Xem mẫu
- www.laisac.page.tl
kientoanqb@yahoo.com sent to
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN
Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới
một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng
nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ
trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học
sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH.
Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?
- Từ điều kiện a, b, c R , ab bc ca 1 luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao cho
A B C
a tan , b tan , c tan
2 2 2
- Từ điều kiện a, b, c R , ab bc ca abc bao gìơ cũng tồn tại 3 góc của tam giác sao cho
a tan A, b tan B, c tan C
- Từ điều kiện a, b, c R , a 2 b 2 c 2 bc * với (0;2) Tồn tại tam giác ABC có 3
góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin……..
- Từ điều kiện a 2 b2 c 2 2abc 1, a, b, c 1;1 luôn tồn tại a=cosA,b=cosB,c=cosC với
A B C
Một số kết quả cơ bản
1-a 2
A 2a A a A 1
* Khi ta đặt a tan sin A ;sin ; cos
; cosA=
2 2
1 a 1 a
2 2 2
2
1 a2
1 a
* a,b,c R , ab+bc+ca=1 1 a 2 (a b)(a c ),1 b2 (b c)(b a ),1 c 2 (c a)(c b) (1)
1 ab
* a,b R 1 (2) Thật vậy (2) tương đương với
1 a 2 1 b2
2
(1 a 2 )(1 b 2 ) 2ab a 2 b 2
1 ab
a b 1
* a, b, c R , ab bc ca 1 (3)
2 2
1 a 1 b 1 c2
Thật vậy trước hết ta chứng minh
a (b c) b(c a ) 1 ab
1 ab
a b
(Áp dụng
2 2
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
1 a 1 b 2 2 2
(1 a )(1 b )(1 c )
kết quả (1)) a (b c) b(c a) 1 ab ab bc ca 1
1 ab
1 đpcm
Vì
(1 a 2 )(1 b 2 )
1 a 2 1 b2 2c
* a, b, c R , ab bc ca 1
2 2
1 a 1 b 1 c2
1
- 1 a 2 1 b2 2c(1 ab)
Thật vậy trước hết ta chứng minh sau đó dùng kết quả
2 2
1 a 1 b (1 a 2 )(1 b 2 )(1 c 2 )
(2) ta có điều phải chứng minh
* Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác
- Ta thấy BĐT (2)
1 ab A B A B A B
1 cos .cos sin .sin 1 cos 1 rõ
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 a 1 b 1 a 1 b
ràng bất đẳng thức này luôn đúng
C
- Ta thấy (3) sin A sin B 2cos Nhưng ta có
2
C A-B A-B
sin A sin B 2cos .cos 1 đpcm
; cos
2 2 2
C
- Ta thấy (4) cosA+cosB 2sin Nhưng ta có
2
A B AB
C
) 1 đpcm
cosA+cosB=2sin .cos( ); cos(
2 2 2
Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn
a b 3c
Ví dụ 1) a, b, c 0, ab bc ca 1.Cmr : 10 (1)
2 2
1 a 1 b 1 c2
Giải:
C C
Ta thấy (1) sin A sin B 6 sin 2 10 Lại có sin A sin B 2cos nên ta sẽ chứng minh
2 2
C C
3sin cos 10 . Theo BĐT Bunhiacopxki
2 2
C C C C
(3sin cos ) 2 (9 1)(sin 2 cos 2 ) 10 đpcm
2 2 2 2
2 2 3 10
Ví dụ 2) a, b, c 0, abc a c 1.Cmr : (2)
2 2 2
1 a 1 b 1 c 3
Giải:
ac
Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy abc a c 1 ac 1 từ đó ta đặt
bb
A1 B c
a tan , tan , c tan (2)
2b 2 2
A B C 10 C 10
2 cos 2 2 sin 2 3cos 2 (cosA+1)-(1-cosB)+3(1-sin 2 )
2 2 23 2 3
A B A B
C 2C 1 C 2C
3sin vì cos 1 VT 2 sin 3sin Ta sẽ
2sin .cos
2 2 23 2 2 2
C C1 C C1 C1
chứng minh 2sin 3sin 2 2 sin 3sin 2 0 3(sin ) 2 0 . Điều
2 23 2 23 23
này là hiển nhiên đpcm
2
- Ví dụ 3) Cho x, y ,z là các số dương thỏa mản x(x + y +z)=3yz
Chứng minh rằng: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x +y)(y +z )(z + x) ≤ 5(y + z)3 (TSĐH 2009A)
Giải:
Đặt a = x +y , b = y + z, c = z +x thì a, b, c là các số dương và
bca c ab abc
Điều kiện bài toán trở thành cho a, b,c là các số dương
x ;y ;z
2 2 2
thỏa mãn a 2 b 2 c 2 bc chứng minh b 3 c 3 3abc 5a 3 (*)
Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác ta suy ra góc A=600
Ta có BĐT (*) (b c )(b 2 bc c 2 ) 3abc a 2 (b c) 3abc 5a 3 a(b c ) 3bc 5a 2
vận dụng điều kiện góc A=600 và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC
BĐT cần cm 2 3 (sin B sin C ) 12 sin B. sin C 15 mặt khác ta có
BC 2
[2 sin( )]
2
B C (sin B sin C ) 3
2
sinB + sinC 2 sin( ) 3 , sin B sin C
2 4 4 4
Ta suy ra đpcm; dấu bằng xảy ra khi a=b=c x y z
Ví dụ 4) Cho a, b, c 0, a 2 b 2 c 2 2abc 4 . Chứng minh rằng a b c abc 2 (4)
Giải:
Từ giả thiết suy ra a, b, c 0; 2 do đó tồn tại A,B,C [0; ] sao cho
2
2 2 2
a=2cosA,b=2cosB,c=2cosC và a b c 2abc 1 suy ra A,B,C là các đỉnh của tam giác
nhọn ABC.
A B C
(4) cosA+cosB+cosC 4cosA.cosB.cosC+1 sin sin sin cosA.cosB.cosC
2 2 2
2
cosA+cosB C A-B 2C
sin 2 .cos 2 Tương tự có 2 bất đẳng thức
Ta có cos A.cosB sin
4 2 2 2
nữa. Sau đó nhân vế với vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh
x, y, z 0 x y z 33
CMR :
Ví dụ 5) Cho
x y z xyz 2
2 2 2
1 x 1 y 1 z
Giải:
Đặt x=tanA, y=tanB,z=tanC với A,B,C là 3 góc nhọn của tam giác ABC thì bất đẳng thức cần
33
chứng minh tương đương với sin A sin B sin C
2
C 600
A B A B
A-B
; sin C sin 60 0 2 sin
Tacó sin A sin B 2sin 2 sin
.cos
2 2 2 2
A B C 600 43
Từ đó suy ra sin A sin B sin C sin 600 4 sin 0
hay
4 sin 60
4 2
3
- 33
sin A sin B sin C đpcm
2
Ví dụ 6) Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của:
xyz
x y
P
x yz y zx z xy
xy
0 A
z . Đặt yz tg 2 A ; zx tg 2 B với
1 1
Giải: P
yz zx xy 0 B
x 2y 2
1 1 1
x y z
xy xz yz xz xz yz
Ta có: 1 x y z
. . .
z y x y y x
AB
1 tg .tg
xy xz yz 2 cot g A B tg C
zx yz xy 2
1
.
z y x A B
y x z 2 2
tg tg
2 2
; C A B 0; )
(Do A B
2
C
tg
1 1 2 cos 2 A cos 2 B sin C 1 1 cos A cos B sin C
P
A B C 2 2 2 2
1 tg 2 1 tg 2 1 tg 2
2 2 2
Mặt khác:
C C
A B A B 3 .cos 3
cos A cos B sin C sin 2 cos 2sin
.cos
3 2 2 2 2
C A BC
3 4 cos 2 3
A B 3 4 cos
2 cos 2 cos
2 2 4 6
1 3 33
Do đó P 1 2 3 1 . Đẳng thức xảy ra khi:
2 2 4
A B A B 6
yz zx xy
tg 2 3; tg 3 .
C 2
C 3 x y 12 z 3
3
x y 2 3; z 7 4 3 .
4
- 1 1 1 1
Ví dụ 7) Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
x y z xyz
2 x 2 y z 1
thức P
1 x 1 y z 1
1 1 1 1
x . y y . z z . x 1 . Điều này cho ta hướng giải
Giải:Ta có:
x y z xyz
A B C
lượng giác. Đặt x tan ; y tan ; z tan
2 2 2
A B B C C A
Nếu A, B, C 0; , A B C thì tan .tan tan . tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
AB
C C
2 cos 2 1
Khi đó P sin A sin B cos C 2 cos cos
2 2 2
2
AB 2 AB
C1 1 3
P cos cos 1 cos
22 2 2 2 2
2
C 3 2 3
3
x y tan 2
Vậy max P khi
12 2 3
2
A B
6
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho a, b,c không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1.
1 1 1 5
Chứng minh rằng:
ab bc ca 2
2) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2 b 2 c 2 abc 4 . CRM:
abc 3.
3) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x y 1 z
x3 y 3
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P 2
x yz y zx z xy
4) Cho x, y, z là những số thực dương thỏa mãn: x y z xyz , CMR:
2 1 1 9
1 z2 4
1 x2 1 y2
1 16 xyz
5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 . Chứng minh rằng
4
x y z 4 xyz 13
1 4( xy yz zx ) 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO: MATH.VN; TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ; OLYMPIC 30-04
5
nguon tai.lieu . vn
