Xem mẫu
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
WWW.ToanCapBa.Net
§1.GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1.ĐỊNH NGHĨA BẤT ĐẲNG THỨC
Trong toán học, bất đẳng thức được định nghĩa như sau: Bất đẳng thức là một phát biểu về
quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. Đó là kết quả của phép so sánh hai đối tượng a và b với
nhau, nó được viết lại thành một trong các dạng sau: a > b, a < b, a b, a b.
Trong đó các kí hiệu >, là ‘lớn hơn’;
+) < là ‘bé hơn’;
+) là ‘lớn hơn hoặc bằng’;
+) là ‘bé hơn hoặc bằng’;
1 1
*Ví dụ: 1 < 2; > , x 2 0 ;……. Là các bất đẳng thức toán học.
2 3
*Chú ý:
-Ta có a > b khi và chỉ khi a – b là một số nguyên dương. Hai đại lượng a, b có thể là những
số cụ thể hoặc là những biểu thức chứa biến.
-Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến thì được gọi là Bất đẳng thức không
điều kiện . Còn nếu nó chỉ đúng với một số giá trị của biến thì được gọi là Bất đẳng thức
có điều kiện.
1.2.CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Đây là một phần rất quan trọng của bất đẳng thức.
Bất đẳng thức gồm có những tính chất cơ bản như sau:
1)Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất
đẳng thức đã cho:
a > b, c > d a + c > b + d
2)Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất
đẳng thức bị trừ.
3)Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a)Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:
a > b, c > 0 ac > bc
b)Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức:
a > b, c > 0 ac < bc
4)Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm:
a > b 0, c > d 0 ac > bd
5.Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:
a > b > 0 an > bn;
a>b an > bn với n lẻ
|a| > |b| an > bn với n số chẵn
6)So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương
Nếu m > n > 0 thì a > 1 am > an
a = 1 am = an ; 0 < a < 1 am < an
1
WWW.ToanCapBa.Net
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
7)Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu:
1 1
a > b, ab > 0 <
a b
8)Các hằng bất đẳng thức:
a)Ngoài các hằng bất đẳng thức a2 0, -a2 0 còn có các hằng bất đẳng thức khác có liên
quan đến giá trị tuyệt đối:
b) |a| 0. Xảy ra đẳng thức khi a=0
|a| a. Xảy ra đẳng thức khi a 0
|a+b| |a| + |b|.Xảy ra đẳng thức khi ab 0
|a-b| |a| - |b|.Xảy ra đẳng thức khi ab 0
Chứng minh bất đẳng thức |a+b| |a| + |b|như sau:
|a+b| |a| + |b| (1)
� a 2 + 2ab + b 2 � 2 + 2 | ab | +b 2 (Vì hai vế của (1)không âm)
a
ab |ab| (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, vậy (1)đúng.
Chứng minh bất đẳng thức|a-b| |a| - |b| (3) như sau:
Nếu |a| 0
b a
( a 2 + b2 ) ( x 2 + y 2 ) ( ax + by ) 2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)
§2.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
A)Kiến thức cần nhớ:
Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức : A B (*)
2
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức (*) về một bất đẳng thức
phổ biến là đưa (*) về dạng:
-Các tổng bình phương: A B � mX 2 + nY 2 + pZ 2 � Trong đó m, n, p là các số không âm.
0.
-Tích các thừa số không dấu: A B ۳ X .Y 0 (X, Y cùng dấu).
-Tích của một số không âm và một biểu thức dương(theo điều kiện)
A B ۳ X 2 .Y 0
-Xây dựng các bất đẳng thức từ điều kiện của bài toán: Nếu x, y, z [ a, b ] thì ta nghĩ ngay
đến các bất đẳng thức hiển nhiên đúng:
( x − a ) ( x − b ) 0, ( x − a ) ( y − a ) ( z − a ) 0, ( x − b ) ( y − b ) ( z − b ) 0 .
Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ: Với mọi số thực a, b, c ta có:
2
2 2
( )(
- 4ab � a + b ) �2 a + b � ( a − b ) � .
( 0
2
)
a 2 + b2 + c2 ab + bc + ca
3 ( ab + bc + ca ) ( a + b + c) 3 ( a 2 + b2 + c2 )
2
Hai bất đẳng thức này tương đương với:
1 1 1
( a − b) + ( b − c) + ( c − a) 0
2 2 2
2 2 2
- ( ab + bc + ca ) 3abc ( a + b + c )
2
(Đây là hệ quả trực tiếp của (x + y + z)2 3 ( xy + yz + zx ) . Ta chỉ cần cho x = bc, y = ca, z = ab
là thu được kết quả như trên)
B)Các ví dụ:
Ví dụ 1.1.1.Chứng minh rằng các số thực a, b, c, d, e ta có:
a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 a ( b + c + d + e )
Lời giải:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh cho 4, ta viết được nó lại thành:
a 2 − 4ab + 4b 2 + a 2 − 4ac + 4c 2 + a 2 − 4ad + 4d 2 + a 2 − 4ae + 4e 2 0
� ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2c ) �
2 2 2 2
0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e
Ví dụ 1.1.2.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có:
x 2 + y 2 + 1 xy + x + y
Lời giải:
x + y + 1 xy + x + y
2 2
Ta có: � x − 2 xy + y + x − 2 x + 1 + y − 2 y + 1 �
2 2 2 2
0
� ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) �
2 2 2
0
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1
3
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1.1.3.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có:
x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + xz
Lời giải:
x +y +z
2 2 2
xy + yz + xz
Ta có: � x − 2 xy + y + y − 2 yz + z + z − 2 xz + x �
2 2 2 2 2 2
0
� ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x)
2 2 2
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Ví dụ 1.1.4.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh
ab + 2bc + 3ac 0
Lời giải:
Theo giả thiết thì c = -a – b nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:
ab + c ( 2b + 3a ) �� ab + ( − a − b ) ( 2b + 3a ) �
0 0
� ab − 2ab − 3a 2 − 2b 2 − 3ab � � 3a 2 + 4ab + 2b 2 �
0 0
� a2 + 2 ( a + b ) �
2
0
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0
Ví dụ 1.1.5.Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có:
x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x +1 0
Lời giải:
Ta có:
x 4 − 2 x3 + 2 x 2 − 2 x + 1 ��
0 (x 4
− 2 x 3 + x 2 ) + ( x 2 − 2 x + 1) �0
� ( x 2 − x ) + ( x − 1)
2 2
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Ví dụ 1.1.6.Chứng minh rằng với mọi a > 0 ta có:
a
+
(
5 a 2 + 1 11 )
a2 + 1 2a 2
Lời giải:
Ta có:
4
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
a 5 ( a 2 + 1) 11 a 1 5 ( a + 1)
2
+ �� − + −5 �0
a2 + 1 2a 2 a2 + 1 2 2a
− ( a − 1) 5 ( a − 1) ( a − 1) � − 1 � 0
2 2 2
5
� + � �
0 � ��
2 ( a + 1)
2
2a 2 � a2 +1 �
a
( a − 1) ( a − 1) ( a − 1)
2 2 2
5a 2 − a + 5 + 9( a 2 + 1)
�׳�׳ 0 0
2 a ( a 2 + 1) 2 2a (a 2 + 1)
Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1
Ví dụ 1.1.7.Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a b c 3
+ +
b +c c + a a +b 2
(Bất đẳng thức Nestbit cho ba số thực dương)
Lời giải:
Hiện có khoảng 50 cách chứng minh bất đẳng thức này, ở đây ta chứng minh bằng phương
pháp biến đổi tương đương.Ta có:
a b c 3 a 1 b 1 c 1
+ + �� − + − + − � 0
b+c c+a a+b 2 b+c 2 c +a 2 a+b 2
a −b a −c b −c b −a c − a c −b
� + + + + + � 0
b+c b+c c+a c+a a+b a+b
� −b a −b � � −c b−c � � −a c −a �
a b c
�� − +
�� − +
�� − �
�0
� +c c+a � �+a a+b � � +b b+c �
b c a
( a − b) + ( b − c ) ( c − a)
2 2 2
� + �0
( b + c) ( c + a) ( c + a) ( a + b) ( a + b) ( b + c)
Ví dụ 1.1.8.Cho các số thực a, b [ 0,1] . Chứng minh rằng
1 a + b ab
1− +
1+ a + b 2 2
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
3 ( 1 − a ) (1 − b)(a + b) + ab(2 − a − b) 0
Vì a, b [ 0,1] nên 1 – a 0;1 − b 0; 2 − a − b 0 , do đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1.9.Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng :
(a + b2 + c2 ) 3 ( a 3b + b3c + c3a )
2 2
Lời giải:
Đây là một bài toán hay và khó, cũng có rất nhiều lời giải phức tạp, nhưng thật bất ngờ lại có
một lời giải chỉ dùng phương pháp biến đổi tương tương.
Cơ sở của phương pháp là tìm cách đưa bất đẳng thức về dạng
5
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
(ma 2 + nb 2 + pc 2 + qab + rbc + sca) 2 + (mb 2 + nc 2 + pa 2 + qbc + rca + sab) 2 + (mc 2 + na 2 + pb 2 + qca + rab + sbc) 2 0
Từ hằng đẳng thức
(a + b 2 + c 2 ) − 3 ( a 3b + b3c + c 3a ) =
2 2
1 2 2
( a − b + 2bc − ab − ac ) + 1 ( b2 − c 2 + 2ca − bc − ba ) + 1 ( c 2 − a 2 + 2ab − ca − cb )
2 2 2
=
2 2 2
Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét. Ngoài ra, ta cũng có một số hằng đẳng thức tương tự (mà từ chúng có thể suy ra
được những bất đẳng thức rất khó).
Ví dụ 1.1.10.Cho a, b, c � −1, 2] và a 2 + b 2 + c 2 = 6 . Chứng minh rằng a + b + c
[ 0
Lời giải:
Ta có a, b, c � −1, 2] nên ( a + 1) ( a − 2 ) �� a − 2 �
[ 2
0 a
Tương tự b 2 − 2 b; c 2 − 2 c nên a + b + c a 2 + b 2 + c 2 − 6 hay
a+b+c 0
Ví dụ.1.1.11.Cho các số thực x, y, z khác 1 và xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2 y2 z2
+ + 1
( x − 1) ( y − 1) ( z − 1)
2 2 2
(Đề thi Toán quốc tế năm 2008)
Lời giải:
1 1 1
Vì xyz = 1 nên x, y, z 0, Đặt a = ; b = , c = thì ta có:
x y z
abc = 1 và a, b, c khác 0, khác 1.
Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2
1 1 1 �1 1 1 �
+ + �� �
1 + + �−
( 1− a) ( 1− b) ( 1− c) �− a 1 − b 1 − c �
2 2 2
1
� 1 1 1 �
−2 � + + �1
( 1− a) ( 1− b) ( 1− b) ( 1− c) ( 1− c) ( 1− a ) �
�
2
� − 2 ( a + b + c ) + ab + bc + ca � �
3 3 − ( a + b + c) �
�� �− 2 � �
�1
� ab + bc + ca − ( a + b + c ) � � + bc + ca − ( a + b + c ) �
ab
2
� 3 − ( a + b + c) � � 3 − ( a + b + c)
� �+1 �− 2 � �1
� ab + bc + ca − ( a + b + c ) � � + bc + ca − ( a + b + c ) �
ab
� 3 − ( a + b + c) �
� 1+ � �
�1
�ab + bc + ca − ( a + b + c ) �
Đó chính là điều phải chứng minh.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
6
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1.1.1.Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng:
( x + y)
2
(a). x + y
2 2
2
( x + y)
4
(b). x + y
4 4
8
Bài 1.1.2 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b
a+b 2 ( a 2 + b2 )
Bài 1.1.3 Cho các số thực x, y, z. Chứng minh rằng
( x + y + z)
2
x +y +z
2 2 2
3
Bài 1.1.4.Cho các số thực m, n, p, q. Chứng minh rằng:
( m2 + n2 ) ( p2 + q 2 ) ( mq + np ) 2
Bài 1.1.5. Cho a, b là các số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng:
a+b a+ b 2( a + b)
Khi nào có dấu đẳng thức ?
Bài 1.1.6. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
b + c 19abc
Bài 1.1.7.Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng
2 ab
ab
a+ b
Bài 1.1.8.Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức
x2 + y 2 + z 2 + t 2 x ( y + z + t )
Bài 1.1.9.Cho các số thực a, b. Chứng minh rằng
(a). ( a + b ) ( a + b ) 2 ( a + b )
3 3 4 4
(b). ( a + b ) 2 ( a 4 + b 4 + 6 a 2b 2 )
4
Bài 1.1.10.Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
7
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
5a 3 − b3
a) 2a − b
3a 2 + ab
a 3 − 11b3
b) 2 a − 3b
4b + ab
a b ab
c) + + 2 3
b a a − ab + b 2
a b 9ab 13
d) + + 2
b a a +b 2
2
a b ( a + b) a
f) +
2b
+
ab 2 5
e) + 2 1
3b a + ab + b 2 2b a + b 2 ( a + 2b ) 3
3 3
2.2.PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA
A)Kiến thức cần nhớ:
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh rằng A – B là số dương
B)Các ví dụ:
Ví dụ 1.2.1. Chứng minh rằng ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) −1
Lời giải:
Xét hiệu:
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) − ( −1) = ( x 2 − 5 x + 4 ) ( x 2 − 5 x + 6 ) + 1
Đặt x 2 − 5 x + 5 = y , biểu thức trên bằng ( y − 1) ( y + 1) + 1 = y
2
0
Vậy ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) −1
2.3.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
A)Kiến thức cần nhớ:
Nội dung của phương pháp quy nạp: Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n
được xem là đúng nếu thỏa mãn hai điều kiện:
-Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n.
-Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k ( k ﾥ ) suy ra được bất đẳng thức đúng với n = k
+ 1.
Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp:
Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với giá trị đầu tiên của n.
Bước 2:Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (gọi là giả thiết quy nạp), sau đó chứng minh
bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đã cho đúng.
B)Các ví dụ:
Ví dụ 1.3.1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 5 ta có: 2n > n 2
Lời giải:
Với n = 5, bất đẳng thức trở thành 2 > 5 � 32 > 25 (Đúng)
5 2
Bất đẳng thức đúng với n = 5
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ( k γ ﾥ , k 5 ) , tức là 2k > k 2
8
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay
2k +1 > ( k + 1)
2
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: 2 = 2.2 > 2k ( 1) Vì k
k +1 k 2
5 nên
2k 2 = k 2 + 2k + 1 + k 2 − 2k − 1 = ( k + 1) + k ( k − 5 ) + 3k − 1 > ( k + 1)
2 2
� 2k 2 > ( k + 1) ( 2 )
2
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nên theo nguyên lí quy nạp ta có điều
phải chứng minh.
Ví dụ 1.3.2.Cho x −1 là một số thực cho trước. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta
có ( 1 + x ) 1 + nx.
n
Lời giải:
Với n = 1, bất đẳng thức trở thành: 1 + x 1 + x (Đúng)
Bất đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k ( k γ ﾥ , k 1) , tức là
( 1+ x)
k
1 + kx
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay
( 1+ x) 1 + ( k + 1) x
k −1
Thật vậy, vì x � 1 � x + 1 � nên theo giả thiết quy nạp, ta có:
− 0
( 1 + x ) = ( 1 + x ) ( 1 + x ) ( 1 + x ) ( 1 + kx )
k +1 k
( 1 + x ) ( 1 + kx ) = 1 + ( k + 1) x + kx 2 1 + ( k + 1) x
Nên ( 1 + x ) ( 1 + x ) ( 1 + kx ) 1 + ( k + 1) x
k +1
Hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1.3.3.Chứng minh với mọi số thực a, b thỏa mãn a + b 0 ta có:
n
a +b � +b� a n n
� �
2 �2 �
Lời giải:
Với n = 1 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k (k γ ﾥ , k 1) , tức là
k
a k + bk � + b �
a
� �
2 �2 �
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay
k +1
a k +1 + b k +1 � + b �
a
� � thật vậy, vì a + b 0 nên theo giả thiết quy nạp ta có:
2 �2 �
k +1 k
� +b� � +b� a+b
a a a k + bk a + b
� � �� = ף
�
�2 � �2 � 2 2 2
9
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
a k + b k a + b a k +1 + b k +1
Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nếu ta chứng minh được ף ( *)
2 2 2
(a k
+ b k ) ( a + b ) � ( a k +1 + b k +1 )
2 � a k +1 + b k +1 − a k b − b k a �0
Mà (*) tương đương với
� ( a − b ) ( a k − b k ) � ( **)
0
Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có thể giả sử a b . Khi đó a - b 0 (1)
Mặt khác, từ a + b 0 a− b , ta có:
a �−�� �� b
b 0 a k k
b k
a k bk 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có (**) đúng
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1.3.1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:
a) 2 > n + 3n, ( n 4 )
n +1 2
b) 3 > n + 4n + 5, ( n 3) .
n 2
1.3.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:
1 1 1 2
a) + + ...... + , ( n 3)
n +1 n + 2 n+n 3
1 1 1
b) 1 + + + ...... + < 2 n , (n 1)
2 3 n
1.3.3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a) 13 + 33 + 53 + ... + ( 2n + 1) > 2 ( n + 1) ( 2n + 1)
3 3
b) 1 + 2 + 3 + ... + n > (
n 2 n + 1) ( 2n + 1)
2
4 4 4 4
10
1.3.4. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức
3n > 2n + 7 n
1.3.5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có
n n > ( n + 1)
n
1.3.6.Chứng minh rằng với mọi n 1 , n ﾥ , ta có:
1 1 1 7
+ + ... + <
n +1 n + 2 2n 10
1.3.7. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n ﾥ *
1 1 1 79
1 + 2 + 2 + ... + 2 <
2 3 n 48
10
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
1.3.8. Chứng minh với mọi n ﾥ * , ta có:
1 1 5
1 + 2 + ... + 2 <
2 n 4
1.3.9. Cho n số nguyên phân biệt a1 , a2 ,...., an . Chứng minh
2n + 1
a12 + a2 + ..... + an
2 2
( a1 + a2 + ... + an )
3
(Đề chọn đội tuyển dự thi Toán quốc tế, Rumani năm 1999)
2.4.PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, DÙNG TỔNG SAI PHÂN
A.Kiến thức cần nhớ:
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A < B.
Ý tưởng của phương pháp là làm trội A < C rồi chứng minh C < B
Đôi khi để chứng minh một bất đẳng thức dạng
f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) M
Ta có thể làm trội f ( xi ) G ( yi +1 ) − G ( yi ) để thu được
f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) G ( yn ) − G ( y1 )
Sau đó ta chỉ còn phải chứng minh một bất đẳng thức đơn giản hơn là
G ( yn ) − G ( y1 ) M
*Chú ý;
-Với ba số dương a, b, x thì:
a a a+x
+Nếu < 1 thì <
b b b+ x
a a a+x
+Nếu > 1 thì >
b b b+x
-Một số tổng sai phân thường dung:
1 1 1 1 1
a) + + + ... + = 1−
1.2 2.3 3.4 ( n − 1) n n
1 1 1
b) + + ... + =
x ( x + d ) ( x + d ) ( x + 2d ) � + ( n − 1) d �x + nd )
x
� �(
1� 1 1 � n
= �− �=
d � x + nd � x ( x + nd )
x
1 1 1
c) + + ... + =
1.2...k 2.3... ( k + 1) n ( n + 1) ... ( n + k − 1)
1 � 1 1 �
= � − �∀m > 0, d
, 0
k − 1 � ( k − 1) ( n + 1) ( n + 2 ) ... ( n + k − 1) �
1.2...
11
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Các đẳng thức được chứng minh nên chú ý rằng:
1 1 1
a) = − , ∀m > 0
m ( m + 1) m m + 1
d 1 1
b) = − , ∀m > 0, d 0
( x + md ) ( x + md + d ) x + md x + ( m + 1) d
k −1
=
( m + k − 1) − m =
m ( m + 1) ... ( m + k − 1) m(m + 1)... ( m + k − 1)
c)
1 1
= − , ∀m > 0, k ﾥ *
m ( m + 1) ... ( m + k − 2 ) ( m + 1) ... ( m + k − 1)
B.Các ví dụ:
Ví dụ 1.4.1.Cho các số dương a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:
a b c
a) 1 < + +
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
b b b+a
< <
a +b+c+d b+c+d a+b+c+d
c c c+b
< <
a+b+c+d c+d +a a +b+c+d
d d d +c
< <
a+b+c+d d +a+b a+b+c+d
Cộng các vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
a
c) Tương tự từ a, b, c, d > 0 và < 1 , ta có:
a+b+c+d
a+b a+b a +b+e
< <
a +b+c+d +e a+b+c+d a+b+c+d +e
Làm tương tự rồi cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.4.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1 1 1 1 5
1 2 + 2 + 2 + ... + 2 <
1 2 3 n 3
Lời giải:
1 1 1 1 1
Vì n là số nguyên dương nên: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 1 . (1)
1 2 3 n 12
Mặt khác, với mọi k 1 ta có
1 4 4 � 1 1 �
= 2< 2 = 2� − �
k 2
4k 4k − 1 � k − 1 2k + 1 �
2
Cho k = 2, 3, 4,….., n ta có:
1 4 4 2 2 2 2
= < = − = − ,
2 2
4.2 2
4.2 − 1 2.2 − 1 2.2 + 1 3 5
2
1 4 4 2 2 2 2
= < = − = − ,
3 2
4.3 2
4.3 − 1 2.3 − 1 2.3 + 1 3 7
2
1 4 4 2 2 2 2
= < = − = − ,
4 2
4.4 2
4.4 − 1 2.4 − 1 2.4 + 1 7 9
2
.........................
1 4 4 2 2 2 2
= < = − = − ,
n 2
4.n 2
4.n − 1 2.n − 1 2.n + 1 2n − 1 2n + 1
2
Cộng vế theo vế, ta được
1 1 1 1 2 2 2 5
+ 2 + 2 + ... 2 < 1 + − < 1+ = (2)
2
1 2 3 n 3 2n + 1 3 3
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
13
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1.4.3.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1 1 1 1
+ + ... + < 1−
2 2 +1 1 3 3 + 2 2 ( n + 1) n + 1 + n n n +1
Lời giải:
Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có: x y + y x x x + y y
Chúng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
x y + y x � x + y y � x x+y y −x y −y x �
x 0
�x ( x− y +y ) ( )
y − x � � ( x − y)
0 ( )
x− y �0
( )( )
2
� x+ y x− y �0
Bổ đề được chứng minh
Áp dụng bổ đề ta có:
( n + 1) n + 1 + n n > n n + 1 + ( n + 1) n
1 1
� <
( n + 1) n + 1 + n n n n + 1 + ( n + 1) n
Vì thế
1 1 1
+ + ... + <
2 2 +1 1 3 3 + 2 2 ( n + 1) n + 1 + n n
1 1 1
< + + ... +
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 ( n + 1) n + n n + 1
Mà 44 < 2002 < 45 � 1936 < 2002 < 2005 (Tự chứng minh)
1 1 1 1
+ + ... + = 1−
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 ( n + 1) n + n n + 1 n +1
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 1.4.4.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n ﾥ *
1 1 1
1+ + + ... + 0, ta có ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 2 xy ( x + y )
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:
14
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
(x 2
+ y 2 ) x2 + y2 2 xy ( x + y )
� ( x 2 + y 2 − 2 xy ) x 2 + y 2 + xy � x 2 + y 2 − 2 ( x + y ) � 0
2 �
� �
4 ( x2 + y 2 ) − 2 ( x + y )
2
( x − y)
2
x + y + xy
2 2
0
2 x2 + y 2 + 2 ( x + y )
2( x − y)
2
( x − y)
2
x + y + xy
2 2
0
2 x2 + y 2 + 2 ( x + y )
Do x, y > 0 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng, bổ đề được chứng minh
1 1
Áp dụng bổ đề với x = k + , y = k − ta được:
2 2
� 1 1� 1 1 � 1� 1� � � 1 1�
� + + k − � k + + k − > 2 � + �k − � k + + k − �
k k � �
�
� 2 2� 2 2 � 2� 2� � � 2 2�
�
� 1� 1�� � 1 1�
� 2k k > � + �k − � k + + k − �
k � �
�
� 2� 2�� � 2 2��
� 1 1�
2� k + − k − �
1 2 2 2�
< = � =
k k � 1� 1� � � 1 1� � 1� 1�
�
Từ đây suy ra � + �k − � k + + k − �
k � � � + �k − �
k �
� 2� 2� � � 2 2� � 2� 2�
�
2 2
= − , ∀k 1
1 1
k− k+
2 2
Cho k = 1, 2, …, n rồi cộng vế theo vế ta được:
1 1 1
1+ + + ... + <
2 2 3 3 n n
2 2 2 2 2 2 2 2
< − + − + − + ... + − =
1 3 3 5 5 7 1 1
n− n+
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
= − < =2 2
1 1 1
n+
2 2 2
Đó là điều phải chứng minh.
15
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1.4.5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 ta có:
1 5 11 n2 + n − 1
+ + + ... +
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
1 1 1 1 1
c) + + + ... + 2 <
n + ( n + 1)
2
5 13 25 2
3 5 7 2n + 1
d) + + + ... + 2 ,( n � )
2
23 + 1 33 + 1 43 + 1 n3 + 1 3
1.4.8.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n 1, n ﾥ
( ) ( )
1� 1 1 �
2 2
1 + 2 − 1 + ...... + n − n − 1 > �+ + ... +
1 �
2� 3 2n − 1 �
1.4.9.Cho n và p là hai số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng
1 1 1 1 1 1 1
− < + + .... + < −
n + 1 n + p + 1 ( n + 1) 2
( n + 1)
2
( n + p) n n + p
2
17
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
2.5.PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
A.Kiến thức cần nhớ.
Xét bài toán phải chứng minh khẳng định (*) đúng.
Phương pháp phản chứng tức là giả sử ngược lại, khẳng định (*) sai. Sau đó bằng suy luận
và các phép toán đi đến một mâu thuẫn. Như vậy khẳng định (*) đúng, hay ta có điều phải
chứng minh.
B.Các ví dụ:
Ví dụ 1.5.1.Cho các số thực a, b, c ( 0, 2 ) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng
thức sau sai
a ( 2 − b ) > 1, b ( 2 − c ) > 1, c ( 2 − a ) > 1
Lời giải:
Giả sử ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế với vế ta được
a ( 2 − b ) .b ( 2 − c ) .c ( 2 − a ) > 1 � a ( 2 − a ) .b ( 2 − b ) .c ( 2 − c ) > 1
Mặt khác, do a, b, c ( 0, 2 ) nên a, 2 – a > 0, suy ra
0 < a ( 2 − a ) = 1 − ( a − 1) 1
2
Tương tự, ta cũng có: 0 < b ( 2 − b ) 1, 0 < c ( 2 − c ) 1
Do đó: a(2 – a).b(2 – c).c(2 – c) 1 (mâu thuẫn)
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 1.5.2.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + ab + bc + ca < 0
Chứng minh a 2 + b 2 < c 2 .
Lời giải:
Giả sử a + b c , khi đó
2 2 2
a 2 + b 2 + a 2 + b 2 + 2 ( ab + bc + ca ) a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca )
� 2 ( a 2 + b 2 + ab + bc + ca ) � a + b + c )
(
2
Kết hợp với giả thiết ta có:
0 > 2 ( a 2 + b2 + ab + bc + ca ) ( a + b + c)
2
� ( a + b + c) �
2
0
(mâu thuẫn) Vậy bài toán được chứng minh.
a+b+c > 0
Ví dụ 1.5.3.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca > 0
abc > 0
Chứng minh ba số a, b, c đều dương.
Lời giải:
Giả sử rằng ba số a, b, c có một số không dương. Không giảm tính tổng quát, ta xem
a 0 . Mà abc > 0 nên a 0 , do đó a < 0.
Lại có a + b + c > 0 nên b + c > 0, suy ra a( b +c ) < 0
18
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Theo giả thiết thứ hai ab + bc + ca > 0 ta có a ( b + c ) + bc > 0 � bc > 0
Vì thế a.bc < 0 (Mâu thuẫn với giả thiết thứ ba)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.5.4.Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số
9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn (a + b + c)2
Lời giải:
Giả sử ngược lại
9ab ( a + b + c ) ,9bc ( a + b + c ) ,9ca ( a + b + c )
2 2 2
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có:
3 ( a + b + c ) � ( ab + bc + ca ) � ( a + b + c ) � ( ab + bc + ca )
2 2
9 3
� a 2 + b 2 + c 2 � + bc + ca
ab
� ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) � ( 1)
2 2 2
0.
Theo đề bài ra a, b, c khác nhau đôi một nên
( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) > 0. ( 2 )
2 2 2
Vì (1) và (2) mâu thuẫn với nhau nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.5.5.Cho bốn số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không
thể cùng xảy ra.
( 1) a + b < c + d
( 2 ) ( a + b ) ( c + d ) < ab + cd
( 3) ( a + b ) cd < ( c + d ) ab
Lời giải:
Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả bất đẳng thức . Từ (1) và (2) ta có:
( a + b ) < ( a + b ) ( c + d ) < ab + cd
2
� cd > ( a + b ) − ab = ( a − b ) + 3ab � ab � cd > 3ab ( 4 )
2 2
3
Mặt khác
( a + b ) cd < ( c + d ) ab � ( a + b ) cd < ( c + d ) ( a + b ) ab < ( ab + cd ) ab
2
� ab ( ab + cd ) > ( a + b ) cd � ab.cd
2
4
� ab ( ab + cd ) > 4ab.cd � ab > 3cd ( 5 )
Từ (4) và (5) ta có mâu thuẫn. Vậy khẳng định của bài toán được chứng minh.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
xyz = 2010
1.5.1. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
xy + yz + zx < 2010 ( x + y + z )
Chứng minh rằng trong ba số đó có đúng một số lớn hơn 2010
19
- Buøi Quang Thònh PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
1.5.2.Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a + b = c ( 1 + ab ) . Chứng minh rằng
2 2 2
a c và b c
1.5.3.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b+ c abc .Chứng minh rằng có ít nhất
2 3 6 2 3 6 2 3 6
hai trong số các bất đẳng thức sau đúng + + 6, + + 6, + + 6
a b c b c a c a b
1.5.4.Cho các số nguyên dương x, y. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai bất đẳng thức
sai
1 1 � 1 1 � 1 1 � 1 1 �
�2 + 2 � , �2 + 2�
xy 5� x y �x ( x + y ) 5 � ( x + y) �
�x �
1.5.5.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa abc = 1. Chứng minh
1 1 1
+ + 1
4 + 5x 4 + 5y 4 + 5z
2.6.1.PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN
A.Giới thiệu bất đẳng thức CAUCHY.
Nếu a1, a2, ….., an là các số thực không âm thì
a1 + a2 + ... + an n
a1a2 ...an
n
Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất
đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric
mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin –
Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên
không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người
đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình
sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước
ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị
Trong phạm vi chương trìnhToán THCS, chúng ta quan tâm đến ba trường hợp riêng của bất
đẳng thức Cauchy là:
-Trường hợp n = 2. Lúc này bất đẳng thức được viết lại rằng: Nếu a, b là các số thực không
a+b
âm, thì: ab
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bất đẳng thức này còn được viết ở hai dạng khác tương đương là
( a + b)
2 2
� +b�
a
ab � �và a + b
2 2
�2 � 2
-Trường hợp n = 3. Ta có bất đẳng thức Cauchy cho ba biến không âm: Nếu a, b, c là các số
a+b+c 3
thực không âm, thì : abc
3
20
nguon tai.lieu . vn
