Xem mẫu
- ⎧{T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const
⎪
(W5) ⎨ dξ
⎪λ1T1x (ξ, τ) − λ 2T2x (ξ, τ) = lρ
⎩ dτ
Trong ®ã T1x(ξ,τ) vµ T2x(ξ,τ) lµ gradient cña tr−êng nhiÖt ®é T1
dξ
trong pha r¾n vµ T2 pha láng, cßn lµ tèc ®é di ®éng cña biªn x = ξ,
dτ
hay tèc ®é chuyÓn pha, ρ lµ khèi l−îng riªng cña pha tr−íc qóa tr×nh
chuyÓn pha.
7.1.3. M« h×nh TH bµi to¸n biªn di ®éng
Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, m« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n biªn di
®éng do sù chuyÓn pha sÏ lµ 1 hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, trong ®ã cã hai
ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña T1, T2 thuéc 2 pha, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ kh¸c
cña chóng vµ ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5, nh− c¸c ph−¬ng tr×nh (W5) ë trªn,
t¹i biªn tiÕp xóc gi÷a 2 pha.
VÝ dô: M« h×nh bµi to¸n 1 chiÒu cã biªn chuyÓn pha nh− h×nh H57 lµ:
T1τ (x, τ) = a1T1xx (x, τ), 0 < x < ξ, τ > 0
T2τ (x, τ) = a2T2xx (x, τ), ξ< x < L , τ > 0
T2 (x, 0) = To > Ts (§K ®Çu)
(T1, T2) C¸c §K biªn t¹i x = 0, x = L
T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const
dξ
λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2 , (t¹i x = ξ)
dτ
Gi¶i bµi to¸n biªn di ®éng lµ nh»m x¸c ®Þnh T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ
dξ
tÝnh vËn tèc di chuyÓn cña biªn vµ dÉn ra c¸c ®Æc tÝnh kh¸c cña hÖ
dτ
2 pha ®−îc kh¶o s¸t.
7.2. Bµi to¸n biªn ho¸ r¾n
7.2.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ®ãng b¨ng vïng ®Êt −ít
XÐt 1 vïng ®Êt −ít, réng vµ s©u v« cïng, cã ®é Èm W, nhiÖt ®é
®«ng ®Æc Ts, nhiÖt ho¸ láng l, nhiÖt ®é ban ®Çu T2(x, 0)=To= const >Ts.
129
- Lóc τ > 0 ®ét nhiªn h¹ nhiÖt ®é mÆt ®Êt xuèng trÞ sè T1 (0, τ) = Tw
= const < Ts. Cho biÕt c¸c th«ng sè vËt lý ρ1, C1, λ1 cña ®Êt b¨ng vµ ρ2,
C2, λ2 cña ®Êt −ít. T×m tr−êng nhiÖt ®é T1(x,τ) trong ®Êt b¨ng, tr−êng
T2 (x, τ) trong ®Êt −ít, vËn tèc di chuyÓn cña mÆt ®ãng b¨ng. TÝnh ®é
dµy líp b¨ng sau thêi gian τ, tÝnh thêi gian τ ®Ó cã líp b¨ng dµy L cho
tr−íc. (Xem minh häa t¹i h×nh H57)
7.2.2. Ph¸t biÓu m« h×nh:
dξ
T×m T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ cho bëi hÖ ptvp sau:
dτ
⎧ ∂T ( x, τ ) ∂ 2T1 ( x, τ )
⎪ 1
= a1 , ∀ ( 0 < x < ξ, τ > 0 ) (1)
⎪ ∂τ ∂x 2
⎪
⎪ ∂T2 ( x, τ ) = a ∂ T2 ( x, τ ) , ∀ ( ξ < x < ∞, τ > 0 ) (2)
2
⎪ ∂τ 2
∂x 2
⎪
⎪T2 ( x,0 ) = To = const ≥ Ts , ∀ ( ξ < x < ∞, τ = 0 ) (3)
⎪
( T1,T2 ) ⎨T1 ( 0, τ ) = Tw = const < Ts , ∀ ( x = 0, τ > 0 ) (4)
⎪
⎪ ∂T2 ( ∞, τ ) = 0, ( x → ∞, τ > 0 ) (5)
⎪ ∂x
⎪T ξ, τ = T ξ, τ = T = const, ∀ x = ξ, τ > 0 (6)
⎪ 1( ) 2( ) s ( )
⎪ ∂T1 ( ξ, τ ) ∂T ( ξ, τ ) dξ
⎪λ1 − λ2 2 = Wlρ2 , ∀ ( x = ξ, τ > 0 ) (7)
⎪ ∂x ∂x dτ
⎩
7.2.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Stefan
* Theo kÕt qu¶ cña bµi to¸n (4.3) vÒ vËt b¸n v« h¹n, ta sÏ t×m
nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) ë d¹ng sau:
⎛ x ⎞
T1 (x, τ) = A1 + B1 erf ⎜
⎜2 a τ⎟
⎟
⎝ 1 ⎠
⎛ x ⎞ 2 ∞ ( −1) x
n 2n+1
T2(x,τ)= A2 + B2 erf ⎜ 2 x −δ
,ë ®©y erf(x) = ∫ e dδ= ∑
⎜2 a τ⎟
2
⎟ π δ=0 π n=0 n!( 2n +1)
⎝ 2 ⎠
130
- lµ hµm sai sè Gauss. C¸c h»ng sè A1B1A2B2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c
§K ®¬n trÞ nh− sau:
* A1 x¸c ®Þnh theo §KB (4):
T1 (0, τ) = Tw = A1
A2 t×m theo gi¶ thiÕt cho r»ng T2 (∞, τ) = To
T2 (∞, τ) = To = A2 + B2 → A2 = To - B2
VËy nghiÖm riªng cña (1) + (4) vµ (2) + (5) lµ:
⎛ x ⎞
T1 (x, τ) = Tw + B1 erf ⎜
⎜2 a τ⎟
vµ
⎟
⎝ 1 ⎠
⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎛ x ⎞
T2 (x, τ) = To − B2 ⎢1 − erf ⎜ ⎟ ⎥ = To − B2erfc ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢
⎣ ⎝ 2 a 2τ ⎠⎥⎦ ⎝ 2 a 2τ ⎠
* B1 vµ B2 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (6) nh− sau:
T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts cã d¹ng:
⎛ ξ ⎞ ⎛ ξ ⎞
Tw + B1 erf ⎜ = To − B2erfc ⎜ = Ts
⎜2 a τ⎟
⎟ ⎜2 a τ⎟
⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
V× (B1, B2) = const ∀τ nªn c¸c ®¼ng thøc trªn chØ thùc hiÖn ®−îc
khi
ξ = C τ , víi C lµ 1 h»ng sè nµo ®ã sÏ ®−îc x¸c ®Þnh.
Do ®ã, §KB (6) sÏ lµ:
⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞
Tw + B1 erf ⎜ = To − B2erfc ⎜ = Ts
⎜2 a ⎟
⎟ ⎜2 a ⎟
⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
Ts − Tw To − Ts
Suy ra B1 = vµ B2 =
⎛ C ⎞ ⎛ C ⎞
erf ⎜ ⎟ erfc ⎜ ⎟
⎜2 a ⎟ ⎜2 a ⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠
VËy nghiÖm riªng cña [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) lµ:
131
- T1 (x, τ) = TW +
( Ts − Tw ) ⎛ x ⎞
erf ⎜ ⎟
⎛ C ⎞ ⎜ 2 a1τ ⎟
⎝ ⎠
erf ⎜
⎜2 a ⎟
⎟
⎝ 1⎠
T2 (x, τ) = To −
( To − Ts ) ⎛ x ⎞
erfc ⎜
⎛ C ⎞ ⎜2 a τ⎟
⎟
erfc ⎜ ⎝ 2 ⎠
⎜2 a ⎟
⎟
⎝ 2⎠
* C ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB lo¹i 5 (7) nh− sau:
λ1
(
∂T1 C τ , τ )-λ (
∂T2 C τ , τ ) = Wlρ C
2 2
∂x ∂x 2 τ
dξ
ë ®©y
dτ
=
d
dτ
(
C τ =
C
2 τ
)
lµ vËn tèc di ®éng cña biªn, tøc lµ
vËn tèc ®ãng b¨ng.
C¸c hµm sai sè Gauss cã d¹ng:
2 ∞ ( −1) x
2n +1 n
2 δ=x −δ
∫δ=0 e dδ = ∑
2
erf(x) = ,
π π n =0 n!( 2n + 1)
2n +1
2 ∞ ( −1) x
n
2 ∞ −δ 2
erfc(x) = ∫ e dδ = 1 − erf (x) = 1 − ∑
π δ= x π n =1 n!( 2n + 1)
0
§¹o hµm cña chóng lµ:
( )
n
d 2 ∞( −1) x n 2n
2 ∞ −x 2 2 −x 2
erf (x) = ∑ = ∑ = e
dx π n =0 n! π n =0 n! π
d d 2 −x 2
erfC(x) = − erf (x) = − e
dx dx π
( )
Do ®ã, §KB (7) lµ λ1T1x C τ , τ - λ2T2x C τ , τ = Wlρ2 ( ) C
2 τ
sÏ
øng víi ph−¬ng tr×nh sau:
132
- ⎛ C2 ⎞ ⎛ C2 ⎞
exp ⎜ − ⎟ exp ⎜ − ⎟
λ1
( Ts − Tw ) . ⎜ 4a1 ⎟ + λ ( To − Ts ) . ⎜ 4a 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ C ⎞ πa1τ ⎛ C ⎞ πa 2 τ
erf ⎜ ⎟ erfc ⎜ ⎟
⎜2 a ⎟ ⎜2 a ⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
C C
= Wlρ2 . NÕu ®Æt C = K2 a1 , tøc K = ta cã ph−¬ng
2 τ 2 a1
tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh C nh− sau:
⎛ a ⎞
( ) + ⎛ λ2 ⎞ ⎛ To − Ts ⎞
exp −K 2 a1
exp ⎜ − 2 K 2 ⎟
⎝ a1 ⎠ =
πlWρ2a1
K.
erf ( K )
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ λ1 ⎠⎝ Ts − Tw ⎠ a 2 ⎛ a ⎞ ( Ts − Tw ) λ1
erfc ⎜ K 2 ⎟
⎝ a1 ⎠
lWρ2a1
§Æt = K , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
( Ts − Tw ) λ1 o
y
f(K) = ( )
πK o K → Gi¶i b»ng ®å thÞ y=f(K)
y= π KoK
ta cã K vµ t×m ®−îc C = K2 a1 K.
H»ng sè Ko lµ 1 ®¹i l−îng kh«ng thø K
nguyªn, ®−îc gäi lµ tiªu chuÈn (hoÆc o
K=c/2
a1
sè) Koccivich
H58. §Ó x¸c ®Þnh K vµ C.
aτ
* ChuyÓn vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn b»ng c¸ch ®Æt Fox = 1 ,
x2
a
Fox gäi lµ biÕn Fourier cña to¹ ®é vµ thêi gian, Ka = 2 , ta cã nghiÖm
a1
cña bµi to¸n ®· nªu ë d¹ng kh«ng thø nguyªn nh− sau:
⎛ 1 ⎞
erf ⎜
T1 ( x, τ ) − Tw ⎜2 F ⎟ ⎟
θ1 = = ⎝ ox ⎠
= θ1 ( Fox )
Ts − Tw erf ( K )
133
- ⎛ 1 ⎞
erfc ⎜ ⎟
To − T2 ( x, τ ) ⎜2 K F ⎟
⎝ ⎠ =θ
2 ( Fox )
a ox
θ2 = =
To − Ts (
erfc K K a )
7.2.4. TÝnh gÇn ®óng trong kü thuËt:
* Do c¸c chuçi cña erf(x) vµ exp(x2) héi tô rÊt nhanh khi n t¨ng,
nªn víi ®é chÝnh x¸c cho phÐp cña kü thuËt, cã thÓ chØ cÇn lÊy sè h¹ng
®Çu cña c¸c chuçi nµy (øng víi n = 0) khi tÝnh to¸n, tøc lµ coi:
2n +1
2 ∞ ( −1) x
n
2
erf ( x ) = ∑ =
& x
π n =0 n!( 2n + 1) π
2
erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) = 1 −
& x
π
n
⎛ C2 ⎞ ∞ 1 ⎛ C2 ⎞
⎜ 4a ⎟ n∑0 n! ⎜ 4a ⎟
exp ⎜ − ⎟= ⎜− ⎟ = 1. Khi ®ã cã:
&
⎝ ⎠ = ⎝ ⎠
⎛ C ⎞ 2 C C
e rf ⎜ ⎟ =
⎜2 a ⎟ & . =
⎝ 1⎠ π 2 a1 πa1
⎛ C ⎞ C
e rfc ⎜
⎜2 a ⎟ = 1-
⎟ &
⎝ 2 ⎠ πa 2
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh §KB lo¹i 5 ®Ó x¸c ®Þnh C sÏ cã d¹ng:
λ1
( Ts − Tw ) πa1
+ λ2
( To − Ts ) = Wlρ2
C
C πa1τ ⎛ C ⎞ 2 τ
⎜1 −
⎜ ⎟ πa 2 τ
⎟
⎝ πa 2 ⎠
2λ1 ( Ts − Tw ) 2λ1 ( To − Ts ) ⎛ C ⎞
+ ⎜
⎜ πa − C ⎟
hay C2 =
lwρ2 lwρ2 ⎟
⎝ 2 ⎠
* XÐt tr−êng hîp To = Ts, tøc lµ khi nhiÖt ®é ban ®Çu cña pha Èm
b»ng nhiÖt ®é ®ãng b¨ng.
134
- 2λ1 ( Ts − Tw )
Khi To = Ts ta cã: C =
lρ2 W
1
NÕu pha Èm (2) lµ n−íc, cã ®é Èm w = 1, th× C = ⎡ 2λ1 ( Ts − Tw ) ⎥
⎢
⎤2
⎣ lρ2 ⎦
- Lóc nµy, tr−êng nhiÖt ®é trong 2 pha cã d¹ng:
πa1 ⎛ x ⎞
T1 (x, τ) = Tw + (Ts - Tw) erf ⎜
& ⎜2 a τ⎟
hay
C ⎟
⎝ 1 ⎠
lρ2 W x
T1 (x, τ) = Tw + (Ts - Tw)
& . →
2λ1 ( Ts − Tw ) τ
⎧ ρ2
lf 2 W x
⎪T1 ( x, τ ) = Tw + ( Ts − Tw ).
=
&
=
&
⎨ 2λ1 τ
⎪T x, τ = T = T = const
⎩ 2( ) o s
- VËn tèc dÞch chuyÓn biªn, tøc vËn tèc ®ãng b¨ng, lµ:
dξ C λ1 ( Ts − Tw ) dξ a
= = = f ( τ ) , tæng qu¸t = K 1 , víi
dτ 2 τ 2lρ2 W.τ dτ τ
C λ1 (Ts − Tw )
K= = .
2 a1 2lρ2 Wa 1
VËy vËn tèc ®ãng b¨ng chØ phô thuéc τ, ®ång biÕn theo λ1, Ts
nghÞch biÕn theo Tw, l, ρ2, W vµ τ.
VËn tèc ®ãng b¨ng tû lÖ nghÞch víi τ , tøc lµ khi τ t¨ng 4 lÇn th×
vËn tèc gi¶m 2 lÇn.
Biªn chuyÓn ®éng chËm dÇn víi gia tèc
d 2ξ 1 λ1 ( Ts − Tw )
ξ'' = =− , [m/s2]
2lρ2 Wτ3
3
dτ 2 2
NhËn xÐt: Gia tèc cã trÞ ©m, lµm biªn di chuyÓn chËm dÇn. Khi τ
lín, cã thÓ coi gia tèc ξ'' = 0.
135
- ξ'
c
ξ' =
Lóc nµy biªn di chuyÓn gÇn nh− ®Òu, 2 τ
nh−ng rÊt chËm.
7.2.5. TÝnh ®é dµy líp b¨ng t¹i thêi
o
−c τ
ξ" =
®iÓm τ 4 τ3
* Tr−êng hîp tæng qu¸t, ®é dµy líp b¨ng ξ" H59. VËn tèc vµ gia tèc
cña mÆt b¨ng x = ξ
t¹i thêi ®iÓm τ lµ
x = ξ = C τ , víi C = 2 a1K , tøc x = ξ = 2K a1τ , [m]
* Tr−êng hîp To = Ts vµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1 theo x, cã
2λ1
C= ( Ts − Tw ) nªn ®é dµy líp b¨ng lµ
lρ2 W
2λ1
x=ξ= ( Ts − Tw ) τ , [m]
lρ2 W
* NÕu pha (2) lµ n−íc, cã W = 1, ë ®iÒu kiÖn To = Ts th×
2λ1
x=ξ= ( Ts − Tw ) τ , m
lρ2
7.2.6. TÝnh thêi gian ®ãng b¨ng ®Õn ®é dµy ®· cho ξ = L.
* Tr−êng hîp tæng qu¸t víi líp b¨ng ph¼ng, réng ∞, thêi gian ®¹t
2 ⎛ 2
⎛L⎞ L ⎞ L2
tíi ®é dµy ξ = L = C τ lµ τ = ⎜ ⎟ = ⎜ =
⎜2 a K⎟
, [s]
⎝C⎠ ⎟ 2
⎝ 1 ⎠ 4a1K
* Tr−êng hîp To = Ts vµ tÝnh gÇn ®óng bËc 1, cã
lρ2 WL2
τ= , [s]
2λ1 ( Ts − Tw )
* Víi n−íc ë To = Ts th× thêi gian ®Ó t¹o líp b¨ng ph¼ng, dµy L lµ
(cho W = 1):
lρ2 L2 L
τ= . = Ko
λ1 ( Ts − Tw ) 2 2a1
136
- 7.3. Bµi to¸n ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n
7.3.1. Môc ®Ých chñ yÕu khi tÝnh ®«ng l¹nh c¸c vËt Èm h÷u h¹n
lµ tÝnh thêi gian ®Ó nhiÖt ®é cùc ®¹i trong vËt b»ng 1 trÞ sè cho tr−íc.
Thêi gian ®«ng l¹nh τ gåm 2 giai ®o¹n: τ = τo + τ1, trong ®ã τo lµ
thêi gian ®Ó ho¸ r¾n toµn bé vËt Èm, cã nhiÖt ®é t©m vËt b»ng Ts, cßn
τ1 lµ thêi gian ®Ó nhiÖt ®é t©m vËt gi¶m trõ Ts ®Õn nhiÖt ®é Tk cho tr-
−íc, theo yªu cÇu cña c«ng nghÖ cÊp ®«ng
ViÖc tÝnh τ1 cã thÓ dùa vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng
æn ®Þnh trong vËt r¾n 1 pha.
Sau ®©y ta sÏ tÝnh τo theo ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng. PhÐp tÝnh gÇn
®óng sÏ dùa trªn c¸c gi¶ thiÕt sau:
7.3.2. C¸c gi¶ thiÕt
1. C¸c vËt Èm h÷u h¹n cã d¹ng ®èi xøng
2. §iÒu kiÖn biªn ngoµi vËt cã tÝnh ®èi xøng, lo¹i 1
3. NhiÖt ®é ban ®Çu trong vËt Èm lµ ®ång nhÊt, vµ b»ng nhiÖt ®é
ho¸ r¾n: T2 (M, τ) = Ts
4. Trong líp vËt r¾n t¹o thµnh sau chuyÓn pha, ph©n bè nhiÖt ®é lµ
tuyÕn tÝnh ®èi víi biªn di ®éng x = ξ
7.3.3. TÝnh thêi gian lµm ®«ng τo
1. §«ng ®Æc vËt Èm ph¼ng, réng T
2L, cã To = Ts, cã λ1, l, ρ2 hai biªn
ngoµi cã Tw = const < To ®èi xøng. T Ts
0
Bµi to¸n nµy cã m« h×nh gièng m« TW TW
h×nh bµi to¸n ë trªn.
§iÒu kiÖn biªn lo¹i 5 trªn biªn -L o ξ L x
di ®éng x = ξ lµ:
dξ
λ1T1x(ξ,τ)-λ2T2x(ξ,τ)=lρ2 W
dτ H60. Lµm ®«ng vËt ph¼ng
do T2(x, τ) = Ts = const nªn T2x(ξ, τ) = 0
137
- Do T1(x, τ) tuyÕn tÝnh víi x = ξ t¹i ∀τ nªn
T − Tw
T1x(ξ, τ) = s
ξ
VËy ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 cã d¹ng:
T − Tw dξ λ ( T − Tw )
λ1 s = lρ2 W hay ξdξ = 1 s dτ
ξ dτ lρ2 W
Thêi gian lµm ®«ng τo øng víi khi ξ = L nªn cã:
L τ λ1 ( Ts − Tw ) L2 λ1 ( Ts − Tw )
∫o ξdξ = ∫o o
dτ → = τo
lρ2 W 2 lρ2 W
lρ2 W L2 L2 lρ2 Wa1
VËy τo = . = Ko , víi Ko =
λ1 ( Ts − Tw ) 2 2a1 λ1 ( Ts − Tw )
2. §«ng ®Æc vËt Èm h×nh trô gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta ®−îc
t
2 2
lρ2 W R R
τo = . = Ko
λ1 ( Ts − Tw ) 4 4a1 T s
3. Bµi to¸n lµm ®«ng vËt Èm TW
h×nh cÇu cho kÕt qu¶ o r
ξ R
2 2
lϕ2 W R R
τo = . = Ko H61. Lµm ®«ng vËt trô
λ1 ( Ts − Tw ) 6 6a1
C¸c c«ng thøc trªn khi tÝnh
cho khèi chÊt láng hoµn toµn th× o Ts TW
lÊy W = 1 ξ
R r
7.3.4. So s¸nh thêi gian τo: H62. Lµm ®«ng vËt cÇu
- NÕu c¸c vËt ph¼ng, trô, cÇu cã cïng ®é dÇy tøc R = L th× ta cã:
τof = 2τot = 3τoc
Víi vËt Èm h×nh d¹ng bÊt kú, thêi gian ®ãng b¨ng τo tû lÖ thuËn
víi b×nh ph−¬ng ®é dÇy cña vËt. §é dÇy cña vËt ®−îc hiÓu lµ kho¶ng
c¸ch trung b×nh gi÷a hai mÆt ®−îc lµm l¹nh cña vËt. Do ®ã, ®Ó gi¶m
138
- thêi gian thêi gian ®«ng kÕt, nªn gi¶m ®é dÇy cu¶ vËt Èm.
7.4. Bµi to¸n ®«ng kÕt vËt ®óc
7.4.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n
Khi tÝnh ®«ng kÕt vËt ®óc, th−êng coi vïng kim lo¹i láng cã nhiÖt
®é ph©n bè ®Òu, b»ng nhiÖt ®é nãng ch¶y ts. Khi ®ã chØ cÇn t×m ®é dµy
líp kim lo¹i ®«ng kÕt ξ = ξ(τ) vµ tèc ®é biªn ξ, tøc tèc ®é ngng kÕt
dξ
= f(τ) trªn c¬ së gi¶ thiÕt nh− ë môc (7.2.3), tøc lµ coi tr−êng
dτ
nhiÖt ®é trong líp ®· ho¸ r¾n lµ tuyÕn tÝnh víi x = ξ.
Khi ®ã bµi to¸n lµ: t
⎧ ∂t ∂t ' dξ ρ cλ qs(τ) ,,,
λ
⎪ ∂x −λ ' = ϕ 'l
ρ' ρc λ
'
x =ξ ∂x x =ξ dτ ts
⎪
⎪ξ ( τ = 0 ) = 0
⎪
⎨ tw dξ
⎪ t ' ( x > ξ, τ ) = t s = const o
dτ x
⎪ ∂t t −t
x =ξ
⎪ = s w
⎪ ∂x x =ξ
⎩ ξ H63. BT ®«ng kÕt vËt ®óc
7.4.2. TÝnh ξ(τ) vµ tèc ®é ®«ng kÕt
∂t '
Do t' = const nªn = 0. Ta cã ph−¬ng tr×nh:
∂x
ts − tw dξ λ
λ
ξ
= ρ 'l hay ξdξ = ( t s − t w ) dτ
dτ ρ 'l
1 2 λ
TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh cã ξ = ( ts − t w ) τ + C
2 ρ 'l
2λ
Theo ξ (τ = 0) = 0 = C. VËy: ξ = ( ts − t w ) τ, [ m]
ρ 'l
dξ λ ( ts − t w )
Tèc ®é ®«ng kÕt lµ ξ' = = , [m/s]
dτ 2ρ ' τ
139
- NÕu vËt ®óc dµy 2L, 2 biªn lo¹i 1 ®èi xøng th× thêi gian ®«ng kÕt
lµ:
ρ 'l L2 L2
τ= . = K o , [s]
λ ( ts − t w ) 2 2a
7.5. TÝnh truyÒn nhiÖt khi nãng ch¶y líp b¶o vÖ vá phi thuyÒn cã vËn tèc lín
7.5.1. VÊn ®Ò b¶o vÖ nhiÖt cho vá phi thuyÒn
Khi bay vµo khÝ quyÓn víi vËn tèc lín, do ma s¸t víi kh«ng khÝ,
vá phi thuyÒn sÏ nhËn 1 l−îng nhiÖt rÊt lín.
Ts
qo
TK
TO v
ρ c λ lTS
δ
H64. Líp b¶o vÖ vá tµu b»ng vËt liÖu nãng ch¶y
1
L−îng nhiÖt nµy tû lÖ víi lùc c¶n cña kh«ng khÝ F = Kρk v 2S vµ
2
vËn tèc v cña tµu, vµ b»ng:
1
Qo = Kρk v3S , [W] hay
2
Qo 1
qo = = Kρk v3 , [W/m2]
S 2
L−îng nhiÖt nhËn vµo cã thÓ lµm nhiÖt ®é vá tµu t¨ng rÊt cao, g©y
nguy h¹i cho c¶ con tµu. Do ®ã, ng−¬× ta ph¶i t×m c¸ch gi¶i tho¸t l−îng
nhiÖt nµy, b¶o ®¶m cho nhiÖt ®é thµnh tµu kh«ng v−ît qu¸ 1 gi¸ trÞ an
toµn Tk nµo ®ã.
Gi¶i ph¸p hiÖn nay lµ bäc vá tµu b»ng 1 líp vËt liÖu cã nhiÖt ®é
nãng ch¶y Ts kh«ng lín h¬n Tk nãi trªn, Ts < Tk . NhiÖt ma s¸t lµm
nãng ch¶y líp vá nµy råi tho¸t ra khÝ quyÓn.
ViÖc thiÕt kÕ líp b¶o vÖ nhiÖt bao gåm viÖc chän vËt liÖu thÝch
hîp, x¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nhËn nhiÖt nãng ch¶y, tÝnh vËn
140
- tèc nãng ch¶y vµ x¸c ®Þnh ®é dµy ®ñ an toµn cho chuyÕn bay. Sau mçi
chuyÕn bay, líp b¶o vÖ sÏ bÞ nãng ch¶y råi tho¸t c¶ nhiÖt lÉn chÊt vµo
khÝ quyÓn, vµ ng−êi ta sÏ bäc l¹i cho lÇn bay tiÕp theo.
7.5.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n líp nãng ch¶y
T×m tr−êng nhiÖt ®é T(y, τ) trong líp vËt liÖu cã c¸c th«ng sè vËt
lý (ρ, C, λ, l, Ts) cho tr−íc, cã biªn nãng ch¶y cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh
vi ph©n sau:
⎧ ∂T T
2
⎪ =a∂ T TK
⎪ ∂τ ∂y 2 Wτ ρ cλ ,l
W = dξ
⎪ Ts d
⎪T ( y, τ = 0 ) = T ( ξ → ∞, τ ) = To qO τ
⎪ TO
⎪ ∂T
(T) ⎨ =0 y
⎪ ∂ξ ξ→∞ O ξ = y - Wτ δ
⎪
⎪T ( ξ = 0, τ ) = Ts H65. Bµi to¸n biªn nãng ch¶y
⎪ ∂ξ ∂T (W5)
⎪q o = ρl −λ
⎪ ∂τ ξ=0 ∂ξ ξ=0
⎩
7.5.3. X¸c ®Þnh tr−êng nhiÖt ®é trong líp nãng ch¶y
dξ
Gäi vËn tèc di ®éng biªn nãng ch¶y ξ lµ W = . ChuyÓn bµi to¸n
dτ
(T) sang hÖ to¹ ®é ®éng (ξ, τ) b»ng c¸ch ®æi biÕn ξ = y - Wτ. Khi ®ã
∂T ∂T ∂ξ ∂T ∂ 2T ∂ 2T
= . = −W vµ = nªn ph−¬ng tr×nh vi
∂τ ∂ξ ∂τ ∂ξ ∂y 2
∂ξ 2
∂T ∂ 2T W
ph©n Tτ = aTyy cã d¹ng: − W =a hay Tξξ + Tξ = 0 →
∂ξ ∂ξ 2 a
⎛ W ⎞
NghiÖm tæng qu¸t lµ T(ξ) = A exp ⎜ − ξ ⎟ + B, víi c¸c h»ng sè A,
⎝ a ⎠
B t×m theo §KB:
T(ξ = 0) = Ts = A + B B = To
→
T(ξ → ∞) = To = B A = Ts - To
141
- VËy tr−êng T cã d¹ng:
⎛ W ⎞
T(ξ) = (Ts - To) exp ⎜ − ξ ⎟ + To
⎝ a ⎠
Hay ë d¹ng kh«ng thø nguyªn
T − To ⎛ W ⎞
θ ( ξ) = = exp ⎜ − ξ ⎟
Ts − To ⎝ a ⎠
7.5.4. X¸c ®Þnh vËn tèc nãng ch¶y
dξ
VËn tèc nãng ch¶y W = ®−îc x¸c ®Þnh theo §KB (W5)
dτ
∂T W λ
qo = ρlW − λ = ρlw + λ(Ts - To) hay, do a = nªn:
∂ξ ξ=0 a ρc
qo = ρlw + Cρw(Ts - To) = wρ [l + C(Ts - To)]
VËy vËn tèc nãng ch¶y b»ng
dξ qo
W= = , [m/s]
dτ ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤
⎣ ⎦
Tr−êng nhiÖt ®é trong líp vá b¶o vÖ cho bëi:
⎧ ⎧
⎪ − q o Cξ ⎫
⎪
⎪T ( ξ ) = ( Ts − To ) exp ⎨ ⎬ + To víi
λ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎪
( T ( y, τ ) ) ⎪
⎨
⎪ ⎣
⎩ ⎦⎭
⎪ ξ= y− qo τ
⎪ , hoÆc cô thÓ h¬n, lµ:
⎩ ρ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤
⎣ ⎦
⎧
⎪ −q o C ⎡ qo τ ⎤⎫⎪
T ( y, τ ) = ( Ts − To ) exp ⎨ ⎢ y− ⎥ ⎬ + To
⎩ λ ⎡l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎢
⎪ ⎣ ⎦⎣ ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤ ⎥ ⎭
⎣ ⎦ ⎦⎪
7.5.5. TÝnh l−îng nhiÖt dÉn vµo vá tµu
Môc ®Ých cña líp b¶o vÖ lµ khö bá phÇn lín nhiÖt l−îng sinh ra do
ma s¸t. PhÇn nhiÖt cßn l¹i sÏ dÉn vµo trong, lµm t¨ng néi n¨ng cña líp
b¶o vÖ cßn l¹i vµ dÉn tiÕp vµo thµnh tµu, phÇn nhiÖt nµy b»ng:
142
- ∂T
qv = −λ = ρCW (To - Ts) hay
∂ξ ξ=0
q o C ( Ts − To ) qv C ( Ts − To )
qv = ,→ =
l + C ( Ts − To ) q o l + C ( Ts − To )
C«ng thøc trªn cho thÊy nÕu chän vËt liÖu cã nhiÖt nãng ch¶y lín,
l ↑, th× dßng nhiÖt thõa qv sÏ nhá.
7.5.6. X¸c ®Þnh chiÒu dµy an toµn cña líp c¸ch nhiÖt nãng
ch¶y
Gäi thêi gian con tµu cÇn bay trong khÝ quyÓn lµ τ. §Ó chuyÕn bay
an toµn, chiÒu dµy δ líp c¸ch nhiÖt nãng ch¶y ph¶i ®−îc chän sao cho
δ > Wτ, hay δ = kWτ víi k > 1 lµ hÖ sè dù phßng chän tr−íc.
qo τ
δ=k
ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤
⎣ ⎦
NÕu liªn hÖ víi biÓu thøc cña qo, ta cã:
Kρk v3τ
δ=k , [ m]
2ρ ⎡ l + C ( Ts − To ) ⎤
⎣ ⎦
Tãm l¹i, khi thiÕt kÕ líp an toµn nhiÖt cho vá tµu, ph¶i chän vËt
liÖu cã nhiÖt ®é nãng ch¶y Ts ≤ Tk, cã nhiÖt nãng ch¶y l lín, vµ ®é dµy
δ tho¶ m·n c«ng thøc nªu trªn.
143
- Môc lôc
Trang
Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt ........................3
1.1. §Þnh luËt Fourier ..............................................................................3
1.1.1. ThiÕt lËp ....................................................................................3
1.1.2. Ph¸t biÓu ...................................................................................4
1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt .........................................................................4
1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt...........................................................4
1.2.1. §Þnh nghÜa .................................................................................4
1.2.2. ThiÕt lËp .....................................................................................4
1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt.........5
1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) ................................................................6
1.3.1. §Þnh nghÜa .................................................................................6
1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T..................................................................6
1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) .................................................6
1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB .........................................7
1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt...........................................................8
Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch .........................10
2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm...............................................10
2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ..................10
2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN ...................10
2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm ............................................................10
2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ .......................................................................11
2.2. ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn fourier .........................................................12
2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier ............................12
2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt .........................................12
144
- 2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3)...........12
2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh ...................................................14
2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ .................................14
2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ ..............................................14
2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) ..................14
2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè........................................................16
2.4.1. Ph¹m vi sö dông ......................................................................16
2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS................................................17
2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) .....................................17
2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu .............20
2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp.....................................................20
2.5.2. Ph−¬ng ph¸p quy vÒ c¸c bµi to¸n 1 chiÒu .............................23
2.5.3. §Þnh lý giao nghiÖm ................................................................25
Ch−¬ng 3: ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc
vµ c¸c bµi to¸n dao ®éng nhiÖt .............26
3.1. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................................................26
3.1.1. Kh¸i niÖm dao ®éng nhiÖt ......................................................26
3.1.2. M« h×nh mét bµi to¸n dao ®éng nhiÖt ...................................26
3.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc hay tæ hîp phøc (Complex Combination) ....27
3.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc (TTP)..........................27
3.2.2. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p to¸n tö phøc..............................27
3.3. Bµi to¸n dao ®éng nhiÖt trong vËt b¸n v« h¹n ...................................28
3.3.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh (Nh− môc 3.1.2)...................................28
3.3.2. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p THP .................................................28
3.3.3. Kh¶o s¸t sãng nhiÖt.................................................................29
3.4. Dao ®éng nhiÖt kh«ng æn ®Þnh trong v¸ch máng ................................31
3.4.1. §Æt vÊn ®Ò ................................................................................31
145
- 3.4.2. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................32
3.4.3. Ph©n tÝch bµi to¸n (θ)..............................................................33
3.4.4. NghiÖm riªng æn ®Þnh .............................................................35
3.4.5. NghiÖm riªng kh«ng æn ®Þnh..................................................35
3.4.6. NghiÖm riªng dao ®éng...........................................................37
3.4.7. KÕt luËn....................................................................................39
Ch−¬ng 4: ph−¬ng ph¸p to¸n tö laplace.................41
4.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace ..............................................41
4.1.1. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö ..............................................................41
4.1.2. PhÐp biÕn ®æi Laplace thuËn..................................................41
4.1.3. PhÐp biÕn ®æi Laplace ng−îc..................................................42
4.1.4. C¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p Laplace
gi¶i mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n .........................................43
4.2. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö cho bµi to¸n v¸ch ph¼ng biªn W1.......................43
4.3. Ph−¬ng ph¸p to¸n tö t×m (x,f) trong vËt b¸n v« h¹n ...........................45
4.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ...................................................................45
4.3.2. M« h×nh BT..............................................................................45
4.3.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö .............................................45
Ch−¬ng 5: ph−¬ng ph¸p SAI PH¢N H÷U H¹N ................47
5.1. Néi dung vµ c¸c b−íc ¸p dông ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n .............47
5.1.1. Néi dung FDM.........................................................................47
5.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FDM..........................................................47
5.1.3. Ph¹m vi sö dông FDM ............................................................48
5.2. D¹ng sai ph©n cña c¸c ®¹o hµm theo to¹ ®é.......................................48
5.2.1. PhÐp sai ph©n to¸n häc ...........................................................48
5.2.2. PhÐp sai ph©n vËt lý ................................................................50
5.3. C¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ ®¹o hµm theo thêi gian .................................51
146
- 5.3.1. Ph−¬ng ph¸p Euler ................................................................51
5.3.2. Ph−¬ng ph¸p Èn (Implicit) .....................................................51
5.3.3. Ph−¬ng ph¸p Crank-Nicolson................................................52
5.3.4. Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t ..........................................................52
5.4. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh .....................53
5.5. FDM cho bµi to¸n KO§ mét chiÒu tæng qu¸t .........................................54
5.6. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu tæng qu¸t ............................57
5.6.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ..................................................................57
5.6.2. M« h×nh TH ............................................................................58
5.6.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n ...........................58
5.7. FDM gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 3 chiÒu t(x,y,z,τ) ...............................62
5.7.1. Trong täa ®é vu«ng gãc xyz ...................................................62
5.7.2. Ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n trong to¹ ®é trô (r,ϕ,z)......63
5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn ........................................................66
5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh .................................................66
5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn ..........................................................66
5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn.............................69
Ch−¬ng 6: ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n,
finite element method (FEM) ....................71
6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n .....................71
6.1.1. Néi dung FEM .........................................................................71
6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM ..........................................................71
6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM .........................................................73
6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n .........................73
6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn) ..........................73
6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n .............................................................74
6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory) ..............................................75
147
- 6.3.1. PhiÕm hµm ...............................................................................75
6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n ..........................................76
6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm ......................................................77
6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange ........................................................78
6.4. VÝ dô minh ho¹ c¸c b−íc ¸p dông FEM ................................................85
6.4.1. Bµi to¸n biªn c« lËp................................................................85
6.4.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: ( Variational Statement).....................85
6.4.3.Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n (Finite Element Formulation)...86
6.5. Bµi to¸n biªn T§N W2 + W3..................................................................95
6.5.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh ..............................................................95
6.5.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ................................................................95
6.5.3. Ph¸t biÓu FEM ........................................................................96
6.5.4. Ph¸t biÓu sai ph©n (theo Euler) .............................................97
6.6. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n
kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t(x, y, τ ) víi biªn c« lËp...................................99
6.6.1. Ph¸t biÓu m« h×nh ...................................................................99
6.6.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ................................................................99
6.6.3. Ph¸t biÓu theo phÇn tö h÷u h¹n...........................................100
6.6.4. Ph¸t biÓu sai ph©n.................................................................106
6.6.5. VÝ dô ¸p dông cô thÓ .............................................................106
6.7. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n
τ
kh«ng æn ®Þnh t (x,y, ) tæng qu¸t .......................................................107
6.7.1. Ph¸t biÓu m« h×nh .................................................................107
6.7.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n ..............................................................108
6.7.3. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n ...................................................109
6.7.4. TÝnh ®¹o hµm theo [t] cña Iλ vµ IC .....................................109
6.7.5. TÝnh dIg/d[t] ...........................................................................109
148
nguon tai.lieu . vn