » hàm s ã cho có i m c c (
i A −2; m − 3 và i m c c ti u)
(
B 0; m + 1 . )
i Ta có :
( )
OA −2; m − 3 ⇒ OA = m 2 − 6m + 13,OB 0; m + 1 ⇒ OB = m + 1 và ( )
.
OAOB
( )( ) (
OAOB = −2.0 + m − 3 m + 1 = m − 3 m + 1 . cos AOB =
. )( ) .
OAOB
2
⇒ sin AOB = 1 − cos2 AOB =
( .
OAOB )
2
(
.
− OAOB )
.
OAOB
2
1 1
i Di n tích dt( ∆OAB ) = OAOB. sin AOB =
2
.
2
(OAOB )
.
2
( .
− OAOB )
m = −3
dt( ∆OAB ) = ... = m + 1 ⇒ dt( ∆OAB ) = 2 ⇔ m + 1 = 2 ⇔
m = 1
i G i d là kho ng cách t O n ư ng th ng AB khi ó AB = 2 5 và
1 m +1
dt( ∆OAB ) = d .AB ⇒ d = .
2 5
2 5
+ m = −3 ⇒ d = .
5
2 5
+ m =1⇒d = .
5
Bài t p t luy n:
1
1. nh m
th c a hàm s y = − mx 3 + 3m − 1 x 2 − 4x − 2 có c c tr
3
( )
A, B sao cho tam giác MAB di n tích b ng 1 , bi t M 0;1 . ( )
2. nh m th c a hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có c c tr A, B,C sao cho
tam giác ABC di n tích b ng 4 .
Ví d 12 : Tìm tham s m hàm s y = x 4 − 2m 2x 2 + 1 có 3 i m c c tr
là 3 nh c a m t tam giác vuông cân.
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c » .
* Ta có y ' = 4x 3 − 4m 2x = 4x (x 2 − m 2 ) .
V i m ≠ 0 hàm s có ba c c tr .Khi ó t a các i m c c tr c a th hàm
s là: A(0;1), B(m;1 − m ), C (−m;1 − m ) .
4 4
75
- Nguy n Phú Khánh – à L t
D th y AB = AC nên tam giác ABC vuông cân ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2
⇔ 2(m 2 + m 8 ) = 4m 2 ⇔ m = ±1
V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm.
Bài t p t luy n:
1
1. Tìm tham s m ( )
hàm s y = x 3 − x 2 + m − 1 x + m có 2 i m c c tr
3
A, B sao cho ABO m t tam giác vuông cân , v i O là g c t a .
1 4 1
2. Tìm tham s m hàm s y =
4
( )
x − m − 1 x 2 + m − 2 có 3 i m c c tr
2
là 3 nh c a m t tam giác vuông.
Ví d 13: Tìm m th c a hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có c c i,
c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c » .
(
* Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m )
x = 0
y' = 0 ⇔ 2
x = m *
()
th hàm s có c c i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' i
()
d u khi x qua các nghi m ó , khi ó phương trình * có hai nghi m phân bi t
khác 0 ⇔ m > 0
x = 0 ⇒ A 0; m 4 + 2m
( )
B − m ; m 4 − m 2 + 2m
Khi ó : y ' = 0 ⇔
x = ± m ⇒ ( )
C m ; m 4 − m 2 + 2m
( )
Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác u
AB = AC
⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m
AB = BC
( )
⇔ m m3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 ( )
V y m = 3 3 là giá tr c n tìm .
Bài t p t luy n:
1 4 1
1. Tìm m th c a hàm s y =
4
( )
x − m − 1 x 2 + m − m 2 có c c
2
i,
c c ti u ng th i các i m c c tr l p thành tam giác u.
76
- Nguy n Phú Khánh – à L t
3 2 2
2. Tìm m th c a hàm s y = −x 3 +
m x có c c i A , c c ti u B
2
ng th i các i m ABC c c tr l p thành tam giác u, bi t C −2; 3 . ( )
Ví d 14: Tìm a th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + 2 (C ) có i mc c i
và i m c c ti u c a th (C ) v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía
( )
trong và phía ngoài): C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c » .
* Ta có : y ' = 3x 2 − 6x
x = 0 ⇒ y = 2
y' = 0 ⇔
x = 2 ⇒ y = −2
Cách 1:
( ) (
th hàm s có hai i m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai i m )
( ) (
A 0;2 , B 2; −2 ) v hai phía c a hai ư ng tròn (C ) khi
a
( )(
⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0
a a
)
3
⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔
- Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 + mx 2 + 2m − 1 (C ) có
m
i mc c i
và i m c c ti u c a th (C )
m
v hai phía khác nhau c a ư ng tròn (phía
( )
trong và phía ngoài): C : x 2 + y 2 = 4 .
Ví d 15 : Tìm m th c a hàm s : y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 có ba c c tr .
ng th i các i m c c tr A, B, C c a th t o thành m t tam giác có bán kính
ư ng tròn ngo i ti p b ng 1 .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
(
* Ta có : y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m )
x = 0
y' = 0 ⇔ 2
x = m
V i m > 0 : y ' = 0 có ba nghi m phân bi t và y ' i d u khi x i qua các
nghi m ó.
* Khi ó ba i m c c tr c a (
th hàm s là: A 0; m − 1 , )
( ) (
B − m ; −m 2 + m − 1 , C m ; −m 2 + m − 1 . )
1
AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m và S ABC
= yB − yA . xC − x B = m 2 m
2
R=
AB.AC .BC
=1⇔
(
m4 + m 2 m )
= 1 ⇔ m 3 − 2m + 1 = 0
4S ABC 2
4m m
m = 1
⇔
m = 5 − 1
2
Bài t p tương t :
1 4 1
Tìm m th c a hàm s : y = x − mx 2 + m + 1 có ba c c tr A, B, C
4 2
sao cho tam giác n i ti p ư c trong ư ng tròn có bán kính R = 1 .
Ví d 16: Tìm m th c a hàm s y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có c c i,
c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua
1 5
ư ng th ng : d : y = x − .
2 2
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
Cách 1 :
78
- Nguy n Phú Khánh – à L t
* Ta có y ' = 3x 2 − 6x + m 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6x + m 2 = 0 (1) .
hàm s có c c tr ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t x1, x 2
⇔ ∆ ' = 3(3 − m 2 ) > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .
phương trình ư ng th ng d ' i qua các i m c c tr là :
2 1
y = ( m 2 − 2)x + m 2 + m ⇒ các i m c c tr là :
3 3
2 1 2 1
A(x 1;( m 2 − 2)x 1 + m 2 + 3m ), B(x 2 ;( m 2 − 2)x 2 + m 2 + 3m ) .
3 3 3 3
G i I là giao i m c a hai ư ng th ng d và d '
2m 2 + 6m + 15 11m 2 + 3m − 30
⇒ I( ; ).
15 − 4m 2 15 − 4m 2
2 2
A và B i x ng qua d thì trư c h t d ⊥ d ' ⇔ m − 2 = −2 ⇔ m = 0 khi
3
( ) ( )
ó I 1; −2 và A x 1; −2x 1 ; B x 2 ; −2x 2 ( ) ⇒ I là trung i m c a AB ⇒ A và B
i x ng nhau qua d .
V y m = 0 là giá tr c n tìm.
Cách 2 :
* Hàm s ã cho xác nh trên » và có o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 .
Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m
phân bi t x 1, x 2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .
m2
Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 , .
x 1.x 2 =
3
( ) (
G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr c a th hàm s và I là
trung i m c a o n AB .
ư ng th ng AB có h s góc
kAB =
3 3 2 2 2
(
y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1
=
) ( )
x 2 − x1 x 2 − x1
2
(
kAB = x 1 + x 2 ) (
− x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 )
m2 2 2m 2 − 6
kAB = 4 − −6+m =
3 3
1 5 1
ư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k =
2 2
( ) 2
(
Hai i m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ) ( )
i x ng nhau qua ư ng th ng ∆ ( )
79
- Nguy n Phú Khánh – à L t
AB ⊥ ∆
khi và ch khi
I ∈ ∆
1 2m 2 − 6
i AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ . = −1 ⇔ m = 0
2 3
i m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( )
y' = 0 ⇔ 1
1
x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4
⇒ I 1; −2
( ) ( )
( )
D th y I 1; −2 ∈ ∆
V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán .
Bài t p tương t :
Tìm m ( ) ( )
th c a hàm s y = x 3 + m − 4 x 2 − 4 m − 1 x + 4m + 1 có c c
i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua
ư ng th ng : d : y = x .
x 2 + mx
Ví d 17: Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng
1−x
cách gi a hai i m c c tr b ng 10 .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 .{}
−x 2 + 2x + m
* Ta có y ' =
(1 − x )2
y ' = 0 ⇔ x 2 − 2x − m = 0 (1) (x ≠ 1)
∆ ' = 1 + m > 0
th hàm s có c c tr ⇔ ⇔ m > −1 .
1 − 2 − m ≠ 0
ư ng th ng i qua các i m c c tr có phương trình y = −2x − m ⇒ các i m
c c tr là: A(x 1; −2x 1 − m ), B(x 2 ; −2x 2 − m )
⇒ AB 2 = 5(x 1 − x 2 )2 = 100 ⇔ (x 1 + x 2 )2 − 4x 1x 2 − 20 = 0
⇔ 4 + 4m − 20 = 0 ⇔ m = 4 .
V y m = 4 là giá tr c n tìm.
Bài t p tương t :
mx 2 + x − m + 1
1. Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng cách
x −1
gi a hai i m c c tr b ng 3.
80
- Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm m th c a hàm s y = x 3 − mx 2 + x − 5m + 1 có c c tr và kho ng
cách gi a hai i m c c tr bé hơn 2.
x 2 + 2mx + 2
Ví d 18: Tìm giá tr c a m
x +1
có th hàm s y = f x = ( )
i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng
∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ −1 { }
x 2 + 2x + 2m − 2
* Ta có y ' = 2
, x ≠ −1
( x +1 )
Hàm s có c c i , c c ti u khi f ' x ( ) i d u hai l n qua nghi m x hay
( )
phương trình g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1
∆ ' > 0
3 − 2m > 0 3
⇔ ⇔ ⇔m<
( )
g −1 ≠ 0 2m − 3 ≠ 0
2
G i A (x ; y 1 1 ) (
= 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các i m c c tr c a ) th
hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình g x = 0, x ≠ 1 . Theo ( ) nh lý Vi
ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m
x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2
Theo yêu c u bài toán d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ ( ) ( ) =
2 2
2 2
⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ) = ( 3x 2
+ 2m + 2 )
2 2
(
⇔ 3x 1 + 2m + 2 ) − ( 3x + 2m + 2 ) = 0
2
⇔ (x 1
− x2 ) 3 (x + x ) + 4m + 4 = 0
1 2
1
( )
⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 (x 1
≠ x2 ) ( )
⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m =
2
1
So v i i u ki n, v y m = là giá tr c n tìm .
2
Bài t p tương t :
x 2 + 2mx − 3m + 1
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c i,
x −2
i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ư ng th ng ∆ : 2x − y = 0
b ng nhau.
81
- Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm giá tr c a m ( )
th hàm s y = x 3 − 3m + 1 x 2 − 2m + 3 có i m
c c i, i m c c ti u và kho ng cách t c c i n ư ng th ng
(d ) : 2x − 3y = 0 nh hơn 11 .
x 2 + mx + 2
Ví d 19: Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c
x −1
( )
ti u n m trên Parabol P : y = x 2 + x − 4
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 {}
x 2 − 2x − m − 2
* Ta có y ' =
2
,x ≠ 1 . ( )
t g x = x 2 − 2x − m − 2 .
( x − 1)
Hàm s có c c ( )
i , c c ti u khi phương trình g x = 0 có hai nghi m
∆ ' = 1 − −m − 2 > 0
( )
m + 3 > 0
phân bi t khác 1 ⇔ ⇔ ⇔ m > −3
()
g 1 = −m − 3 ≠ 0 m ≠ −3
x = 1 − m + 3 ⇒ y = m + 2 − 2 m + 3
Khi ó : y ' = 0 ⇔ 1 1
x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = m + 2 + 2 m + 3
B ng xét d u :
x −∞ x1 1 x2 +∞
y' + 0 − − 0 +
(
D a vào b ng xét d u suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là )
i m c c ti u c a th hàm s .
2
( )
A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 ( ) +1+ m + 3 −4
⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2
So v i i u ki n bài toán, ta có m = −2 là giá tr c n tìm.
Bài t p tương t :
1 1
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = x 3 − mx 2 + 2 m − 2 x có i m
3 2
( )
5
()
c c ti u n m trên ư ng th ng d : y = x .
6
82
- Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm giá tr c a m ( )
th hàm s y = x 3 − 3 m + 1 x 2 + 3m − 2 có i m
c c ti u n m trên Parabol P : y = x 2 . ( )
Ví d 20: Tìm giá tr c a m th hàm s
( ) (
y = −x + 3 m + 1 x − 3m + 7m − 1 x + m 2 − 1 có i m c c ti u t i m t
3 2 2
)
i m có hoành nh hơn 1.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
(
* Ta có y ' = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 . ) ( )
Hàm s t c c ti u t i m t i m có hoành nh hơn 1
2
( ) (
⇔ y ' = −3x + 6 m + 1 x − 3m + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho
2
)
mãn i u ki n :
1 ⇔ −3.y ' 1 < 0
() ()
x < 1 < x () 1 ∆ ' > 0
1 2
⇔
x 1 < x 2 ≤ 1
() 2
()
2 ⇔ −3.y ' 1 ≥ 0 ()
S
0
( ) ( 3 )
⇔ ⇔ −3m + 12 > 0
2
(
3 3m + m − 4 ≥ 0 )
3m 2 + m − 4 ≥ 0
m + 1 < 1 m < 0
4
− < m < 1
3 4
m < 4 − < m < 1
⇔
4
⇔ 3 ⇔m
- Nguy n Phú Khánh – à L t
Ví d 21: Tìm giá tr c a m th hàm s
y=
2
( 2
)
x − m + 1 x − m + 4m − 2
. có c c tr ng th i tích các giá tr c c
x −1
i và c c ti u t giá tr nh nh t.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ 1 . {}
* Ta có y ' =
x 2 − 2x + m 2 − 3m + 3
=
g x( ) ,x ≠ 1
2 2
( x − 1) ( x − 1)
( )
g x = x 2 − 2x + m 2 − 3m + 3
Hàm s có c c i , c c ti u khi phương trình g (x ) = 0, x ≠ 1
có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác 1 .
∆ ' > 0 2
−m + 3m − 2 > 0
⇔ ⇔ 2 ⇔1
nguon tai.lieu . vn
