Xem mẫu
- §¹i häc §µ N½ng
Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa
Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh
PGS, TS. NguyÔn Bèn
C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh
truyÒn nhiÖt
- §µ N½ng - 2001 -
- 2
- Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt
1.1. §Þnh luËt Fourier
1.1.1. ThiÕt lËp
TÝnh nhiÖt l−îng δQ dÉn qua mÆt
z
dS ë c¸ch 2 líp ph©n tö khÝ cã nhiÖt ®é
T1 λ λ T2
T1 > T2 mét ®o¹n b»ng qu·ng ®−êng tù
do trung b×nh λ .
y
* V× T1 vµ T2 sai kh¸c bÐ, nªn coi
mËt ®é ph©n tö no vµ vËn tèc trung b×nh x
r O
ω c¸c ph©n tö trong hai líp nh− nhau.
H1. §Ó chøng minh
Do ®ã, trong thêi gian dτ, sè ph©n tö ë
®Þnh luËt Fourier
T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng:
1
d2 n = no ω dS dτ
6
* L−îng ®éng n¨ng qua dS tõ T1 vµ T2 lµ:
1 i
d2E1 = E 1 d2n = no ω dS dτ kT1
6 2
1 i
d2E2 = E 2 d2n = no ω dS dτ kT2
6 2
Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, ta ®−îc:
1 ik
δ2Q = ( E 1 - E 2)d2n = no ω dSdτ (T1 - T2)
6 2
⎛ dT ⎞
V× T1 - T2 = - ⎜ ⎟. 2 λ nªn
⎝ dx ⎠
i dT
δ2Q = - no k ϖ λ dS dτ
6 dx
i i R 1 µ iR 1
Do no k = no = (no ) ( ) = ρco nªn
6 6 N 3 N 2µ 3
3
- 1 dT dT
δ2Q = - ( ρco ω λ ) dS dτ = - λ dS dτ
3 dx dx
δ2Q ⎛ ∂T ⎞
hay =q=-λ ⎜ ⎟
dSdτ ⎝ ∂x ⎠
* Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT
r r
hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ q = - λ gradT
1.1.2. Ph¸t biÓu:
Vect¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi gradient nhiÖt ®é:
r r
BiÓu thøc vect¬: q = - λ gradT
D¹ng v« h−íng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W]
1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt
HÖ sè dÉn nhiÖt lµ hÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier: λ = |q/gradT|
[W/mK]
Theo chøng minh trªn ta cã:
1 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 8kT ⎞ ⎛ kT ⎞
λ = ρ ω λ cv = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜
⎟
2 ⎟ Cv
3 3 ⎝ RT ⎠ ⎜ πm ⎟ ⎝ 2 .πd p ⎠
⎝ ⎠
2 cv k 3T
= cho thÊy: λ kh«ng phô thuéc p, vµ λ↑ khi T↑
3 d
2
π3 m
hoÆc cv↑ hoÆc ®−êng kÝnh d cïng khèi l−îng ph©n tö m gi¶m.
§Þnh luËt Fourier ®óng cho mäi chÊt r¾n, láng, khÝ.
1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
z
1.2.1. §Þnh nghÜa:
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ρ dV
ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét qλ
C
λ
qω
ph©n tè dv bªn trong vËt. qω V
1.2.2. ThiÕt lËp y
x
LuËt c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ V lµ: O
H2. CBN cho dV
4
- [L−îng nhiÖt ph¸t sinh trong dV] - [Th«ng l−îng nhiÖt qua dV]=
[BiÕn thiªn entanpy cña dV]
Cho tr−íc (qv, ρ, cp, λ) ∈ dV, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng:
r ∂t
qvdVdτ - div q dVdτ = ρdV.cp dτ
∂τ
∂t q 1 r
hay = v - div q , trong ®ã dßng nhiÖt qua dV lµ:
∂τ ρc p ρc p
r r r r r
q = q λ + q ω = - λ gradt + ρ ω cpt,
r r r
do ®ã: div q = div (ρcp ω t- λ gradt ), coi (ρ, cp) = const ta cã :
r r r
div q = ρcp div (t ω ) - div (λ gradt )
r r r r r r
= ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λdiv ( gradt )- gradt . gradλ
r r r r r
= ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λ∇2t - gradt . gradλ
VËy ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
∂t qv r r r λ 2 r r
= - tdiv ω - ω . gradt + ∇ t + ( gradt grad λ)/ρcp
∂τ ρc p c pρ
∂t r r ∂t dt dx dt dy dt dz dt
do + ω . gradt = + . + . + . =
∂τ ∂τ dx dτ dy dτ dz dτ dτ
λ
nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt sau khi ®Æt a = , sÏ lµ:
ρCp
dt qv 1 r r r
= a∇ t + ρc + ρc gradt gradt λ) - tdiv ω , víi:
2
dτ p p
r r r r
gradt . gradλ lµ tÝch v« h−íng cña 2 vect¬ gradt vµ grad λ,
∇2t = ∆t lµ to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, cã d¹ng:
⎧ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t
⎪ 2 + 2 + 2 (trong täatäay®é)vu«ng gãc (xyz))
(trong x, , z
⎪ ∂x ∂y ∂z
⎪
⎪ ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t
∇2t = ⎨ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 + 2 (trong r , ϕ , z )®é trô (rϕz))
⎪ ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z (trong täa
⎪ ∂ 2 t 2 ∂t ∂ 2t cos θ ∂t ∂ 2t
⎪ 2 + + 2 2 + 2 + 2 (trong r ,θ , ϕ )
⎪ ∂r
⎩ r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ∂ϕ 2 (trong täa ®é cÇu (rθϕ))
1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
r
* Víi vËt r¾n, ω = 0, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
5
- ∂t q 1 r r
= a∇2t + v + gradt . gradλ
∂τ ρc p ρc p
∂t q
* VËt r¾n cã λ = const ∀xyz ph−¬ng tr×nh lµ: = a∇2t + v
∂τ ρc p
∂t
* VËt r¾n cã λ = const , æn ®Þnh nhiÖt = 0, ph−¬ng tr×nh lµ:
∂τ
qv
a∇2t + = 0. NÕu kh«ng cã nguån nhiÖt, qv = 0, th× ∇2t = 0.
λ
1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T)
1.3.1. §Þnh nghÜa:
§K§T lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cho tr−íc nh»m x¸c ®Þnh duy nhÊt
nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh.
1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T:
Theo néi dung, c¸c §K§T ®−îc ph©n ra 4 lo¹i sau:
1. §iÒu kiÖn h×nh häc: Cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c
®Þnh h×nh d¹ng, kÝch th−íc, vÞ trÝ cña hÖ.
2. §iÒu kiÖn vËt lý: Cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo
nhiÖt ®é t t¹i ∀M∈ hÖ; tøc cho luËt x¸c ®Þnh (ρ, cp, λ, a...) = f(t, M∈V).
3. §iÒu kiÖn ban ®Çu: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é lóc τ = 0 t¹i
mäi ®iÓm M ∈ hÖ, tøc cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V.
4. §iÒu kiÖn biªn: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc luËt c©n
b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm trªn biªn W, ë mäi thêi ®iÓm τ, tøc cho biÕt:
t = t(M, τ) hoÆc ∀M (x, y, z) ∈ V
r
gradt = f(M, τ, t) ∀τ ∈ ∆τ xÐt
1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB)
T¹i mçi miÒn Wi cña mÆt biªn kÝn W = ∑Wi, tuú theo c¸ch ph©n
bè t hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt, ta cã thÓ cho biÕt c¸c lo¹i §KB sau ®©y:
1. §KB lo¹i 1: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t t¹i mäi ®iÓm M1 ∈
W1 ë mäi thêi ®iÓm:
6
- t = t (M1, τ), ∀M1∈ W1, ∀τ
∂t
2. §KB lo¹i 2: Cho biÕt dßng nhiÖt dÉn qua biªn: q (M2,τ) = -λ ,
∂n
∂t −1
tøc cho biÕt = q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ.
∂n λ
∂t
Khi = q = 0 tøc biªn W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ
∂n
biªn ®èi xøng, lóc nµy t ®¹t cùc trÞ t¹i W2, vµ ®−êng cong t(M) cã tiÕp
tuyÕn n»m ngang.
3. §KB lo¹i 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α vµ to¶
nhiÖt ra chÊt láng theo luËt:
-λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt
gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ.
4. §KB lo¹i 4: Cho biÕt luËt CBN khi biªn W4 tiÕp xóc vËt r¾n
kh¸c, cã nhiÖt ®é t4 vµ λ4, t¹i M4 ∈ W4, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt
cã d¹ng :
∂t (M 4 ) ∂t (M )
-λ = λ4 4 4 vµ t(M4) = t4 (M4)
∂n ∂n
5. §KB lo¹i 5: Cho biÕt luËt c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 di ®éng,
t do cã sù chuyÓn pha, trao ®æi
chÊt (khèi l−îng thay ®æi) hoÆc
®ang biÕn d¹ng:
dx 5
dτ
∂t ' ∂t (M 5 ) dx 5 ∂t '
-λ ∂t -λ -λ = r cρ - λ' (M5),
∂x ∂n ∂n dτ ∂n
dx 5
-rcρ
dτ xx víi r = nhiÖt chuyÓn pha;
dx 5
0 x5
c
dτ
H3. CBN trªn biªn W5 = vËn tèc biªn W5; ρ: khèi l−îng
riªng pha míi.
1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB
D¹ng ®−êng cong ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) t¹i l©n cËn biªn W,
7
- tuú theo c¸ch cho §KB, sÏ cã c¸c ®Æc ®iÓm h×nh häc sau ®©y:
§−êng cong
W C¸ch cho §KB ý nghÜa h×nh häc
t(M,τ)
t w
t(M) ®i qua mét ®iÓm cè
1 tw = const
Mo ®Þnh Mo ∈W
V x
t
∂t w q=0 t(M) ®¹t cùc trÞ trªn W c¸ch
2 =0 V
∂n β=0 nhiÖt
x
W
∂t w β = const C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i
= const
∂n V W song song, gãc β = const
x
W
∂t w C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i
t −t R
3 = f w tf λ
∂n λ/α λ
W3 qua ®iÓm R( , tf)
V α x α
W
∂t w λ 4 ∂t ow γ Vo
= t(M) liªn tôc, kh«ng kh¶ vi
4 ∂n λ ∂x
t¹i W4 vµ γ = const
tW = t4W V x
∂t w dx
-λ = re ρ 5 W5 di chuyÓn víi tèc ®é
∂n dτ
5 dx 5
δt 'w dx 5 ω=
-λ V dτ
δn dτ x
H4. Minh ho¹ ý nghÜa h×nh häc c¸c §KB
1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt
M« h×nh to¸n häc cña mét bµi
to¸n dÉn nhiÖt lµ mét hÖ ph−¬ng
8
- tr×nh vi ph©n (t), gåm ph−¬ng tr×nh
vi ph©n DN vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m«
∂t'
∂n
t w1(M,τ )
−λ'
t¶ c¸c §K§T nh− sau: W5
∂t
W1 −λ ∂ n
∂t qv ρ, c, λ,qv rcf
dx
dτ
2 ∂ w2
= a∇ t + ρ vµ τ
q(M, ) -1 ∂x
(t) = ∂τ c
M
W2
c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T. ∂t qv −λ ∂ t
∂τ = a∇ t + ρc
2
∂n −λ o ∂ to
∂n
∂ w
Môc ®Ých chÝnh cña truyÒn
∂t
x
−λ W4
W3
nhiÖt lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i
f]
-t
[tw
2
α
hÖ (t) ®Ó t×m hµm ph©n bè t(x,y,z,τ)
tho¶ m·n hÖ (t). H5. M« h×nh 1 bµi to¸n DN
9
- Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch
2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm:
2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch
ý t−ëng cña Fourier lµ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn
tÝnh thµnh mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng, b»ng
c¸ch t¸ch biÕn, t×m nghiÖm riªng æn ®Þnh vµ biÕn thiªn h»ng sè.
C¸c c¸ch trªn ®−îc sö dông tuú thuéc tÝnh thuÇn nhÊt hay kh«ng
thuÇn nhÊt cña ph−¬ng tr×nh dÉn nhiÖt vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶
c¸c ®iÒu kiÖn biªn.
2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN
- §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(t, tx, txx) = 0 ®−îc gäi lµ
thuÇn nhÊt khi: nÕu t lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× ct, ∀c =const,
còng lµ nghiÖm cña F(t, tx, txx) = 0.
- VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - α t(0,τ) lµ TN
λ
qv −α
tτ = a∇2t + , tx (L, τ) = [t(L, τ) - tf] lµ kh«ng TN
ρc λ
NhËn xÐt: Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng chøa sè h¹ng tù do,
nh− qv vµ tf, lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt.
2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm
NÕu c¸c ti,∀i = 1÷n, lµ nghiÖm riªng cña bµi to¸n biªn thuÇn nhÊt
n
(tøc ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸c §KB thuÇn nhÊt), th× t = ∑ C i t i còng lµ
i =1
nghiÖm cña bµi to¸n TN ®ã, ∀Ci = const
2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸
- §Þnh nghÜa: PhÐp chuÈn ho¸ mét hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸ch ®æi c¸c
biÕn vµ th«ng sè cã thø nguyªn thµnh c¸c biÕn vµ th«ng sè kh«ng thø
nguyªn.
- Lîi Ých cña phÐp chuÈn ho¸ lµ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vµ c¸ch
10
- gi¶i, khiÕn cho nghiÖm cã tÝnh tæng qu¸t, kh«ng phô thuéc c¸c ®¹i
l−îng cã thø nguyªn, vµ trong vµi tr−êng hîp, cã thÓ thuÇn nh¸t ho¸
c¸c ®iÒu kiÖn biªn kh«ng thuÇn nhÊt.
- VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng víi 2 biªn Wo/W3 cã m«
h×nh:
⎧ ∂t ∂2t ⎧ t − tf
=a 2 (TN ) (FT)
⎪ ⎪θ = t − t
⎪ ∂τ ∂x
⎪ o f
⎪t ( x,0) = t o (DKD)
⎪ x
(t) ⎨t (0, τ) = 0 (TN ) ( Wo ) §æi biÕn ⎨X =
⎪ x δ
⎪ ⎪
−α ⎪ aτ
⎪t x (δ, τ) = [ t (δ, τ) − t f ] (0TN ) ( W3 ) F= 2
⎩ λ ⎪ δ
⎩
αδ
vµ ®Æt B =
λ
∂t ∂t ∂θ ∂F a ∂θ
th× do = . . = (to - tf) 2 .
∂τ ∂θ ∂F ∂τ δ ∂F
∂t ∂t ∂θ ∂X t o − t f ∂θ
= . . = .
∂x ∂θ ∂X ∂x δ ∂X
∂2t ∂ ∂t ∂ t − t ∂θ ∂X t −t ∂ θ
2
= ( )= .( o f . ) = o 2 f
∂x 2 ∂x ∂x ∂X δ ∂X ∂x δ ∂X 2
to − tf −α
tx (δ, τ) = θx (1, F) = [t (δ, τ) - tf] cã d¹ng TN lµ
δ λ
− αδ
θx (l, F) = θ [1, F] = Bθ(1,F)
λ
∂t a ∂θ ∂2t t o − t f ∂ 2θ
= (to- tf) 2 =a =a . cã d¹ng ®¬n gi¶n
∂τ δ ∂F ∂x 2 δ2 ∂X 2
∂θ ∂ 2θ
h¬n lµ = . Khi ®ã bµi to¸n (t) ®−îc chuyÓn ®æi thµnh bµi to¸n
∂F ∂X 2
kh«ng thø nguyªn (θ) t−¬ng ®−¬ng, cã d¹ng chuÈn ho¸ lµ:
11
- ⎧ ∂θ ∂ 2θ
⎪ =
⎪ ∂F ∂X 2
⎪θ ( X ,0) = 1
(θ) ⎨
⎪θ (0, F ) = 0 (TN )
⎪ x
⎪θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) (TN )
⎩
Bµi to¸n (θ) cã hai ®iÒu kiÖn biªn ë d¹ng thuÇn nhÊt.
2.2. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier
2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p Fourier
Lµ t×m nghiÖm ë d¹ng t¸ch biÕn, nh− lµ tÝch cña mét hµm cña täa
®é víi mét hµm cña thêi gian.
Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ
hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng.
Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh thuÇn
nhÊt.
2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt
C¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn
Fourier theo c¸c b−íc: t¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN t×m nghiÖm
tæng qu¸t, x¸c ®Þnh c¸c nghiÖm riªng theo c¸c §K§T, hîp nghiÖm.
§ã lµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn.
2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3)
1. Ph¸t biÓu bµi to¸n:
Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, to = t(x,0) c¸ch nhiÖt t¹i x = 0, to¶ nhiÖt
t¹i x = δ ra m«i tr−êng tf, α. T×m tr−êng t (x, τ) t
2. M« h×nh TH:
to
⎧t τ = at xx a
⎪ t ( x ,0 ) = t λ α
⎪
⎪
o q=0 tf
(t) ⎨t x (0, τ) = 0 t(x,τ )
⎪
⎪t x (δ, τ) = − α [ t (δ, τ) − t f ]
W2 W3 x
⎪
⎩ λ O δ
B»ng c¸ch ®æi biÕn: H6. Bµi to¸n (2.2.2)
12
- t − tf x aτ αδ
θ= ,X= ,F= 2,B= sÏ thu ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
to − tf δ δ λ
(θ) t−¬ng ®−¬ng, ë d¹ng chuÈn ho¸:
⎧θ F = θ xx
⎪θ ( x,0) = 1
⎪
(θ) ⎨
⎪θ x (0, F ) = 0
⎪θ x (1, F ) = − Bθ (1, F )
⎩
3. T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F).
X" (X) F" (F)
Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay = = -k2
X (X ) F(F)
(do 2 hµm ®éc lËp), chuyÓn thµnh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng:
⎧X" (X) +k 2 X(X) = 0 → X(X) = c1 sin kX + c 2 cos kX
⎪
⎨
⎪F' (F) +k 2 F(F) = 0 → F(F) = e −k F
2
⎩
NghiÖm tæng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX) e −k F
2
4. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T
θx(0,F) = 0 → (kc1cos0 + (-kc2sin0) e −k F = 0 →
2
c1 = 0 vµ θ (X,F) = c2 coskX e −k F
2
θx(1,F)
2 cotgk
= (-kc2sin0) e −k F =
cos k k
-Bθ (1,F)= -Bc2 cosk e −k F →
2
B
sin k
k π 2π 3π 4π k
= cotgk = , ph−¬ng tr×nh nµy cã
B O k1 k2 k3 k4 k5
v« sè nghiÖm ki, i = 1 ÷ n. C¸c
nghiÖm riªng tho¶ m·n §KB cã H7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k = k
−k 2F
B
d¹ng: θi(X,F) = c2coskiX. e i
,
∞ − k 2F
nghiÖm hîp lµ θ(X,F) = ∑ c i cos k i Xe i
i =1
∞
- §iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1 → ∑cicoskiX=1 → coski X ∑ c i cos k i X =
1
1 1
sin k i
coskiX → ∫ cos k i XdX = = ∫ cos k i X ∑ c i cos k i XdX =
0 ki 0
13
- 1
2k i + sin 2k i 4 sin k i
ci ∫ cos 2 k i XdX = ci → ci = 2k + sin 2k
0 4k i i i
VËy nghiÖm bµi to¸n lµ:
∞
sin k i
θ(X,F) = 4 ∑ 2k −k 2F
cos(kiX) e i
i =1 i + sin 2k i
* §å thÞ θ(X,F) vµ t(x, τ) cã d¹ng:
θ t
F=0
1 F=0
1
to τ=0
2 2
3 3
4
4
5
6 5
τ =∞ R
tf
F =∞ x
δ
x
O 1 O
H8. Ph©n bè θ(X,F) H9. Ph©n bè t(x, τ)
2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh
2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§
§Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh«ng thuÇn nhÊt cã nghiÖm riªng khi æn
®Þnh, tøc lµ khi tτ = θF = 0
2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§
Gåm c¸c b−íc sau:
1. T×m nghiÖm riªng æn ®Þnh θ (x) cña bµi to¸n (θ), øng víi lóc æn
®Þnh, theo ph−¬ng tr×nh θ F = 0 = θxx
2. Thay (v = θ - θ ) vµo bµi to¸n (θ) ®Ó lËp bµi to¸n (v), sÏ ®−îc
bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt.
3. T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau
®ã lËp nghiÖm cña bµi to¸n (θ) ®· cho lµ θ = θ + v
2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1)
1. Ph¸t biÓu BT: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ
14
- t(0, τ) = 2to. T×m t(x, τ)
* M« h×nh TH: t
⎧t τ = at xx
⎪ t ( x ,0 ) = t W'
⎪ o 1
(t) ⎨
⎪t (0, τ) = 2t o 2to
⎪t (δ, τ) = t o
⎩ a,λ
⎧ t − to
⎪θ = t to W1
⎪ o
t(x,τ)
⎪ x x
ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt ⎨X =
⎪ δ
O δ
⎪ aτ
⎪F = δ 2 H10. Bµi to¸n (2.3.3)
⎩
bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau:
⎧θF = θxx
⎪θ(X,0) = 0
⎪
(θ) ⎨ . Ta sÏ gi¶i bµi to¸n (θ) kh«ng thuÇn nhÊt
⎪ θ(0,F) = 1
⎪θ(1,F) = 0 (0TN)
⎩
nµy b»ng ph−¬ng ph¸p NRO§
2. T×m nghiÖm riªng θ cña bµi to¸n æn ®Þnh:
⎧θ = 0 = θxx → θ = c1X + c 2
⎪
( θ ) ⎨θ (1) = 0 = c1 + c 2 → θ =1− X
⎪ θ ( 0) = 1 = c
⎩ 2
3. Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = θ(X,F) + X - 1 vµo (θ): bµi to¸n
(θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau:
⎧v F = θ F = θ xx = v xx − θxx = v xx
⎪
⎪v( x,0) = θ(X,0) − θ (X) = X − 1
(v) ⎨
⎪v(1, F) = θ(1, F) − θ (1) = 0 − 0 = 0
⎪v(0, F) = θ(0, F) − θ (0) = 1 − 1 = 0 (TN )
⎩
4. T×m nghiÖm bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t−¬ng tù
nh− bµi to¸n 2.2.2:
- T¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vF = vxx cã nghiÖm tæng qu¸t lµ:
15
- − k 2F
v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx) e
−k 2F
- Theo §KB: v(0,F) = 0 → c2 e = 0 → c2 = 0
− k 2F
→ v(X,F) = c1sinkX e
−k 2F
Theo v(1,F) = 0 ⇒ c1sink e = 0 → sin k = 0 → k = nπ
∞
→ v(X,F) = ∑ c n sin(nπX) e ( nπ )
2F
n =1
∞
- Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - 1 = ∑ c n sin(nπX) →
x =1
1 1 ∞ 1 c −2
∫ (X − 1) sin(nπX)dX = ∫ sin(nπX) ∑ c n sin(nπX)dX → -
= n → cn = →
0 0 n =1 nπ 2 nπ
2 sin(nπX) ( nπ )2 F
nghiÖm ph−¬ng tr×nh (v) lµ: v(X,F) = - ∑ e . Do ®ã,
π n
nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F)
2 ∞ sin(nπX)
θ(X,F) = (1-X) - ∑ exp (-n2π2F)
π n =1 n
* Ph©n bè nhiÖt ®é θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng:
θ t
1 2t o
θ
=
t=
1-
2t o
-t
x
o
x/ δ
2
F
2 1
=
τ= 0
∞
1 to
x x
O F=0 1 O δ
H11. Ph©n bè θ(X,F) H12. Ph©n bè t(x, τ)
2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
2.4.1. Ph¹m vi sö dông:
Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F) ®−îc sö dông khi:
- Bµi to¸n (θ) kh«ng tån t¹i nghiÖm riªng æn ®Þnh
- hoÆc cã nghiÖm riªng æn ®Þnh θ nh−ng kh«ng t×m ®−îc
- Bµi to¸n víi vËt cã nguån nhiÖt trong, hoÆc ®−îc gia nhiÖt b»ng ®iÖn.
16
- 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS
Gåm c¸c b−íc sau:
1. LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c
§KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ).
2. T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K
biªn thuÇn nhÊt, sÏ ®−îc c¸c nghiÖm riªng d¹ng Xn(X) = cφn(X), trong
®ã φn(X) = f(n,X) lµ hµm sè riªng, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao:
1
⎧0 khi m ≠ n
∫ φ n (X)φ m (X)dX = ⎨
0 ⎩c khi m = n
∞
3. BiÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ A n ( F)φ n ( X )
n =1
vµ biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F), tøc t×m biÓu thøc x¸c ®Þnh An(F)
nhê ®iÒu kiÖn trùc giao cña φn(X):
1 ∞ 1
∫ θ(X, F)φ m (X)dX = ∑ A n (F) ∫ φ n (X)φ m (X)dX = cAn(F) tøc cã quan
0 n =1 0
1
1
hÖ An(F) = ∫ θ( x , F)φ n (X )dX
c 0
d
4. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh th−êng cña An(F) b»ng c¸ch tÝnh An(F),
dF
t×m nghiÖm An(F) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu.
∞
5. ViÕt nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ φ n ( X )A n ( F)
n =1
2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20)
1. Ph¸t biÓu: Cho v¸ch ph¼ng cã
t
δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = 0 vµ tx (0,
t
τ) = - o . q = λ to
δ δ t
(t x = - to ) q=0
T×m t(x, τ) δ tx = 0
t o = t(x,0)
a,λ x
O δ
17
- ⎧t τ = at xx
⎪ t ( x ,0 ) = t
⎪
⎪
o
* M« h×nh TH: (t) ⎨ t
⎪ t x (0, τ) = − o
δ
⎪
⎪t x (δ, τ) = 0
⎩
t − to x aτ
chuÈn ho¸ víi θ = , X = , F = 2 , sÏ cã:
to δ δ
⎧θ F = θ xx
⎪θ (1, F ) = 0 (TN )
⎪ x
⎪
(θ) ⎨θ x (0, F ) = δ t x (0,τ ) = −1 (0TN )
⎪ to
⎪
⎪θ ( X ,0) = 0
⎩
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0TN (θ) b»ng ph−¬ng ph¸p BTHS:
1) LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt tõ (θ):
⎧v F = v xx
⎪v (1, F) = 0
⎪
(v) ⎨ x (TN)
⎪v x (0, F) = 0
⎪ v ( X ,0 ) = 0
⎩
2) T×m nghiÖm riªng bµi to¸n biªn, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng
c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã
X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX
⎧v x (0, F) = 0 → X x (0) = 0 = c1 → X ( x ) = c 2 cos kX
⎨
⎩v x (1, F) = 0 → X x (1) = 0 = −kc 2 sin k → k = nπ
Do ®ã cã X(X) = cncos (nπX) vµ hµm sè riªng lµ φn(X) =
cos(nπX).
∞ ∞
3) §Ó θ(X,F) = ∑ A n (F)φ n (X) = ∑ A n (F) cos(nπX) lµ nghiÖm bµi to¸n
n =1 n =1
(θ) th× h»ng thêi gian An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn trùc giao cña
hµm riªng φn(X)= cos (nπX), b»ng c¸ch nh©n ph−¬ng tr×nh víi
cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]:
18
- ⎧A o (F), khi n = 0
1 1
⎪
∫ θ(X, F) cos(nπX )dX = An(F) ∫ cos (nπX )dX = ⎨ 1
2
0 0
⎪ 2 A n (F), ∀n ≠ 0
⎩
Do ®ã, An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo θ(X,F) bëi quan hÖ:
⎧A (F) = 1 θ(X, F)dX
⎪ o ∫
0
(An) ⎨ 1
⎪A n (F) = 2 ∫ θ(X, F) cos(nπX)dX, ∀n ≠ 0
⎩ 0
4. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh
d
An(F) theo hÖ (An):
dF
dA o (F) 1 1
- Khi n=0, = ∫ θ F dX = ∫ θ xx dX =θx 10 = θx(1,F) - θx(0,F) = 0 -
dF 0 0
(-1) = 1 → Ao(F) = F + c1
1
§iÒu kiÖn ®Çu cho Ao(0) = ∫ θ(X,0)dX = 0 = c1 ⇒ Ao(F) = F
0
dA n (F) 1 1
- khi ∀n ≠ 0, cã: = 2 ∫ θ F cos(nπX)dX = 2 ∫ θ xx cos(nπX)dX ,
dF 0 0
1
(ph©n ®o¹n tÝch ph©n) = 2 { [θ x cos( nπX )] | + nπ ∫ θ x sin(nπX )dX }=
1
0
0
1
2{1+2π [θ sin(nπX) | - nπ ∫ θ cos(nπX)dX]}
1
0
0
A n (F)
= 2{1-n2π2 }→ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cho An(F) lµ:
2
A'n = 2 - n2π2An →A'n +(n2π2)An = 2 cã nghiÖm tæng qu¸t An(F) =
2 1
+ c1 e −( nπ )2 F . §iÒu kiÖn ban ®Çu cho An(0) = 2 ∫ θ(X,0) cos(nπX)dX →
(nπ) 2 0
2 2 2 2
+ c1 = 0 → c1 = - 2 2 , do ®ã: An(F) = 2 2 - 2 2 e −( nπ )2 F
(nπ) 2 n π n π n π
5. VËy nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = Ao(F) +
∞ 2 ∞ cos(nπX) 2 ∞ cos(nπX)
∑ A n (F) cos(nπX) , tøc: θ(X,F) = F + ∑ - 2 ∑ .
n =1 π 2 n =1 n2 π n =1 n2
19
- ∞ 2 cos(nπX) 1 1
exp(-n2π2F) hay, do tæng ∑ = X2 - X + , cã:
n =1 πn2 2
2 3
1 1 2 ∞ cos(nπX)
θ(X,F) = F + ( X2 - X + ) - ∑ exp(-n2π2F)
2 3 π n =1
2
n 2
* Ph©n bè θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng:
θ t
1 q=0 q=0
3
3
2
2
1
1
x to τ =0 x
F=0
O 1 O 1
δ
H14. Ph©n bè θ(X,F) H15. Ph©n bè t(x,τ)
Tr−êng nhiÖt ®é trong v¸ch t¨ng v« h¹n, cã d¹ng:
aτ 2
∞
cos( nπx / δ) n 2 π2a
1
2δ
1
δ
3
t(x,τ) = to( 2 x2- x+ ) + to[ 2 - 2
4 δ π
∑ n2
n =1
exp (- 2 τ)]
δ
2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu
C¸c bµi to¸n nhiÒu chiÒu kh«ng æn ®Þnh cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng
ph¸p t¸ch biÕn lÆp, hoÆc ph−¬ng ph¸p quy vÒ nhiÒu bµi to¸n kh«ng æn
®Þnh mét chiÒu.
2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp
2.5.1.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp gåm c¸c b−íc:
1. T¸ch riªng biÕn thêi gian t×m hµm thêi gian F(F)
2. LÇn l−ît t¸ch c¸c biÕn to¹ ®é vµ t×m c¸c nghiÖm riªng theo tõng
to¹ ®é.
3. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T vµ biÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n
ë d¹ng tÝch c¸c nghiÖm thu ®−îc. z
2.5.1.2. VÝ dô: Bµi to¸n trô v«
h¹n biªn W1 víi ®iÒu kiÖn ®Çu tæng qu¸t t(ρϕ,0)
,
= g(ρ,ϕ)
* Ph¸t biÓu BT: Cho trô l=∞ cã a, t t 1
(R, ϕ,τ) = t1 vµ §K§ bÊt kú t(ρ,ϕ,0) = t a
ϕ R
ρ
g(ρ,ϕ). T×m tr−êng nhiÖt ®é t(ρ,ϕ,τ). O
H16. Bµi to¸n trô tæng qu¸t
20
nguon tai.lieu . vn